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高数 无穷小与无穷大

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高数1-5,6无穷大与无穷小

高数1-5,6无穷大与无穷小
( x→x0 −0) ( x→x0 +0)
x→x0
3
x
8
无穷大与无穷小的关系: 无穷大与无穷小的关系: 定理2: 定理2: 在自变量的同一变化过 f , 如果 ( x)为无穷大 程中， 程中， 1 , f , f ; 则 为无穷小 反之 且如果 ( x)为无穷小且 ( x) ≠ 0, f ( x) 1 . 则 为无穷大 f ( x)
0 , ∃δ > 0, 使得当 < x − x0 < δ时 恒有 f ( x) < ε 成立, 成立 则称 ( x) x → x0时为无穷小记作: f 当 ,记作 lim f ( x) = 0
无穷小2: 无穷小2: 设函数 ( x) x大于某一正数时有定义如果 ε > 0, ∀ f 当 , x , 成立, f 当 ∃X > 0, 使得当 > X时 恒有 f ( x) < ε 成立 则称 ( x)
x2 −1 12 − 1 lim 2 = lim 2 =0 x →1 x x →1 1 + 1 +x
由无穷大与无穷小的关系，知道原极限不存在（ 由无穷大与无穷小的关系，知道原极限不存在（无穷 大）， 故： (3)分子 分母极限都为零。（消除致零因子） 分子、 。（消除致零因子 (3)分子、分母极限都为零。（消除致零因子） x2 + x − 2 例 5 求 lim x →1 x2 −1 解
x→x0
.记为:lim f ( x) = 0. 当x → ∞是的无穷小量 记为 x→∞
2
同样可以定义: 同样可以定义 . 当x → x0 − 0, x → x0 + 0, x → −∞, x → +∞时的无穷小
lim x3 − 27 = 0, ∴x3 − 27当 → 3 x . 时为无穷小 如: x→3 1 lim = 0, ∴ 1 当 → ∞时为无穷小 x . x→∞ x x π lim − arctan x = 0,∴ f ( x)当x → +∞时为无穷小 . x→+∞ 2

大一高数极限知识点总结

大一高数极限知识点总结

大一高数极限知识点总结一、定义和性质高等数学中，极限是一种重要的概念，被广泛应用于微积分和数学分析。

理解和熟练掌握极限的定义和性质对于学习高等数学至关重要。

1. 无穷小量和无穷大量在研究极限时，无穷小量和无穷大量是两个常用的概念。

2. 极限的定义设函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当 x 由点 x0 接近时，不等式 0 < |x-x0| < δ 总是成立，那么就称函数 f(x) 在点 x0 处极限存在，记为lim┬(x→x0)⁡〖f(x)=A〗。

3. 极限的性质极限具有一系列重要的性质，包括唯一性、四则运算性质、和函数复合性质等。

二、极限的计算方法掌握极限的计算方法是学好高等数学的关键之一。

1. 用直接代入法计算极限当函数在极限点附近有定义时，可以通过直接将极限点代入函数来计算极限。

2. 用夹逼准则计算极限如果一个函数在某个点的附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限都为 A，那么待求函数的极限也是 A。

3. 分段函数的极限计算对于分段函数，我们可以分别计算每一段的极限，然后综合起来得到整个函数的极限。

三、常见的极限在高等数学中，有一些常见的极限形式是我们必须掌握的。

1. 无穷大与无穷小当 x 趋向于正无穷或负无穷时，函数 f(x) 的极限可能为无穷大或无穷小。

2. 0/0 型极限当直接代入法计算极限时，如果得到的结果是 0/0 型，那么我们通常要进一步进行简化或者换一种计算方法来求解。

3. ∞/∞ 型极限当直接代入法计算极限时，如果得到的结果是∞/∞ 型，那么我们通常需要进行一些数学变换或者化简来求解。

四、高阶极限除了一阶极限外，高阶极限也是高等数学中的重要内容。

1. 一阶无穷小与高阶无穷小一阶无穷小是指函数 f(x) 在某一点处的极限等于 0，而高阶无穷小是指函数 f(x) 在该点的极限为 0，且比一阶无穷小更快地趋近于 0。

高数上1.5无穷小与无穷大

高数上1.5无穷小与无穷大

证
f
1 (x)
是无穷小量，所以
f
(
1 x)g(
x)
f
1 (x)
.
1 g( x)
是无穷小量 . 从而 f ( x)g( x)当 x x0 是
为无穷大量 .
例9
求
lim n
1 n2
2 n2
n n2
.
解 本题考虑无穷多个无穷小之和.
先变形再求极限
lim n
1 n2
2 n2
n n2
lim 1
n
2 n2
证
f
1 (x)
是无穷小量，所以
(1) 设 x x0 时，g( x)是有界量，f ( x)是无穷 大量，证明：f ( x) g( x)是无穷大量 .
(2) 设 x x0 时，| g( x) | M (M 是一个正的常数)，
f ( x) 是无穷大量 . 证明：f ( x)g( x) 是无穷大量 .
值函数 f ( x)都满足不等式 | f ( x) | M , 则称函数
f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大, 记作
lim f ( x) (或lim f (x) ).
x x0
x
特殊情形: 正无穷大, 负无穷大:
lim f ( x) ( lim f ( x) ).
x x0
x x0
例如, 构造如下数列变量：
x1
(n
)：
1,
1 2
，1 3
,
1 4
，，1 n
，
x1(n)是无穷小;
x2 (n)：
1,
2，1 3
,
1 ，，1 4n
，
x2(n)是无穷小;

高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则

高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则

lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b

高数无穷小、无穷大极限运算法则

高数无穷小、无穷大极限运算法则

y 1 sin 1 xx
(1) 取 xk
1
2k
2
y( xk ) 2k 2 ,
(2)
取
xk
1 2k
(k 0,1,2,3,)
当k充分大时, y( xk ) M . (k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2ksin 2k 0 M .
不是无穷大．
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,则有
(n )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当 yn
0且 B
0时,
lim
n
xn yn
A B
Hint: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
直接得出结论 。
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
(自证)
Note: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.

高数无穷大无穷小

高数无穷大无穷小

2
4
6
-5
-10
2．无穷大量的性质
(1)若limX A，limY ,则lim(X Y)
(2)若limX A 0，limY ,则lim(X Y) (3)若limX ，limY ,则lim(X Y) (4)若limX ，X Y,则limY (5)若limX ，则lim（ X ) (6)若limX ，则lim 1 0;
注意 ① 无穷小量是以0为极限旳变量；
② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是 无穷小量；
③ 讲一种函数是无穷小量，必须指出自变量 旳变化趋向；
④ 任何非零常数，不论其绝对值怎样小，都 不是无穷小量。
2.无穷小量的性质
性质 1：若 X , Y 都是无穷小量，则X Y, X Y 也是无穷小量；
注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。
（2） lim ( 3 1 ) . x1 1 x3 1 x
3
lim
x1
( 1
x
3
1 1
) x
lim
x1
3 1 x3
lim
x1
1 1
x
0
。错解
正解：
xlim1(13x3
1 1
x
)
lim
x1
2x 1
x2 x3
xlim1(1(1x)x(1)(2xxx)2 ) xlim112xxx2 1.
无穷小量旳比较
例3．求下列极限：
（1）求 lim x0
tan x sin x x2 arctan x
；
tan sin x
tan x(1 cos x)
解：
lim
x0
x2
arctan
x

专升本高数-第五讲 无穷小与无穷大


lim
lim
o
lim 1
o
1
因此 ~ .
必要性：设 ~ ，则
lim
lim
1
lim
1
0
因此 o ,即 o
定理5
设
~ 1，
~
1，且
lim
1 1
存在，则lim
lim 1 . 1
证
lim
lim
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1 lim 1
考察例子：当x 0时函数x与sin 1 的乘积x sin 1 的变化趋势.
x
x
lim x 0 x是当x 0时的无穷小.
x0
sin 1 1 sin 1 是有界函数.
x
x
当x 0时, x sin 1 是有界函数sin 1 与无穷小 x 的乘积.
x
x
0 x sin 1 x sin 1 x
例如 f (x) 1 是当x 0时的无穷大,记作lim 1 .
x
x0 x
f (x) ex是当x 时的无穷大,记作 lim ex +. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
例如
lim f (x) ，或 lim f (x) .
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim 1 , x x0
例
求
lim
x
x4 x3
5
解
因为 lim x
x3 x4
5
lim
x
1 x
5 x4
0
所以根据无穷大量与无穷小量的关系有
lim
x
x4 x3
5
例 求 lim( n 1 n) n

高数一 1-4 无穷小与无穷大


lim x2
x2
x4 2x 4
1 2
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
例6 计算 lim ( x2 x x) x
解 lim ( x2 x x) lim
x
x
x x2 x x
lim
1
1
x 1 x1 1 2
x2 x x2 1 x1 x 1 x1
11
首页
所以lim 1 . x1 x 1
y 1 x 1
1
铅直渐近线
5
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结束
铃
❖铅直渐近线
如果 lim f (x) x x0
则称直线 x x0 是函数 yf(x)的图形
的铅直渐近线
❖水平渐近线
如果 lim f(x) A 则直线 yA称为函数 yf(x)的图形的 x
水平渐近线
y 1 x 1
ann bmm
ab0000
nm nm nm
10
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结束
铃
例5
计算
lim（
x2
x
1
2
12 x3
） 8
解
lim（ x2 x
1
2
12 x3
） 8
lim
x2
(x2 (x
2x 4) 12 2)(x2 2x 4)
lim x2
(x 2)(x 4) (x 2)(x2 2x 4)
当 xx0 时的无穷大 记为
lim f (x) . (形式记法,实际上极限不存在)
x x0
❖无穷大的精确定义
lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M

高数课件 2-4无穷小无穷大

解
lim
lim lim 0 ， lim lim( 1) 0 1 1 ，
lim( 1) 0 1 1 ，所以（A） （C） （D）正确。 （B）反例：令 x 0 ，取 x2 , x 。
lim f ( x ) M 0,X 0,当x －X 时，有 f ( x) M x
lim f ( x) M 0, 0,当x0 x x0时, 有 | f ( x) | M x x
0
lim f ( x) M 0, 0,当x0 x x0 时, 有 | f ( x) | M x x
n
21-10
例 2.4.3
求 lim( x 1
1 x2 3 )。 x 1 x 1
1 x2 ，lim 3 ， 分析 由于 lim 属于极限不存 x 1 x 1 x 1 x 1
在 （这种类型的极限称作 型不定式） ， 不能利用极限 的四则运算进行计算。
两个概念不要混淆。零是惟一可作为无穷小的常数.
21-3
定理 2.4.1 在自变量的同一变化过程中， lim f ( x) A 的 充分必要条件是 f ( x) A ，其中 ( x) 为无穷小.
证 lim f ( x) A lim[ f ( x) A] 0 ， 记 f ( x) A ，则 . f ( x) A ，其中 lim 0 . 反之， lim f ( x) lim(A ) A lim A 0 A.
sin x 0 ，所以 sin x 为 x 0 时的无穷小； 例如 lim x 0
1 1 0 ，所以 是 x 时的无穷小. 又 lim x x x

高数无穷小无穷大


4 只要取 δ = , 则对满足 M
所以 说明: 说明 若 为曲线 则直线 x =x0 的铅直渐近线 . 渐近线
9
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 定理 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f (x) 1 为无穷大. . 为无穷小, 且 f (x) ≠ 0, 则 f (x) (x (自证)
第四节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
第一章
1
一、 无穷小
定义1 定义 . 若 为
(或 →∞) x
时 , 函数 记为
则称函数
(或 →∞) x lim f (x) = 0
x→x0
时的无穷小 . 无穷小
lim f (x) = 0
x→ ∞
∀ε > 0,
当 时, 有
6
二、 无穷大 定义2 任给 定义 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 正数 ① 则称函数 当
( x > X ) 的 x , 总有
( x →∞) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) = ∞ )
x→ ∞
若在定义中将 ①式改为 则记作
x→x0 ( x→ ) ∞
∃δ > 0, (X > 0),
0< x −x0 <δ ( x > X)
2
例如 : 函数 函数 当 函数 当 时为无穷小; 时为无穷小; 当 时为无穷小.
3
定义1. 定义 若 则称函数 为
(或
x →∞) 时 , 函数
(或
则
x →∞) 时的无穷小 . 无穷小
以外任何很小的常数 很小的常数都 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 显然 C 只能是 0 !
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y
f (x) ? 1
x?1
01
xx
x?1
C. 无穷小与无穷大的关系
在同一过程中 ,无穷大的倒数为无穷小 ;恒 不为零的无穷小的倒数为无穷大 .
证 设 lim f ( x ) ? ? . x? x0 ? ? ? ? 0, ? ? ? 0, 使得当 0 ? x ? x 0 ? ?时
恒有 f ( x ) ? 1 , 即 1 ? ?.
即 | f ( x ) ? A |? ?
? lim f ( x ) ? A x? x0
基本极限定理的意义
（1）将一般极限问题转化 为特殊极限问题 （无穷小）；
（2）给出了函数 f ( x ) 在 x0 附近的近似表
达式 f ( x ) ? A, 误差为 ? ( x ).
B. 无穷大（量）
考虑
? ? 1
证明：必要性（ ? ） ? lim f ( x) ? A x? x0 ? ? ? 0，? ? ? 0，当 0 ? | x ? x0 |? ? 时，有 | f ( x ) ? A |? ?
令? (x) ? f (x)? A，
则有 | ? ( x ) |? ? ，即 lim ? ( x ) ? 0 x? a
（1）无穷大是变量 ,不能与很大的数混淆 ; （2）切勿将 lim f ( x ) ? ? 认为极限存在 .
x? x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量 ,但是无 界变量未必是无穷大 .
f ( x )无界：? M ? 0, ? x0 , 使 | f ( x0 ) |? M
例如, 当x ? 0时, y ? 1 sin 1 xx
思考题
若 f ( x ) ? 0，且 lim f ( x ) ? A ， x ? ??
问：能否保证有 A ? 0 的结论？试举例说明 .
解：不能保证 .
例 f (x) ? 1 x
? x ? 0, 有 f ( x ) ? 1 ? 0 x
lim f ( x ) ? lim 1 ? A ? 0.
x ? ??
分析：? M ? 0， 要 使| 1 |? M
x?1
只 要 | x ? 1 |? 1 , 取? ? 1
M
M
定义 如 果lim f ( x ) ? ? ， 则 称 直 线x ? a 为 曲 线y ? f ( x) x? a 的 铅 直 渐 近 线。
例 lim 1 ? ? 。 x? 1 x ? 1
直线 x ? 1为曲线 y ? 1 的铅直渐近线 。 x?1
但 y( x k?) ? 2k ?? sin 2k ?? ? 0 ? M . 不是无穷大．
例 证 明 lim 1 ? ? 。 x? 1 x ? 1
y
f (x) ? 1
x?1
解：
01
x
? M ? 0， 取? ?
1 ,
M
使 得 当0 ? | x ? 1 |? ? 时 ， 必 有| 1 |? M
x?1
即 lim 1 ? ? x? 1 x ? 1
? f 的无穷小） 充分性（ ? ）f ( x ) ? A ? ? ( x ) （? 是 x ? x 0 时的无穷小）
即 f (x)? A ? ? (x)
由于 ? ( x) 是 x ? x0 时的无穷小
? ? ? 0，? ? ? 0，当 0 ? | x ? x0 |? ? 时，| ? ( x ) |? ? ；
是一个无界变量 , 但不是无穷大 .
y ? 1 sin 1 xx
(1) 取 x k ?
1 ?
2k? ?
(k ? 0,1,2,3,? )
2
y(xk ) ?
2k? ? ? , 2
当k充分大时 , y( x k ) ?
M.
无界.
(2)
取
xk?
?
1 2k ??
(k ?? 0,1,2,3,? )
当 k ?充分大时 , x k? ? ? ,
2.2.3 无穷小与无穷大
A. 无穷小（量）
定义 : 如果 lim f ( x ) ? 0, 则称函数 f ( x )是x ?
x? x0
x? ?
x?
x0
?
时的无穷小量或无穷小 。
在自变量的某一趋势过程中函数的极限为零，则 称此函数在此变化过程中为一无穷小量。
lim x ? 0
x? 0?
1 lim ? 0 x x ? ??
x x ? ??
练习题
一、填空题:
1、凡无穷小量皆以 ____0____ 为极限 .
? 当x ?
x 0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 ：
关于无穷大的讨论 ,都可归结为关于无穷小 的讨论 .
其他性质
（1）在x的某趋限过程中，若 函数f ( x ) 是无穷大， 函数g( x )是有界量，则 f ( x ) ? g( x ) 是无穷大。
（2）在x的某趋限过程中，若函数 f ( x ) 是无穷大， 函数g( x )满足 | g( x ) |? M，其中M是某一正常数， 则f ( x )g( x )是无穷大。
?
f (x)
? 当x ?
x 0时,
f
1 为无穷小. (x)
反之,设 lim f ( x ) ? 0,且 f ( x ) ? 0. x? x0
? ? M ? 0, ? ? ? 0,使得当0 ? x ? x 0 ? ?时
恒有 f ( x ) ?
1 ,
M
由于 f ( x ) ? 0,
从而 1 ? M . f (x)
lim x? 0 x
定义
y
f (x) ? 1 x
0
x
设函数 f ( x )在x0的某去心邻域内有定义 ，如果对任意
M ? 0，都存在 ? ? 0，使得当 0 ? | x ? x0 |? ? 时，必有
| f ( x ) |? M ,则称函数 f ( x )为x ? x0时的无穷大（量） 记为 lim f ( x ) ? ?
称当 x ? 0? 时， x是无穷小 称 当 x ? ?? 时 ，1 是 无 穷 小
x
无穷小是变量，也称无 穷小量。
0是无穷小，但绝对值极 小的数并非无穷小。
定理5（基本极限定理）
lim f (x) ? A ?
x? x0
f (x) ? A ? ? ( x)，? ( x) 为 x ? x0 时的无穷小。
x? x0
试一试 lim f ( x ) ? ? x? ? ? M ? 0，? X ? 0，当 | x |? X 时，| f ( x ) |? M。
若 f ( x ) ? M，则 f ( x ) ? ?? ；（正无穷大） 若 f ( x ) ? ? M，则 f ( x ) ? ?? 。（负无穷大）
注意：