第八章 扭转问题

第八章 直杆的扭转 Torsion of Bar
直杆的扭转
扭转问题中应力和位移 椭圆截面的扭转 扭转问题的薄膜比拟
矩形截面杆的扭转
薄壁杆的扭转
扭转问题的位移解法
扭转问题中应力和位移
问题： （1）等截面直杆，截面形状可以任意； （2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ； （3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ； 求：杆件内的应力与位移？
l xz s m yz s 0

将 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy dx ( )( ) 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
d 0 ds
2 f1 0, 2 z 2 f2 0, 2 x
2 f2 0 2 z 2 f1 0, 2 y
f1 u0 y z z y K1 yz
f 2 v0 z x x z K 2 zx f f 又由： 2 1 0 得： x y z K 2 z z K1 z 0
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
基本方程的求解
2 yz 0
（a）
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
—— 平衡方程
由式（a）的前二式，得
zx zx ( x, y) zy zy ( x, y ) —— 二元函数
分部积分，得：
yX xY dxdy y x dxdy y y x x dxdy
zx zy
y C D

同理，得：
B y dy dx A y
D x dx dy C x dxdy
代入后三式，有
再几何方程方程代入，有
u 0, v 0, w 0, y x z w v 1 , （f） y z G x u w 1 , v u 0 z x G y x y
积分前三式，有
f 3 f 2 1 ( x, y) , y z G x f1 f 3 1 ( x, y) , z x G x f 2 f1 0 x y
zx 0
2
—— 扭转问题的相容方程 （b） （c）
边界条件： （1）侧面：
（2）端面：
l zx s m zy s 0 （∵n = 0, X Y Z 0） Xdxdy zxdxdy 0
（d）
Y dxdy zy dxdy 0 （e） （f） yX xY dxdy y zx x zy dxdy M
其中： i内 , Ai内 —— 分别为第i个内边界上φ的值和第i 个内边界所围的面积。 结论：等直杆的扭转问题归结为解下列方程：—— 应力函数法
i 1
n
泛定方程：
定解条件：
2 C
s 0
2 dxdy M
zx xz , y zy yz x
zx xz , y zy yz x
（x，y）——扭转应力函数
—— (Prandtl)应力函数
3. 扭转问题杆件位移与变形
u Kyz v Kzx
w 1 Ky, x G y w 1 Kx, y G x
表明：在杆件的侧面上（横截 面的边界上），应力函数 应 取常数。 又，应力函数 差一常数不影响应力分量的大小， 于是对单连体（实心杆）可取：
s 常数

s 0
—— 扭转问题的定解条件之一。 对于多连体（空心杆）问题， 在每一边 界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此， 只能将其中的一个边界上取 s=0，而其余边界 上则取不同的常数，如：
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
相容方程：
2 C
—— 相容方程
（a）
s 0
—— 侧面边界条件
2 dxdy M
2
zx 0
2
（b）
2. 扭转问题应力的求解 ——应力函数法

X dxdy 0,
（c）
（d） Y dxdy 0, yX xY dxdy M , （e） 对式（c），应有
zx xz , y zy yz x
X dxdy zxdxdy y dxdy B ( )dx 0 dy dx B A A y
由此可见： 对每个横截面（z =常数） 它在 x y 面上的投影形状不变，而只 是转动一个角度 =Kz 。
其中： u0、v0 、x、y、z 和 以前相同，代表刚体位移。
v v0 z x x z Kzx
若不计刚体位移，只保留与 变形有关的位移，则有
d K dz
K —— 单位长度杆件的扭转角 。
2GK
2
将其对照下式：
2 C
可见：
2 w 1 2 K, 2 xy G y 2w 1 2 K, 2 yx G x
C 2GK
实际问题中，K 可通过实验测得。
小 结：
1. 扭转问题按应力求解的基本方程 平衡微分方程： 应力函数的确定
1. 扭转应力函数
求解方法： 按应力求解； 半逆解法 —— 由材料力学中某些结果 出发，求解。 材料力学结果： （1） 0 （∵自由扭转）
x y z
（2）侧表面： 扭转问题的未知量：
zx , zy
xy 0
——为三向应力状态，且不是轴对称问题。
扭转问题的基本方程 平衡方程：
从中求得：
u Kyz v Kzx
将其用极坐标表示：
由
ur u cos v sin u u sin v cos ur 0, u Krz
将式（10-6）代入，有：
K 2 K1 K
代入 f1、f2 和 u、v 得：
u u0 y z z y Kyz
s 0
0
s Ci Ci
i
——由位移单值条 件确定。
zx xz , y zy yz x
（2）上端面：(l 0
l x s m yx s n zx s X l xz s m yz s n z s Z
u Kyz v Kzx 1 将其代入： w v , y z G x u w 1 , z x G y
有：
将两式相减，得：
1 1 0 2K 2 2 G y G x 1 2 0 2K G
2 2
w 1 Ky, x G y w 1 Kx, y G x
同理，对式（d），应有
yX xY dxdy y
对式（e）：
Y dxdy 0
zx

x zy dxdy
y y x x dxdy
y dxdy x dxdy y x B D y dy dx x dx dy A y C x
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
得：
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
（a）
—— 扭转问题的平衡方程
相容方程：
2Θ (1 ) 2 x 2 0 x 2Θ (1 ) 2 y 2 0 y 2Θ (1 ) 2 z 2 0 z 2 yz 0
2Θ (1 ) 2 yz 0 yz 2Θ (1 ) 2 zx 0 zx 2Θ (1 ) 2 xy 0 xy
—— 扭转杆件的位移
C K 2G
D M K
2 或：K 2G
也称普朗特尔(Prandtl)应力函数
zx xz , y zy yz x
将应力代入相容方程（b），有
2 yz 0
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
y 0, 2 0 x
l , m 0, n 0
0 0 0 0
l x s m yx s n zx s X l xy s m y s n zy s Y 0
0 0 0
l xz s m yz s n z s Z
dy l cos( N , x) cos ds dx m cos( N , y) sin ds
由式（a）的第三式，得
zx , zy y x
于是有：
xz yz x y
由微分方程理论，可知：一定存 在一函数（x，y），使得：
zx xz , y zy yz x
（x，y）——扭转应力函数
2
2 0, y 2 0, x




由此可解得：
2 C
结论： 等直杆的扭转问题归结为： 按相容方程确定应力函数（x， y），然后确定应力分量，并使 其满足边界条件。
—— 用应力函数表示的相容方程 式中：C 为常数。
定解条件——边界条件 （1）侧表面： 0 0
将其代入式（e）：
yB B y A A dy dx dxdy
y A dy dx
B




yX xY dxdy M
得到：