第八章扭转作用
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第八章 扭转
二、选择题
1、阶梯圆轴的最大切应力发生在（ Ａ．扭矩最大截面 Ｃ．单位长度扭转角最大的截面 2、扭转切应力公式 ）。 Ｂ．直径最小的截面 Ｄ．不能确定 ）杆件。
MT 适用于（ Ip
Ａ．任意截面 Ｂ．任意实心截面 Ｃ．任意材料的圆截面 Ｄ．线弹性材料的圆截面 3、单位长度扭转 与（ ）无关。 Ａ．杆的长度 Ｂ．扭矩 Ｃ．材料性质 Ｄ．截面几何性质 解析：长度为 l 的等截面圆杆承受矩Ｍn 时，圆杆两端的相对扭转角为 式中ＧＩＰ称为圆杆的抗扭刚度。单位长度扭转角为
故，强度满足。 （2）刚度校核。 180 4774 .5 180 T ' max GI P 80109 0.14 10.54 32
0.37
故，刚度满足。
m
' 0.5
m
6、如图所示的空心轴，外径 D=69mm，内径 d=50mm，受均布力偶 m=0.2KN.m/m 的作用。 轴的许用应力[ ]=40MPa，[ ]=1.3o/m，G=80GPa。轴的长度 l=4m。试校核轴的强度和刚 度。
Mn 2 At
式中 t 为横截面的厚度（等厚度截面 t 为常数），Ａ为截面中线包围的面积。 截面的最大切应力发生在厚度最小处，即
max
Mn 2 At min
等厚度闭口薄壁杆件的扭转角为
M n sl （式中 s 为截面中线的长度） 4GA 2 t
9．当闭口薄壁杆件扭转时，横截面上最大切应力出现在最小厚度处。 （√） 10．受扭杆件所受的外力偶矩，经常要由杆件所传递的功率及其转速换算而得。（√） 解析：杆件所受外力偶（称为转矩）的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若已 知轴传递的功率Ｐ（kW）和转速 n（r/min），则轴所受的外力偶矩Ｔ＝9549P/n（Ｎm）。
第八章圆轴扭转
§8 扭 转
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
工程力学第八章圆轴的扭转详解
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP
单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIP
扭转刚度条件则为： qmax[q ] ---许用扭转角 机械设计手册建议：[q ]=0.25~0.5/m; 精度高的轴；
[q ]=0.5~1.0/m; 一般传动轴。
整理课件
32
3.扭转圆轴的设计
强度条件： t max T /WT [t ]
Mo
Mo
假想切面
取左边部分
Mo
外力偶
T 内力偶
由平衡方程： T M o 整理课件
平衡
4
返回主目录
Mo
Mo
T
取左边部分
Mo 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
Mo
TMo T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
整理课件
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
Mo
T
正
Mo
T
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?
T
o
o
o
o
T
T
T
整理课件
24
8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左 右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB GIPAB
+ T BC lBC GIPBC
整理课件
第八章 扭转问题
第八章 直杆的扭转 Torsion of Bar
直杆的扭转
扭转问题中应力和位移 椭圆截面的扭转 扭转问题的薄膜比拟
矩形截面杆的扭转
薄壁杆的扭转
扭转问题的位移解法
扭转问题中应力和位移
问题： （1）等截面直杆，截面形状可以任意； （2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ； （3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ； 求：杆件内的应力与位移？
l xz s m yz s 0
将 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy dx ( )( ) 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
d 0 ds
2 f1 0, 2 z 2 f2 0, 2 x
2 f2 0 2 z 2 f1 0, 2 y
f1 u0 y z z y K1 yz
f 2 v0 z x x z K 2 zx f f 又由： 2 1 0 得： x y z K 2 z z K1 z 0
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
基本方程的求解
2 yz 0
（a）
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
—— 平衡方程
由式（a）的前二式，得
zx zx ( x, y) zy zy ( x, y ) —— 二元函数
分部积分，得：
yX xY dxdy y x dxdy y y x x dxdy
zx zy
y C D
同理，得：
B y dy dx A y
直杆的扭转
扭转问题中应力和位移 椭圆截面的扭转 扭转问题的薄膜比拟
矩形截面杆的扭转
薄壁杆的扭转
扭转问题的位移解法
扭转问题中应力和位移
问题： （1）等截面直杆，截面形状可以任意； （2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ； （3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ； 求：杆件内的应力与位移？
l xz s m yz s 0
将 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy dx ( )( ) 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
d 0 ds
2 f1 0, 2 z 2 f2 0, 2 x
2 f2 0 2 z 2 f1 0, 2 y
f1 u0 y z z y K1 yz
f 2 v0 z x x z K 2 zx f f 又由： 2 1 0 得： x y z K 2 z z K1 z 0
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
基本方程的求解
2 yz 0
（a）
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
—— 平衡方程
由式（a）的前二式，得
zx zx ( x, y) zy zy ( x, y ) —— 二元函数
分部积分，得：
yX xY dxdy y x dxdy y y x x dxdy
zx zy
y C D
同理，得：
B y dy dx A y
建筑力学_第八章-090514
达到最大值，在圆心处τ ＝0。
b）在任一圆周上，剪应力与圆周线平行，与半径垂直。
§8-5 等直圆杆在扭转时的应力强度条件
3、力学关系
j j T Ad A G d d xA2 d A G d d xIp
Ip
2d A—极惯性矩
A
T
T
d/2 ρ O
max
D/2
d/2 O
§8-2 连接接头的强度计算
（2）铆钉的剪切与挤压强度计算 运用截面法将铆钉假象地沿剪切面1－1截开
由静力平衡条件得:
Q=P
mQ A1 . 2 5 4 1 230 9.5 9 N /m2m 9.5 9 M P [m ]
4
［τm」=100MPa
§8-2 连接接头的强度计算
铆钉所受的挤压力为 有效挤压面积
知F=50kN，b=150mm，δ =10mm， d=17mm，a=80mm，[σ ]=160MPa， [τ ]=120MPa，[σ bs]=320MPa，铆钉 和板的材料相同，试校核其强度。
解：1.板的拉伸强度
2.板的剪切强度
Fs F 50103 A 4ad 40.080.01
a
b
T
O2
d
a
c
b a’
b’
dj
T
a
dx b
dj
dx
§8-5 等直圆杆在扭转时的应力强度条件
扭转
2、物理关系(剪切虎克定律)
G
GGd djxG
应力分布
d/2 ρ O
maxG RGd d R j xGR
max
说明：
a）剪应力与半径成正比，在外圆周上剪应力
《工程力学》第 8 章 扭 转解析
受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变 了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量 （以弧度计）称之为切应变。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
18
T
g (rad)
T
φ
l
根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称 性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变 均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下， 圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外 圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相 应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系
11:02
工程力学电子教案
扭
转
25
理论分析和实验都表明，对于各向同性材料， 剪切弹性模量与其它两弹性参数E和n 之间存在下列 关系：
E G 2(1 n )
泊松比
以上即为薄壁圆筒受扭时的变形与应力理论。 它是实心圆杆扭转时变形与应力理论的基础。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
26
§8-2 圆杆扭转时的应力与变形
11:02
工程力学电子教案
扭
转
4
T a
A m O o
m
b b T o′ b′ O B
m
l
T
m
MT x
由图示任意横截面m- m左边一段杆的平衡条 件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于 横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩， 常用符号MT表示。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
5
T
a A O o
工程力学电子教案
扭
转
1
第8章 扭
转
§8-0 扭矩和扭矩图 §8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形 §8-3 强度条件及刚度条件 §8-4 等直圆杆在扭转时的应变能
扭矩、扭矩图
AB T L / GIP
GI P称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 27
例2.
空心圆轴如图，已知MA=150N· m，MB=50N· m MC=100N· m，材料G=80GPa， 试求（1）轴内的最大切应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
MA
8
A
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。 解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
PA 400 M A 9.55 9.55 5.46kN m n 700 PB 120 M B M C 9.55 9.55 1.64kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m 9 n 700
A
f22
2) 计算各段应力:
f24
MA
f18
MB
MC
C
BC段： N-mm-MPa单位制
A
1000
B
1000
t max 2
T2 T2 3 pD2 d WT 2 [1 ] 16 D2
3
T /N· m
150
100 B C
100 10 16 3 4 86.7MPa 22 p[1 - (18 / 22) ]
13
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8.3.1 圆轴扭转的应力公式
1. 变形几何条件
变形前
变形后
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性 转动角df，原来的方形ABCD变成为菱形ABCD。
第八章工程力学之扭转全解
设 d DO2 D为半径转过的角度，亦即楔形体左、右两截面 间的相对扭转角。 设 dad ，由图形可以看出 dd dx d d 即： dx d 式中 代表扭转角沿轴线方向的变化率。对于同一截面，它 dx 是一个定值。由此可见，剪应变 与半径 成正比。
例如作图8-4（a）所示轴的扭矩图。
AB轴可以分为等扭矩的AC段和CB 段，AC段各截面的扭矩都等于T1， CB段各截面的扭矩都等于T2。建立 如图8-7所示坐标，水平轴代表各截 面的位置，垂直轴代表扭矩的大小， 正扭矩画在水平轴的上方，负扭矩画 在水平轴的下方，得到图8-7所示扭 矩图。
例8-3 图8-8（a）、图8-8（b）所示传动轴，转速n=300r/m。 A为主动轮，输入功率NA=10kW； B、C、D为从动轮，输出功 率分别为NB=4.5kW，NC=3.5kW，ND=2.0kW。试绘轴的扭矩 图。
径线性分布。楔形体上的剪应力分布如图8-14所示。 结论： 圆轴扭转时横截面上的扭转剪应力 垂直于半径， 并与半径 成正比。横截面中心处的剪应力为零，外表面上 剪应力最大，在半径为 的各点处剪应力大小相等。 实心圆截面轴和空心圆截面轴横截面上的扭转剪应力的分 布情况分别如图8-15（a）、图8-15（b）所示。
2. 物理方面 以 代表横截面上半径为 处的剪应力，即d点处的剪应 力，根据剪切虎克定律，在弹性范围内，剪应力 和剪应变 成线性关系，即有 G
d 将（8-3）式代入上式，得： G dx 上式表明： 扭转剪应力 与半径 成正比，即剪应力沿半
'
上式表明： 在相互垂直的两个截面上，剪应力 必然成对存在，大小相等，都垂直于两个截面的 交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这 一规律称为剪应力互等定理。
《工程力学》第八章 扭转
• 规定为负。因此,同一截面左右两侧的扭 矩,不但数值相等,而且符号相同。
• 3)扭矩图
• 为了显示整个轴上各截面扭矩的变化规律, 可用横坐标表示截面位置,纵坐标表示各 截面扭矩的大小,按适当比例尺绘出扭矩 图,以便确定最大扭矩数值及危险截面。
• §8-3 薄壁圆筒的扭转纯剪切
• 一、薄壁圆筒扭转时横截面上的应力
• 式中θmax和[θ]的单位为度/米(°/m)。
图8-21 *§8-6 圆轴扭转时的变形能
• 当轴扭转时,轴内将积蓄变形能。扭转实 验表明,在弹性范围内受扭圆轴端面的扭 转角φ与外力偶矩m成正比。如图8-22所 示,当等截面圆轴承受的外力偶矩从零逐 渐增到m时,其扭转角也从零增加到φ。
• 所以,外力偶矩所做的功 • 将 代入上式 • 于是得到扭转时的变形能为
即
上式表明：在互相垂直的两个平面上,剪应力必然 成对存在,且数值相等；二者都
• 垂直于两平面的交线,其方向则共同指向
• 或共同背离两平面的交线,这种关系称为 剪应力互等定理。在图8-9所示微体的四 个侧面上,只存在剪应力而无正应力,这种 受力状态称为纯剪切。
• 三、剪切虎克定律
• 薄壁圆筒的扭转实验表明(图8-10),当剪 应力不超过材料的比例极限τp时,剪应力τ 与剪应变γ成正比,即
为了保证圆轴扭转时不发生破坏,要求它在工作 时危险截面上的最大工作剪应力τmax不 超 过 材料的许用扭转剪应力[τ],所以扭转强度条件 为
• 三、圆轴扭转的刚度条件 • 在生产中要限制轴产生过大的扭转变形。
扭转变形过大,将会引起较大的扭转振动, 影响机器的正常运转和工件的加工质量。 为了保证轴的刚度,通常规定轴的最大单 位长度扭转角θmax不超过许用扭转角[θ], 即刚度条件为
第八章 约束扭转
第八章
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7
开口截面的约束扭转
概述 约束扭转正应力分析 主极点和主零点位置确定 约束扭转正应力及对应的内力－双力矩 约束扭转剪应力及对应的内力 扭转角的微分方程，和初等参数方程 缀板式开口薄壁杆件的约束扭转问题
§8-1
概述
受弯构件只有当横向力通过横截面上的一 个特定点—弯曲中心时，杆件才只产生弯 曲。否则，杆件在弯曲的同时，还将产生 扭转。 杆受扭转时横截面绕以转动的点按物理概 念应为扭转中心，扭转中心不一定与形心 重合。 非圆形截面杆受扭时，横截面不再保持为 平面而发生翘曲；
S x
S y
ydA 0 xdA 0
A
A
8－10
S
A
dA 0
极点及弧长起算点移动时的变化公式
A B y x x y C
(8-11）
主极点和主零点位置
x
SB x Ix
, y
SB y Iy
,C
SB A
x
SB x Ix
3b 2 1h 6b 2
2
b x 2
8-4约束扭转正应力所对应的内力—双力矩 S 0 从工字形截面杆件的约束扭转变形来看， 正是翼缘平面内组成的两个相距h的等值 反向的内力矩 B,称为双力矩
h B M f h 2 x dA 2 dA dA Af Af A 2
便可得到它们的初参数方程式
0 C2 C4 0 C1 K C3 B0 GI t C2 L GI C t 3 0
便可得到它们的初参数方程式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7
开口截面的约束扭转
概述 约束扭转正应力分析 主极点和主零点位置确定 约束扭转正应力及对应的内力－双力矩 约束扭转剪应力及对应的内力 扭转角的微分方程，和初等参数方程 缀板式开口薄壁杆件的约束扭转问题
§8-1
概述
受弯构件只有当横向力通过横截面上的一 个特定点—弯曲中心时，杆件才只产生弯 曲。否则，杆件在弯曲的同时，还将产生 扭转。 杆受扭转时横截面绕以转动的点按物理概 念应为扭转中心，扭转中心不一定与形心 重合。 非圆形截面杆受扭时，横截面不再保持为 平面而发生翘曲；
S x
S y
ydA 0 xdA 0
A
A
8－10
S
A
dA 0
极点及弧长起算点移动时的变化公式
A B y x x y C
(8-11）
主极点和主零点位置
x
SB x Ix
, y
SB y Iy
,C
SB A
x
SB x Ix
3b 2 1h 6b 2
2
b x 2
8-4约束扭转正应力所对应的内力—双力矩 S 0 从工字形截面杆件的约束扭转变形来看， 正是翼缘平面内组成的两个相距h的等值 反向的内力矩 B,称为双力矩
h B M f h 2 x dA 2 dA dA Af Af A 2
便可得到它们的初参数方程式
0 C2 C4 0 C1 K C3 B0 GI t C2 L GI C t 3 0
便可得到它们的初参数方程式
第八章_柱体的扭转
τ zx =
∂ϕ ⎫ ∂y ⎪ ⎪ ⎬ ∂ϕ ⎪ τ zy = − ∂x ⎪ ⎭
（8.5）
函数 ϕ ( x, y ) 称之为扭转应力函数，式（8.5）将两个未知剪应力分量与一个未知函数 ϕ ( x, y ) 联系在一 起，下面寻求 ϕ ( x, y ) 所满足的方程，将各应力分量代入应力协调方程（2.23）式，得：
x
zx
dxdy = 0
(e)
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
图 8.4 柱体端表面边界 考察(j)式中的第一式，利用 Green 公式（见附录）及 ϕ
S
= 0 得:
(f)
∫∫ P dxdy = − ∫∫ τ
x D D
zx
dxdy = − ∫∫
D
∂ϕ dxdy = v ϕ dx = 0 ∫ ∂y S
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
第八章 柱体的扭转
柱体的扭转在土木工程中是一类常见的问题，本章所谓的扭转是指仅在柱体端部受到扭矩的作 用，且扭矩向量方向与杆的轴线重合，本章仅讨论自由扭转问题，即允许柱体受扭变形后的横截面可 以自由翘曲（发生轴向变形） ，关于横截面翘曲受到约束的情况（约束扭转问题）不在本书的讨论范围 之列。 §8-1 扭转问题中的位移与应力 在材料力学中，我们研究过等截面圆柱体的扭转问题（见图 8.1(a)） ，圆柱体的受扭变形有如下的 特点： 1）长度为 l 圆柱体的母线都转过相同的角度 γ （见图 8.1(a)） ；2)每个圆截面都保持为一个平 面，圆的大小、形状保持不变，截面只是在原来的平面内刚性地转动了一个角度，即圆截面在 z 方向 没有发生变形。
再将（8.3）式代入物理方程（2.15）得：
（8.3）
《土木工程-力学》第八章 扭转
其中 2 d A A
称为横截面的极惯性矩Ip，
它是横截面的几何性质。
以Ip
2 d A 代入上式得：
A
dj T
d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点
处切应力计算公式
t
ρ
G
T GIp
T
Ip
30
T
t max
d T
t max
D
t max
t
T
Ip
横截面周边上各点处 r)的
由 t d A r T 根据应力分布可知 Me A
tr0
d A T，于是有
A
t dA
t
r0
T d
A
A
T
r0 (2πr0 )
T
2πr02
引进 A0 πr02 ，上式亦可写作
t T 2 A0
m r0
x m
20
§8-4 切应力互等定理和剪切胡克定律 1. 单元体·切应力互等定理
以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向 截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取 一微小的正六面体——单元体。
{M
e }Nm
2π
{n} r m in 60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上
每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P
之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶
矩： 6
{Me }Nm
9.55 103
{P}kw {n}r
Nm
min
{Me }Nm
9.55 {P}kw {n}r
kN m
kN
m
M2
M3
(9.55 150) 300
第八章园轴的扭转_工程力学
第八章 圆轴的扭转工程构件一般可分为三类。
第四章已指出：杆是某一方向尺寸远大于其它二方向尺寸的构件，若杆件的轴线为直线，则称为直杆。
此外，若构件在某一方向的尺寸远小于其它二方向的尺寸，称之为板。
若构件在x 、y 、z 三个方向的尺寸具有相同的数量级，则称为块体。
本课程主要讨论直杆，这是一种最简单的构件。
如同4.4节所述，在空间任意力系的作用下，杆件截面内力的最一般情况是六个分量都不为零，其变形是很复杂的。
为了简化讨论，我们将杆的基本变形分成为三类，即拉压、扭转、弯曲，如图4.3所示。
前面已经讨论了在轴向载荷作用下杆的拉伸和压缩；现在再来研究杆的另一类基本变形，即扭转问题。
§8.1扭转的概念和实例工程中承受扭转的构件是很常见的。
如图8.1所示的汽车转向轴，驾驶员操纵方向盘将力偶作用于转向轴AB 的上端，转向轴的下端B 则受到来自转向器的阻抗力偶的作用，使转向轴AB 发生扭转。
又如图8.2中的传动轴，轮C 上作用着主动力偶矩，使轴转动；轮D 输出功率，受到阻力偶矩的作用，轴CD 也将发生扭转。
以上二例都是承受扭转的构件实例。
由于工程中承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称之为轴。
本章亦仅限于讨论直圆轴的扭转问题。
图8.2 传动轴图8.3所示为等截面直圆轴扭转问题的示意图。
扭转问题的受力特点是：在各垂直于轴线的平面内承受力偶作用。
如在图8.3中，圆轴AB 段两端垂直于轴线的平面内，各作用有一个外力偶M 0，此二力偶的力偶矩相等而转向相反，故是满足平衡方程的。
圆轴扭转问题的变形特点是：在上述外力偶系的作用下，圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动；任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭转角，以φ表示。
图8.3中，φAB 表示截面B 相对于截面A 的扭转角。
必须指出，工程中的传动轴，除受扭转作用外，往往还伴随有弯曲、拉伸(压缩)等其它形式的变形。
这类问题属于组合变形，将在以后研究。
§8.2 扭矩与扭矩图已知轴所传递的功率、转速，可利用6.3节提供的“功率、转速与传递的扭矩之关系”来计算作用于传动轴上的外力偶矩M 0。
材料力学扭转
材料力学扭转材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而扭转则是材料力学中非常重要的一种变形形式。
在工程实践中，我们经常会遇到各种扭转现象，比如轴承、螺纹、螺栓等零部件的扭转变形。
因此，了解材料力学中的扭转现象对于工程设计和实际应用具有重要意义。
首先，我们来看一下什么是扭转。
扭转是指材料在外力作用下沿着一定轴线发生的旋转变形。
在扭转过程中，材料内部会受到剪切应力的作用，从而导致材料发生扭转变形。
扭转变形不仅会影响材料的外观和尺寸，还会对材料的力学性能产生影响。
在材料力学中，我们通常用剪切模量来描述材料的扭转性能。
剪切模量是指材料在扭转过程中所表现出的抗扭转能力。
剪切模量越大，材料的抗扭转能力就越强，反之则越弱。
因此，在工程设计中，我们需要根据材料的剪切模量来选择合适的材料，以满足工程的扭转性能要求。
除了剪切模量，材料的断裂韧性也是影响材料扭转性能的重要因素。
断裂韧性是指材料在扭转过程中抵抗断裂的能力。
材料的断裂韧性越大，其扭转性能就越好，能够更好地抵抗扭转变形和破坏。
因此，在工程设计中，我们还需要考虑材料的断裂韧性，以确保材料在扭转过程中不会发生过早的断裂。
此外，材料的微观结构也会对其扭转性能产生影响。
晶粒的大小、形状以及晶界的性质都会影响材料的扭转性能。
一般来说，晶粒越细小，晶界越强化，材料的扭转性能就会越好。
因此，在材料的制备过程中，我们需要通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能。
总的来说，材料力学中的扭转现象是工程设计中不可忽视的重要问题。
了解材料的扭转性能，选择合适的材料，并通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能，对于保证工程零部件的稳定性和可靠性具有重要意义。
希望本文能够对大家对材料力学中的扭转问题有所帮助。
工程力学(扭转)课件
扭转力的作用
01
02
03
传递扭矩
在机械系统中，扭转力用 于传递扭矩，实现动力的 传递和转换。
平衡系统
在建筑结构中，扭转力用 于平衡不同方向的力和扭 矩，保持结构的稳定。
调整结构
在桥梁、高层建筑等大型 结构中，扭转力用于调整 结构的形状和稳定性。
扭转力的分类
按作用方式
可分为静态扭转力和动态扭转力。 静态扭转力作用缓慢，变形量较 小；动态扭转力作用迅速，变形
抗扭强度的计算
抗扭强度的计算公式通常基于剪切应 力的极限值或剪切模量，具体公式取 决于材料的性质和受力条件。
除了理论计算，还可以通过实验测试 来测定材料的抗扭强度。实验方法包 括扭转试验、弯曲试验和压缩试验等。
对于金属材料，可以根据弹性力学理 论计算抗扭强度。对于复合材料和复 合结构，需要考虑各组分材料的性能 以及它们之间的相互作用。
未来发展
随着科技的不断进步，工程力学 （扭转）的研究将更加深入和广
泛。
未来研究将更加注重实验和数值 模拟的结合，探索扭转变形的微
观机制和宏观表现。
随着新材料和新工艺的出现，扭 转变形的研究将更加关注材料性
能和结构优化设计。
THANKS
力矩的计算公式
M=FL，其中M为力矩，F 为力，L为力臂。
力臂
从转动轴到力的垂直距离。
力矩的平衡
平衡状态
物体保持静止或匀速直线运动的 状态。
力矩平衡条件
合力矩为零，即所有外力矩的代 数和为零。
平衡方程
∑M=0，其中∑表示求和符号， M表示外力矩。
力矩的传递
传递方式
通过轴承、齿轮等机械零件将力矩传递给其他部件。
扭矩与弹性模量的关系
弹性力学第8章—柱体扭转问题
8.2 基本方程
8.2.2 位移法方程
将扭转时u、v、w的表达式代入位移法基本方程 （6.2.4）
u = − ( rθ z ) sin α = − yθ z ⎫ ⎪ v = ( rθ z ) cos α = xθ z ⎬ w = w ( x, y ) = θϕ ( x, y ) ⎪ ⎭
⎧ ∂e 2 ( ) u=0 λ μ μ + + ∇ ⎪ ∂x ⎪ ∂e ⎪ ( ) λ μ + + μ∇ 2v = 0 ⎨ ∂y ⎪ ⎪(λ + μ ) ∂e + μ∇ 2 w = 0 ⎪ ∂z ⎩
8.1 基本概念 边界条件：
y
n
τ zx
τ zy
ds
τ zy
dF τ zx
x
侧面边界条件：
端部边界条件：
σ x l + τ xy m = 0 ⎫ ⎪ τ yx l + σ y m = 0 ⎬ τ zx l + τ zy m = 0 ⎪ ⎭
l = cos ( n, x ) , m = cos ( n, y )
应力应变关系： 将上述应变表达式代入广义胡克定律，得到
τ zx = Gθ ⎛ ⎜
⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ⎞ − y ⎟ , τ zy = Gθ ⎜ + x ⎟ , σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
平衡方程：
⎫ ∂τ zx =0 ⎪ ∂z ⎪ ∂τ zy ⎪ =0 ⎬ ∂z ⎪ ⎪ ∂τ zx ∂τ zy + = 0⎪ ∂x ∂y ⎭
得到
∂ψ ∂y ∂ψ ∂x dψ + = =0 ∂y ∂s ∂x ∂s ds
y dy ds dx
扭转
已知：空心圆截面轴d=20mm，D=40mm，Mx=1kN· m 求：τ A 、τ max 、τmin
解：
110 15 M x rA A 63.66MPa 4 40 Ip 4 (1 0.5 ) 32
6
max
Mx 110 84.88MPa 3 WP 40 4 (1 0.5 ) 16
②施加一对外力偶 Me。
实验现象：
Me
Me
1.各圆周线绕轴线有相对转动，但形状、大小及相邻 两圆周线之间的距离均不变 。 这说明横截面上没有正应力 2. 在小变形下，各纵向线倾斜了同一角度，但仍为 直线，表面的小矩形变形成平行四边形。 这说明横截面上有切应力 (由于壁很薄，可以假设剪应力沿壁厚均匀分布)
m-m截面上切应力引起的 内力系对x轴的力矩：
M x 2 r r
x
M
0
Me M x 0
Me 2 2 r
二、切应力互等定理
三、切应变
剪切胡克定律
单元体截面上只有切应力而无正应力作用，这种 应力状态叫做纯剪切应力状态。 纯剪切单元体的相对两侧面将发生微小的相对错 动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角 ( 直角 ) 改变了 一个微量γ即为切应变。
②| Mx |max值及其截面位置 （危险截面）。
强度计算
x
例8-2
MB
计算例8-1中所示轴的扭矩，并作扭矩图。 M M M 解： M A 1592N m
A C D
MB
B
C
M B M C 477.5N m
A D
M x1
M D 637N m
x
B MB MC
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适筋破坏：
裂后钢筋应力 增加，继续开 裂，钢筋屈服， 混凝土压碎， 构件破坏
超筋破坏：
裂后钢筋应力 增加，继续开 裂，混凝土压 碎，构件破坏， 钢筋未屈服
设计时应避免出现
部分超筋
破坏：
裂后钢筋应力 增加，继续开 裂，混凝土压 碎，构件破坏， 纵筋或箍筋未 屈服
第八章 受扭构件
8.3 纯扭构件的承载力计算
总结
平衡扭转----静定问题
约束扭转----超静定问题
受扭构件中通常也配置纵筋和箍筋以抵御扭矩
第八章 受扭构件
第八章 受扭构件
8.2 纯扭构件的试验研究
一、素混凝土的纯扭构件
在扭矩作用下，截面上任何一点只有剪应力，矩形截面受扭构件最大剪
应力tmax发生在截面长边中点，由于剪应力产生的主拉应力和主压应力分别
第八章 受扭构件
配筋强度比z
z Astl s f y
Ast1 ucor f yv
试验表明，当0.5≤z ≤2.0范围时，受扭破坏时纵筋和箍筋基本
上都能达到屈服强度。但由于配筋量的差别，屈服的次序是有 先后的。
《规范》建议取0.6≤z ≤1.7，设计中通常取z =1.0~1.3。
第八章 受扭构件
与纵轴成45。和135。，其大小就等于剪应力，当主拉应力达到混凝土的抗 拉强度时，在构件中某个薄弱部位形成裂缝，裂缝沿主压应力迹线迅速延 伸。对于素混凝土构件，开裂会迅速导致构件破坏，破坏面呈一空间扭曲 曲面。
T
t max
T
b2h
T Wte
第八章 受扭构件
二、钢筋混凝土纯扭构件 抗扭钢筋有两种：抗扭纵筋和抗扭箍筋，两者不可缺一，抗
对于平衡扭转，受扭构件必须提供足够的抗扭承载力，否 则不能与作用扭矩相平衡而引起破坏。
第八章 受扭构件
边梁抗扭刚度大
约束扭转
边梁抗扭刚度小
在超静定结构，若扭矩是由相邻构件的变形受到约束而产生 的，扭矩大小与受扭构件的抗扭刚度有关，称为约束扭转 Compatibility Torsion。
对于约束扭转，由于受扭构件在受力过程中的非线性性质， 扭矩大小与构件受力阶段的刚度比有关，不是定值，需要考虑 内力重分布进行扭矩计算。
位形成裂缝，拉力卸给钢筋。随荷载增加，裂缝沿主拉应力迹
线迅速延伸，并且形成许多新的裂缝，构件表面形成连续的螺
旋状裂缝。当接近极限扭矩时，在构件长边上有一条裂缝发展
成为临界裂缝，并向短边延伸，与这条空间裂缝相交的箍筋和
纵筋达到屈服，最后在另一个长边上的混凝土受压破坏，达到
极限扭矩。
裂缝 箍筋
T T
纵筋
本章重点
了解受扭构件的分类和受扭构件开裂， 破坏机理；
掌握受扭构件的设计计算方法； 熟悉公路桥涵工程与建筑工程关于受扭
结构构件计算的相同与不同之处； 熟悉钢筋混凝土受扭构件的构造要求。
第八章 受扭构件
8.1 概 述 两类受扭构件：平衡扭转和约束扭转
构件中的扭矩可以直接由荷载静力平衡求出，与构件刚度 无关，如图所示支承悬臂板的梁、偏心荷载作用下的梁（箱 形梁、吊车梁），称为平衡扭转 Equilibrium Torsion。
2
1bb 2b4bb1(h
22232
2 22
b) 6
2
b2
ft
6
(3h b)
截面受扭塑性抵抗矩
Wt
b2 6
(3h b)
第八章 受扭构件
二、箱形截面
bw
hw
tw
封闭的箱形截面，其抵抗扭矩的作用 与同样尺寸的实心截面基本相同。实 际工程中，当截面尺寸较大时，往往 采用箱形截面，以减轻结构自重，如 桥梁中常采用的箱形截面梁。为避免 箱形截面的壁厚过薄对受力产生不利 h 影响，规定壁厚tw≥bh/7，且hw/tw≤6。
三、破坏形式
按照配筋率的不同，受扭构件的破坏形态也可分为适筋破坏、 少筋破坏、部分超筋破坏和超筋破坏。
◆适筋破坏:箍筋和纵筋配置都适当，与临界（斜）裂缝相交的 钢筋都能先达到屈服，然后混凝土压坏，具有一定的延性。破 坏时的极限扭矩与配筋量有关。
◆少筋破坏：当箍筋和纵筋配筋数量过少时，配筋不足以承担 混凝土开裂后释放的拉应力，一旦开裂，将导致扭转角迅速增 大，构件呈明显的脆性破坏特征，受扭承载力取决于混凝土的 抗拉强度。
◆超筋破坏：当箍筋和纵筋配置都过大时，则会在钢筋屈服前 混凝土就压坏，为受压脆性破坏。受扭构件的这种超筋破坏称 为完全超筋，受扭承载力取决于混凝土的抗压强度。
◆部分超筋破坏：当箍筋和纵筋配筋量相差过大时，会出现一 个未达到屈服、另一个达到屈服的部分超筋破坏情况。
破坏形态
少筋破坏：
裂后钢筋应力 激增，构件破 坏
扭纵筋应沿构件截面的周边均匀布置。
T(T)
钢筋混凝土纯扭构件
开裂前钢筋中的应力很小
T(T)
开裂后不立即破坏，裂缝可 以不断增加，随着钢筋用量 的不同，有不同的破坏形态
第八章 受扭构件
二、钢筋混凝土纯扭构件
抗扭钢筋有两种：抗扭纵筋和抗扭箍筋，两者不可缺一，抗 扭纵筋应沿构件截面的周边均匀布置。
当主拉应力达到混凝土的抗拉强度时，在构件中某个薄弱部
F4+F4=Ast4st
F1+F1=Ast1st
s F3+F3=Ast3st
第八章 受扭构件
构件的抗扭承载力与抗扭钢筋的用量有关，抗 扭钢筋有抗扭箍筋和抗扭纵筋两部分组成，这两 种钢筋的数量即强度相对大小对构件的承载力有 一定影响，试验表明：当抗扭箍筋相对较少时， 抗扭强度由抗扭箍筋控制，即多配的纵筋起不到 提高抗扭强度的作用，当纵筋配置较少时，抗扭 强度由抗扭纵筋控制。
45° ft
Tcr 0.7 ftWt
Wt
b2 6
(3h
b)
截面受扭塑性抵抗矩
ft ft
第八章 受扭构件
按塑性理论
45° ft ft
此时截面上的剪应力分
布如图所示分为四个区， 取极限剪应力为ft，分别 计算各区合力及其对截 ft 面形心的力偶之和，可 求得塑性总极限扭矩为，
T
ft
(h
b)
b 2
b 4
8.3.1开裂扭矩的计算
一、矩形截面
开裂扭矩等于构件即将开裂时截面单位面积上的内力对中心 的力矩和，因此，开裂扭矩与开裂时截面上的应力有关，混凝 土既不是弹性的，也不是完全塑性的，按弹性理论分析和塑性 理论分析都不合适，《规范》给出的开裂扭矩计算公式，是近 似采用塑性材料的应力分布计算，但要乘以降低系数。
bh
Wt
bh2 hw
bw )
第八章 受扭构件
第八章 受扭构件
三、带翼缘截面