无穷小与无穷大教学设计

§ 无穷小和无穷大教学过程： 一、引入新课：前面我们学习了极限的概念及其运算法则，利用几个较简单的函数，可求出很多函数的极限。

其中有一类函数的地位比较重要，它们是极限为0的函数，如 ,0lim 0=→x x ,0sin lim 0=→x x )23(lim 21+-→x x x等。

我们称这类函数为在某一变化过程中的无穷小量。

二、讲授新课：1、无穷小及其性质： ⑴ 定义：若函数f （）在的某种变化趋势下以0为极限，则称f （）为在这种趋势下的无穷小量，简称为无穷小量。

★例如： ,01lim=∞→x x ,0arctan lim 0=→x x ,02lim =-∞→xx ,0lg lim 1=→x x 012lim22=-+-→x x x x 等。

★强调的变化趋向，趋向变化，则函数不一定是无穷小，如： ,01lim=∞→x x 而 ,21lim 21=→x x ,02lim =-∞→x x 而 .2lim +∞=+∞→xx★与很小的正数的概念要区分开来。

★0是无穷小量。

⑵ 性质：定理1：若函数f （）在的某一变化趋势是的极限为A ，则必有f （）=A α（）或y=A α ，其中α=α（）为在这个变化趋势中的无穷小；反之若上式成立，则y=f （）在此变化趋势中的极限为A 。

证明：（略）。

定理2：有限个无穷小的代数和仍为无穷小量。

证明：（略）。

定理3：有界函数与无穷小的乘积仍无穷小量。

证明：（略）。

推论1：有限个无穷小量之积仍为无穷小量。

推论2：常数与无穷小量之积仍为无穷小量。

★举例：.0cos lim=∞→xxx2、无穷小量的阶的比较：⑴ 定义：设α（），β（）均为在某一的变化趋势下的无穷小量，若： ① ,0)()(lim=x x βα则称α（）是比β（）高阶的无穷小； ②)0(,)()(lim≠=c c x x βα，则称α（）是和β（）同阶的无穷小； 特别地，若c=1，则称α（）是和β（）等价的无穷小，记为α～β。

高一数学课程教案函数的极限的计算与应用无穷大与无穷小函数的极限的计算与应用——无穷大与无穷小在高一数学课程中，函数的极限是一个重要的概念。

它描述了函数在某一点或者某一区间内的变化趋势，对于数学问题的求解和实际应用都具有重要意义。

本文将探讨函数的极限的计算方法以及在实际问题中的应用。

一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的取值将趋于确定的常数或者无穷大、无穷小。

在数学中，我们用一些特定的记号来表示这种趋势。

下面是一些常用的记号及其含义：1. 有限极限：如果函数f(x)当x趋近于某一特定值时，其取值趋于一个常数L，我们可以表示为：lim(x→a) f(x) = L这里lim表示"极限"，x→a表示"x趋近于a"，f(x)表示函数f对自变量x的取值，L表示最后趋于的常数。

2. 无穷大极限：当函数f(x)的取值在某一点或者某一区间趋于无穷大时，我们用以下表示：lim(x→a) f(x) = +∞ 或者lim(x→a) f(x) = -∞这说明函数f(x)在自变量趋近于某一特定值时，函数值趋于正无穷或者负无穷。

3. 无穷小极限：如果函数f(x)在某一点或者某一区间内变化趋势逐渐接近于零，我们称它为无穷小。

我们可以表示为：lim(x→a) f(x) = 0二、函数极限的计算方法计算函数极限的方法有很多，下面介绍几种常用的方法。

1. 代入法：当函数在某一点连续时，可以直接代入该点的函数值来计算函数的极限。

例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1，当x趋近于2时，我们可以直接将x代入函数，得到：lim(x→2) (x^2 + 2x + 1) = 2^2 + 2×2 + 1 = 9所以，当x趋近于2时，函数f(x)的极限为9。

2. 分解因式法：对于一些复杂的函数，可以通过将其分解因式来计算极限。

例如，对于函数f(x) = (x+2)(x-1)/(x-1)，当x趋近于1时，我们可以将函数分解因式，得到：lim(x→1) [(x+2)(x-1)/(x-1)] = lim(x→1) (x+2) = 3所以，当x趋近于1时，函数f(x)的极限为3。

《高职工科应用数学》教案6无穷小与无穷大教学目标：1.了解无穷小与无穷大的概念；2.掌握无穷小与无穷大的性质和运算规律；3.掌握应用无穷小与无穷大解决实际问题。

教学重点：1.无穷小的定义和性质；2.无穷大的定义和性质；3.无穷小与无穷大的运算规律。

教学难点：1.复杂问题中的无穷小与无穷大的运算；2.如何应用无穷小与无穷大解决实际问题。

教学准备：教材、黑板、彩色粉笔、课件、习题集等。

教学过程：一、引入（5分钟）教师通过给出一组数列或函数，引出无穷小与无穷大的概念，并与学生共同总结无穷小与无穷大的定义和性质。

二、理论讲解（15分钟）1.无穷小的定义和性质：a.定义：当自变量趋于一些值时，如果函数值也趋于零，则称该函数为无穷小。

b.性质：i.无穷小的性质1：无穷小与有界量的积仍为无穷小；ii. 无穷小的性质2：无穷小与有穷数的和仍为无穷小；iii. 无穷小的性质3：无穷小的高阶无穷小，与低阶无穷小相比可以忽略不计。

2.无穷大的定义和性质：a.定义：当自变量趋于一些值时，如果函数值无限增大或无限减小，则称该函数为无穷大。

b.性质：i.无穷大的性质1：无穷大与有界量的积仍为无穷大；ii. 无穷大的性质2：无穷大与有穷数的和仍为无穷大；iii. 无穷大的性质3：无穷大的高阶无穷大，与低阶无穷大相比可以忽略不计。

三、运算规律（15分钟）1.无穷小与无穷小的运算：a.无穷小的加减运算：无穷小与无穷小相加或相减的结果仍为无穷小，且同阶无穷小相加或相减可以得到更高阶的无穷小；b.无穷小的乘除运算：无穷小与无穷小相乘或相除的结果需要根据具体问题来确定。

2.无穷大与无穷大的运算：a.无穷大的加减运算：无穷大与无穷大相加或相减的结果需要根据具体问题来确定；b.无穷大的乘除运算：无穷大与无穷大相乘或相除的结果需要根据具体问题来确定。

四、应用实例（25分钟）教师通过讲解一些实际问题的解题方法，来展示如何应用无穷小与无穷大来解决实际问题，比如极限的计算、函数的渐近线等。

2.2 无穷小无穷大单元教学设计一、教案头单元教学学时4单元标题：无穷小无穷大第 3 次在整体设计中的位置授课班级略上课地点略能力目标知识目标素质目标?能够理解无穷小的概念教?能够应用无穷小性质计算某些函数极限?深刻思维能力学无穷小目?能够理解无穷大的概念?团结合作能力标无穷大?能够掌握无穷小和无穷大的倒数关系，?语言表达能力并相互求解任务 1无穷小概念任务 2阅读课本，学习无穷小性质及应用能任务 3学习无穷大概念，理解无穷大与无穷小关系力训求 lim x cos 1 2练案例 1任x 0x务11及案例 2案求 lim sin2x x x 例案例 3求 f ( x)x1在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大。

x - 1高等数学教材侯风波主编高等教育出版社教高等数学习题集张天德主编山东科技出版社学材高等数学应用205 例李心灿主编高等教育出版社料经济数学基础顾静相主编高等教育出版社二、教学设计教学方时间 步骤教学内容教学手段学生活动法分配1本单元学习目标：陈述板书 识记 5分钟（告知）无穷小，无穷大学生阅读，无穷小概念极限为零的函数叫做在该极限过程下的无穷小。

特别注意， 无穷小不知很小很小的数。

2例 下列函数在什么情况下是无穷小？（引入1 （ 1 ）y任务 1）x -1（ 2 ） y=2x-1（ 3 ）y 2xx（ 4 ）1y4无穷小性质（ 1）四条无穷小性质中最重要的是什么？a)有限个无穷小的代数和是无穷小b)无穷小与无穷小的积是无穷小 3c)常数与无穷小的积是无穷小（任务 2）d)有限个无穷小的积是无穷小（ 3）计算例 lim xcos 13x 0x学 生 阅读 自 主 教师提示分组研讨 15 分钟讨论教 师 启板书师生研讨 30 分钟发讲解例 lim x 3sin1x 0x例 lim1 sin 1xxx无穷大在某极限过程下，函数值的绝对值无限变大的函数叫做在该极限过程下的无穷大。

（ 1）无穷大就是很大很大的一个数吗？（ 2）无穷大与无穷小什么关系无穷大与无穷小是倒数关系。

第四节 无穷小与无穷大(Infinitely Small and Infinitely Great)教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量之间的关系，掌握它们的性质及无穷小的比较。

内 容：1. 无穷小与无穷大2. 无穷小的性质3. 无穷小的比较教学重点: 无穷小量和无穷大量的概念教学难点: 无穷小量和无穷大量有关性质，等价无穷小的应用。

教 具：多媒体课件教学方法: 启发式教学教学过程：1.引入新课:本节根据函数极限的两种特殊结果来给出无穷小和无穷大的定义2.教学内容：一、 无穷小与无穷大1. 无穷小的定义定义1当在给定的()0x x x →→∞或时，()x f 以零为极限，则称()x f 是()0x x x →→∞或下的无穷小量，简称无穷小，记作()()0lim 0(lim 0)x x x f x f x →→∞==或 例如, 函数36y x =-是2x →时的无穷小，而函数12y x=是x →∞时的无穷小。

注意(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆;(2)零是可以作为无穷小的唯一的数.例1 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小？()111y x =- ()224y x =- ()32x y = ()144xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭解 (1) 因为1lim 01x x →∞=-，当x →∞时，11x -为无穷小 (2) 因为()()22lim 240x x →-=，所以当2x →时，24x -为无穷小（3）因为lim 20xx →-∞=，所以当x →-∞时，2x 无穷小 (4) 因为1lim 04x x →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当x →+∞时，14x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为无穷小 2. 无穷大的定义定义2 如果0x x →(或x →∞)时，()x f 无限增大，则称()x f 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大量，简称无穷大，记作()0lim x x f x →=∞(或()lim x f x →∞=∞)。

无穷小与无穷大教学设计本节课是经济应用数学A课程中的一节，主要介绍无穷小与无穷大的概念和运算性质。

学生已经学过数列的极限函数的极限，具备一定的数学基础。

但是，对于无穷小与无穷大的概念和运算性质还存在一定的难度和不理解的情况。

因此，本节课的教学重点和难点都是无穷小的运算性质和比较。

在教学过程中，需要引导学生通过实际问题转化为数学问题，培养学生的创新意识和探索精神，提高学生的研究兴趣和自主研究能力。

四、教学方法与手段本节课采用讲授、讨论、实例演练等多种教学方法，以达到知识与技能的掌握和能力的培养。

在讲授中，通过引入实际问题，引导学生理解无穷小与无穷大的概念和运算性质。

在讨论中，引导学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。

在实例演练中，通过大量的例题练，让学生熟记常用的等价无穷小量，掌握等价无穷小替换定理求极限的方法。

五、教学过程1.引入实际问题，引导学生理解无穷小与无穷大的概念和运算性质。

2.复数列的极限函数的极限，进一步分析和总结极限概念，引导学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。

3.讲解无穷小与无穷大的定义，引导学生理解无限与有限的相对性。

4.讲解无穷小的运算性质，通过实例演练，让学生掌握无穷小的运算方法。

5.讲解无穷小的比较，通过实例演练，让学生掌握无穷小的比较方法。

6.总结本节课的知识点和方法，引导学生将所学知识应用到实际问题中。

六、教学反思本节课采用了多种教学方法，通过引入实际问题、讨论、实例演练等方式，让学生理解无穷小与无穷大的概念和运算性质，掌握无穷小的运算方法和比较方法。

但是，在教学过程中，有些学生对无穷小的概念和运算性质还存在一定的困难和不理解，需要在后续的教学中加强。

同时，在教学中，也需要更加注重培养学生的创新意识和探索精神，提高学生的自主研究能力和实际问题解决能力。