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1 ∵ lim = 0, x →∞ x
2.无穷大 2.无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大 定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
小),总存在正数 δ (或正数 X ),使得对于适合不等 式 0 < x x 0 < δ (或 x > X )的一切 x,所对应的函 数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) > M ,
三、
定理3
无穷小的运算性质
同一过程中，有限个无穷小的代数
和仍是无穷小. 证：设α及β是当x → ∞时的两个无穷小, 时的两个无穷小,
ε > 0, X 1 > 0, X 2 > 0, 使得
当 x > X 1时恒有 α <
ε
2
; 当 x > X 2时恒有 β < ;
2
ε
取 X = max{ X 1 , X 2 }, 当 x > X时, 恒有
但 y( xk ) = 2kπ sin 2kπ = 0 < M .
不是无穷大． 不是无穷大．
1 例 证明 lim = ∞. x →1 x 1
1 1 y= 证 M > 0. 要使 > M, x 1 x 1 1 1 , 取δ = , 只要 x 1 < M M 1 1 1 = ∞. 时, 就有 当0 < x 1 < δ = > M . ∴ lim x →1 x 1 M x 1
即： 无穷大的倒数为无穷小，非零无穷 无穷大的倒数为无穷小， 小的倒数是无穷大. 小的倒数是无穷大.
证 (2) lim f ( x ) = ∞ . 设
x → x0
∴ ε > 0, δ > 0, 使得当0 < x x0 < δ时 1 1 < ε. 恒有 f ( x ) > , 即 f ( x) ε 1 ∴ 当x → x0时, 为无穷小. f ( x)
x → x0 ( x→∞ )
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿将 lim f ( x) = ∞认为极限存在.
x → x0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大.
1 1 例如, 例如,当x → 0时,y = sin x x
1 1 y = sin x x
是一个无界变量,但不是无穷大. 是一个无界变量,但不是无穷大. 1 = ( k = 0,1,2,3,) (1) xk 取 π 2kπ + 2 π y( xk ) = 2kπ + , 当k充分大时 , y( xk ) > M . 无界， 无界， 2 1 ( k = 0,1,2,3,) (2) xk = 取 2kπ 当k充分大时,xk < δ , 充分大时,
第四节 无穷小与无穷大
一 无穷小与无穷大的概念 二 无穷小与无穷大和极限的关系 三 无穷小的运算性质
一、无穷小与无穷大的概念
1.无穷小 1.无穷小 极限为零的变量称为无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小
ε 多么小), 定义 1 如果对 于任意给 定的正数 (不论它 多么小),
总存在正数δ ( 或正数 X ),使得对于适合不等式 ),使得对于适合不等式
1 为无穷大. ∴ 当x → x0时, 为无穷大. f ( x)
1.将一般的极限问题转化为特殊的极限问 意义 1.将一般的极限问题转化为特殊的极限问 无穷小）； 题(无穷小）； 2.给出了函数 2.给出了函数f ( x )在 xo 附近的近似表达 式 f ( x ) ≈ A,误差为α ( x ).
注 关于无穷大的讨论, 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷 小的讨论. 小的讨论.
( 1) 设 lim f ( x ) = 0, 且 f ( x ) ≠ 0. x→ x
0
∴ M > 0, δ > 0, 使得当0 < x x0 < δ时 1 , 恒有 f ( x ) < M 1 > M. 由于 f ( x ) ≠ 0, 从而 f ( x)
| u α |=| u | | α |< M
ε
M
= ε,
为无穷小. ∴当x → x0时，u α为无穷小.
推论1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 推论3 常数与无穷小的乘积是无穷小. 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如， 例如，当 x → 0 时，sin , x arctan 都是无穷小 x 都是无穷小. x x
ε ε α ± β ≤ α + β < + = ε, 2 2
lim(α + β ) = 0.
注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小. 注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小.
1 是无穷小. 例如， n → ∞时， 是无穷小. n 个之和为1 不是无穷小. 但n个之和为1,不是无穷小.
定理4 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小. 证 设函数 u在U ( xo , δ 1 )内有界, 内有界,
定义 : 如果 lim f ( x ) = ∞,则直线x = x0是函数y = f ( x )
x → x0
的图形的铅直渐近线.
二、无穷小与无穷大和极限的关系
1.无穷小与函数极限的关系: 定理1 定理 1 lim f ( x) = A f ( x) = A + α( x),
x→x0
时的无穷小. 其中α(x)是当x → x0 时的无穷小 证 必要性 设 xlim f ( x ) = A, 令 α( x ) = f ( x ) A, →x
α ( x ) 是 x → x0 时无穷小.
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则有 lim α( x ) = 0, ∴ f ( x ) = A + α( x ).
x → x0
0
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
则称函数 f ( x ) 当 x → x 0 (或 x→ ∞ )时为无穷小 ,
记作
lim f ( x ) = (或 lim f ( x ) = ∞ ). ∞ x→ x x→∞
→
0
→∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = ∞ )
0 < x x0 < δ (或 x >X )的一切x ,对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) < ε,
那末 称函数 f (x)当x → x0 (或x → ∞)时为无穷小 记作
x→x0
lim f ( x) = 0 (或lim f ( x) = 0).
x→∞
例如, 例如,
∵ lim sin x = 0, ∴函数 sin x是当 x → 0时的无穷小. 时的无穷小. x →0
1 时的无穷小. ∴函数 是当x → ∞时的无穷小. x n ( ( 1) ( 1)n ∵ lim , = 0∴ 数列{ }是当n → ∞时的无穷小. 时的无穷小. n→ ∞ n n .无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数
0
则M > 0, δ 1 > 0, 使得当0 <| x x0 |< δ 1时
又设 α 是当 x → x0时的无穷小， 时的无穷小， ∴ ε > 0, δ 2 > 0, 使得当 0 <| x x0 |< δ 2 时 恒有 | α |<
恒有 | u |< M ,
ε
M
.
取δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当0 <| x x0 |< δ 时恒有
x → x0 x → x0
x → x0
2. 无穷小与无穷大的关系
定理2 (1)若 lim f ( x ) = 0, ( f ( x ) ≠ 0), 则
x →
1 lim = ∞. x → f ( x ) (2)若 lim f ( x ) = ∞, 则
x →
1 lim = 0. x → f ( x )
