线性代数课件：5-3实对称矩阵的相似对角化
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线性代数—实对称矩阵的对角化PPT课件
( , ) a1b1 a2b2 anbn T .
向量的内积具有如下基本特性：
(1) ( , ) ( , )
(2) ( , ) (, ) ( , )
(3) (k , ) k( , ) （k 为实数）
(4) (, ) 0 ，(, ) 0 当且仅当 。 证略.
1 9
8 9
4 9
1 9
8 9
4 9
T
(2) 8 1 4 8 1 4
9 4
9
9 4
9
9 7
9
9 4
9
9 4
9
9 7
9
1 0 0
0 1 0 ,
0
0
1
所以它是正交矩阵．
17
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练习 验证矩阵
1 2 1
P
2 1
2
0
是正交矩阵.
1 1 1
2 2 2
1 1 22
0
0
0
特征向量 2 (1 , 2 , 0)T , 3 (1 , 0 , 1)T ,
3
1
0
1
1 5
1
2
0
1 5
4 2 5
,
4
3 2 ,
5
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2
1
4
1 1 , 2 2 , 3 2 ,
2
0
5
2
1
1 1 ,
3
1
3
1
1 0 .
2 1
1 , 2 , 3 即为所求 .
10
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例5 已知1 (1, 1, 1)T ，求一组非零向量2 , 3 ， 使 1, 2, 3 两两正交.
向量的内积具有如下基本特性：
(1) ( , ) ( , )
(2) ( , ) (, ) ( , )
(3) (k , ) k( , ) （k 为实数）
(4) (, ) 0 ，(, ) 0 当且仅当 。 证略.
1 9
8 9
4 9
1 9
8 9
4 9
T
(2) 8 1 4 8 1 4
9 4
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9 4
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9
9 4
9
9 4
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9 7
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1 0 0
0 1 0 ,
0
0
1
所以它是正交矩阵．
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练习 验证矩阵
1 2 1
P
2 1
2
0
是正交矩阵.
1 1 1
2 2 2
1 1 22
0
0
0
特征向量 2 (1 , 2 , 0)T , 3 (1 , 0 , 1)T ,
3
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,
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1 1 ,
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1
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1 0 .
2 1
1 , 2 , 3 即为所求 .
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例5 已知1 (1, 1, 1)T ，求一组非零向量2 , 3 ， 使 1, 2, 3 两两正交.
实对称矩阵的相似对角化
§3 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
5.3实对称矩阵的对角化
令x3 = 2, 得属于5的特征向量为 3 = (1, −2,2)T .
12
显然1 = (2,2,1)T , 2 = ( −2,1,2)T , 3 = (1, −2,2)T 正交.
(2) 求单位向量组. 1 = 2 = 3 = 3, 所以得单位正交向量组 T T T 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = , , , 2 = , − , − , 3 = , − , . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (3) 求正交矩阵Q. 1 则 2 2 令 3 3 3 −1 0 0 2 1 2 −1 Q = ( 1 , 2 , 3 ) = − − , Q AQ = 0 2 0 = . 3 3 3 0 0 5 1 2 2 3 −3 3
T T T T 1 A = 11 , 1 A 2 = 11 2
T T 21 2 = 11 2 ,
T (2 − 1 )1 2 = 0
T 1 2 = 0
3
定理 若实对称矩阵A的特征值 的重数为k，则A 恰有k个对应于 的线性无关的特征向量. 定理 n阶实对称矩阵A一定有n个正交的特征向量. 设矩阵A的互不相同的特征值分别为 1 ( k1重) : 11 , 12 , , 1k1 , 正 11 , 12 , , 1k1 , 交 , , , , 2 k2 2 ( k2重) : 21 , 22 , , 2 k2 , 化 21 22 后 , , 得 m 1 , m 2 , , mkm , m ( km 重) : m 1 , m 2 , , mkm , 11 ,12 , ,1k1 , 1 单 其中,k1 + k2 + + km = n. 位 , , , , 21 22 2 k2 2 化 T ij ks = 0, i k . 后 , 得 m 1 ,m 2 , , mkm , m
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
探索新的实对称矩阵对角化方法
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件
(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的 特 征 值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
(2 )若 A 与 B 相 ,且 似 A 可 ,则 逆 B 也,可 且 A 1 与 逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则 似 k与 A k相 B,k 为 似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而 似 f(x)是一,多 则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3
§5.3 实对称矩阵的对角化
由以上定理，A的几个属于不同特征值的 正交特征向量组仍构成正交组。 特别地，A有n个正交的特征向量，A相似 于对角形矩阵，我们有以下的重要结论。25
定理8 若A为n阶实对称矩阵，则一定存在 正交矩阵Q，使得Q AQ为对角形矩阵(称 为A正交相似于对角形矩阵， orthogonally similar)。
T 1 T 1
(5)-(4),得(1 2 ) X X 2 0
T 1
1 2 0，故X X 2 0,( X 1 , X 2 ) 0，
T 1
也就是X 1和X 2正交。
24
一般地，对于n阶实对称矩阵，属于A的 同一个特征值的一组线性无关的特征向 量不一定相互正交，可用施密特正交化 方法将其正交化，得到A的属于该特征值 的正交特征向量组。
i 1 m
(3)
让Q Y11 Y1r1 Ym1 Y1rm），则Q正交且 （
27
Q 1 AQ QT AQ diag (1 ,, m )。
例4 设 0 2 2 A 2 3 4 ， 2 4 3 1 求正交矩阵Q，使得Q AQ为对角形矩阵。
Q的行向量组是标准正交基
12
线性无关向量组改造为规范正交组的 施密特(Schmidt)正交规范化方法。
13
定理5 设1 , 2 , L , m(1)是R n中的一个线性无关组，令
1 1 ,
( 2 , 1 ) 2 2 1 , ( 1 , 1 ) ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 , ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) LLLLLLLLLLLLL ( m , 1 ) ( m , 2 ) ( m , m 1 ) m m 1 2 L m 1 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( m 1 , m 1 )
线性代数第12讲 实对称矩阵的对角化
P
1 AP
1
0
b B
由于P1= PT , (P 1A P)T= PTAT(P1)T= P1AP,
所以P1AP是实对称矩阵。
P
1 AP
1
0
b B
1
bT
0 BT
(
P
1
AP
)T
因此, b=0，B= B T为n 1阶实对称矩阵。 由归纳假设,存在n 1阶正交矩阵Q ，使得
Q1 B Q =1。
1 S 0
0 Q
，
STS I
令
S为正交阵.
S
1(P
1
AP)S
1 0
0 1
Q
1
0
0 1 0
B 0
Q
1
0
0
Q11BQ1
1
0
0
Λ1
=diag(1,2,,n)
0 C
P 0
0 Q
P
1 A 0
P
0 Q1CQ
B 0
D0
xT AT x xT x , xT AT x xT x , xT Ax xT x ,
xTx xT x ,
( )xT x 0,
由于x 0 时， ( x)T x 0,
故得 = ， 即都是实数。证毕。
定理5.11 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量 是正交的。
于是
T2 T11 A T1 T21= B
《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化
k个
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
13第十三次课 相似矩阵与方阵的对角化+实对称矩阵的对角化
特征值所对应的线性无关的特征向量的最大个数等 (P148定理5.3.6) 于该特征值的重数。
2013年7月14日星期日 4
对每个 i ，求对应的 A i E X 0的非零解 Step2： （基础解系）作为对应于 i 的特征向量 i
3.方阵A相似对角化的步骤 求 Step1： A E 0 的根 1 , 2 ,n 作为特征值
1．def： n 阶方阵 A 和 B ，若存在可逆矩阵 P 使得
P 1 AP B ，称 A 与 B 相似，或称 A 相似于 B ，记作
A ~ B 。可逆矩阵 P 称为相似变换矩阵。
注：相似一定等价，但等价不一定相似
A (1)：反身性： ~ A
E 1 AE A
(2)：对称性： ~ B B ~ A A
2、实对称矩阵正交相似对角化的步骤 求 Step1： A E 0 的根 1 , 2 ,n 作为特征值
Step3： 取正交矩阵Q 1 ,2 , ,n ，则有
1 Q -1 AQ Q T AQ
2013年7月14日星期日 13
2
第十三次课
教学内容 §5.3 相似矩阵与方阵的对角化 §5.4 实对称矩阵的对角化 教学目标及基本要求
了解相似矩阵的概念和性质 了解矩阵对角化的充要条件和对角化的方法 会求实对称矩阵的相似对角形矩阵 重 点 实对称矩阵的相似对角化 难 点
矩阵的相似对角化
§5.3相似矩阵与方阵的对角化
一、相似矩阵及其性质 (P143定义5.3.1)
2013年7月14日星期日
6
例1
判断下列矩阵可否对角化：
1 2 2 1 1 0 2 1 2 , (2) A 4 3 0 (1) A 2 2 1 1 0 2 1 若能，求一可逆矩阵 P ，使 P AP .
2013年7月14日星期日 4
对每个 i ，求对应的 A i E X 0的非零解 Step2： （基础解系）作为对应于 i 的特征向量 i
3.方阵A相似对角化的步骤 求 Step1： A E 0 的根 1 , 2 ,n 作为特征值
1．def： n 阶方阵 A 和 B ，若存在可逆矩阵 P 使得
P 1 AP B ，称 A 与 B 相似，或称 A 相似于 B ，记作
A ~ B 。可逆矩阵 P 称为相似变换矩阵。
注：相似一定等价，但等价不一定相似
A (1)：反身性： ~ A
E 1 AE A
(2)：对称性： ~ B B ~ A A
2、实对称矩阵正交相似对角化的步骤 求 Step1： A E 0 的根 1 , 2 ,n 作为特征值
Step3： 取正交矩阵Q 1 ,2 , ,n ，则有
1 Q -1 AQ Q T AQ
2013年7月14日星期日 13
2
第十三次课
教学内容 §5.3 相似矩阵与方阵的对角化 §5.4 实对称矩阵的对角化 教学目标及基本要求
了解相似矩阵的概念和性质 了解矩阵对角化的充要条件和对角化的方法 会求实对称矩阵的相似对角形矩阵 重 点 实对称矩阵的相似对角化 难 点
矩阵的相似对角化
§5.3相似矩阵与方阵的对角化
一、相似矩阵及其性质 (P143定义5.3.1)
2013年7月14日星期日
6
例1
判断下列矩阵可否对角化：
1 2 2 1 1 0 2 1 2 , (2) A 4 3 0 (1) A 2 2 1 1 0 2 1 若能，求一可逆矩阵 P ，使 P AP .
新5-3线性代数第三节相似矩阵及实对称阵的对角化
理6( 如上)可得：
对应特征值 i (i = 1,2, , s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个 单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs = n知, 这样的特征向量共可得 n个.
(2) A = - 5 3 - 3
1 0 2
2- -1
2
A - E = 5 - 3 - 3 = - 13
-1
0 -2-
所以A的特征值为1 = 2 = 3 = -1.
把 = -1代入A - E x = 0, 解之得基础解系
= (1,1,-1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
=
4 -3
对应的特征向量,
即
Ax = x , x 0.
用 表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量 ,
则 A x = A x = Ax = x = x.
于是有 xT Ax = xT Ax = xT x = xT x,
及 xT Ax = xT AT x = Ax T x = xT x= xT x.
1
1
0
,
1 0 1
则有
P -1 AP
=
-2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
例3
设矩阵A
=
1 4
1 1
0 t ,
0 0 3
(1)求A100的特征值 .
(2)确定t,使A相似于对角阵 ，并求出 及可逆阵 P，
使 P-1AP = .
2. P -1A1 A2 P = P -1 A1P P -1 A2 P .
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.
对应特征值 i (i = 1,2, , s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个 单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs = n知, 这样的特征向量共可得 n个.
(2) A = - 5 3 - 3
1 0 2
2- -1
2
A - E = 5 - 3 - 3 = - 13
-1
0 -2-
所以A的特征值为1 = 2 = 3 = -1.
把 = -1代入A - E x = 0, 解之得基础解系
= (1,1,-1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
=
4 -3
对应的特征向量,
即
Ax = x , x 0.
用 表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量 ,
则 A x = A x = Ax = x = x.
于是有 xT Ax = xT Ax = xT x = xT x,
及 xT Ax = xT AT x = Ax T x = xT x= xT x.
1
1
0
,
1 0 1
则有
P -1 AP
=
-2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
例3
设矩阵A
=
1 4
1 1
0 t ,
0 0 3
(1)求A100的特征值 .
(2)确定t,使A相似于对角阵 ，并求出 及可逆阵 P，
使 P-1AP = .
2. P -1A1 A2 P = P -1 A1P P -1 A2 P .
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.
实对称矩阵的相似对角化.ppt
1 (
2, 5
1 5
,0)T ，2
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
将3
(1，2，
2)T
单位化，得：3
（1 ，2 ， 33
2）T . 3
2 2 1
5 3 5 3
Q 1
2
3
1 5
0
4 2
35 5
35
3 2
3
Q 1
AQ
2
2
7
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i) 求出A的所有相异的特征值 1, 2 ,, m ;
实对称矩阵的相似对角化
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵 A的特征值, (a1, a2,, an )T
是对应的特征向量 ,即A ，两边取共轭，得： A (1) A (aij )nn , (a1, a2,, an )T ,
由于A为实对称阵，故 A A AT （1）两端取转置，得：
反之，若 A与对角阵相似且已知 A的特征值及特征向 量，也就是已知 P与，也可以求出矩阵 A. A PP1
例1：设三阶方阵 A满足Ai ii ,i 1,2,3.
1 (1,2,2)T ,2 (2,2,1)T ,3 (2,1,2)T ,求A. Ai ii , i 1,2,3. 1,2 ,3是A的属于特征值 1,2,3的特征向量。
(iv) 将上面求得的正交单位 向量作为列向量，排成 一个
n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。 此时
Q 1AQ QT AQ 为对角阵。
EX
:
பைடு நூலகம்
设A
2 2
实对称矩阵的相似对角化
1
1
,
2
13 2 4
所以
A
U
1
U
1
1
1
9
2 4
10
2
.
2 13
基本概念 实对称矩阵 基本理论 ① 实对称矩阵有n个实特征值 ② k重特征值有k个线性无关的特征向量 ③ 不同特征值下特征向量正交
基本方法 ① 求正交阵使实对称阵相似对角化
② 由一组特征值下的特征向量， 求另外一个特征值下的特征向量， 进而求得未知矩阵
1/ 2
1/ 6
1/ 3
1
1
/ 0
2
，
2
1/ 2 /
6 6
，
3
1/ 1 /
3 3
第四步 令Q (1 2 3 ), 写出结果, 即
1/ 2 Q 1/ 2 0
1/ 6 1/ 6 2 / 6
1/ 1/ 1/
3
3 3
0
则 Q 1
AQ
0
0
0 0 0
0
0
3
归纳步骤
(1) 求全部特征值及所属的无关特征向量； (2) 将同一特征值下的无关特征向量正交化； (3) 将正交化后的特征向量单位化； (4) 构造Q，则 Q1 AQ ，注意特征向量与
Q-1 AQ= .
二、对于实对称矩阵A ，求正交矩阵Q，使得A相似对 角化 （ 即 Q1 AQ ） 的方法
1 1 1
例1
设
A
1
1
1 求正交阵Q，使 Q1 AQ 为对角阵.
1 1 1
解 第一步 求A的特征值与所属的无关特征向量
1 1 1
E A 1 1 1 2( 3) 0, Q 1 0(二重), 2 3 1 1 1
实对称矩阵的相似对角化
准正交向量组，而它们之间是等价的.
定理5.3.2 (施密特正交化定理) 设 α1,α2,…,αm(m≤n)是Rn中线性无关向量组， 则必存在标准正交组β1,β2,…,βm ，使βi是 α1,α2,…,αi,(i=1,2,…,m)的线性组
合.
证 首先，令γ1=α1，再令
2
2
2,1 1, 1
1
由于α1,α2线性无关，故γ2 ≠0， 且
1
1, 3
1, 3
1 3
2
1
2
2
1 , 0, 2
1 2
3
1
3
3
1 , 6
2, 6
1 6
则β1,β2, β3 是α1,α2, α3的标准正交组.
5.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量
在第二章的2.2.3中已经知道了对称 矩阵的概念. 当n阶矩阵A=(aij)nn 满足
aij=aji，且aij全为实数时，称为n阶实对称
故得 即 由于
0 T 0 T
(0 0 ) T 0
a1
T
a1, a2 ,, an
a2
an
a1a1 a2a2 anan
a1 2 a2 2 an 2
且α≠0，故|a1|2+|a2|2+…+|an|2>0,由此推出 0 0 =0.这样 0 0，故λ0是实数.证毕.
定理5.3.4指出，实对称矩阵的属于 不同特征值的特征向量不仅是线性无关
的，而且是互相正交的.这为寻找实对称 矩阵的正交特征向量组提供了可能.
5.3.3 实对称矩阵的相似对角化
现在来讨论，实对称矩阵是否可相似 于一个对角形矩阵? 与此等价的问题是，
n阶实对称矩阵是否有n个线性无关的特征 向量? 答案是肯定的，n阶实对称矩阵不 仅有n个线性无关的特征向量，更进一步， 它还可以有n个相互正交的单位向量作为 特征向量.大家知道，若Q为正交矩阵，则
定理5.3.2 (施密特正交化定理) 设 α1,α2,…,αm(m≤n)是Rn中线性无关向量组， 则必存在标准正交组β1,β2,…,βm ，使βi是 α1,α2,…,αi,(i=1,2,…,m)的线性组
合.
证 首先，令γ1=α1，再令
2
2
2,1 1, 1
1
由于α1,α2线性无关，故γ2 ≠0， 且
1
1, 3
1, 3
1 3
2
1
2
2
1 , 0, 2
1 2
3
1
3
3
1 , 6
2, 6
1 6
则β1,β2, β3 是α1,α2, α3的标准正交组.
5.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量
在第二章的2.2.3中已经知道了对称 矩阵的概念. 当n阶矩阵A=(aij)nn 满足
aij=aji，且aij全为实数时，称为n阶实对称
故得 即 由于
0 T 0 T
(0 0 ) T 0
a1
T
a1, a2 ,, an
a2
an
a1a1 a2a2 anan
a1 2 a2 2 an 2
且α≠0，故|a1|2+|a2|2+…+|an|2>0,由此推出 0 0 =0.这样 0 0，故λ0是实数.证毕.
定理5.3.4指出，实对称矩阵的属于 不同特征值的特征向量不仅是线性无关
的，而且是互相正交的.这为寻找实对称 矩阵的正交特征向量组提供了可能.
5.3.3 实对称矩阵的相似对角化
现在来讨论，实对称矩阵是否可相似 于一个对角形矩阵? 与此等价的问题是，
n阶实对称矩阵是否有n个线性无关的特征 向量? 答案是肯定的，n阶实对称矩阵不 仅有n个线性无关的特征向量，更进一步， 它还可以有n个相互正交的单位向量作为 特征向量.大家知道，若Q为正交矩阵，则
5.3 实对称矩阵的正交相似对角化幻灯片
1
2
s
要注意矩阵 Q的列与对角矩 阵 主对角线上的元素
( A 的特征值 ) 之间的对应关系.
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 6
四、举例
例1 设
1 2 A2 2
2 4
2 4 2
求正交矩阵 Q , 使 Q-1AQ 为对角矩阵.
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 7
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 8
解之得基础解系 2
0
1 0 , 2 1.
1
1
第三步 将特征向量正交化
将 1 , 2 正交化：令
1 1 (2, 0,1)T ;
2
2
[[11,,12]]1
(0,1,1)T
1 (2, 5
0,1)T
( 2,1, 5
4 ); 5
5.3 实对称矩阵的正交相似对角化
主要内容
实对称矩阵的性质 实对称矩阵相似对角化的步骤 举例
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 1
一、问题的提出
上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条
件: n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个
线性无关的特征向量. 通过前面的学习我们知道,
p1 (1,1,1)T .
解 设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵的不同的特征
值所对应的特征向量正交, 故
2020/3/22
[ p1,x] x1 x2 x3 0, 黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 16
2020/3/22
5_3实对称矩阵的对角化ppt课件
其中 x, y, z为n维向量,为实数 : (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[ x, x] 0.
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Page 4
二、向量的长度及性质
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得r i个 单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知,
这样的特征向量共可得 n个.
由定理4知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这n 个单位特征向量两两正交.
以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则 P1AP P1P
其中对角矩阵的对角元素含r1 个 1,, rs 个s , 恰
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Page 21
定理3的意义
由于对称矩阵A的特征值 为实数,所以齐次 i
线性方程组
( A E)x 0 i
是实系数方程组,由 A E 0知必有实的基础解 i
系, 从而对应的特征向量可以取实向量.
ppt课件
Page 22
定理4 设1 , 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量, 若1 2 ,则p1与p2正交 . 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
ppt课件
Page 6
３ 正交向量组的性质
定理1
若n维向
量
1 ,
2
,,
是一组两
r
两正
交的
非零向量,则 1, 2 ,, r 线性无关.
证明 设有 1,2 ,,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0
由1
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[ x, x] 0.
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二、向量的长度及性质
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得r i个 单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知,
这样的特征向量共可得 n个.
由定理4知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这n 个单位特征向量两两正交.
以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则 P1AP P1P
其中对角矩阵的对角元素含r1 个 1,, rs 个s , 恰
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定理3的意义
由于对称矩阵A的特征值 为实数,所以齐次 i
线性方程组
( A E)x 0 i
是实系数方程组,由 A E 0知必有实的基础解 i
系, 从而对应的特征向量可以取实向量.
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定理4 设1 , 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量, 若1 2 ,则p1与p2正交 . 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
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３ 正交向量组的性质
定理1
若n维向
量
1 ,
2
,,
是一组两
r
两正
交的
非零向量,则 1, 2 ,, r 线性无关.
证明 设有 1,2 ,,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0
由1
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证 (1) 若<β,αi >=0 ，i=1,2,…,m,任给 α1,α2,…,αm的线性组合γ=k1α1+k2α2 +…+kmαm, 由内积的线性性，
, , k11 k22 kmm k1 ,1 k2 ,2 km ,m
0,
故β与γ正交. (2) 设γ=k1α1+k2α2 +…+kmαm=0,
定义5.3.1 设 (a1, a2 ,, an )T (b1, b2 ,, bn )T是实n维向量空间Rn中任二 向量，令
, a1b1 a2b2 anbn
称实数<α,β>为向量α与β的内积.
易见 , T
向量的内积具有以下性质： 1. 对称性<α,β>=<β, α > 2.线性性<α+β, γ>= <α, γ>+ <β, γ>
用α1与上式两边作内积运算，得
k1 1,1 k2 1,2 km 1,m 1,0 0
由于α1,α2,…,αm两两正交，则当j≠1时, <α1,αj>=0. 于是得到,k1<α1,α1>=0,
即k1|α1|2=0.由于α1是非零向量，故|α1|≠0， 因此k1=0.
用αi替代 α1重复以上论证，可得ki=0， i=2,…, m，这就证明了α1,α2, …, αm线性无关. 证毕.
Aα= λ0α两边取共轭复数得, 由于A 是实对称矩阵，有 A 0 ，由于A是实对 称矩阵，有 AT A, A A 从而
A A A 0
又对Aα= λ0α两边取转置得
T AT T A 0 T
于是0T T A T (0) 0 T
即
(0 0)T 0
由于
a1
T
a1,
a2,, an
1 1,
2
2
2, 1,
1 1
1,
m
m
m1 j 1
m, j j,j
j
则β1,β2,…,βm是正交向量组，且与向量组 α1,α2,…,αm等价.
如何由正交组得到标准正交组？ 将正交组中每个向量单位化即得标准正交组！
例5.3.2 设 1 (1, 1, 1) 2 (0, 1, 2) 3 (2, 0, 3) 是R3中的向量组，用施密特
设α1,α2,…,αm是Rn中的向量组
若一条直线与平面中的两条相交直线 垂直，则与该平面的任一直线垂直。推而 广之：
(1) 若β与α1,α2,…,αm的每一个向量 正交，则β必与α1,α2,…,αm的任一线性组
合正交.
其中α1,α2,…,αm是Rn中的向量组
互相垂直的两直线必不共线或平行。
(2) 若α1,α2,…,αm是正交组，它们必 线性无关.
全为实数时，称为n阶实对称矩阵.
定理5.3.3 设A是实对称矩阵，则A 的特征值全为实数.
证 设λ0是A的特征值，则有非零向量
α使Aα= λ0α.记
A aij nn
a1
a2
,
an
a1
a2
,
an
其中ai 表示ai的共轭复数(注意现在并不
知道λ0是否实数，也不知道α是否为实向 量).
2 1 1 0 1 3, 3 1 1 9 4 15
从而α1,α2,α3都不是单位向量. 把它们单位 化，令
1
1 7
1
1, 7
2 , 1 , 77
1 7
2
1 3
2
1 , 1 ,0, 33
1 3
3
1 3
15
1 , 15
1, 15
3, 15
2 15
则β1,β2,β3是标准正交组.
以下向量组是正交向量组吗？是标准 正交组吗？
1 (1,2,1,1) 2 (1,1,0,1) 3 (1,1,3,2)
是R4中正交向量组，但不是标准正交组. 因为
1,2 1 2 0 1 0
1,3 1 2 3 2 0
2 ,3 11 0 2 0
故 1,2 ,3 是正交组. 又 1 1 4 1 1 7
任给非零向量α ， |α|＞0，从而
1 的长 1 1 ，即 是单位向量
称为α的单位化.
定义5.3.4 设α1,α2,…,αs 是一组皆 非零的向量.若其中任意两个向量都是正 交的，则称其为一个正交向量组.仅由一 个非零向量组成的向量组也称为正交向量 组.
若正交向量组中每个向量都是单位向 量，则称其为标准正交组.
<kα,β>=k<α, β>
3.恒正性 <α,α>>0, 当α≠0.
内积为零的两个向量称为正交向量. 零向量与任何向量正交.
定义5.3.3 设α是n维向量，称 , 为α的长，记为 |α|. 若 |α|=1， 称α为单位向量.
|α|=0 IFF α为零向量.
k k, k k2 , k
2
3
5 , 5 , 5 6 3 6
再令 1
1
1
1
1, 3
1, 3
1 3
2
1
2
2
1 , 0, 2
1 2
3
1
3
3
1 , 6
2, 6
1 6
则β1,β2, β3 是α1,α2, α3的标准正交组.
5.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量 当n阶矩阵A=(aij)nn 满足aij=aji，且aij
正交化方法把它们化为标准正交组.
解 易验证 α1,α2,α3线性无关，从而 可施行施密特标准正交化.
令 1 1 (1, 1, 1)
2
2
2,1 1, 1
1
(0, 1,
2)
3 (1, 1, 1) 3
(1,
0, 1)
3
33, 2 2, 22 Nhomakorabea3,1 1, 1
1
(2, 0, 3) 1 (1, 0, 1) 5 (1, 1, 1)
a2
an
§5.3 实对称矩阵的相似对角化 5.3.1 向量的内积与施密特正交化方法
建立n维实向量空间中的直角坐标系 长度？夹角？垂直？
设
i,
j,
k
是三维向量空间中互相垂直的单位向量,若
a1i b1 j c1k , a2i b2 j c2k ,
则α与β的数量积 a1a2 b1b2 c1c2
定理5.3.1表明，在Rn中正交向量组至 多含有n个向量，这是因为在Rn中至多有n 个线性无关的向量.
怎样得到一个正交向量组？
危房改造：将无关向量组改造成正交向量 组！ 如何改造：先考察平面情形。
施密特(Schmidt)免费拨款危房改造：
定理5.3.2 (施密特正交化定理) 设
α1,α2,…,αm(m≤n)是Rn中线性无关向量组，令
, , k11 k22 kmm k1 ,1 k2 ,2 km ,m
0,
故β与γ正交. (2) 设γ=k1α1+k2α2 +…+kmαm=0,
定义5.3.1 设 (a1, a2 ,, an )T (b1, b2 ,, bn )T是实n维向量空间Rn中任二 向量，令
, a1b1 a2b2 anbn
称实数<α,β>为向量α与β的内积.
易见 , T
向量的内积具有以下性质： 1. 对称性<α,β>=<β, α > 2.线性性<α+β, γ>= <α, γ>+ <β, γ>
用α1与上式两边作内积运算，得
k1 1,1 k2 1,2 km 1,m 1,0 0
由于α1,α2,…,αm两两正交，则当j≠1时, <α1,αj>=0. 于是得到,k1<α1,α1>=0,
即k1|α1|2=0.由于α1是非零向量，故|α1|≠0， 因此k1=0.
用αi替代 α1重复以上论证，可得ki=0， i=2,…, m，这就证明了α1,α2, …, αm线性无关. 证毕.
Aα= λ0α两边取共轭复数得, 由于A 是实对称矩阵，有 A 0 ，由于A是实对 称矩阵，有 AT A, A A 从而
A A A 0
又对Aα= λ0α两边取转置得
T AT T A 0 T
于是0T T A T (0) 0 T
即
(0 0)T 0
由于
a1
T
a1,
a2,, an
1 1,
2
2
2, 1,
1 1
1,
m
m
m1 j 1
m, j j,j
j
则β1,β2,…,βm是正交向量组，且与向量组 α1,α2,…,αm等价.
如何由正交组得到标准正交组？ 将正交组中每个向量单位化即得标准正交组！
例5.3.2 设 1 (1, 1, 1) 2 (0, 1, 2) 3 (2, 0, 3) 是R3中的向量组，用施密特
设α1,α2,…,αm是Rn中的向量组
若一条直线与平面中的两条相交直线 垂直，则与该平面的任一直线垂直。推而 广之：
(1) 若β与α1,α2,…,αm的每一个向量 正交，则β必与α1,α2,…,αm的任一线性组
合正交.
其中α1,α2,…,αm是Rn中的向量组
互相垂直的两直线必不共线或平行。
(2) 若α1,α2,…,αm是正交组，它们必 线性无关.
全为实数时，称为n阶实对称矩阵.
定理5.3.3 设A是实对称矩阵，则A 的特征值全为实数.
证 设λ0是A的特征值，则有非零向量
α使Aα= λ0α.记
A aij nn
a1
a2
,
an
a1
a2
,
an
其中ai 表示ai的共轭复数(注意现在并不
知道λ0是否实数，也不知道α是否为实向 量).
2 1 1 0 1 3, 3 1 1 9 4 15
从而α1,α2,α3都不是单位向量. 把它们单位 化，令
1
1 7
1
1, 7
2 , 1 , 77
1 7
2
1 3
2
1 , 1 ,0, 33
1 3
3
1 3
15
1 , 15
1, 15
3, 15
2 15
则β1,β2,β3是标准正交组.
以下向量组是正交向量组吗？是标准 正交组吗？
1 (1,2,1,1) 2 (1,1,0,1) 3 (1,1,3,2)
是R4中正交向量组，但不是标准正交组. 因为
1,2 1 2 0 1 0
1,3 1 2 3 2 0
2 ,3 11 0 2 0
故 1,2 ,3 是正交组. 又 1 1 4 1 1 7
任给非零向量α ， |α|＞0，从而
1 的长 1 1 ，即 是单位向量
称为α的单位化.
定义5.3.4 设α1,α2,…,αs 是一组皆 非零的向量.若其中任意两个向量都是正 交的，则称其为一个正交向量组.仅由一 个非零向量组成的向量组也称为正交向量 组.
若正交向量组中每个向量都是单位向 量，则称其为标准正交组.
<kα,β>=k<α, β>
3.恒正性 <α,α>>0, 当α≠0.
内积为零的两个向量称为正交向量. 零向量与任何向量正交.
定义5.3.3 设α是n维向量，称 , 为α的长，记为 |α|. 若 |α|=1， 称α为单位向量.
|α|=0 IFF α为零向量.
k k, k k2 , k
2
3
5 , 5 , 5 6 3 6
再令 1
1
1
1
1, 3
1, 3
1 3
2
1
2
2
1 , 0, 2
1 2
3
1
3
3
1 , 6
2, 6
1 6
则β1,β2, β3 是α1,α2, α3的标准正交组.
5.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量 当n阶矩阵A=(aij)nn 满足aij=aji，且aij
正交化方法把它们化为标准正交组.
解 易验证 α1,α2,α3线性无关，从而 可施行施密特标准正交化.
令 1 1 (1, 1, 1)
2
2
2,1 1, 1
1
(0, 1,
2)
3 (1, 1, 1) 3
(1,
0, 1)
3
33, 2 2, 22 Nhomakorabea3,1 1, 1
1
(2, 0, 3) 1 (1, 0, 1) 5 (1, 1, 1)
a2
an
§5.3 实对称矩阵的相似对角化 5.3.1 向量的内积与施密特正交化方法
建立n维实向量空间中的直角坐标系 长度？夹角？垂直？
设
i,
j,
k
是三维向量空间中互相垂直的单位向量,若
a1i b1 j c1k , a2i b2 j c2k ,
则α与β的数量积 a1a2 b1b2 c1c2
定理5.3.1表明，在Rn中正交向量组至 多含有n个向量，这是因为在Rn中至多有n 个线性无关的向量.
怎样得到一个正交向量组？
危房改造：将无关向量组改造成正交向量 组！ 如何改造：先考察平面情形。
施密特(Schmidt)免费拨款危房改造：
定理5.3.2 (施密特正交化定理) 设
α1,α2,…,αm(m≤n)是Rn中线性无关向量组，令