对称矩阵的相似矩阵

第三讲Ⅰ 授课题目：§5.3 相似矩阵§5.4 对称矩阵的相似矩阵 Ⅱ 教学目的与要求：1. 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充分条件.2. 会求实对称矩阵的相似对角形. Ⅲ 教学重点与难点：重点：相似矩阵的性质及矩阵对角化的条件. 难点：求实对称矩阵的相似对角矩阵. Ⅳ 讲授内容：一、相似矩阵的定义及性质定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则称B 是A 的相似矩阵，或说矩阵A 与B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 注 矩阵相似是一种等价关系.（1）反身性：A A ~.（2）对称性：若B A ~，则A B ~.（3）传递性：若B A ~，C B ~，则C A ~. 性质1 若B A ~，则（1）T T B A ~； （2）11~--B A ； （3）E B E A λλ-=-； （4）B A =； （5）)()(B R A R =.推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21相似，则n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.性质2 若1-=PBPA ，则A 的多项式1)()(-=PB P A φφ.推论 若A 与对角矩阵Λ相似，则1211)()()()()(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ=P P PP A n λφλφλφφφ.注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身； （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似. 二、矩阵可对角化的条件对n 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵A 对角化。

定理1 n 阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）A ⇔有n 个线性无关的特征向量。

推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A ～Λ，则Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，则Λ唯一，称之为矩阵A 的相似标准形。

为了证明实对称矩阵正交相似于对角矩阵，我们可以按照以下步骤进行推导：
第一步，我们首先需要了解实对称矩阵的定义，即实对称矩阵A 的所有特征值都是实数，并且对于任意的实数x，都有Ax=xA。

第二步，我们设实对称矩阵A的n个特征值为λ1,λ2,...,λn，并且设P为可逆矩阵，使得P-1AP为对角矩阵。

第三步，我们设P-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)，根据对角矩阵的定义，我们可以得到方程组P-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)，即
AP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)。

第四步，我们根据矩阵乘法的性质，将AP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)两边同时转置，得到APT=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)T，即ATP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)。

第五步，由于实对称矩阵A的所有特征值都是实数，因此我们可以将diag(λ1,λ2,...,λn)替换为diag(λ1,λ2,...,λn)T，得到
ATP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)T，即ATPAP=diag(λ1,λ2,...,λn)。

第六步，我们根据对角矩阵的定义，可以发现ATPAP实际上是一个对角矩阵，因此我们证明了实对称矩阵A正交相似于对角矩阵
diag(λ1,λ2,...,λn)。

综上所述，我们证明了实对称矩阵正交相似于对角矩阵。

矩阵的相似和对角化的性质和应用矩阵的相似和对角化是线性代数中比较基础的概念，也是常常用到的重要工具。

在本文中，我将介绍矩阵相似的定义及其一些性质，探讨矩阵对角化的方法和应用。

一、矩阵相似1.1 定义设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在一个可逆矩阵 $P$，使得$B=P^{-1}AP$，则称 $B$ 与 $A$ 相似，$P$ 叫做相似变换矩阵。

1.2 性质（1）相似关系是一种等价关系。

对于任意的 $n$ 阶矩阵 $A$，有 $A\sim A$。

若 $A\sim B$，则$B\sim A$。

若 $A\sim B$，$B\sim C$，则 $A\sim C$。

（2）相似关系保持一些矩阵的特性。

若 $A$ 是一个对称矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是对称矩阵。

若$A$ 是一个正定矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是一个正定矩阵。

（3）相似矩阵有相同的特征值和相同的秩。

若 $A\sim B$，则 $A$ 和 $B$ 有相同的特征值。

即它们的特征多项式相同。

并且相似矩阵有相同的秩。

二、对角化2.1 定义设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵。

若存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=D$，其中 $D$ 是一个对角矩阵，则称 $A$ 可对角化，$D$ 叫做 $A$ 的一个对角化矩阵，$P$ 叫做对角化矩阵。

2.2 对角化的必要条件若$A$ 可对角化，则$A$ 必须有$n$ 个线性无关的特征向量。

即存在一组线性无关的向量$\{\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\}$，使得$A\vec{v_i}=\lambda_i\vec{v_i}$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。

2.3 对角化的方法（1）在求解 $A$ 的特征值 $\lambda$ 和特征向量 $\vec{v}$ 后，将特征向量按列组成矩阵 $P$，得到 $D=P^{-1}AP$。

相似度矩阵相似度矩阵是数据挖掘领域中用于比较两个数据集之间相似度的一种数学模型。

在机器学习和深度学习领域中，相似度矩阵的应用十分广泛，特别是在图像处理和自然语言处理方面。

相似度矩阵可以通过一些简单的算法生成，并且很容易在计算机中实现。

本文将介绍相似度矩阵的概念、常见的生成方法及应用场景。

一、相似度矩阵的概念相似度矩阵指的是两个数据集之间的相似程度，其中包含了所有可能的相似度值。

它是一个方阵，其中的每一个元素表示两个样本之间的相似程度。

相似度矩阵可以是对称的或者非对称的。

对于对称矩阵，它们的矩阵元素是可对称交换的；而对于非对称矩阵，相似度是单向的，不可对称交换。

相似度矩阵可以用于解决很多重要的数据挖掘问题，如聚类、分类、检索和相似度匹配等。

例如，在图像处理领域，图像相似度矩阵可以帮助我们识别照片中人脸的相似度，以便为每个人脸分配独特的标识符。

在自然语言处理中，相似度矩阵可以帮助我们找出两个文本之间的相似度，并帮助我们计算出文本语义的相似度得分。

二、生成相似度矩阵的方法1. 欧几里得距离欧几里得距离是最常见的相似度计算方法之一，它是基于两个向量之间的空间距离计算的。

对于两个向量 a 和b，其欧几里得距离可以用以下公式表示：d(a,b)=√(∑_(i=1)^n(a(i)-b(i))^2)其中，a(i) 和 b(i) 分别指向量 a 和 b 中的第 i 个元素，n 是向量的维度大小。

欧几里得距离越小，说明向量越相似。

2. 余弦相似度余弦相似度是另一种广泛使用的相似度计算方法。

与欧几里得距离不同，余弦相似度主要考虑向量的角度而非空间距离。

对于两个向量 a 和 b，余弦相似度可以用以下公式表示：similarity(a,b)=cos⁡(θ)=a·b/||a|| ||b||其中，a·b 是两个向量的点积，||a|| 和 ||b|| 分别是 a 和 b 向量的模数。

余弦相似度也可以反映两个向量的方向，而不受它们的绝对大小影响。

矩阵相似的充要条件
比如：A与B相似的充要条件是相同的jordan标准形
A与B相似的充要条件是相同的初等因子
似推特征值一样很容易，按定义来。

实对称矩阵的特征值相同，那么两矩阵的特征多项式相同。

由实对称矩阵可以相似对角化，假设这2个矩阵分别为A,B，那么分别存在正交矩阵T,P，使得A,B分别相似于同一个对角矩阵，进行适当变换，可以找到可逆矩阵S，使得A相似于B。

比如两个具有相同特征值的方阵，一个可对角化，一个不可对角化，这样它们就不相似。

但是有相同的特征值是两矩阵相似的必要条件的。

而两矩阵相似的充要条件则为它们拥有相同的若尔当标准型，或者说有相同的初等因子
一个矩阵对应着一个线性变换，两矩阵相似其实就是说同一个空间的同一个线性变换在不同坐标系下的表示(矩阵)不同。

两矩阵相似就意味着存在可逆矩阵P使得P^-1AP=B则A与B相似其实就是说A和B相似于同一个对角阵(当然了，前提是可以相似对角化，也就是说，A 和B都有列数个或行数个线性无关的特征向量)
这个结论等价于A与B有完全相同的特征值。