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第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t和变矢A，如果对于t在某个范围D内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量t的矢量函数，记作A=A)(t（1.1.1）并称D为矢函数A的定义域。
在Oxyz直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A{})(),(),()(tAtAtAtzyx=（1.1.2）其中)(),(),(tAtAtAzyx都是变量t的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A)(t的起点取在坐标原点。
这样当t变化时，A)(t的终点M就描绘出一条曲线l（图1.1），这样的曲线称为矢函数A)(t的矢端曲线，也称为矢函数A)(t的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
愿点O也称为矢端曲线的极。
由于终点为),,(zyxM的矢量OM对于原点O的矢径为zkyjxiOMr++==当把A)(t的起点取在坐标原点时，A)(t实际上就成为其终点),,(zyxM的矢径，因此)(tA的三个坐标)(),(),(tAtAtAzyx就对应地等于其终点M 的三个坐标zyx,,，即)(),(),(tAztAytAxzyx===（1.1.3）此式就是曲线l的参数方程。
矢量分析与场论讲义——高教社出版第3版（谢树艺）矢量分析与场论第一章矢量分析一内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dt dt ''-?=?A B B A B Adt dt ''+?=?A B B A B A前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
矢量分析与场论习题11．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 ra ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r-+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。
4习题 1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 x acost, y bsint2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。
2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面222x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。
2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚动， 所描曲线的矢量方程。
uuuur解：设 M 点的矢径为 OM rxi yj ， AOC与 x 轴的夹角为uuuur uuur ；因 OM OC uuuurCM 有r xi yj 2acosi 2asin j acos 2 asin 2则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acosacos2 )i (2asinasin2 )j4．求曲线 x t,y2,z 2t 3的一个切向单位矢量解：曲线的矢量方程为ti tdr则其切向矢量为 dt2t j模为|d d r t| 1 4t 24t 4dr 于是切向单位矢量为dt/ | d drt6．求曲线 x asin 2t,y23t 3k2t 2k2t2tj 2t 2k21 2t 2asin 2t,z acost,在 t处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r asin2ti asin2tjacostk求动圆上一定点 Mdr asin2ti 2acos2tj asintk dt7. 求曲线 x t 2法平面方程。
解：由题意得 在 t 2 的点 dr dt t 4ai a 2k 22 1, y 4t 3,z 2t 2 6t M (5,5, 4), 曲线矢量方程为 rM 处，切向矢量 dr dt [2tit2在对应于t(t 21)i2 的点 M 处的切线方程和(4t 3)j(2t 26t)k ,4j (4t 6)k] t24i 4j 2kx5于是切线方程为4,即z4于是法平面方程为 2(x5) 2(y 5) (z 4) 0 ，即2x 2y16 0解：曲线切向矢量为dr i dt2tj 3t 2k ， ⑴平面的法矢量为 n i2j k ，由题知ni2tj 3t 2k i 2j k 1 4t 3t 2 0得 t 1,1。
习题1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin ==()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。
解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为2θπ-；因OM OC CM =+有()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+-则.2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-=故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-=4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++=则其切向矢量为k t tj i dtdr 222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 ra ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。
解：曲线切向矢量为dri tj t k dtτ223==++， ⑴ 平面的法矢量为n i j k 2=++，由题知()()i tj t k n i k t t j τ221432230=+⋅++⋅+++==得t 11,3=--。
将此依次代入⑴式，得k j i k j i t t 2719131|,|311-+-=-+-=-=-=ττ故所求点为()1111,11,,,3927⎛⎫---- ⎪⎝⎭习题2 解答1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
()1u Ax By Cz D1;=+++()2u arc=解：()1场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0+++=外的空间。
等值面为01111=-+++=+++C D Cz By Ax C D Cz By Ax 或为任意常数）（01≠C ，这是与平面Ax By Cz D 0+++=平行的空间。
()2场所在的空间区域是除原点以外的z x y 222≤+的点所组成的空间部分。
等值面为()z x y c x y 222222sin ,0=++≠，当c sin 0≠时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当c sin 0=时，是除原点外的xOy 平面。
2．求数量场x y u z22+=经过点()M 1,1,2的等值面方程。
解：经过点()M 1,1,2等值面方程为x y u z 22221112++===，即z x y 22=+，是除去原点的旋转抛物面。
3．已知数量场u xy =，求场中与直线x y 240+-=相切的等值线方程。
解：设切点为()x y 00,，等值面方程为xy c x y 00==，因相切，则斜率为 2100-=-=x y k ，即002y x = 点()x y 00,在所给直线上，有x y 00240+-=解之得y x 001,2==故2=xy4．求矢量222A xy i x yj zy k =++的矢量线方程。
解 矢量线满足的微分方程为 A dr 0⨯=， 或dx dy dzxy x y zy222== 有.,zdzx dx ydy xdx == 解之得),(,212122为任意常数C C xC z C y x ⎩⎨⎧==- 5.求矢量场zk y x j y i x A )(22+++=通过点M )1,1,2(的矢量线方程。
解 矢量线满足的微分方程为.)(22z y x dzy dy x dx +==由12211C y x ydx x dx +==得， 按等比定理有,)()(22zy x dzy x y x d +=--即.)(z dz y x y x d =--解得.2z C y x =- 故矢量线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-+=zC y x C y x 21,11又)1,1,2(M 求得1,2121=-=C C故所求矢量线方程为.2111⎪⎩⎪⎨⎧=--=z y x y x习题3 解答1．求数量场2322u x z y z =+在点()2,0,1M -处沿l xi xy j z k 2423=-+的方向导数。
解：因()MMlxi xy j z k i k 242343=-+=+，其方向余弦为.53cos ,0cos ,54cos ===γβα在点)1,0,2(-M 处有,1223,04,422223=+=∂∂==∂∂-==∂∂y z x zu yz y u xz x u 所以4125300)4(54=∙+∙+-∙=∂∂l u 2．求数量场223u x z xy z =-+在点()1,1,1M -处沿曲线23,,x t y t z t ==-=朝t 增大一方的方向导数。
解：所求方向导数，等于函数u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点M 所对应的参数为1=t ,从而在点M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为33,22,1121==-=-====t Mt MMt dtdz tdtdy dtdx ，其方向余弦为.143cos ,142cos ,141cos =-==γβα又5)23(,1,7)6(2=+=∂∂-=-=∂∂=-=∂∂MMM MM Mz x zu x yu y xz xu 。
于是所求方向导数为14241435142)1(1417)cos cos cos (=⨯+-⨯-+⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂MMz u y u x u lu γβα3．求数量场23u x yz =在点()2,1,1M -处沿哪个方向的方向导数最大？ 解： 因()uu l u lθ0grad grad cos ∂=⋅=∂， 当θ0=时，方向导数最大。
,1244)32()(u grad 22323k j i k yz x j z x i xyz k z u j y u i x u MMM+--=++=∂∂+∂∂+∂∂=即函数u 沿梯度k j i M 1244u grad +--=方向的方向导数最大 最大值为114176ugrad ==M。
4.画出平面场)(2122y x u -=中2,23,1,21,0=u 的等值线，并画出场在)2,2(1M 与点)7,3(2M 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u 增大的方向。
解：所述等值线的方程为：,4,3,2,1,02222222222=-=-=-=-=-y x y x y x y x y x 其中第一个又可以写为0,0=+=-y x y x 为二直线，其余的都是以Ox 轴为实轴的等轴双曲线（如下图,图中,u grad 11M G =,u grad 22M G =）由于,u yj xi grad -= 故,22u grad 1j i M -=,73u grad 2j i M -=由图可见，其图形都符合所论之事实。
5．用以下二法求数量场u xy yz zx =++在点()1,2,3P 处沿其矢径方向的方向导数。
()1 直接应用方向导数公式；()2 作为梯度在该方向上的投影。
解：()1点P 的矢径,32k j i r ++=其模.14=r 其方向余弦为.143cos ,142cos ,141cos ===γβα又3)(,4)(,5)(=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂P PP PP Py x zuz x yuz y xu所以。
1422143314241415)cos cos cos (=⨯+⨯+⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂P Pz u y u x u l u γβα()2,345)(ugrad k j i k z u j y u i x u PP++=∂∂+∂∂+∂∂= .1431421410k j i r r r ++==故。
1422143314241415u grad 0=⨯+⨯+⨯=∙=∂∂r lu P P6，求数量场z y x xy z y x u 62332--++++=在点)0,0,0(O 与点)1,1,1(A 处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0？解：,)66()24(32u k z j x y i y x grad -+-++++=）（ ,036u grad ,623u grad k j i k j i A O ++=--=其模依次为：53036,7)6()2(3222222=++=-+-+ 于是O u grad 的方向余弦为.76cos ,72cos ,73cos -=-==γβα A u grad 的方向余弦为.0cos ,51cos ,52cos ===γβα求使0u =grad 之点，即求坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=++066,024,032z x y y x 之点，由此解得1,1,2==-=z y x 故所求之点为).1,1,2(-7．通过梯度求曲面422=+xz y x 上一点)3,2,1(-M 处的法线方程。
解：所给曲面可视为数量场xz y x u 22+=的一张等值面，因此，场u 在点M 处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即,222)22(u grad 2k j i xk j x i z xy MM ++=+++=故所求的法线方程为.231221-=+=-z y x8．求数量场22352u x y z =+-在点()1,1,3M 处等值面朝Oz 轴正向一方的法线方向导数u n∂∂。
