实对称阵的相似矩阵

由 于 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 线性方程组 (A −
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义

且与对角阵相似。
1
2
3
A
PP 1
1 3
7 0 2
1 2 2
P (1,2 ,3) 2 2 1
2 1 2
0 5 2
2 2 6
P 1
1 9
1 2 2
2 2 1
2 1 2
例2：设1，1，1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
1 （1，1，1）T ,2 （2，2，1）T 是A的属于特征值1的
m
征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m),由性质知 ri n. i 1
(iii) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i所对应的 ri个线性无关的特征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m) 先正交化再单位化为i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m)， 它们仍为属于i的特征向量。
1 0 1
1 0 1
2
2
Q 0 1 0
1 2
0
1 2
A, P或Q及三者的互求
已知A，可以求出 A的特征值及特征向量，从而可以
判断A能否与对角阵相似，并在相似时求出对角阵及相
似变换矩阵P.
P1AP
1
, 1,
, n为A的特征值；
n
P (P1, , Pn ), P1, , Pn为A的特征向量。
2 (
2, 5
1 5
,0)T
，3
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
Q 1 2
1
3
3
2 3
2 3
2 5
1 5
0
2
3 5
4
35 5
35
Q

1 2 1 3. 设 2为非奇异矩阵A的一个特征值， 则矩阵( A ) 有一个 3 特征值等于( ).( 93年) 4 3 1 1 答案：B ( A ) ， ( B ) ， (C) ， ( D) . 3 4 2 4 4. 向量组 1 (1， 1，， )， 2 (0，，， )， 3 ( 3，，，4)， 2 4 31 2 0 7 1 4 (1， 2，， )， 5 ( 2，，， )的极大线性无关组为( ).(94年) 2 0 1 5 10 ( A ) 1， 2， 3，B ) 1， 2， 4，C) 1， 2， 5，D) 1， 2， 4， 5 . 答案： . ( ( ( B
第五章 相似矩阵
第四节 实对称矩阵的相似矩阵
1. 实对称矩阵的性质：
(1) 实对称矩阵的特征值必为实数. 证: 设为对称矩阵 的特征值 对应的特征向量为, A , x 则 Ax x , x 0. Ax x, A x x， A x x,
( A x )T ( x )T , x T A x T , x T Ax x T x , x T x x T x , ( ) x T x 0.
( 3) 设A为 n阶对称矩阵, 是A的 k重特征值, 则R(E A) n k , 从而对应 恰有k个线性无关的特征向量.
2. 实对称矩阵相似对角化 ：
(1) 实对称矩阵必与对角矩 阵相似， 即可对角化. 如果把对应特征值i ( i 1，， ，)的k i 个线性无关的特征向量 2 r pi 1， i 2， ， iki p p ei 1，i 2， ，iki ， e e 正交规范化得 则ei 1，i 2， ，iki 为i的两两正交的单位特征 e e 向量. 令P (e11，12， ，rk r )， 则P为正交矩阵，且P 1 AP ， e e 其中为对角矩阵， 且该矩阵主对角线上元 素为A的特征值. ( 2) 设A为实对称矩阵， 则存在正交矩阵P， P 1 AP为对角矩阵. 使

1 = (2 λ )(4 λ ) , 3λ
2
0
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 1 对 λ 2 = λ 3 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得基础解系
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
α Tα1 α Tα1 α Tα1 1 2 n T α 2 α Tα 2 α Tα 2 2 n α1 =E T α α α Tα α Tα 1 n 2 n n n
1, 当 i = j; α α i = δ ij = 0, 当i ≠ j
T j
( i , j = 1, 2, , n )
§6.3
实对称矩阵的相似 对角化
一,实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 定理1 的特征值为实数. 实对称矩阵 ( AT = A) 的特征值为实数.
证明 设复数 λ为对称矩阵 A的特征值 , 复向量 x为
对应的特征向量 , Ax = λx , x ≠ 0. 即
用 λ 表示λ的共轭复数, x表示x的共轭复向量, 表示 则 A x = A x = ( Ax ) = (λx ) = λ x .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
∵ A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
范正交化.
定理5 定理5 设 α1 , α 2 , L , α s 是一组线性无关的向 量,则可以找到一组正交的向量 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 使得向量组 α1 , α 2 , L , α s 与 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 证明 首先, 首先,令 β 1 = α1 再令 β2 = α2 + kβ1 及 β 1 , β 2 = 0 即 β 1 , α 2 + k β 1 , β 1 = 0 从而求出

−3 1
1 −3
⎥ ⎥ ⎦
⎢ ⎢ ⎣
x x
3 4
⎥ ⎥ ⎦
⎢0⎥
⎢⎣0
⎥ ⎦
解得基础解系
ζ1 = [1 −1 −1 1]′
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时，有
⎡ 1 1 1 −1⎤⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎢
1
1 −1
1⎥⎥
⎢⎢x
2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0⎥⎥
⎢ 1 −1 ⎢⎣−1 1
1 1
1⎥ ⎥
⎢ ⎢
x
⎡ 2⎤
p2 =
ζ2 ζ2
⎢⎥
=
⎢ ⎢
⎢
2⎥
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡ 1⎤
p3 =
ζ3 ζ3
=
1 6
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥
,
⎢⎥
⎣ 0⎦
⎡− 1⎤
p4 =
ζ4 ζ4
=
1
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
2 3⎢1⎥
⎢⎥
⎣3⎦
令
P = [p1 p2 p3 p4 ]
则P是正交阵，且满足
⎡− 3
⎤
⎢ P−1AP = Λ = ⎢
ζ3
=
ξ2
−
[ξ2 , ζ2 [ζ 2 , ζ2
] ]ζ2
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢1⎥ ⎢⎥
−
1 2
⎢⎢1⎥⎥ ⎢0⎥ ⎢⎥
=
1 2
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎥
⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣ 0⎦
ζ4
=
ξ3
−
[ξ3 [ζ 3
, ,
ζ ζ
3 3
] ]
ζ
3

2 1 1 2 ( 1)( 3)
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
福Hale Waihona Puke 州 大 学2013-7-21
3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元

4 0 0 | A–E |= 0 3 1 = (2–)(4–)2=0
0 1 3
得A的特征值1=2, 2=3=4.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=2,由(A–2E)x=0, 得
2x1
x2
x3
0 0
,
得基础解系
x2 x3 0
0
1
1 1
对2=3=4,由(A–4E)x=0, 得
1. 求A的特征值1, 2 , ···, s ; 2. 由(A–iE)x=0求出i 的ri 个特征向量; 3. 将i 的ri 个特征向量正交化;
4. 将所有特征向量单位化.
例1:对实对称矩阵A, 求正交矩阵P, 使P-1AP =为
对角阵.
A022
2 1
2
020.
解: 第一步, 求A的特征值.
2 2 0 | A–E |= 2 1 2 =(4–)(–1)( +2)=0
§5.4 实对称矩阵的相似矩阵
一、实对称矩阵的性质
说明: 本节所提到的对称矩阵, 除非特别说明, 均 指实对称矩阵.
定理5: 实对称矩阵的特征值为实数. 证明: 设向量x(x0)为实对称矩阵A的对应复特征
值的特征向量, 即 Ax =x,
用 表示的共轭复数, 用 x表示x的共轭复向量.
AxAx A xxx.
0 2
得A的特征值1=4, 2=1, 3=–2.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=4,由(A–4E)x=0, 得
22xx11
2x2 3x2
2x3
0 0,
2x2 4x3 0
得基础解系 1
2 2 1
.
对2=1,由(A–E)x=0, 得

2 ( p1' p2 ).
(1 2 )( p1' p2 ) 0.
1 2 , 即 1 2 0.
p1' p2 0. 即 p1与 p2 正交. 证毕.
3
返回
定理八. 设是实对称阵A的k重特征值,
那么对应与的所有特征向量中, 其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
推论. 实对称矩阵必与对角矩阵相似.
2
返回
性质2.设1 , 2是 实 对 称 阵A的 两 个 特 征 值, p1, p2 是相应的特征向量, 若1 2 ,
则 p1与 p2 正交.
证明: Ap1 1 p1, Ap2 2 p2 .
1( p1' p2 ) (1 p1') p2 ( Ap1 )' p2
( p1' A') p2 p1'( Ap2 ) p1 '(2 p2 )
求出A的特征向量.
对于 1 2, 解方程组 (2E A)X 0.
2
2E
A
0
0
0 1 1
0
1 1
r1
(
1 2
)
r3 r2
1
0 0
0 1 0
0
1. 0
取同解方程组:
x1 x2
0 x3
0.
7
返回
x1 x2
0 k1
x3 k1
x1 0
x2
k1
1
.
x3 1
8
返回
0
基础解系:
1
1
.
1
对于 2 3 4, 解方程组 (4E A)X 0.
0
4E A 0 0
0 1 1

定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。
1 2 2
例：设A
2
2
4 ，求正交阵Q，使Q1AQ为对角阵。
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T 为属于特征值2的线性无关的特
相似对角形
特征值与特征向量 一般矩阵的相似对角化 实对称矩阵的相似对角化
实对称矩阵的相似对角化
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。 性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 量必定正交。
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
将3
(1，2，
2)T

单位化，得：3
（1 ，2， 33
2 ）T . 3
2 5
2 35
1
3
Q 1
2
3
1 5
4 35
2 3
,
0
5 35
2 3
2
Q1
AQ
2
.
7
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i)求出A的所有相异的特征值1, 2,, m;
(ii)对每一个重特征值i，求出对应的ri个线性无关的
(iv)将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个 n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。此时
练 习
2 2 0
设A
2
1
2，特征值为 2，1，4
0 2 0
求正交阵Q，使Q1 AQ为对角阵。
1 2 2
Q
(1,2

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返回
对应特征值λ 根据定理 5 及定理 7 知，对应特征值 i ( i = 1, 2, …, s ) , 恰有 ri 个线性无关的实特征向量，把它们 个线性无关的实特征向量， 正交并单位化， 个单位正交的特征向量， 正交并单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量，由 ( r1+ r2 + … + rs = n ) , 知这样的特征向量共可得 n 个。 按定理 6 知，对应于不同的特征值的特征向量正 个单位特征向量两两正交。 交，故这 n 个单位特征向量两两正交。于是以它们为 是正交阵， 列向量构成的矩阵 P 是正交阵，并有
1 r r p 单位化后可得 2 = 0, p3 = 0 0 1 . 2 1 2
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返回
1 0 r r r 1 于是得正交阵 P = ( p1 , p2 , p3 ) = 0 2 − 1 0 2
0 0 r r 1 p ξ 得基础解系 1 = 1 , 单位化后可得 1 = . − 1 2 − 1 2
上页 下页 返回
r r 当λ2 = λ3 = 4时, 解方程组 A − 4E) x = 0,由 ( 0 0 1 − 1 0 0 A − 4E = 0 − 1 1 ~ 0 0 0 , 0 1 − 1 0 0 0 1 0 r r r r , ξ ξ 得基础解系 2 = 0,ξ3 = 1, 此时 2与ξ3正好正交 0 1
上页 下页 返回
= λ3 (λ − 4a) = 0,
故得特征值 λ1 = 4a, λ2 = λ3 = λ4 = 0.

再单位化，得：
1 2 2 T 将 ξ1 = (1， − 2 ) 单位化，得： η1 = ， ， ） . 2， （ − 3 3 3 T T 将ξ 2 = ( −2,1,0) , ξ 3 = ( 2,0,1) 正交化，得： （ξ 3，β 2） 1 T β 2 = ξ 2 = ( −2,1,0) ，β 3 = ξ 3 − β 2 = ( 2,4,5)T （β 2，β 2） 5
性质3： 性质 ：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化： 实对称矩阵的相似对角化： 定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似 一定与对角矩阵相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似 一定与对角矩阵正交相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵正交相似。
∵ A = 0,∴ k = l . ∵ A − E = 0,∴ k = l = 0. 1 1 1 0 1 0 2 ∴ A = 0 1 0 . 2 Q= 0 1 0 1 0 1 − 1 0 1 2 2
A, P或Q及Λ三者的互求
且与对角阵相似。 1 1 2 − 2 Λ= 2 P = (α1 , α 2 , α 3 ) = 2 − 2 − 1 2 1 3 2 0 − 2 7 2 2 1 1 −1 A = PΛ P = 0 5 − 2 P −1 = 1 2 − 2 1 3 9 −2 −2 6 − 2 − 1 2
性质2： 性质 ：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 对一般矩阵，只能保证相异特征 量必定正交。
值所对应的特征向量线性无关。

1
1=5: 基础解系: P1 1
1 1
1
2=3=
1
:
基础解系:
P2
1
,
P3
0
0
1
将P2,P3正交化: 取2=P2
1
3
P3
[ 2 , P3 ] [2, 2]
2
0 1
1 2
1
1
0
1
2 1
2
1
将P1,2,3单位化,得:
e1
1
3 1
3
,
e2
那么对应于的所有特征向量中,其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
故n阶实对称矩阵必有n个线性无关的
特征向量.
推论 实对称矩阵必与对角矩阵相似.
定理九 若A为n阶实对称阵,则总有正交阵
P,使
1
P1AP==
2
n
其中1,2,,n是A的特征值.
二、求正交矩阵的方法
求正交矩阵的具体步骤为: (1)求出n阶实对称矩阵A的所有特征值
1
2 1
2
,
e3
1
6 1
6
1
0
2
3
6
将e1,e2,e3构成正交矩阵:
1
P
(e1 , e2
,
e3
)
3 1
3
1
3
5
有:
P 1 AP
1
1
1 2
1 2
0
1
6 1
6
2
6
定义 设n阶方阵A,B,如果存在可逆矩阵P, 使得P AP=B,则称A与B相合(或合同)
相合满足反身性,对称性和传递性
§5.4 实对称矩阵的相似矩阵

此定理不予证明
二、实对称矩阵的正交相似对角化
复习：
1。定义(107页) 如果n阶实方阵A满足ATA= E，
AAT= E则称 A为 正交矩阵.
A的行（列）向量组都是单位向量且两两正交.
2、 将线性无关的向量组1，2，…，r化为 2. 正交矩阵的性 一组两两正交的单位向量组的方法。 施密特(Schmidt) 质 方法 （108页 ） (1) 将线性无关的向量组1，2，…，r正交化. 令 1=1， = - 2 , 1 ， 2 2 1 1 , 1 3, 2 3 , 1 3 = 31 2， 2, 2 1 , 1 … … … … … … … ， r , 2 r , r 1 r , 1 r = r1 - , 2 - …- , r-1. 1 , 1 2 2 r 1 r 1 (2) 将1，2，…，r单位化，令
1
1
4
1、P中特征向量与对角阵中特征值的顺序要一致
2、实对称阵的重特征值对应的特征向量有多种取法， 故这里的正交矩阵P不唯一。
3、实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交， 可检验计算的正确性
【定理6.4 】设A为 n 阶实对称矩阵， 使得 则必存在 n 阶正交矩阵P，
P AP
P AP
1
Λ
2

例题分析
例2
2 1 1 1 2 1 A 设 1 1 2
求一个正交矩阵P
1 使 P AP 为对角阵.
解
(1)求特征值
A E
2 1 1
1
1
2 1 1 2
( 4)( 1)2
故得特征值
1 2 1