矢量分析与场论

矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。

而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。

通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。

第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。

然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。

如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。

变矢量是矢量分析研究的重要对象。

本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。

§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。

1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。

在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。

即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。

本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。

这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。

同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。

矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。

证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。

证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。

第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。

无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。

物理量数值的无穷集合称为场。

如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。

场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。

如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。

本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。

1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。

一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。

实际上，所有实数都是标量。

一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。

例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。

一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。

在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。

空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。

从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。

矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。

矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。

场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。

本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。

矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。

在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。

在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。

通常将矢量用粗体字母如A表示。

矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。

矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。

在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。

矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。

两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。

点积还满足交换律和分配律。

矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。

矢量分析与场论一、标量场的梯度，∇算符1、场的概念(The Concept of Field )场是用空间位置函数来表征的。

在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。

如果物理量是标量，并且空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。

如：电势场、温度场等。

如果物理量是矢量，且空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。

如：电场、速度场等。

若场中各点物理量不随时间变化，称为稳定场，否则，称为不稳定场。

2、方向导数(Directional Gradient )方向导数是标量函数)(x ϕ在空间一点沿任意方向l相对距离的变化率，它的数值与所取l 的方向有关。

一般来说，在不同的方向上lP l∂∂ϕ的值是不同的，但它并不是矢量。

如图所示，l为场中的任意方向，P 1是这个方向线上给定的一点，P 2为同一线上邻近的一点。

l ∆为p 2和p 1之间的距离，从p 1沿l到p 2的增量为)()(12p p ϕϕϕ-=∆若下列极限lp p l l l ∆-=∆∆→∆→∆)()(lim lim1200ϕϕϕ(1.1) 存在，则该极限值记作)(x ϕ，称之为标量场lP l∂∂ϕ在p 1处沿l的方向导P 1P 2l数。

3.梯度（Gradient ）在某点沿某一确定方向取得)(xϕ在该点的最大方向导数。

n nˆgrad ∂∂=∇=ϕϕϕ (1.2) l l n n n l ⋅=⋅∂∂=∂∂=∂∂ϕϕϕθϕgrad ˆcos (1.3)4、∇算符（哈密顿算符）(Hamilton Functor )∇算符既具有微分性质又具有方向性质。

在任意方向l上移动线元距离dl ，ϕ的增量ϕd 称为方向微分，即l d dl ld ⋅∇=∂∂=ϕϕϕ (1.4)显然，任意两点ϕ值差为⎰⋅∇=-B AA B l dϕϕϕ (1.5)二、矢量场的散度、旋度、高斯定理和斯托克斯定理1、通量(Fluid )一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场v 方向通过s d的流量是dN ，而dN 是以ds 为底，以v cos θ为高的斜柱体的体积，即s d v ds v dN⋅==θcos(1.6)称为矢量v 通过面元s d的通量。

矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。

而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。

通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。

第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。

与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。

2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。

3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。

如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。

这一点在几何和力学上都很重要。

4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。

因此单位矢量与其导矢互相垂直。

比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。

（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。

第一章矢量分析与场论（1）1.什么是场？重力场、温度场、电磁场、……在许多科学问题中，常常需要研究某种物理量（如温度、密度、电位、力等等）在某一空间区域的散布和转变规律。

为此，在数学上引入了场的概念。

若是在某一空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确信的值，那么称在此空间里确信了该物理量的一个场。

如教室中每一点都对应一个确信的温度，教室中确立一个温度场。

地球周围空间任一点对应一个重力加速度值，在此空间就存在一个重力场。

•从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。

比如：T是温度场中的物理量，T 确实是温度场•从物理角度：场是遍及一个被界定的或无穷扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。

场的分类：按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。

温度场、密度场等是数量场矢量场：描述场的物理量是矢量。

力场、速度场等为矢量场。

按场量与时刻的关系分：静态场：场量不随时刻发生转变的场。

动态场：场量随时刻的转变而转变的场。

动态场也称为时变场。

数量场的等值面一样地，数量场中各点处的数量u是位置的函数，在直角坐标系中，是点的坐标x ，y ，z 的函数，即：),,(z y x u u =确实是说，一个数量场能够用一个数性函数来表示。

场存在的空间即为其概念域。

尔后，咱们总假定那个函数单值、持续且一阶可导。

在数量场中，使函数u 取相同数值的所有点所组成的曲面称为该数量场的等值面。

如温度场的等温面，电场的等位面等。

显然，数量场的等值面方程为：c z y x u =),,(（常数）2c =1c u =3c =给定不同的常数c ，就取得不同的等值面。

如图，c 取遍所有可能的值时，这族等值面就充满数量场所在的空间，而且这族等值面两两互不相交。

因为数量场中的每一点),,(0000z y x M 都有一个等值面),,(),,(000z y x u z y x u =通过，而且由于函数u 为单值，故一个点只能在一个等值面上。

附录一 矢量分析与场论概念一．标量场和矢量场1.1 概念标量：只有大小而没有方向的量。

如电压U 、电荷量Q 、磁通ψ、面积S 等。

矢量：具有大小和方向特征的量。

如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。

标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。

例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。

矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。

例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。

1.2 矢量描述矢量A 可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。

单位矢量用a 表示，其绝对值（大小或长度）为1。

在矢量A 方向上的单位矢量可用下式确定：||A A a A =用笛卡儿坐标系x 、y 、z 轴的单位矢量i 、j 、k ，可以将任意一个矢量表示为分量形式： k j i A z Y X A A A ++= 根据各分量含义，矢量的绝对值定义为： 222z y x A A A ++=A1.3 场的"场图"表示研究标量和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。

对标量场Ф(r )，用等值面图表示。

空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。

显然，等值面的方程式为Ф(r )=常数值 。

对矢量场F (r )，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。

力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即d l ⨯F (r )=0, 称为力线的微分方程式。

式中d l 为力线切向的一段矢量。

在直角坐标内，力线的微分方程式可写成：(r)F (r)F (r)F z y x dz dy dx == 按统一规则，绘制出力线，则既能根据力线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处力线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。