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第三章 量子力学初步(1)

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原子物理学课后习题答案

原子物理学课后习题答案

第一章 原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭'C 放射的，其动能为67.6810⨯电子伏特。

散射物质是原子序数79Z =的金箔。

试问散射角150οθ=所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mv ctgb b Ze Zeαθπεπε==得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米式中212K Mv α=是α粒子的功能。

1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为220121()(1)4sinmZe r Mv θπε=+，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。

问质子与金箔。

问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e +电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。

当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：220min124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。

量子力学初步

量子力学初步


11
当他们得知物质波的概念后，又精细地进行实验，将54ev 的电子束（对应λ ＝0.167nm）直射在镍单晶上，按照布喇格 , 衍射公式， 2d sin 2d sin(90o - ) n ,d a sin 有 asin n (θ =2α ),取a=0.215nm （镍晶格常数）,算得 sin(/a) 50.9, 它比实验测值(θ =50o)差不到1度。（这个 差值还是由于电子进入晶格内波长变小的缘故，动量和能量 在晶格中都会增大，使衍射角 θ 小于50.9o。)
25
波函数是几率幅，波函数又是描述量子体系的态函数，所 以波的叠加就是态的叠加。波的叠加导致了干涉、衍射的波动 以波的叠加就是态的叠加。波的叠加导致了干涉、衍射的波， 性。态的叠加更深刻的含义是，如果态Ψ1是系统的一个可能态， Ψ2也是系统的另一个可能态，那么c1Ψ1+c2 Ψ2 也是系统的可 能态。这个态既不完全是Ψ1 ，也不完全是态Ψ2 。而是它们各 占几率为|c1|2＋|c2 |2的混合态。这种混合态导致了量子干涉 效应。也导致了在叠加态下测量结果的不确定性。
c ( x2 )
( x2 )
它们描述的相对概率是一样的。然而对于经典的波函数， 这完全对应两种不同的状态。 20
3. 波函数统计意义的实验说明
让我们再回到对光的认识上，人们用光子概念出奇地解 释了光电效应和康普顿效应，并发现了光的波粒二象性， 即在上述的物理过程中光的能量和动量都是以一份一份进 行交换的。那么用光子观点将如何解释光波的波动性，如 干涉和衍射现象呢?为此人们减弱光强观察干涉和衍射这些 代表波动性的现象。现代技术允许将光强减弱到每次只接 收单个光子的精度，这称单光子干涉、衍射实验。结果发 现，在每次实验中每个光子的去向完全是随机的，然而当 把长时间记录的大量的单光子图片拼集在一块时，发现这 种集合图样正是用一束强光(大量光子)在瞬间显示的干涉 图样。
原子物理3

原子物理3


19世纪末的三大发现 揭开了近代物理的序幕
1895年的X射线 1896年放射性元素 1897年的电子的发现
早期量子论 量子力学
相对论量子力学
普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论
德布罗意实物粒子波粒二象性 薛定谔方程 波恩的物质波统计解释 海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义 相对论相结合
四、德布罗意波和量子态
v 质量为 m 的粒子以速度 匀速运动时，具有能
量 E 和动量 p ；从波动性方面来看，它具有波长
和频率 ，这些量之间的关系遵从下述公式：
E mc2 h
p mv h

具有静止质量 m0 的实物粒子以速度 v 运动，
则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：
的精密度的极限。还表明
px 0 x 位置不确定
x 0 px 动量不确定
pyqy 2
pzqz 2
pxqx 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
二、测不准关系式的理解 1、 用经典物理学量——动量、坐标来描写微 观粒子行为时将会受到一定的限制 。 2、 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应 该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
例3 电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子 枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后 的横向速度的不确定量。
解： 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm
vx 2mx 0.58m s
v 2eU 6 107 m/s m
pdp m
E vp
Et vpt pq
2
mv
第三章 量子力学初步

第三章 量子力学初步


2
求出本征函数ψ 的表 达式和本征值E的数值
求解微分方程，需要利用一定的边界条件
1、一维简谐振子势
1 2 1 2 2 • 势能 V ( x) kx m x 2 2
哈密顿方程为：
势能函数是 一条抛物线
V ( x)
d 2 ( x) 1 2 kx ( x) E ( x) 2 2m dx 2
X<0区域内薛定谔方程的通解：
I ( x) Ae
ik1x
Be
ik1x
b) x>0 区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为：
d 2 2 ( x) 2m(V0 E ) 2 ( x ) k 2 2 2 ( x) 2 2 dx
其通解为：
2m(V0 E ) k 2
2 2
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
2
2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:
E1
2
2
2ma 2
为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：
xp
2
势阱中的位置不确定量为Δx≈a
p
进一步确定 本征函数
2a
不可能有
p0
nx nx ( x) A cos B sin a a
当 x
a 时，依据边界条件，有 2
通解为
( x) A cos kx B sin kx
量子力学初步

量子力学初步

符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符
来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
数学运 算符号
劈形算符
拉普拉 斯算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
位矢算符
动量算符 动能算符
哈密顿算符
含动、势能
若 作用在某函数 上的效果
和 与某一常量 的乘积相当，
即
则
称为 的 本征值
称为 的 本征函数
所描述的状态称为 本征态
真 空 或 介 质
电子云
纵向 分辨率 达 0.005 n m
横向
分辨率达 0.1 n m
续上
电 子
沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈
测 信号调节针尖到样ห้องสมุดไป่ตู้表层原子点阵的距离，
控 使 保持不变。针尖的空间坐标的变化
及 反映了样品表面原子阵列的几何结构及起
数 伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。
（1887-1961获1）933年诺贝尔物理学奖
含时薛定谔方程
若粒子所在的
势场只是空间函数
即
，则
对应于一个可能态
有一个能量定值
定态薛定谔方程
定态薛定谔方程
定态 波函数
解释： 若 故
时间的函数
由
则
可分离变量，写成
得 定态薛定谔方程
常量
对应一个可能
空间的函数 态有一常量
此外，对
解得 将常量 归入 定态波函数
由 （4）以区 上向 结势 论垒 都能运 不动 对流。 密度分布取决于空
概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 Si (111)表面 7×7 元胞的STM图像
7 ×10 -16 eV
各点波强的比例，并非取
量子力学第三章

量子力学第三章

第三章 定态方程的初步应用
3.1求一维无限深势阱中的粒子处于第一激发态时概率密度最大值 的位置。
解 一维无限深势阱中粒子的波函数是 对第一激发态，，故 令 得五个极值可疑点：
和4 又因为 将代入上式得，故概率密度最大值位于和处。
3.2若粒子的波函数形式为，求粒子的概率分布，问粒子所处的状 态是否定态？
解 （1）
（2）
3.5在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态
波函数具有确定的宇称。
解 一维运动的薛定谔方程为
（1）
式中
（2）
依题意，在坐标反射变换时
再注意到当时是不变量，因此 （3）
即在坐标反射变换下，哈密顿算符具有不变性。 设坐标反射变换而得的态用表示，这时薛定谔方程为 （4）
有一个交点，故只有一个束缚态。 当 ，即
时两曲线有两交交点和，故有两个束缚态。
（5）式中常数由归一化条件求得：
最后得到波函数为
3.9设粒子处于半壁无限高的势场中 中运动，设粒子能量，求束缚态能量所满足的方程及至少存在一个束缚 态的条件。
解（1） 一维定态薛定谔方程为 将所给势能代入上式得 即 令 它们皆为实数，于是得到
它们的解分别为 但，否则时，不满足波函数有限性的要求，于是
因此在势阱中粒子满足如下薛定谔方程
或
即
（1）
其中
（2）
假设粒子处于态，与无关，因而
，
于是（1式变成
它的解为
代入（3）式得
（4）
为满足有限性要求，，否则处无限大，于是
（5）
又在处，这是因为边界是理想反射壁，粒子不能透出势阱外，于是
即
即 注意到（2）式，便得到球形势阱中粒子的能级 可见能级是量子化的，与一维无限深势阱的结果相似。
量子力学 第三章 课件

量子力学 第三章 课件


可以看出，相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时，本征值间隔可任意小；当 L 时 Px 0 ，即离散谱→连续谱
（3）在自由粒子波函数 P r , t 所描写的状态中， 粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
5
3.1 表示力学量的算符
（1）算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号
ˆ Fu v
例：
ˆ F dx ˆ Fx
ˆ d F dx
ˆ F 称为算符 d uv dx
udx v
xu v
(2）算符的本征方程 ˆ 算符 F 作用在函数 上，等于一常数 乘以 ˆ ˆ 即 F 此称为算符 F 的本征方程
17
2 角动量算符 （1）轨道角动量算符的定义
z
r
r y
ˆ r P ˆ L
ˆ ˆ zP i y z Lx yPz ˆy z y ˆ ˆ xP i z x Ly zPx ˆz x z ˆ xP yP i x y ˆ ˆ Lz y x y x
ˆ 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
证明：
ˆ px dx i x dx
* *
* * ˆ i i dx ( px )* dx x
11
3.2 动量算符与角动量算符
1 动量算符
z
dz
Pz P ( z )
z
P ( z ) C3e
z
归一化系数的确定
1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ，即
原子物理(褚圣麟)复习题解答

原子物理(褚圣麟)复习题解答

原子序数 Z=79 的金箔。试问散射角θ=1500 所对应的瞄准距离 b 多大？ 解：∵偏转角θ不瞄准距离 b 有如下关系：
ctg(θ/2)=4πε0
b,
∴b=9×109×
ctg
=3.97×10-15(m)。
2.已知散射角为θ的α粒子不散射核的最短距离为
rm=(
)
(1+
)
试问上题α粒子不散射的金原子核乊间的最短距离为多少？ 解：代入已知数据得：
e=
=
对于质子，同理可得：
P=
=0.0029[ ]。
=0.12[ ]。
3.电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来 罗意波长不加速电压的关系式应改为
的电子德布
第 10 页
证：在相对论计算中，
即：
∴
=
=
，其中 V 以伏特为单位。证毕。
4.试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果丌但
∴近似地有： - =
=1.79 10-10[m]=1.79( )。
7.已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“电子偶素”。 试计算“电子偶素”由第一激収态向基态跃迁収射先谱的波长λ为多少 ?
解：首兇来确定“电子偶素”的里德伯常数。因正电子的质量不电子质量相同，所以
RP=
=
=R /2
（2）
在x>L, 弼
时，第二项为 应舍弃，故
（3）
（1），（2），（3）分别是三个区域的波凼数。波凼数连续性要求在x=0 和x=L 处，两边波凼数值及波凼数
的一阶微商值都要相等。既：
在x=0 处：
∴
（4）
在x=L 处：
，
原子物理学课后习题详解第3章(褚圣麟)

原子物理学课后习题详解第3章(褚圣麟)

第三章 量子力学初步3.1 波长为οA 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：动量为：12410341063.6101063.6----∙∙⨯=⨯==秒米千克λhp 能量为：λ/hc hv E==焦耳151083410986.110/1031063.6---⨯=⨯⨯⨯=。

3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：meV h 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--⨯=⨯=e m把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：οοολA A A V 1225.01000025.1225.12===对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--⨯=⨯=e m ，代入波长的表示式，得：ολA 319273410862.2100001060.11067.1210626.6----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。

因而原来ολA V25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。

试证明之。

证明：德布罗意波长：p h /=λ对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：222022c p c Km K =+而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =2200222/)(22)(c eV eV m p eV m ceV p +=+=∴因此有：2002112/c m eV eVm h p h +⋅==λ一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。

所以，可以将上式的根式作泰勒展开。

只取前两项，得：)10489.01(2)41(260200V eVm h c m eV eVm h -⨯-=-=λ 由于上式中οA VeV m h 25.122/0≈，其中V 以伏特为单位，代回原式得： ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。

原子物理学三章课后习题答案

原子物理学三章课后习题答案

第一章．原子的基本状况1. 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭C'放射的，其动能为7.68×106电子伏特.散射物质是原子序数Z=79的金箔.试问散射角θ=1500所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：222cot42Mv b Zeθπε= 而动能212k E mv =则20222cot442k E Mv b b Ze Zeθπεπε== 由此，瞄准距离为20cot 24kZe b E θπε=其中：79Z =12-1-108.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅191.6021910e C -=⨯0150θ=, 0cotcot 750.26802θ==3.14159π=6197.687.6810 1.6021910k E MeV J -==⨯⨯⨯得到：219215022126190cot 79(1.6021910)cot 4(4 3.141598.854210)(7.6810 1.6021910)k Ze b m E οθπε---⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯153.969710m -=⨯2.已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sin mZe r Mv θπε=+,试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 2min0211()(1)4sin k Ze r E θπε=+ 其中，0150θ=, 0sinsin 750.965932θ==把上题各参数代入，得到192min12619179(1.6021910)1(1)4 3.141598.8542107.6810 1.60219100.96593r m ---⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯143.014710m -=⨯4. 钋放射的一种α粒子的速度为71.59710⨯米/秒，正面垂直入射于厚度为710-米、密度为41.93210⨯3/公斤米的金箔。

第三章量子力学初步

第三章量子力学初步


2
(
t
-
r
cos
)
C
y
写成复数形式：
r
e e 2
i
(
r
cos
t
)
0
2 i(kr- t )
0
rn
考虑到关系式，则有：
B
i ( pr-Et )
0e
x A
8
上式就是物质波的波函数。历史上对物质波的解释有多种， 其中三种主要的解释如下：
(a) 波是基本的，粒子是由许多波组合而成的一个波包， 波包的速度就是粒子的速度，波包的运动表现出粒子的性 质。
(x) (x)
(x) (x)
V
◆ 思考题： 一个粒子在如图所示的两个 无限高势壁间运动，求解体系 的波函数和能量。
V=
V=
I
II
V=0 II
a
x
28
§3.3 简谐振子
简谐振子是物理学经常遇到的一个典型模型，物质结构中 原子和分子的振动均可视为简谐运动。
经典物理学对简谐振子的定义为：作简谐运动的物体受到 的力与他的位移x成正比，而他的方向与位移方向相反，即
H(r) E(r)
波函数标准条件 ⊙体系的波函数为
i Et
(r, t) (r)e
20
⊙波函数的归一化问题。由于
(r, t) * (r, t) (r) * (r)
所以只要求对定态波函数归一化即可。
⊙体系的几率密度。由于
dW
d
w (r, t)
* (r, t) (r) * (r)
对定态体系，几率密度是不随时间变化的。
15
2
2m
2
V
i
t
2

量子初步复习要点及及答案

第三章 量子力学初步
（1）为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：
A.电子的波动性和粒子性
B.电子的波动性
C.电子的粒子性
D.所有粒子具有二项性
(2)德布罗意假设可归结为下列关系式：
A .E=h υ， p =λh
; B.E=ω ，P=κ ; C. E=h υ ，p =λ
; D. E=ω ，p=λ
(3)为使电子的德布罗意假设波长为100埃,应加多大的加速电压：
A ．11.51⨯106V ； B.24.4V ； C.24.4⨯105V ； D.0.015V
(4）基于德布罗意假设得出的公式V 26
.12=λ Å的适用条件是：
A.自由电子，非相对论近似；
B.一切实物粒子，非相对论近似；
C.被电场束缚的电子，相对论结果； D 带电的任何粒子，非相对论近似
(5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为（以焦耳为单位）：
A ．10-34； B.10-27； C.10-24； D.10-30
(9)按原子力学原理,原子状态用波函数来描述.考虑电子自旋,对氢原子当nl 确定后,对应的状态数为：【A 】
A.2(2l +1);
B.2l +1;
C. n;
D.n 2
(10)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述.考虑自旋对氢原子当nl m 确定后对应的状态数为：【B 】
A.1;
B.2;
C.2l +1;
D. n
3．简答题
（1）波恩对波函数作出什么样的解释？
（2）请回答测不准关系的主要内容）
（5）波函数满足标准条件是什么？写出波函数的归一化条件.。

第三章 量子力学初步ppt课件


――自由粒子的波函数，描写动量为 p 、能量为E
的自由粒子。 经典力学 位置和速度
量子力学 波函数
波函数体现了波粒二象性，其中的E和 p 是描写粒子性
的物理量，却处在一个描写波的函数中。
.
二、波函数的统计解释
干涉图像的出现体现了 微观粒子的共同特性，而且 它并不是由微观粒子相互作 用产生的而是个别微观粒子 属性的集体贡献
微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动 性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有 一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：
p h Eh ----德布罗意关系式。
与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德 布罗意波长。
德布罗意关系式还可以写成
E
p
hn
k
式中，2：角频率；n ：传播方向上的单位矢量
就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有
确定的值。
x0
xpxh/2
.
px
二、不确定关系 1927年，海森堡首先推导出不确定关系：
xpx/2 ypy/2 zpz/2
p/2 Et/2
.
三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子
例1： 设电子与 m0.01kg的子弹均沿x方向运动， x5，0m0/s 精 确度为 0.01，%求测定x 坐标所能达到的最大准确度。
.
(4)戴维孙－革末实验
1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电 子波的波长，证实了德布罗意假设。
1．实验装置
.
2．实验结果
(1)当U不变时，I与的 关系如图
不同的，I不同；在有 的上将出现极值。
(2)当不变时，I与U的 关系如图
当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化

原子物理(00003)市公开课金奖市赛课一等奖课件


第三章：量子力学初步
第四节：薛定谔方程
定态薛定谔方程
由
1 u
2 2m
2u
Vu
i f
f t
E
得
i f E f t
f
(t )
Fe
iE
t
定态 力学量算符
2 2u Vu Eu 2m
定态薛定谔方程
xyzt
u
xyz
e
iE
t
back
next
目录 结第束23页
第三章：量子力学初步
第四节：薛定谔方程
d d
称为几率密度
波函数意义
波函数特性
波函数与玻尔轨 道量子化条件
back
next
目录 结第束16页
第三章：量子力学初步
第三节：波函数及其物理意义
按照波函数物理意义，波函数应当满足条件: 连续、单值、有限、归一化
d 1
波函数意义
波函数特性
波函数与玻尔轨 道量子化条件
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第三章：量子力学初步
第五节：量子力学问题简例
一维无限深势井中粒子
V x
uI
(x)
C
cos
n
a
D
sin
n
a
x x
uII (x) 0
n 1,3,5,
II n 0,2,4,6,
I V 0
a 2
II 无限势井 简谐振子
势垒
ax
2
使用归一化条件：
u2 xdx 1
a 2 C 2 cos2 n xdx 1
自由粒子波函数：
k
0cos
t
rk V

量子力学入门

量子力学入门量子力学是一门探究微观世界的分支学科，旨在解释物质的微观性质和微观粒子的行为规律。

它具有深刻的物理意义和广泛的应用价值，是现代物理学的一大支柱。

1. 量子力学的发展历程20世纪初，物理学家开始发现，经典物理无法解释微观粒子的现象。

1900年，德国物理学家普朗克提出了量子假设，认为能量不是连续的，而是由离散的“量子”组成。

此后，爱因斯坦、玻尔等科学家继续探究量子的奥秘，提出了经典物理无法解释的现象，如量子纠缠、不确定性原理等。

到了20世纪中期，量子力学成为物理学中的主流学科。

量子力学包括波粒二象性、量子叠加态等重要内容，为纳米技术、量子计算等应用领域提供了理论基础。

2. 量子力学的基本原理量子力学有两个基本原理：波粒二象性和量子叠加态。

波粒二象性：所有物质都具有波动性和粒子性，即微观粒子既可以像粒子一样具有质量和位置，也可以像波一样具有波长和频率。

这种特性被称为波粒二象性。

量子叠加态：在某些情况下，有两个或多个微观粒子可以同时处于不同的状态。

这些状态可以相互叠加，即各个状态波函数简单相加，形成一个新的波函数。

例如，电子在原子中的状态就可以用叠加态来描述。

3. 量子力学的应用量子力学的应用非常广泛。

以下是其中几个重要的领域：量子计算机：量子计算利用了量子叠加态和纠缠等性质，可以在理论上解决一些经典计算机难以处理的问题，如质因数分解、搜索问题等。

纳米技术：纳米技术使用了量子力学的原理，可以制造具有新型性质的材料和器件，如纳米管、量子点等。

量子通信：量子通信利用了量子纠缠等性质，可以实现加密通信，更安全可靠。

量子力学在科学技术、医药健康等诸多领域有着广泛的应用，展现了其重要性和潜力。

4. 量子力学的未解之谜虽然量子力学被广泛应用，但仍存在一些未解之谜。

比如：不确定性原理：不确定性原理指出，对于某个物理量的测量，只能得到其位置或者动量的其中一个值，而不能同时确定两者。

这一原理在微观物理世界中非常重要，但仍没有被完全理解。

量子力学入门

量子力学入门量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。

本文将带领您进入量子力学的奇妙世界，介绍其基本原理和应用。

1. 历史回顾量子力学的起源可以追溯到20世纪初。

曾有许多科学家做出了重要贡献，其中包括普朗克、爱因斯坦、玻尔等人。

他们的研究揭示了微观粒子行为的非经典性质，为量子力学的发展奠定了基础。

2. 波粒二象性量子力学的一个核心概念是波粒二象性。

根据波动理论，微观粒子具有波动性质，可以表现为波动的形式；同时，它们也具备粒子性质，可以作为离散的点粒子进行计算和描述。

这一概念对于理解微观世界的奇异现象具有重要意义，如光的干涉和电子的双缝实验。

3. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要基石，由海森堡提出。

简而言之，不确定性原理认为，在某些测量中，我们无法同时准确地确定一粒子的位置和动量，精确的测量必然会对另一项属性产生不确定度。

这个原理颠覆了经典物理学中可确定性的概念，引发了对微观世界的新认识。

4. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，表征了量子系统的时间演化。

它描述了粒子的波函数随时间的变化规律，从而使我们能够预测和计算微观粒子的性质和行为。

薛定谔方程的解对于解释原子、分子和凝聚态物质等的结构和性质具有重要意义。

5. 量子纠缠量子纠缠是量子力学的一项重要现象，涉及两个或更多微观粒子之间的关联性。

当两个粒子发生纠缠后，它们的状态将无法独立地描述，即使它们被远离彼此。

量子纠缠在量子通信和量子计算等领域具有广泛应用，为未来的科技发展带来了巨大潜力。

6. 应用领域量子力学在许多领域都有广泛的应用。

在原子、分子和凝聚态物质领域，量子力学为我们揭示了物质的微观结构和性质；在量子信息科学中，量子力学为我们提供了更安全的通信和更强大的计算能力；在核物理学和高能物理学中，量子力学帮助我们研究更深层次的物质构成和相互作用。

7. 未来展望随着科技的发展和对量子力学认识的深入，人们对于量子力学的应用前景充满期待。

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♥结论：光强正比于光子出现几率，E(x)正比于几率幅； 干涉是几率福的相干叠加，光波是几率波。
电子时：P(x)dv=P1(x)dv+P2(x)dv+干涉项(如何计算？)
♠类比后设想:
开孔1：P1(x) 1(x) 2 几率密度； （1 x） 几率幅（波函数）
开孔
2：P2
(
x)
2
(
x)
2
;
干涉结果：
一，德布罗意物质波思想：
引：正当不少物理学家为光的波粒二象性感到
十分迷惑不解时，一个刚从历史学研究转到物
理学的法国青年研究生德布罗意把光的波粒二 象性推广到所有的实物粒子。 ♣原因：a,他研究了光学史，研究了光的波粒
二象性。他从 h 关系式中看出，对光
子必须同时赋予它粒子性 和周期性 两方
面。
实物粒子有波动性！
三，实物粒子的波粒二象性： 粒子性：测量到时（相互作用时）总是定域
的，整体性的（能量，动量，电量等都是量子化 的）；
波动性：运动规律的统计特性，几率福的相 干叠加，导致粒子干涉，衍射现象；
联系：
mc2 h, p m0v
h；
1 v2 c2
(x) 几率福；P(x) (x) 2 几率密度。
a,分别打开s1,s2; 子几率分布。
b,同时打开s1,s2;
P1(x),P2(x)分别为打开s1,s2的电 电子几率分布P(x)≠P1(X)+P2(x).
♠几率重新分布，出现干涉姿态，是否是电子之间相 互作用引起？
（2）单电子双缝衍射（电子一个一个经过干涉仪）： 结果表明：每个探测器，要么探到一个电子，要么没探
Prince Louis-victor de Broglie 1892-1987
♣德布罗意预言：电子束穿过很小孔时，会发 生衍射，后为电子的晶体衍射证实，德布罗意 因此获1929年诺贝尔奖。
例一：计算电子波长，
hp h
h 2me E
(1.226 2meeV
)nm V
由上式可知：当 V 150V时，电子波长 1A ，
2r n n h nh mvr nh n
p mv
2
例三，宏观粒子的波动性显现问题： ♣如果波长太大，在有限的空间尺度内无法测
量物理量的周期性变化
♣ 如果波长太小，用现有仪器无法分辨物理量 的周期性变化：
宏观微粒
p mv 1106 kg 1106 m / s 11012 Js / m
h / p 6.631034 Js /11012 Js / m 1022 m
而原子线度大小 10-8 cm 1A,因而原子中的电子
波动性明显（电子运动 范围大小l e）;
另外由于晶格常数 1A ，导致电子晶体衍射。
例二，德布罗意对原子稳定态和角动量量子化的解释： ♣电子存在稳定轨道运动，是因为其物质波在轨
道上形成驻波，否则会由于波的相干叠加而消失。
♣ 稳定驻波条件：
hp
♣（上式称为德布罗意关系式，对于静质
量不为零的粒子，此式与 h 相互
独立。需要另外假设。）
♠de Broglie的物质波概念：
de Broglie将Einstein的光 量子概念推广，提出了物质 波的概念(1924年)
所有的波都具有粒子性 所有的粒子都具有波动性
p=h /
不能将物质的运动和波的传 播分开。和物质联系的波称 物质波。
♣无这么小的光栅或晶格。
二，微观粒子波动性实验现象 1，电子的晶体衍射
1、Davison－Germer实验 （1927）电子从晶体表面的 反射，呈现波动的衍射特征
♣实验装置：
Clinton Joseph
Davisson 1881～1958
金属镍单晶
Lester Halbert
Germer 1896～1971
♣实验现象：
当电压为54伏时，电子垂直入射镍单晶，这时在 50°角方向电子散射出现极大。
♣实验现象分析：
垂直入射时，晶体表面类似反射光栅，相应的光栅常数d
取决于晶格常数和晶面取向。镍单晶表面d=2.15A，电子
德波罗意波长为：
h p 12.26A
12.26A V
1.67 A 54V
♣实验结果恰好满足光栅衍射极大条件:dsinθ=nλ 。这样不 但证实了电子的波动性，也证实了德布罗意关系式的正确 性。
到电子（具有随机性），不会探到半个电子（显示粒子性）； 长时间探测结果，几率分布成干涉分布，即：
P（x）=P1(x)+P2(x)+干涉项（是什么？如何计算？）
♣与光子类比： 光子时：E~总(x) E~1(x) E~2 (x); I (E~1 E~2 )(E~1 E~2 ) I1 I2 2 Re E~1E~2 (干涉项)
P(
x)
(
1
2
)(
1
2
)
பைடு நூலகம்
1 2 2 2 2 Re1 2 P1(x) P2 (x) 干涉项。
结论：（A）定义P(x) (x) 2 几率密度， (x) 几率幅；
(B)干涉是几率福的相干叠 加。
♣其他实验：1969年，钾原子的单缝衍射实验； 1975年，中子干涉实验；20世纪90年代，创立原子 光学；近代，发现碳—60（大分子）衍射实验。
（c）单光子干涉是一种奇特的统计特性的干涉， 干涉是光子几率波幅的线性叠加。
I E~总（ x）E~总（x） E~1(x) E~2(x) E~1(x) E~2 (x)
E~1(x) 2 E~2 (x) 2 2 Re E~1(x)E~2 (x)
♥光波是光子的几率波。
B,实物粒子的波粒二象性及其实验验证：
2、Thomson实验（1927）——电子透过晶 体薄膜的透射现象
X-Ray在铝箔上的衍射 电子在铝箔上的衍射
2, Jonssen 电子多缝干涉仪实验：
♣实验装置：铜膜：五缝，缝宽~0.3μm，缝长 ~50μm,缝距~1μm，加速电压=50KV，D=35cm.
♣实验现象： （1）强电子束实验：
b,他认为原子中电子的稳定运动状态 （定态）中引入了整数。在物理学中涉及整数
现象的只有干涉 L m和驻波 L n 2
（这使他产生这样的想法，不能把电子简单的
视为微粒，必须同时也赋予它周期性（波动 性）。 →电子也具有某种波动性。
♠德布罗意假设： 德布罗意物质波假设（1）“任何物
体伴随以波，而且不可能将物体的运动 与波分开。（2）物质波的波长为：