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3
二、无穷小的性质
定理 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及是 当x 时 的两个无穷小, 0, N 1 0, 当 | x | N 1时, 恒有 | | ; 2 N 2 0, 当 | x | N 2时, 恒有 | | . 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 | x | N时, 恒有 | | | | | | , 2 2 0 ( x )
于是
设 f ( x ) A ( x ),
, 其中A是常数, ( x )是当x x0时的无穷小
| f ( x ) A || ( x ) |
0, 0,当0 | x x0 | , 恒有
| ( x ) |
lim f ( x ) A. 即 | f ( x ) A | . x x
第四节 无穷小与无穷大
无穷小(infinitely small)
无穷大(infinitely great)
无穷小与无穷大的关系
小结 作业
第一章 函数与极限
1
无穷小与无穷大
一、无穷小的概念
1. 定义
若f ( x )当x x （或 x )时的极限为0，则称f ( x ) 0
简称 无穷小. 为当x x （或 x )时的 无穷小量, 0
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三、无穷小与函数极限的关系
定理
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ), x x
0
其中( x )是当x x0时的无穷小 .
证
设 xlim x
f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A
0
0, 0, 当0 | x x0 | , 恒有
使得当 0 | x x0 | (或 | x | X ), 恒有
| f ( x ) |
则称f ( x )当x x0 (或x )时的无穷小 , 记作
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
注
1)一个函数是否为无穷小，与自变量的变化 过程有关 2) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; 3) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
1
1
x
1 1 当0 x 1 时, 有 M . lim . x 1 x 1 x 1
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五、无穷小与无穷大的关系
定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
x ห้องสมุดไป่ตู้x0
证 设 lim f ( x )
1 此时对 M , 0, 使得当 0,
则称f ( x )当x x0 (或x )时的无穷大 ,
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ). 记作 x x
0
x
特殊情形: 正无穷大,负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
M
M
,
当x x0时, u 为无穷小.
6
无穷小与无穷大
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论3 在同一过程中,有极限的变量与无穷小 的乘积是无穷小; 推论4 无穷小除以极限存在且不为零的变量 仍是无穷小
7
例
1 求 lim x sin . x0 x
x x0 ( x )
定义
13
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
( 2) 切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
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无穷小与无穷大
又设是当x x0时的无穷小,
0, 2 0,使得当0 | x x0 | 2时, 恒有 | | . 取 min{ 1 , 2 }, 则当 M 0 | x x0 | 时, 恒有 | u | | u | | |
1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
0 x x0 时,有 f ( x ) M ,即 1 . f ( x)
1
17
无穷小与无穷大
定理
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
0
1 , 0,使得当 M 0, 此时对 M 1 0 x x0 时,有 f ( x ) , 由于 f ( x ) 0, M 1 从而 M. f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x) 意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于 无穷小的讨论.
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反 之, 设 lim f ( x ) 0,且 f ( x ) 0. x x
例 设 lim f ( x ) , 且 lim g ( x ) A, A 0 .
x x0 x x0
证明 lim f ( x ) g( x ) .
x x0
证 由无穷大与无穷小的关系，
1 只需证明 是无穷小。 f ( x ) g( x ) 1 1 1 当x x0时, 为无穷小， 极限为 ， f ( x) g( x ) A 1 1 1 从而 也是无穷小. f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
故 f ( x ) g ( x )是无穷大。
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六、小结
k N , 使xk 2k
M,
所以 x 时, f (x) 不是无穷大!
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1 例 证明 lim x 1 x 1
y
y 1 x 1
解出| x 1 |
O
1 M, 证 M 0, 要使 x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
无穷大.
1 如, 当x 0时, 函数 , cot x 是无穷大; x
当x 时,函数x 2 , x 3 是无穷大.
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定义 M 0(不论它多么大 ), 0 (或X 0),
使得当 0 | x x0 | (或 | x | X ),恒有
| f ( x ) | M
类似可证明 x 的情形.
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0
定理的意义
1、将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）
2、给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式 f ( x) A， 误差为 ( x )
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无穷小与无穷大
四、无穷大
当x x （或 x )时,对应的函数值的绝对值 f ( x ) 0 无限增大，则称f ( x )为当x x （或 x )时的 0
如, 当x 0时, 函数sin x是 无穷小; sin x 当x 时,函数 ; 是无穷小 x 当x 2时, 函数x 2是无穷小 ;
( 1) n 当n 时, 数列{ }是无穷小 . n
当x 1时,
皆非无穷小.
2
定义 0(不论它多么小 ), 0 (或X 0),
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1.主要内容: 无穷小、无穷大及其性质、关系
2.几点注意: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
3.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
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无穷小与无穷大
作业
习题1-4 (41页) 2.(2) 3. 4. 5. 6.
解
lim x 0.
x 0
x 0时，x是无穷小. 1 1 又 sin 1, 即 sin 是有界函数. x x 1 由性质2， x sin 仍然是无穷小. x 1 lim x sin 0. x 0 x 1 2 如,当x 0时, x arctan 是无穷小. x
21
2
4
无穷小与无穷大
注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 1 但n个 之和为1 如, n 时, 是无穷小， n n
不是无穷小.
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无穷小与无穷大
定理
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数u在 U ( x0 , 1 )内有界, 则M 0,
使得当 0 | x x0 | 1时, 恒有 | u | M .
x (, )时,y x sin x 是无界函数, 但不是x 时的无穷大.
证： (1) M （无论它多么大） 0 ,
2 于是y( xk ) xk sin xk 2k M 2
所以 x (, )时， f (x) 是无界函数!
(2) 取 M 0 1，对正数X，存在k N ，使得 xk 2k X，而f ( xk ) 2k sin(2k ) 0 M 0
| f ( x ) A | 也即 | ( x ) |
则有 lim ( x ) 0, f ( x ) A ( x ).
x x0
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定理
其中( x )是当x x0时的无穷小 .
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
