5.1专题：小船渡河及绳子末端速度的分解问题

光阴易逝，岂容我待
三、实例分析
Байду номын сангаас1.绳－船模型：
船的运动为合运动，绳的运动为其中一个分运动．
2.渡河问题：
（1）要使过河的时间最短，则船头必须垂直河岸； （2） 要使过河的位移最短： a. 若v船 > v水,则船头必须指向河岸上游方向； 使合速度垂直河岸，最小位移等于河宽， b.若v船 < v水,只有当V船 ⊥ V合 时，过河的位移最小。
D．在恒力作用下，物体可以做曲线运动
练习2 、一个静止的质点，在两个互成锐角的恒力 F1，F2作用下开始运动，经过一段时间以后突然撤 去其中一个力，则质点在撤去该力前后两个阶段的 运动性质是 ( B )
(A)匀加速直线运动，匀减速直线运动； (B)匀加速直线运动，匀变速曲线运动； (C)匀变速曲线运动，匀速圆周运动； (D)匀加速直线运动，匀速圆周运动。
练习3、物体在几个力的共同作用下做匀速直线运动，当 其中一个力停止作用时，物体的可能运动形式是： （ B C D EF ）
A. 匀速直线运动 C. 匀减速直线运动 E. 类似于斜抛运动
B. 匀加速直线运动 D. 类似于平抛运动 F. 圆周运动
点拨：带电粒子在速度选择器中匀速运动，当去掉电场力后 做圆周运动。
3研究方法： 曲线运动可看成几个分运动的合运动，我
们可以通过它的分运动的特点和规律进行 分析和研究
二、运动的合成和分解
1、分运动：物体在某一个方向发生的运动。
2、合运动：物体实际发生的运动。
物体位移的 合成与分解 物体运动的 合成与分解 物体速度的 合成与分解 物体加速度 合成与分解
3、分运动与合运动的关系：
（1）等时性 （2）独立性
合运动与分运动经历的时间相等

③作矩形；
④沿绳(杆)方向的分速度大小相等。
【例】如图所示，绳以恒定速率v沿水平方向通过定滑轮牵引
小船靠岸，当绳与水面夹角为θ时，船靠岸的速度是
若使船匀速靠岸，则绳的速度是
（填：匀速、加速、减速）
v
答案： v' cos
减速
。
。
知识总结：
处理关联速度问题的方法：首先认清哪
个是合速度、哪个是分速度。物体的实际速
D．船渡河过程被冲到下游的距离为

d


+
d
学习目标二 渡河位移最短
①若 v 水<v 船，最短的位移为河宽 d，船头与上游河岸夹角满足 cos θ＝
v水
，如图 2 甲所示.
v船
图2
学习目标二 渡河位移最短
②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端
为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为
水流速改变，船过河的最短位移一定不变
3．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m，水
流速度为4 m/s的河流中渡河，则该小船( C )A．能到达正对
岸B．渡河的时间可能少于50 sC．以最短时间渡河时，它沿水
流方向的位移大小为200 mD．以最短位移渡河时，位移大小为
150 m
4.（多选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，
示。图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向如图水平向右，虚线为小
船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变。则( A )
A．航线图甲是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短
B．航线图乙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短

v合
v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v水
③若Vc< Vs，怎样渡 河位移最小？最小位移是多少？
v船 v合
V水
β
v水
当vc ⊥ v合 时，过河的位移最小
最小位移：x L v水 v船
（1）要使过河的时间最短，则船头必须垂直河岸； （2） 要使过河的位移最短：
①河水静止，怎样渡河时间最短？ ②若水流速度不为零呢？ ③若船行到中途，水速增大有，会影响渡河时间？
①怎样渡河时间最短？最短时间是多少？
V水 V船
V合
V水
船头（身）垂直河岸渡河时间最短
最短时间:
t min
d V船
②若Vc> Vs,怎样渡河位移最小？最小位移是多少？
②若Vc> Vs,怎样渡河位移最小？最小位移是多少？
V水
d V船 V合
θ V水
船头（身）指向河岸上游,与河岸有一 夹角为θ,
且有：cos v水 时 ，渡河位移最小。
v船
最小位移等于河宽L
③若Vc< Vs，怎样渡 河位移最小？最小位移是多少？
v水
v船 v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v船
v合
v水
v船
运动的合成与分解的应用
1、小船渡河问题： 2、绳拉物问题：

v静
v
d
θ
v水
【例2】小船在d=200m宽的河水中行驶，船在静水
中V2=2m/s，水流速度V1=4m/s。求：要使船的航线最短，
应向何方划船？位移的最小值如何？
解：cos v2 1 60
S
v1 2
v2 v
θ( ）α θ(
v1
d
v2 d v1 S
S min v1 d 400 m v2
方向 30
vB
cos cos
v0
【巩固训练】2.如图所示，均匀直杆上连着两个小球 A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速 度为VB，加速度为aB，杆与竖直夹角为α，求此时A球速 度大小.
vA=vBtanα
处理技巧： 1.抓好实际运动即合运动 2.把物体的实际速度分解为一个沿绳（杆）方向的速度； 一个垂直于绳（杆）方向的速度.
点评：当v2<v1(v划<v水）时，合速v不可能垂直河 岸。此时，以v1矢量的终点为圆心，v2的大小为半 径画圆，当v与圆相切时，α角最大，θ角最小，则 渡河航线最短，并且
S min v水 d v划
cosθ v划 v水
【巩固训练】船在静水中速度为V1，水速为V2，V1>V2,
河宽为d.当船头垂直向对岸航行时，则
tm in
d v静
【例1】小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s,船 在静水中的航速是4m/s.
（2）当合速度与河岸垂直时，小船到达正对岸.
cos v水 1
v船 2
60
Байду номын сангаас船头方向与河岸上游
v静
v
d
成600航行.
θ
v水
t d d 100 3 s

v
v'
【答案】 v' v
cos
减速
❖ “绳+物”问题
【例题】如图所示，汽车沿水平路面以恒定速度
v前进，则当拉绳与水平方向成θ角时，被吊起
的物体M的速度为vM=
。
v
【答案】
vM
vM v cos
❖ “绳+物”问题
【例题】如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物
体A，用细绳通过定滑轮拉动物体B在水平桌面上运
动，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速率
为
，
B
v
【答案】 vB=vsiБайду номын сангаасθ
A
v sin
v
4.运动的分解
1）分解的原则 方法1.按运动的实际效果分解 方法2.正交分解
2）运动分解的典型问题 a.渡船问题的分解 b.拉绳问题的分解
❖ “绳+物”问题
【例题】如图所示，纤绳以恒定速率v沿水平方向通过
定滑轮牵引小船靠岸，当纤绳与水面夹角为θ时，船靠
岸的速度是
，若使船匀速靠岸，则纤绳的速度
是
。（填：匀速、加速、减速）

将小车的速度分解如图，由几何关系有
v绳
θ
v车
cos v绳 v v物＝v绳＝v车 cos
v车 变大，cos变小 v物变小, 减速下降
【例题3】光滑水平面上有A、B两个物体，通过一根跨过定滑轮的轻 绳子相连，如图，它们的质量分别为mA和mB，当水平力F拉着A且 绳子与水平面夹角为θA＝45O， θB＝30O时，A、B两物体的速度之 比VA：VB应该是________
cos v水
v船
例1:一艘小船在100m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s，小船在静 水中的速度是4m/s，求：（1）欲使航行距离最短，船应该怎样渡河？渡河时 间多长？
解：１、当船头指向斜上游，与岸夹角为Ѳ时，合 运动垂直河岸，航程最短，数值等于河宽100米。
则cos Ѳ = 合速度：
解２间 tmin

d v2
100 4
s
25s
此时合速度
v
v12 v22
32

42
m s

5m
s
此时航程
s vt 525m 125m
例2:若河宽仍为100m，已知水流速度是4m/s，小船在静水中的速度是3m/s， 即船速（静水中）小于水速。
运动的合成与分解的应用
----小船渡河问题与绳拉物牵连速度问题
一、合运动与分运动
1.合运动与分运动的概念 2、运动的合成：已知分运动求合运动
运动的分解：已知合运动求分运动
3、运动的合成分解是指a、v、s的合成与分解。
s、v、a的合成与分解都遵循：平行四边形定则
三、合运动与分运动的关系
1、等效性：合运动与分运动在效果上是等效替代的关系

曲线运动习题课一、船过河模型1、处理方法:小船在有一定流速的水中过河时,实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动)与船相对水的运动,即在静水中的船的运动(就就是船头指向的方向),船的实际运动就是合运动。

2、若小船要垂直于河岸过河,过河路径最短,应将船头偏向上游,如图甲所示,此时过河时间:3、若使小船过河的时间最短,应使船头正对河岸行驶,如图乙所示,此时过河时间(d为河宽)。

因为在垂直于河岸方向上,位移就是一定的,船头按这样的方向,在垂直于河岸方向上的速度最大。

二、绳端问题(绳子末端速度分解)绳子末端运动速度的分解,按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。

例如在右图中,用绳子通过定滑轮拉物体船,当以速度v匀速拉绳子时,求船的速度。

解析:船的运动(即绳的末端的运动)可瞧作两个分运动的合成:a)沿绳的方向被牵引,绳长缩短,绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。

即为v;b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动,它不改变绳长。

这样就可以求得船的速度为, 当船向左移动,α将逐渐变大,船速逐渐变大。

虽然匀速拉绳子,但物体A却在做变速运动。

绳子末端速度的分解问题,就是本章的一个难点,同学们在分解时,往往搞不清哪一个就是合速度,哪一个就是分速度。

以至解题失败。

下面结合例题讨论一下。

例1、如图1所示,在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸,拉绳速度大小为v1,当船头的绳索与水平面夹角为θ时,船的速度多大？解析我们所研究的运动合成问题,都就是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题,而物体相对于给定参照物(一般为地面)的实际运动就是合运动,实际运动的方向就就是合运动的方向。

本例中,船的实际运动就是水平运动,它产生的实际效果可以A点为例说明:一就是A点沿绳的收缩方向的运动,二就是A点绕O 点沿顺时针方向的转动,所以,船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1与垂直于绳的速度v2,如图1所示。

由图可知:v＝v1/cosθ点评不论就是力的分解还就是速度的分解,都要按照它的实际效果进行。

a1 a2 V2 图1 a V1 a1 V1
a2
V2
a
V
V
图2
4、如果两个分运动都是初速度为零的匀加 速直线运动的合运动是什么运动？
仍然是初速度为零的匀加速直线运动。
问题2：拉船靠岸问题 【例 6】如图，人在岸边通过定滑轮用绳拉小船。 人拉住绳子以速度v0匀速前进，当绳子与水平方向成θ
角时，求小船的速度v。
此时航程
x vt 20 50m 224m
总结、渡河的时间最短则船头指向必须和河岸 垂直，不受河水速度大小的影响。
B C
d t v
d
v船
v合
θ
A
v水
合运动是实际发生的运动，是分运动的合成
合分 运运 动动 与 分运动互不影响，具有独立性 合运动与分运动所用时间相等，具有等时性 运动的合成 成运 和动 分的 解合 两个互 相垂直 的直线 运动的 合运动 分运动 运动的分解 合运动
运 动 的 合 成 和 分 解
平行四边形法则
可以是直线运动 曲线运动可以用两 个直线运动来替代 也可以是曲线运动
v1 v v2
随堂反馈
如图，汽车的速度 v 0 和 绳子与水平方向的夹角 θ 已知，求重物上升的速 度 v。
v1 v v2
【归纳】 此类问题的关键是： 1. 准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是 合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.一般情况下，分运动表现在： ①沿绳方向的伸长或收缩运动； ②垂直于绳方向的旋转运动。 4. 根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关 键。 5. 对多个用绳连接的物体系统，要牢记在绳的方向 上各点的速度大小相等。
基础重温 一、合运动与分运动
1、定义：

立体设计·走进新课堂
第五章 机课械能守恒堂定律 探 究
一、课堂导入
3、新课导入
例1：小船在静水中的速度为
v1=5m/s,水流的速度为v2=3m/s, 河宽为d=100m.
d
1、使小船渡河时间最短,小船 朝什么方向开行?渡河时间是多
水
少? 到达对岸的什么位置？
立体设计·走进新课堂
第五章 机课械能守恒堂定律 探 究
第五章 机械能守恒定律
专题 一
小船渡河问题与绳拉物 牵连速度问题
立体设计·走进新课堂
第五章 机课械能守恒堂定律 探
一、课堂导入
1、预习检测 2、三维目标 二、课堂探究 探究一： 探究二： 探究三： 探究四: 三、课堂检测 四、课堂小结、布置作业与预习任务
1、课堂小结 2、课后作业 3、预习任务
究
立体设计·走进新课堂
二、课堂探究
探究一：小船过河问题
v船 v⊥ v实际 d
如右图所示，若用v水表示水速，v船
表示船速，则过河时间仅由v船的垂直于 岸的分量v⊥决定，即 t d ，与v水无关。
v
所以当v船垂直于岸时，过河所用时
间最短，最短时间为 t d ，也与v水无
关。
v2
V船 d
立体设计·走进新课堂
v水
V实际 V水
B
s
v1
v
D

A
v2
立体设计·走进新课堂
第五章 机课械能守恒堂定律 探 究
二、课堂探究
探究一：小船过河问题---结论
S1B
B’ S
t
t
v1
v
t
A
v2 S2
t最短
S1
SB

专题强化 小船渡河与关联速度问题[学习目标]1.能利用运动的合成与分解的知识,分析小船渡河问题和关联速度问题.2.建立两种模型的一般分析思路和解法.一、小船渡河问题 1.运动分析小船渡河时,同时参与了两个分运动:一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动),一个是船随水漂流的运动. 2.两类常见问题 (1)渡河时间问题①渡河时间t 取决于河岸的宽度d 及船沿垂直河岸方向上的速度大小,即t ＝d v ⊥. ②若要渡河时间最短,只要使船头垂直于河岸航行即可,如图1所示,此时t ＝dv 船.图1(2)最短位移问题①若v 水<v 船,最短的位移为河宽d ,船头与上游河岸夹角满足v 船cos θ＝v 水,如图2甲所示.图2②若v 水>v 船,如图乙所示,从出发点A 开始作矢量v 水,再以v 水末端为圆心,以v 船的大小为半径画圆弧,自出发点A 向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝v 船v 水,最短位移x 短＝dcos θ.(多选)(2019·宜宾市高一质检)如图3所示为长江一段平行江道,一轮船的船头始终垂直指向江岸方向,轮船在静水中运动的速度保持不变,水匀速流动(假设整个江道水流速度相同),下列说法正确的是()图3A.水流速度越大,轮船行驶位移越大B.水流速度增大,轮船行驶位移不变C.水流速度越大,过江时间越短D.水流速度增大,过江时间不变正确答案AD详细解析因为船垂直于江岸方向的速度不变,而水流方向是垂直于这个方向的,在这个方向上没有分速度,设江道宽为d,船垂直于江岸的速度为v,t＝d v,所以不论水速多大,船过江时间不变,故C错误,D正确.若水速越大,相同时间内沿水速方向的位移就越大,船在水中运动的总位移也就越大,故B错误,A正确.已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d＝100 m,水流速度为v2＝3 m/s,方向与河岸平行,(1)欲使船以最短时间渡河,渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；(2)欲使船以最小位移渡河,渡河所用时间是多少？(3)若水流速度为v2′＝6 m/s,船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变,船能否垂直河岸渡河？正确答案(1)20 s2034 m(2)25 s(3)不能详细解析(1)由题意知,当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时,渡河所用时间最短,河水流速平行于河岸,不影响渡河时间,所以当船头垂直于河岸渡河时,所用时间最短,最短时间为t＝d v1＝1005s＝20 s.如图甲所示,当船到达对岸时,船沿平行于河岸方向也发生了位移,由几何知识可得,船的位移为l＝d2＋x2,由题意可得x＝v2t＝3×20 m＝60 m,代入得l＝2034 m.(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时,船的位移最小,因船在静水中的速度为v 1＝5 m /s,大于水流速度v 2＝3 m/s,故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示,设船斜指向上游河对岸,且与河岸所成夹角为θ,则有v 1cos θ＝v 2,cos θ＝v 2v 1＝0.6,则sin θ＝1－cos 2 θ＝0.8,船的实际速度v ＝v 1sin θ＝5×0.8 m /s ＝4 m/s,所用的时间为t ＝d v ＝1004s ＝25 s.(3)当水流速度v 2′＝6 m /s 时,则水流速度大于船在静水中的速度v 1＝5 m/s,不论v 1方向如何,其合速度方向总是偏向下游,故不能垂直河岸渡河.1.要使船垂直于河岸横渡,即路程最短,应使v 船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向,这种情况只适用于v 船>v 水时.2.要使船渡河时间最短,船头应垂直指向河对岸,即v 船与水流方向垂直.3.要区别船速v 船及船的合运动速度v 合,前者是发动机(或划行)产生的分速度,后者是合速度. 针对训练1 (2018·泸州市高一检测)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶,如图4所示.已知船在静水中行驶的速度为v 1,水流速度为v 2,河宽为d .则下列判断正确的是( )图4A.船渡河时间为dv 2B.船渡河时间为dv 21＋v 22C.船渡河过程被冲到下游的距离为v 2v 1·dD.船渡河过程被冲到下游的距离为v 2v 21＋v 22·d 正确答案 C详细解析 小船正对河岸运动,渡河时间最短,t ＝dv 1,沿河岸运动的位移s 2＝v 2t ＝v 2v 1·d ,故A 、B 、D 错误,C 正确. 二、关联速度问题关联速度分解问题是指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便,统一说“绳”):(1)物体的实际速度一定是合速度,分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向. (2)由于绳不可伸长,一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等. (3)常见的速度分解模型(如图5)图5(多选)如图6所示,人在岸上用跨过定滑轮的绳子拉船,已知船的质量为m ,水的阻力恒为F f ,当轻绳与水面的夹角为θ时,船的速度为v ,人的拉力大小为F ,则此时( )图6A.人拉绳行走的速度大小为v cos θB.人拉绳行走的速度大小为v cos θC.船的加速度大小为F cos θ－F fmD.船的加速度大小为F －F fm正确答案 AC详细解析 船的运动产生了两个效果:一是使滑轮与船间的绳缩短,二是使滑轮与船间的绳偏转,因此将船的速度按如图所示(沿绳方向与垂直于绳方向)方式进行分解,人拉绳行走的速度大小v 人＝v ∥＝v cos θ,选项A 正确,B 错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小,即绳的拉力大小为F ,与水平方向成θ角,因此F cos θ－F f ＝ma ,解得a ＝F cos θ－F fm,选项C 正确,D 错误.针对训练2(2019·鹤壁市期末)如图7所示,物体A套在竖直杆上,经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动,开始时A、B间的细绳呈水平状态,现由计算机控制物体A的运动,使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰),则()图7A.绳与杆的夹角为α时,B的速率为v sin αB.绳与杆的夹角为α时,B的速率为v cos αC.物体B也做匀速直线运动D.物体B做匀加速直线运动正确答案B详细解析如图所示,将A物体的速度按图示两个方向分解,绳子速率v绳＝v∥＝v cos α；而绳子速率等于物体B的速率,则物体B的速率v B＝v绳＝v cos α,故A错误,B正确；因物体A向下运动的过程中α减小,则cos α增大,v B增大,B物体加速运动,但不是匀加速运动,故C、D错误.1.(小船渡河模型)(多选)下列图中实线为河岸,河水的流动方向如图中v的箭头所示,虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是()正确答案AB详细解析小船渡河的运动可看成水流的运动和小船运动的合运动.虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线,即合速度的方向,小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向,分析可知,实际航线可能正确的是A、B.2.(小船渡河模型)(多选)河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图8甲所示,船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示.若要使船以最短时间渡河,下列说法正确的是()图8A.船渡河的最短时间为100 sB.船在行驶过程中,船头始终与河岸垂直C.船在河中航行的轨迹是一条直线D.船在河水中的最大速度为7 m/s正确答案AB详细解析由运动的独立性可知,垂直河岸方向速度越大,渡河时间越短,即船头始终与河岸垂＝100 s,选项A、B正确；由题图甲可知,水流速度在变化,船直,航行时所用时间最短,t min＝dv船的合速度大小及方向均会随位置发生变化,因此轨迹不是直线,选项C错误；船在静水中的速度与水流速度方向垂直,水流速度最大值为4 m/s,则船在河水中的最大速度为5 m/s,选项D错误.3.(关联速度模型)(多选)如图9所示,一人以恒定速度v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动,当运动到绳与水平方向成45°角时()图9A.小车运动的速度为12v 0B.小车运动的速度为2v 0C.小车在水平面上做加速运动D.小车在水平面上做减速运动 正确答案 BC详细解析 将小车速度沿绳方向与垂直绳方向进行分解,如图所示人拉绳的速度与小车沿绳方向的分速度大小是相等的,根据三角函数关系v cos 45°＝v 0,则v ＝v 0cos 45°＝2v 0,B 正确,A 错误；随着小车向左运动,绳与水平方向的夹角越来越大,设夹角为α,由v ＝v 0cos α知,v 越来越大,则小车在水平面上做加速运动,C 正确,D 错误.4.(关联速度模型)(2019·泉港一中高一下学期期末)如图10所示,有人在河面上方20 m 的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船,开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v ＝3 m/s 拉绳,使小船靠岸,那么( )图10A.5 s 时绳与水面的夹角为60°B.5 s 时小船前进了15 mC.5 s 时小船的速率为5 m/sD.5 s 时小船到岸边距离为10 m 正确答案 C详细解析 5 s 内人前进的距离s ＝v t ＝3×5 m ＝15 m,滑轮至船的距离l ′＝hsin 30°－15 m ＝25 m,设5 s 时拉船的绳与水平方向夹角为θ,则sin θ＝2025＝45,由此可知,θ＝53°,cos θ＝v v 船,故v 船＝5 m/s,小船到岸边的距离s ′＝20tan 37° m ＝15 m,则5 s 时小船前进的距离为s 1＝htan 30°－s ′＝(203－15) m,故A 、B 、D 错误,C 正确.一、选择题题型一小船渡河模型1.小船船头指向对岸,以相对于静水的恒定速率向对岸划去,当水流匀速时,它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是()A.水速小时,位移小,时间也短B.水速大时,位移大,时间也长C.水速大时,位移大,但时间不变D.位移、时间大小与水速大小无关正确答案C详细解析小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动,由运动的独立性和等时性知,小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动,等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比,由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去,故渡河时间一定.水速大,水流方向的分位移就大,合位移也就大,反之则合位移小.2.(多选)在河道宽度为d的河中,水流速度为v2,船在静水中速度为v1(且v1＞v2),方向可以选择,现让该船开始渡河,则该船()A.可能的最短渡河时间为dv2B.可能的最短渡河位移为dC.只有当船头垂直河岸渡河时,渡河时间才和水流速度无关D.不管船头与河岸夹角是多少,渡河时间和水流速度均无关正确答案BD详细解析当船头与河岸垂直时,渡河时间最短,为dv1,故A错误；当合速度与河岸垂直时,渡河位移最小为d ,故B 正确；将船的实际运动沿垂直水流方向和水流方向分解,由于各个分运动互不影响,因而渡河时间等于沿船头方向的分运动时间,为t ＝x 1v 1(x 1为沿船头指向的分位移),显然与水流速度无关,故C 错误,D 正确.3.(2019·山西平遥中学高一下期中)在抗洪抢险中,战士驾驶摩托艇救人,假设江岸是平直的,洪水沿江向下游流去,水流速度为v 1,摩托艇在静水中的航速为v 2,战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ,若战士想在最短时间内将人送上岸,则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( ) A.d v 2v 22－v 21B.0C.d v 1v 2D.d v 2v 1正确答案 C详细解析 摩托艇登陆的最短时间t ＝dv 2,登陆点到O 点的距离s ＝v 1t ＝d v 1v 2,故选C.4.一只小船在静水中的速度为v 1＝5 m /s,它要渡过一条宽为d ＝50 m 的河,河水流速为v 2＝4 m/s,则( )A.这只船过河位移不可能为50 mB.这只船过河时间不可能为10 sC.若河水流速改变,船过河的最短时间一定不变D.若河水流速改变,船过河的最短位移一定不变 正确答案 C详细解析 当船头垂直指向河岸航行时,渡河时间最短,t min ＝d v 1＝505 s ＝10 s,B 错误；由于船在静水中的速度大于河水流速,船的实际航向可以垂直河岸,即过河最短位移为s ＝d ＝50 m,A 错误；根据运动的独立性,渡河最短时间为10 s,与水速无关,C 正确；若河水流速大于船在静水中的速度,则船过河最短位移大小大于河宽,D 错误.5.(2019·厦门市高一下学期期末)某人划小船横渡一条两岸平行的河流,船在静水中的速度大小不变,船头方向始终垂直于河岸,水流速度与河岸平行,已知小船的运动轨迹如图1所示,则( )图1A.各处水流速度大小都一样B.离两岸越近水流速度越小C.离两岸越近水流速度越大D.无论水流速度是否变化,这种渡河方式耗时最长 正确答案 B详细解析 从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道,小船先具有指向下游的加速度,后具有指向上游的加速度,故加速度是变化的,水流是先加速后减速,即越接近河岸水流速度越小,故A 、C 错误,B 正确；根据运动的独立性,船身方向垂直于河岸,这种渡河方式耗时最短,故D 错误. 6.(多选)(2019·山东省实验中学高一下期中)如图2,河水由西向东流,河宽为800 m,河中各点的水流速度大小为v 水,各点到较近河岸的距离为x ,v 水与x 的关系为v 水＝3400x (m /s),让小船船头垂直河岸由南向北渡河,小船在静水中的速度大小恒为v 船＝4 m/s,下列说法正确的是( )图2A.小船渡河的轨迹为直线B.小船在河水中的最大速度是5 m/sC.小船渡河的时间是200 sD.小船在距南岸200 m 处的速度小于距北岸200 m 处的速度 正确答案 BC详细解析 小船在垂直河岸方向上做匀速直线运动,在沿河岸方向上做变速运动,合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上,做曲线运动,选项A 错误；当小船行驶到河中央时水流速度最大,v水＝3400×400 m /s ＝3 m/s,那么小船在河水中的最大速度v max ＝32＋42 m /s ＝5 m/s,选项B 正确；小船船头垂直河岸由南向北渡河,那么小船渡河的时间是t ＝d v 船＝8004s ＝200 s,选项C 正确；在距南岸200 m 处的河水速度大小与距北岸200 m 处的河水速度大小相等,根据矢量的合成法则,则两种情况下小船的合速度大小相等,选项D 错误.7.如图3所示为一条河流,河水流速为v ,一只船从A 点先后两次渡河到对岸,船在静水中行驶的速度为v 静,第一次船头向着AB 方向行驶,渡河时间为t 1,船的位移为s 1；第二次船头向着AC 方向行驶,渡河时间为t 2,船的位移为s 2,若AB 、AC 与河岸垂线方向的夹角相等,则( )图3A.t 1＞t 2,s 1＜s 2B.t 1＜t 2,s 1＞s 2C.t 1＝t 2,s 1＜s 2D.t 1＝t 2,s 1＞s 2正确答案 D详细解析 因为AB 、AC 与河岸的垂线方向的夹角相等,则在垂直于河岸方向上的分速度相等,渡河时间t ＝du ⊥,所以两次渡河时间相等.设AB 、AC 与河岸夹角为θ,船头向着AB 方向时,沿河岸方向的分速度v 1＝v 静cos θ＋v ,船头向着AC 方向行驶时,沿河岸方向的分速度v 2＝|v －v 静cos θ|＜v 1,水平方向上的位移x 1＞x 2,根据平行四边形定则,s 1＞s 2,故D 正确,A 、B 、C 错误. 8.如图4所示,一条小船位于200 m 宽的河中央A 点处,离A 点距离为100 3 m 的下游处有一危险的急流区,当时水流速度为 4 m/s,为使小船避开危险区沿直线到达对岸,小船在静止水中的速度至少为( )图4A.433 m/sB.833 m/sC.2 m /sD.4 m/s正确答案 C详细解析 小船刚好避开危险区域时,小船合运动方向与水流方向的夹角设为θ,则tan θ＝1001003＝33,则θ＝30°,当船头垂直合运动方向渡河时,小船在静水中的速度最小,在静水中的最小速度v min ＝v 水sin 30°＝2 m/s,C 正确.题型二 关联速度模型9.人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A ,A 穿在光滑的竖直杆上,当以速度v 0匀速地拉绳使物体A到达如图5所示位置时,绳与竖直杆的夹角为θ,则物体A实际运动的速度大小是()图5A.v0sin θB.v0sin θ C.v0cos θ D.v0cos θ正确答案D详细解析由运动的合成与分解可知,物体A参与两个分运动:一个是沿着与它相连接的绳子的运动,另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体A的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的,这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动,它们之间的关系如图所示.由几何关系可得v＝v0cos θ,所以D正确.10.如图6所示,某人用绳通过定滑轮拉小船,设人匀速拉绳的速度为v0,小船水平向左运动,绳某时刻与水平方向夹角为α,则小船的运动性质及此时刻小船的速度v x为()图6A.小船做变加速运动,v x＝v0cos αB.小船做变加速运动,v x＝v0cos αC.小船做匀速直线运动,v x＝v0 cos αD.小船做匀速直线运动,v x＝v0cos α正确答案A11.(2019·康杰中学期中)如图7所示,汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块.汽车匀速向右运动,在物块到达滑轮之前,下列说法正确的是()图7A.物块将竖直向上做匀速运动B.物块将处于超重状态C.物块将处于失重状态D.物块将竖直向上先加速后减速 正确答案 B详细解析 设汽车向右运动的速度为v ,绳子与水平方向的夹角为α,物块上升的速度为v ′,则v cos α＝v ′,汽车匀速向右运动,α减小,v ′增大,物块加速上升,A 、D 错误；物块的加速度向上,处于超重状态,B 正确,C 错误.12.(2019·眉山高中下学期期末质检)如图8所示,人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ,人以速度v 0向左匀速拉绳,某一时刻,绳与竖直杆的夹角为θ,与水平面的夹角为α,此时物块A 的速度v 1为( )图8A.v 1＝v 0sin αcos θB.v 1＝v 0sin αsin θC.v 1＝v 0cos αcos θD.v 1＝v 0cos αcos θ正确答案 D详细解析 人和A 沿绳方向的分速度相等 可得v 0cos α＝v 1cos θ 所以v 1＝v 0cos αcos θ.13.如图9所示, 一根长直轻杆AB 在墙角沿竖直墙和水平地面滑动.当AB 杆和墙的夹角为θ时,杆的A 端沿墙下滑的速度大小为v 1,B 端沿地面滑动的速度大小为v 2,则v 1、v 2的关系是()图9A.v1＝v2B.v1＝v2cos θC.v1＝v2tan θD.v1＝v2sin θ正确答案C详细解析将A端的速度沿杆方向和垂直于杆的方向分解,沿杆方向的分速度为v1∥＝v1cos θ,将B端的速度沿杆方向和垂直于杆方向分解,沿杆方向的分速度v2∥＝v2sin θ.由于v1∥＝v2∥.所以v1＝v2tan θ,故C正确,A、B、D错误.二、非选择题14.如图10所示,河宽d＝120 m,设小船在静水中的速度为v1,河水的流速为v2.小船从A点出发,若船头指向河对岸上游的B点,经过10 min,小船恰好到达河正对岸的C点；若船头指向河正对岸的C点,经过8 min,小船到达C点下游的D点.求:图10(1)小船在静水中的速度v1的大小；(2)河水的流速v2的大小；(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离s CD.正确答案(1)0.25 m/s(2)0.15 m/s(3)72 m详细解析(1)小船从A点出发,若船头指向河正对岸的C点,则此时v1方向的位移为d,故有v1＝dt min ＝12060×8m/s＝0.25 m/s.(2)设AB 与河岸上游成α角,由题意可知,此时恰好到达河正对岸的C 点,故v 1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v 2的大小,即v 2＝v 1cos α,此时渡河时间为t ＝dv 1sin α,所以sin α＝dv 1t＝0.8,故v 2＝v 1cos α＝0.15 m/s. (3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为s CD ＝v 2t min ＝72 m.15.一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物,开始车在滑轮的正下方,绳子的端点离滑轮的距离是H .车由静止开始向左做匀加速直线运动,经过时间t 绳子与水平方向的夹角为θ,如图11所示.试求:图11(1)车向左运动的加速度的大小； (2)重物m 在t 时刻速度的大小. 正确答案 (1)2H t 2tan θ (2)2H cos θt tan θ详细解析 (1)车在时间t 内向左运动的位移:x ＝Htan θ,由车做匀加速直线运动,得:x ＝12at 2,解得:a ＝2x t 2＝2Ht 2tan θ.(2)t 时刻车的速度:v 车＝at ＝2Ht tan θ, 由运动的分解知识可知,车的速度v 车沿绳的分速度大小与重物m 的速度大小相等,即: v 物＝v 车cos θ, 解得:v 物＝2H cos θt tan θ.。

绳 滑轮牵引小船靠岸，当纤绳与水面夹角为θ时，船靠岸的
+ 速度是
，若使船匀速靠岸，则纤绳的速度是
。
物 （填：匀速、加速、减速）
”
问 题
v
v'
v车
错误原因：v不是船的 实际运动，即v不是合 v运车 动
车的位移小于船的位移，
所以 v船＞ v车
v
θ
v船 v车
？ v⊥
A
AB是绳的初始位置，AC 是绳的末位置，在AB上取 AD=AC得D点，并连接CD。 显然，图中BC是船的位移 大小，BD是绳子缩短的长 度（车的位移大小）
第五章 曲线运动
小船渡河和绳斜拉物体（牵连速度）问题
一、运动的合成和分解
运动的合成与分解
结论： (1)匀速直线运动的合运动是直线运动 (2)匀速直线运动的合运动是匀速直线运动，合速度与
分速度满足平行四边形定则。
运动的合成与分解
物体的实际运动速度又叫合速度，
物体的实际运动位移又叫合位移。
物体沿某一方向的速度 y 叫这一方向的分速度，
v车
鉴于过程极短，绳的缩短 运动和船的运动都可以看 做是匀速的。
过程极短时，等腰三角形 ACD的顶角∠A→0，则底 角∠ACD→90°，△CDB趋 于直角三角形
D θ
s车
B
C s船
正确的分解方法：
v车
v船是实际运动，即 合运动，可分解为：
v车
v船
θ
沿绳子方向的分运动v车
v⊥
垂直绳子方向的分运动v⊥
【方法提示】 根据运动效果认真
做好运动矢量图，是解 题的关键。
一 【例题】一船准备渡河，已知水流速度为v0=1m/s，船在静水

分析１：航程最短
v2
θ
v
d
v1
解：当船头指向斜上游，与岸夹角为Ѳ时，合运动 垂直河岸，航程最短，数值等于河宽220m。 则cos Ѳ =
v1 2 1 v2 4 2
2 1 2 2
Ѳ= 60°
即船头指向斜上游与岸夹角为60°
v v2 v 4 2 m / s 12m / s
2
6.2
质点在平面内的运动
第2课时
一、合运动与分运动
1、定义：
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发 生的运动就叫做那几个运动的合运动，那几个运动叫 做这个实际运动的分运动。
2、特征：
等时性——合运动和分运动经历的时间相等。
独立性——各分运动独立进行，互不影响。
等效性——各分运动的规律叠加起来和合运动的规律等效。
随堂反馈
如图，汽车的速度v 0 和 绳子与水平方向的夹角θ 已知，求重物上升的速 度v。
v1 v v2
随堂反馈
如图，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A，用细绳
通过定滑轮拉动物体B在水平桌面上运动，当绳与水
平面夹角为θ时，物体B的速率为
B
。

v
A
寻找分运动效果
v sin
【答案】
vB=vsinθ
d 220 t s 50s v2 4
此时合速度
v v v2 2 4 m / s 20m / s
2 1 2 2 2
此时航程
x vt 20 50m 224m
总结、渡河的时间最短则船头指向必须和河岸 垂直，不受河水速度大小的影响。
C
v船
v合
θ
d
A

运动的合成与分解实例——小船渡河模型一、基础知识（一）小船渡河问题分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)三种情景①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝dv 1(d 为河宽)．②过河路径最短(v 2<v 1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1.③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法 垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝dcos α＝v 2v 1d .（二）求解小船渡河问题的方法求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移． 无论哪类都必须明确以下四点：(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是 船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动， 一般情况下与船头指向不一致．(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流 方向和船头指向分解．(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形法 则求极限的方法处理．二、练习1、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m /s.若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示．合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/s. t ＝d v 2＝1805 s ＝36 s v ＝v 21＋v 22＝525 m/s x ＝v t ＝90 5 m(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直 河岸方向成某一夹角α，如图所示． 有v 2sin α＝v 1， 得α＝30°所以当船头向上游偏30°时航程最短． x ′＝d ＝180 m.t ′＝d v 2cos 30°＝180523 s ＝24 3 s答案 (1)垂直河岸方向 36 s 90 5 m (2)向上游偏30° 24 3 s 180 m 2、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m 的河，已知河水的流速v 1与船离河岸的距离x 变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v 2与时间t 的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是( )A ．船渡河的最短时间是25 sB ．船运动的轨迹可能是直线C ．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝1005 s ＝20 s ，A 错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B 错误；船在最短时间内渡河t ＝20 s ，则船运动到河的中央时所用时间为10 s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间均匀增加，则a 1＝4－010 m /s 2＝0.4 m/s 2，同理x ＝50 m到x ＝100 m 之间a 2＝0－410 m /s 2＝－0.4 m/s 2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2，C 正确；船在河水中的最大速度为v ＝52＋42 m/s ＝41 m/s ，D 错误．3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则( )A ．船渡河的最短时间是60 sB ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C ．船航行的轨迹是一条直线D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d v 2＝3003 s ＝100 s ，A错，B 对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝42＋32 m /s ＝5 m/s ，C 错，D 对．4、(2011·江苏·3)如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为 ( ) A ．t 甲<t 乙 B ．t 甲＝t 乙C ．t 甲>t 乙D ．无法确定 答案 C解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则 t 甲＝x OA v 0＋v ＋x OAv 0－v ＝2v 0x OA v 20－v2 t 乙＝2x OB v 20－v 2＝2x OAv 20－v 2<2v 0x OAv 20－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距233H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A 点，则下列判断正确的是( )A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同B ．v ＝2v 0C ．两船可能在未到达对岸前相遇D ．甲船也在A 点靠岸 答案 BD解析 渡河时间均为Hv sin 60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝2v 0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)H v sin 60°＝233H ，刚好到达A 点，综上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．6、一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m 远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则( )A ．快艇的运动轨迹可能是直线B ．快艇的运动轨迹只能是曲线C ．最快到达浮标处通过的位移为100 mD ．最快到达浮标处所用时间为20 s 解析 快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A 错误，B 正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100 m ，C 错误；由题图甲可知快艇的加速度为a ＝ΔvΔt ＝0.5 m/s 2，最短位移为x ＝100 m ，对快艇由x ＝12at 2得：t ＝2x a＝ 2×1000.5s ＝20 s ，即最快到达浮标处所用时间为20 s ，D 正确． 答案 BD。