高数§1.4无穷小与无穷大例题04-2

则
为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为
C
当
时,
C 显然 C 只能是 0 !
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lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为 x x0
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0 , 0 , 当 0 x x0 时,有
证: 任给正数 M , 要使
只要取 1 , 则对满足
M
即 的一切 x , 有
所以 说明: 若
为曲线
则直线 x x0
的铅直渐近线 .
铅直渐近线
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定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f
(x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
f (x) A
f (x) A lim 0
x x0
对自变量的其他变化过程类似可证 .
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定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
(正数 X ) , 使对
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
(lim f (x) ). x
第一章
无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
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定义1 . 若
时, 函数
(或x )
为
时的无穷小 .
(或x )
例如 :

思考题
若 f ( x) > 0， lim f ( x) = A， 且
x→+∞
问 能 保 有A > 0的结 ？ 举 说 ： 否 证 明. 论 试 例 明
思考题解答
不能保证. 不能保证
1 例 f ( x) = x
∀x > 0,
1 有 f ( x) = > 0 x
1 lim f ( x) = lim = A = 0. x→+∞ x x→+∞
1 1 1 = ∞. 0 当 < x − 1 < δ = 时, 就有 > M. ∴lim x→1 x − 1 M x −1
1 y= x −1
x y 定义: 如果 lim f ( x) = ∞,则直线 = x0是函数 = f ( x)
x→x0
. 的图形的铅直渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
1 ∵lim = 0, x→∞ x 1 . ∴函数 是当x → ∞时的无穷小 x
(− (−1)n (−1)n ∵lim = 0, ∴数列 (− }是当 → ∞时的无穷小 { n . n→∞ n n
注意 （1）无穷小是变量 不能与很小的数混淆 不能与很小的数混淆; ）无穷小是变量,不能与很小的数混淆 （2）零是可以作为无穷小的唯一的数 ）零是可以作为无穷小的唯一的数.
式 f ( x) ≈ A, 误差为α( x).
3、无穷小的运算性质: 、无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 无穷小 证 设α及β是当 → ∞时的两个无穷小 x ,

蚌埠学院 高等数学
13
四、小结与判断题
注意：无穷小与无穷大是相对于过程而言的。 内容: 无穷小量和无穷大量及其倒数关系。 判断题： （1） 无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数； （2） 无界变量是无穷大. 作业：P41 2（2）、4（1）
17.09.2019
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14
谢谢你的阅读
知识就是财富 丰富你的人生
x2
M
17.09.2019
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8
取 m i,n }{ 因 , ,当 此 x 时 , M
2 M x2
所以，
2x lim

x2 x 2
注5：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是 无穷大量。
例３：证明函数 yxsinx在 (0,)是无界的，但 x 时，不是无穷大量。
第一章
一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量与无穷大量的关系 四、小结与思考判断题
17.09.2019
蚌埠学院 高等数学
1
一、无穷小量
1、定义：如果函数 f (x) 当 x→x0 (或x→∞) 时 的极限为零，那么，称函数 f (x) 为 x→x0 (或x→∞) 时的无穷小。
注1：不要认为无穷小量是一个很小很小的数；
比如 lim , lim
x x
x x
例2 证明
2x
lim

x2 x 2
证： x 2 ,取 1 ,x ( 3 , 1 ) 即 , x 2 1
M0, 2x 2 x 2 x2 x2 x2
要使
2x M x2
只须
2 M,也就 ,x是 22
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )

lim
lim
o
lim 1
o
1
因此 ~ .
必要性：设 ~ ，则
lim
lim
1
lim
1
0
因此 o ,即 o
定理5
设
~ 1，
~
1，且
lim
1 1
存在，则lim
lim 1 . 1
证
lim
lim
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1 lim 1
考察例子：当x 0时函数x与sin 1 的乘积x sin 1 的变化趋势.
x
x
lim x 0 x是当x 0时的无穷小.
x0
sin 1 1 sin 1 是有界函数.
x
x
当x 0时, x sin 1 是有界函数sin 1 与无穷小 x 的乘积.
x
x
0 x sin 1 x sin 1 x
例如 f (x) 1 是当x 0时的无穷大,记作lim 1 .
x
x0 x
f (x) ex是当x 时的无穷大,记作 lim ex +. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
例如
lim f (x) ，或 lim f (x) .
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim 1 , x x0
例
求
lim
x
x4 x3
5
解
因为 lim x
x3 x4
5
lim
x
1 x
5 x4
0
所以根据无穷大量与无穷小量的关系有
lim
x
x4 x3
5
例 求 lim( n 1 n) n

是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1

→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1

⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是

→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′

′

lim x2
x2
x4 2x 4
1 2
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
例6 计算 lim ( x2 x x) x
解 lim ( x2 x x) lim
x
x
x x2 x x
lim
1
1
x 1 x1 1 2
x2 x x2 1 x1 x 1 x1
11
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所以lim 1 . x1 x 1
y 1 x 1
1
铅直渐近线
5
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铃
❖铅直渐近线
如果 lim f (x) x x0
则称直线 x x0 是函数 yf(x)的图形
的铅直渐近线
❖水平渐近线
如果 lim f(x) A 则直线 yA称为函数 yf(x)的图形的 x
水平渐近线
y 1 x 1
ann bmm
ab0000
nm nm nm
10
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结束
铃
例5
计算
lim（
x2
x
1
2
12 x3
） 8
解
lim（ x2 x
1
2
12 x3
） 8
lim
x2
(x2 (x
2x 4) 12 2)(x2 2x 4)
lim x2
(x 2)(x 4) (x 2)(x2 2x 4)
当 xx0 时的无穷大 记为
lim f (x) . (形式记法,实际上极限不存在)
x x0
❖无穷大的精确定义
lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M

x0 x
t0 loga (t 1) t0 ln(1 t )
ex lim
1

1.
x0 x
e x 1 ~ x ( x 0)
例7
lim lim (1 x) 1
e ln(1 x ) 1
x0
x
x0
x

lim x0
ln(1 x
x)

.
(lim (1 x0
lim g( x)h( x).
例5
lim ln(1
x)

lim ln(1
1
x)x

ln(lim(1
1
x)x
)

ln e
1.
x0
x
x0
x0
ln(1 x) ~ x( x 0)
例6
ax 1 t
lim a x 1 lim
t
lim t ln a lna
x
x

lim
t0
cos t t2

1

lim
t0
t2 2
t2

1. 2
1
原式 e 2
1
.
e
解2.
lim(cos 1 )x2

x2 ln cos1
lim e x
lim x2 ln cos1
e x
x
x
x
x
lim x
x2
ln cos
1 x

lim x
ln[1
u, v连续时，uv 也连续
lim
x x0
u( x)v( x)

u( x0 )v( x0 )

x→+∞
它们都是无穷大量， lim f ( x )= +∞ ， lim g ( x )= −∞ ，它们都是无穷大量 ，
x→+∞
1 是无穷小量。 但 lim [ f ( x )+ g ( x )]= lim = 0 是无穷小量。 x→+∞ x→+∞ 2 x
3.无穷小量与无穷大量的关系
1 性质 6 若 lim X = ∞ ，则 lim = 0 ； X 1 反之， 反之，若 lim X = 0 ( X ≠ 0) ，则 lim = ∞ 。 X
两个无穷小的和或积仍然是无穷小， 两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小 的商却有多种可能性。 的商却有多种可能性。
例如， 都是无穷小， 例如，当 x → 0 时， x , 3 x , x 2 , sinx , 1− cosx 都是无穷小，
3x sin x 1− cos x 1 x2 而 lim =1 ， lim = 0 ， lim 2 = ∞ ， lim = 。 2 2 x→0 3 x x→0 x x→0 x x→0 x
性质 4 若 X ≤Y ， lim X = +∞ ，则 limY = +∞ ；
性质 5 若 lim X = +∞ ，则 lim( − X )= −∞ 。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？ 问 ： 两个无穷大量的和是否是无穷大量 ？
不一定。 答：不一定。 不一定
1 例如： ， g ( x ) = −2 x ， 例如 f ( x )= 2 x + 2x
（2）正无穷大量的定义 正无穷大量的定义
∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − xo < δ, 恒有 f ( x ) > G ⇔ lim f ( x ) = +∞ .

f ( x) A ( x)
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大 定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 1 1 称 为 x 0 时的无穷大 如 x 0时， ， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2） 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x

说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量 定义1 . 若 则称函数 例如 : 函数 函数 为当 函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。） 为当 时为无穷小;
时为无穷小;
为当 时为无穷小.
定义1. 若 则称函数 为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。 推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0

高等数学 Advanced Mathematics
例6 解
求 lim
x? ?
lim
x? ?
2x2 3x2
? ?
3. 1
2x2 3x2
? ?
3 1
?
lim
x? ?
2? 3?
3 x2 1 x2
lim (2 ?
3 )
?
x? ?
lim (3 ?
x2 1
?
)
2. 3
x? ?
x2
26
宁波职业技术学院数学教研室
例
lim ( x ? 1) ? 0, lim 1 ? ? .
x? 1
x? 1 x ? 1
18
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
训练：
当推出一种新的电子游戏程序时，其销售量与
时间的函数关系为
s(t )
?
200t t 2 ? 100
，t
为月份，
ห้องสมุดไป่ตู้
（1）请计算游戏推出后第6个月、第12个月和第三年的
?
200 ? 36 362 ? 100
?
5.1576
（2）随着时间的推移，该产品的长期销售应为时间t ? ??
时的销售量，即
lim
t? ??
200t t 2 ? 100
?
lim
t? ??
t
200 ? 100
?
0
t
上式说明当时间t ? ?? 时，销售量的极限为0，即购 买此游戏的人会越来越少，人们转向购买新的游戏。
(2) lim[ f ( x)]n ? [ lim f ( x)]n .

分析：M 0, x0 , yx0 M .
M 0, 取x0 M 1 , yx0 M 1 cosM 1 M 1 M
若函数 y x cos x当 x 时为无穷大，
由定义，对 M 0, X 0,当 x X时，均有 yx M .
但是，对M 0，X 0, 若取x0
yx0
故：
x1 x 2 1
(3)分子、分母极限都为零。（消除致零因子）
例5 求 lim x 2 x 2 x1 x 2 1
解
lim
x2
x
2
(x lim
1)( x
2)
lim
x
2
3
.
x1 x 2 1
x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1 2
21
附：多项式除法
消去致零因子，即进行除式为（x - a) 的多项式除法
x
x
无穷小的倒数是无穷大
19
有理分式的极限：
有理分式: P x Q x
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
a0 , b0 0
1.当x
x
时有理分式的极限：
0
(1)分母的极限不为零:
例3
Px Qx
a0 xn b0 x m
X 0, 使得当x X时,恒有 f x 成立, 则称f x当
当x 是的无穷小量.记为:lim f x 0. x
1
同样可以定义:
当x x0 0, x x0 0, x , x 时的无穷小.
如: lim x3 27 0, x3 27当x 3时为无穷小.
x3
lim
x
1 x
M
所以，u是当 x x0时的无穷小。

x x0
lim f ( x ) . ( lim f ( x ) ).
x
•讨论
1. 很大很大的数是否是无穷大? 2. 无穷大的精确定义如何叙述？
否
•提示 lim f ( x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M
lim f ( x ) M0 X0 当|x|>X 时有|f(x)|>M
f ( x) A
对自变量的其它变化过程类似可证 .
x x0
lim 0
6
下页
二、 无穷大 无穷大的定义
如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大。 记为：
x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
lim f ( x ) . ( lim f ( x ) ).
15
设 及 是当xx0时的两个无穷小 d10 d20
取d min{d1 d2}
下页
三、无穷小的性质(P42)
•定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
例如 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小
16
下页
三、无穷小的性质(P42)
•定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
•定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明 设函数 f 在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|d1}内有界 即 M0 使当0|xx0|d1时 有|f |M 又设是当xx0时的无穷小 即0 存在d20 使当0|xx0|d2时 有|| 取dmin{d1 d2} 则当0|xx0|d 时 有 |f ||f |||M 这说明f 也是当xx0时的无穷小
1 ( 2) lim f ( x ) 0, 且f ( x ) 0 lim . x x0 x x0 f ( x) ( x ) ( x )

am bn
为非负常数 )
Qm (x0 ) 0,
lim Pn (x) Pn (x0 ) . xx0 Qm (x) Qm (x0 )
Qm (x0 ) 0, Pn (x0 ) 0,
Qm (x0) 0, Pn (x0) 0,
lim Pn (x) . xx0 Qm (x)
目前可通过因式分解的方法处理,以后有更好的方法.
当
时,有
当
时,有
则 0, 取 min1 , 2 , 当 0 x x0 时, 有
<
2
2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
1
1
n
1
2
n
1
n
ln
2
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
xx0
u
例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 = 6. 6
1 6
例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),

则
则称函数
为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 C 当
时, C
显然 C 只能是 0 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim
f ( x) A
f ( x) A , 其中 为 x x0
第一章
无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系
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一、 无穷小
定义1 . 若 时, 函数 则称函数
(或x )
为
(或x )
时的无穷小 .
例如 :
函数 函数 当 时为无穷小;
当
函数
时为无穷小;
当 时为无穷小.
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定义1. 若
(或 x ) 时, 函数
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
Th1 Th2
思考与练习 P42 题1 , *3
P42 题*3 提示:
作业 P42 *2 (2) ; 4 (1) ; 8
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
, 则对满足
所以 说明: 若 为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 铅直渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系

例8 求limtan22x. x0 1cosx
解 当 x 0 时 ,1 cx o ~ 1 x s 2 , ta 2 x ~ n 2 x . 2
原 式 lim (2x)2/1x28
x 0
2
常用等价无穷小:
正确使用：
1x1~ x, 1coxs ~1x2,
2
2
注意
多用于乘除慎用于 加减
五、幂指函数的极限
ln1[(co1s1)] x
t0
cott2s112.
li(mc1)ox2sliemx2lnc1xosexlimx2lnc1xo x x x
lim lim lim x
x x
1 x2
1
原式e 2
1. e
t0
ln1[(cots1)] t2
解2.
xx
lim(aaa) 1 2
x 1由liAm1li(ma1xanx)n x x0 x0 nx
2.
若limf(x)l0,称f与g是同阶;无穷大
1. 若limf(x)0,称g是f的 xx0g(x)
高
阶
;无
g(x) 3.
若limf(x)1,称f与g是等价的; 无穷大 xx0 g(x)
xx0
定义7.6 (无穷大量阶的量化比较)
即以 1 为标.准 若lximfx(kx)l(l0,k0)称,f是k阶无. 穷大
例6
ax1t
lim a x 1 limt lim tln a ln a
x0 x
t 0loa(g t1) t 0ln 1 (t)
ex lim
1
1.
x0 x
ex1~x(x 0)
例7
lim lim (1 x ) 1