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第三章 量子力学初步(1)

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原子物理学课后习题答案

原子物理学课后习题答案

第一章 原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭'C 放射的，其动能为67.6810⨯电子伏特。

散射物质是原子序数79Z =的金箔。

试问散射角150οθ=所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mv ctgb b Ze Zeαθπεπε==得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米式中212K Mv α=是α粒子的功能。

1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为220121()(1)4sinmZe r Mv θπε=+，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。

问质子与金箔。

问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e +电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。

当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：220min124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。

量子力学初步

量子力学初步

11
当他们得知物质波的概念后，又精细地进行实验，将54ev 的电子束（对应λ ＝0.167nm）直射在镍单晶上，按照布喇格 , 衍射公式， 2d sin 2d sin(90o - ) n ,d a sin 有 asin n (θ =2α ),取a=0.215nm （镍晶格常数）,算得 sin(/a) 50.9, 它比实验测值(θ =50o)差不到1度。（这个 差值还是由于电子进入晶格内波长变小的缘故，动量和能量 在晶格中都会增大，使衍射角 θ 小于50.9o。)
25
波函数是几率幅，波函数又是描述量子体系的态函数，所 以波的叠加就是态的叠加。波的叠加导致了干涉、衍射的波动 以波的叠加就是态的叠加。波的叠加导致了干涉、衍射的波， 性。态的叠加更深刻的含义是，如果态Ψ1是系统的一个可能态， Ψ2也是系统的另一个可能态，那么c1Ψ1+c2 Ψ2 也是系统的可 能态。这个态既不完全是Ψ1 ，也不完全是态Ψ2 。而是它们各 占几率为|c1|2＋|c2 |2的混合态。这种混合态导致了量子干涉 效应。也导致了在叠加态下测量结果的不确定性。
c ( x2 )
( x2 )
它们描述的相对概率是一样的。然而对于经典的波函数， 这完全对应两种不同的状态。 20
3. 波函数统计意义的实验说明
让我们再回到对光的认识上，人们用光子概念出奇地解 释了光电效应和康普顿效应，并发现了光的波粒二象性， 即在上述的物理过程中光的能量和动量都是以一份一份进 行交换的。那么用光子观点将如何解释光波的波动性，如 干涉和衍射现象呢?为此人们减弱光强观察干涉和衍射这些 代表波动性的现象。现代技术允许将光强减弱到每次只接 收单个光子的精度，这称单光子干涉、衍射实验。结果发 现，在每次实验中每个光子的去向完全是随机的，然而当 把长时间记录的大量的单光子图片拼集在一块时，发现这 种集合图样正是用一束强光(大量光子)在瞬间显示的干涉 图样。

原子物理3

原子物理3

19世纪末的三大发现 揭开了近代物理的序幕
1895年的X射线 1896年放射性元素 1897年的电子的发现
早期量子论 量子力学
相对论量子力学
普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论
德布罗意实物粒子波粒二象性 薛定谔方程 波恩的物质波统计解释 海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义 相对论相结合
四、德布罗意波和量子态
v 质量为 m 的粒子以速度 匀速运动时，具有能
量 E 和动量 p ；从波动性方面来看，它具有波长
和频率 ，这些量之间的关系遵从下述公式：
E mc2 h
p mv h

具有静止质量 m0 的实物粒子以速度 v 运动，
则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：
的精密度的极限。还表明
px 0 x 位置不确定
x 0 px 动量不确定
pyqy 2
pzqz 2
pxqx 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
二、测不准关系式的理解 1、 用经典物理学量——动量、坐标来描写微 观粒子行为时将会受到一定的限制 。 2、 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应 该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
例3 电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子 枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后 的横向速度的不确定量。
解： 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm
vx 2mx 0.58m s
v 2eU 6 107 m/s m
pdp m
E vp
Et vpt pq
2
mv

第三章 量子力学初步

第三章 量子力学初步

2
求出本征函数ψ 的表 达式和本征值E的数值
求解微分方程，需要利用一定的边界条件
1、一维简谐振子势
1 2 1 2 2 • 势能 V ( x) kx m x 2 2
哈密顿方程为：
势能函数是 一条抛物线
V ( x)
d 2 ( x) 1 2 kx ( x) E ( x) 2 2m dx 2
X<0区域内薛定谔方程的通解：
I ( x) Ae
ik1x
Be
ik1x
b) x>0 区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为：
d 2 2 ( x) 2m(V0 E ) 2 ( x ) k 2 2 2 ( x) 2 2 dx
其通解为：
2m(V0 E ) k 2
2 2
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
2
2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:
E1
2
2
2ma 2
为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：
xp
2
势阱中的位置不确定量为Δx≈a
p
进一步确定 本征函数
2a
不可能有
p0
nx nx ( x) A cos B sin a a
当 x
a 时，依据边界条件，有 2
通解为
( x) A cos kx B sin kx

量子力学初步

量子力学初步
符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符
来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
数学运 算符号
劈形算符
拉普拉 斯算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
位矢算符
动量算符 动能算符
哈密顿算符
含动、势能
若 作用在某函数 上的效果
和 与某一常量 的乘积相当，
即
则
称为 的 本征值
称为 的 本征函数
所描述的状态称为 本征态
真 空 或 介 质
电子云
纵向 分辨率 达 0.005 n m
横向
分辨率达 0.1 n m
续上
电 子
沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈
测 信号调节针尖到样ห้องสมุดไป่ตู้表层原子点阵的距离，
控 使 保持不变。针尖的空间坐标的变化
及 反映了样品表面原子阵列的几何结构及起
数 伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。
（1887-1961获1）933年诺贝尔物理学奖
含时薛定谔方程
若粒子所在的
势场只是空间函数
即
，则
对应于一个可能态
有一个能量定值
定态薛定谔方程
定态薛定谔方程
定态 波函数
解释： 若 故
时间的函数
由
则
可分离变量，写成
得 定态薛定谔方程
常量
对应一个可能
空间的函数 态有一常量
此外，对
解得 将常量 归入 定态波函数
由 （4）以区 上向 结势 论垒 都能运 不动 对流。 密度分布取决于空
概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 Si (111)表面 7×7 元胞的STM图像
7 ×10 -16 eV
各点波强的比例，并非取

量子力学第三章

量子力学第三章
第三章 定态方程的初步应用
3.1求一维无限深势阱中的粒子处于第一激发态时概率密度最大值 的位置。
解 一维无限深势阱中粒子的波函数是 对第一激发态，，故 令 得五个极值可疑点：
和4 又因为 将代入上式得，故概率密度最大值位于和处。
3.2若粒子的波函数形式为，求粒子的概率分布，问粒子所处的状 态是否定态？
解 （1）
（2）
3.5在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态
波函数具有确定的宇称。
解 一维运动的薛定谔方程为
（1）
式中
（2）
依题意，在坐标反射变换时
再注意到当时是不变量，因此 （3）
即在坐标反射变换下，哈密顿算符具有不变性。 设坐标反射变换而得的态用表示，这时薛定谔方程为 （4）
有一个交点，故只有一个束缚态。 当 ，即
时两曲线有两交交点和，故有两个束缚态。
（5）式中常数由归一化条件求得：
最后得到波函数为
3.9设粒子处于半壁无限高的势场中 中运动，设粒子能量，求束缚态能量所满足的方程及至少存在一个束缚 态的条件。
解（1） 一维定态薛定谔方程为 将所给势能代入上式得 即 令 它们皆为实数，于是得到
它们的解分别为 但，否则时，不满足波函数有限性的要求，于是
因此在势阱中粒子满足如下薛定谔方程
或
即
（1）
其中
（2）
假设粒子处于态，与无关，因而
，
于是（1式变成
它的解为
代入（3）式得
（4）
为满足有限性要求，，否则处无限大，于是
（5）
又在处，这是因为边界是理想反射壁，粒子不能透出势阱外，于是
即
即 注意到（2）式，便得到球形势阱中粒子的能级 可见能级是量子化的，与一维无限深势阱的结果相似。

量子力学 第三章 课件


可以看出，相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时，本征值间隔可任意小；当 L 时 Px 0 ，即离散谱→连续谱
（3）在自由粒子波函数 P r , t 所描写的状态中， 粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
5
3.1 表示力学量的算符
（1）算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号
ˆ Fu v
例：
ˆ F dx ˆ Fx
ˆ d F dx
ˆ F 称为算符 d uv dx
udx v
xu v
(2）算符的本征方程 ˆ 算符 F 作用在函数 上，等于一常数 乘以 ˆ ˆ 即 F 此称为算符 F 的本征方程
17
2 角动量算符 （1）轨道角动量算符的定义
z
r
r y
ˆ r P ˆ L
ˆ ˆ zP i y z Lx yPz ˆy z y ˆ ˆ xP i z x Ly zPx ˆz x z ˆ xP yP i x y ˆ ˆ Lz y x y x
ˆ 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
证明：
ˆ px dx i x dx
* *
* * ˆ i i dx ( px )* dx x
11
3.2 动量算符与角动量算符
1 动量算符
z
dz
Pz P ( z )
z
P ( z ) C3e
z
归一化系数的确定
1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ，即

原子物理(褚圣麟)复习题解答

原子序数 Z=79 的金箔。试问散射角θ=1500 所对应的瞄准距离 b 多大？ 解：∵偏转角θ不瞄准距离 b 有如下关系：
ctg(θ/2)=4πε0
b,
∴b=9×109×
ctg
=3.97×10-15(m)。
2.已知散射角为θ的α粒子不散射核的最短距离为
rm=(
)
(1+
)
试问上题α粒子不散射的金原子核乊间的最短距离为多少？ 解：代入已知数据得：
e=
=
对于质子，同理可得：
P=
=0.0029[ ]。
=0.12[ ]。
3.电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来 罗意波长不加速电压的关系式应改为
的电子德布
第 10 页
证：在相对论计算中，
即：
∴
=
=
，其中 V 以伏特为单位。证毕。
4.试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果丌但
∴近似地有： - =
=1.79 10-10[m]=1.79( )。
7.已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“电子偶素”。 试计算“电子偶素”由第一激収态向基态跃迁収射先谱的波长λ为多少 ?
解：首兇来确定“电子偶素”的里德伯常数。因正电子的质量不电子质量相同，所以
RP=
=
=R /2
（2）
在x>L, 弼
时，第二项为 应舍弃，故
（3）
（1），（2），（3）分别是三个区域的波凼数。波凼数连续性要求在x=0 和x=L 处，两边波凼数值及波凼数
的一阶微商值都要相等。既：
在x=0 处：
∴
（4）
在x=L 处：
，

原子物理学课后习题详解第3章(褚圣麟)

第三章 量子力学初步3.1 波长为οA 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：动量为：12410341063.6101063.6----∙∙⨯=⨯==秒米千克λhp 能量为：λ/hc hv E==焦耳151083410986.110/1031063.6---⨯=⨯⨯⨯=。

3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：meV h 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--⨯=⨯=e m把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：οοολA A A V 1225.01000025.1225.12===对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--⨯=⨯=e m ，代入波长的表示式，得：ολA 319273410862.2100001060.11067.1210626.6----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。

因而原来ολA V25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。

试证明之。

证明：德布罗意波长：p h /=λ对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：222022c p c Km K =+而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =2200222/)(22)(c eV eV m p eV m ceV p +=+=∴因此有：2002112/c m eV eVm h p h +⋅==λ一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。

所以，可以将上式的根式作泰勒展开。

只取前两项，得：)10489.01(2)41(260200V eVm h c m eV eVm h -⨯-=-=λ 由于上式中οA VeV m h 25.122/0≈，其中V 以伏特为单位，代回原式得： ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。

原子物理学三章课后习题答案

第一章．原子的基本状况1. 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭C'放射的，其动能为7.68×106电子伏特.散射物质是原子序数Z=79的金箔.试问散射角θ=1500所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：222cot42Mv b Zeθπε= 而动能212k E mv =则20222cot442k E Mv b b Ze Zeθπεπε== 由此，瞄准距离为20cot 24kZe b E θπε=其中：79Z =12-1-108.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅191.6021910e C -=⨯0150θ=, 0cotcot 750.26802θ==3.14159π=6197.687.6810 1.6021910k E MeV J -==⨯⨯⨯得到：219215022126190cot 79(1.6021910)cot 4(4 3.141598.854210)(7.6810 1.6021910)k Ze b m E οθπε---⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯153.969710m -=⨯2.已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sin mZe r Mv θπε=+,试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 2min0211()(1)4sin k Ze r E θπε=+ 其中，0150θ=, 0sinsin 750.965932θ==把上题各参数代入，得到192min12619179(1.6021910)1(1)4 3.141598.8542107.6810 1.60219100.96593r m ---⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯143.014710m -=⨯4. 钋放射的一种α粒子的速度为71.59710⨯米/秒，正面垂直入射于厚度为710-米、密度为41.93210⨯3/公斤米的金箔。

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♥结论：光强正比于光子出现几率，E(x)正比于几率幅； 干涉是几率福的相干叠加，光波是几率波。
电子时：P(x)dv=P1(x)dv+P2(x)dv+干涉项(如何计算？)
♠类比后设想:
开孔1：P1(x) 1(x) 2 几率密度； （1 x） 几率幅（波函数）
开孔
2：P2
(
x)
2
(
x)
2
;
干涉结果：
一，德布罗意物质波思想：
引：正当不少物理学家为光的波粒二象性感到
十分迷惑不解时，一个刚从历史学研究转到物
理学的法国青年研究生德布罗意把光的波粒二 象性推广到所有的实物粒子。 ♣原因：a,他研究了光学史，研究了光的波粒
二象性。他从 h 关系式中看出，对光
子必须同时赋予它粒子性 和周期性 两方
面。
实物粒子有波动性！
三，实物粒子的波粒二象性： 粒子性：测量到时（相互作用时）总是定域
的，整体性的（能量，动量，电量等都是量子化 的）；
波动性：运动规律的统计特性，几率福的相 干叠加，导致粒子干涉，衍射现象；
联系：
mc2 h, p m0v
h；
1 v2 c2
(x) 几率福；P(x) (x) 2 几率密度。
a,分别打开s1,s2; 子几率分布。
b,同时打开s1,s2;
P1(x),P2(x)分别为打开s1,s2的电 电子几率分布P(x)≠P1(X)+P2(x).
♠几率重新分布，出现干涉姿态，是否是电子之间相 互作用引起？
（2）单电子双缝衍射（电子一个一个经过干涉仪）： 结果表明：每个探测器，要么探到一个电子，要么没探
Prince Louis-victor de Broglie 1892-1987
♣德布罗意预言：电子束穿过很小孔时，会发 生衍射，后为电子的晶体衍射证实，德布罗意 因此获1929年诺贝尔奖。
例一：计算电子波长，
hp h
h 2me E
(1.226 2meeV
)nm V
由上式可知：当 V 150V时，电子波长 1A ，
2r n n h nh mvr nh n
p mv
2
例三，宏观粒子的波动性显现问题： ♣如果波长太大，在有限的空间尺度内无法测
量物理量的周期性变化
♣ 如果波长太小，用现有仪器无法分辨物理量 的周期性变化：
宏观微粒
p mv 1106 kg 1106 m / s 11012 Js / m
h / p 6.631034 Js /11012 Js / m 1022 m
而原子线度大小 10-8 cm 1A,因而原子中的电子
波动性明显（电子运动 范围大小l e）;
另外由于晶格常数 1A ，导致电子晶体衍射。
例二，德布罗意对原子稳定态和角动量量子化的解释： ♣电子存在稳定轨道运动，是因为其物质波在轨
道上形成驻波，否则会由于波的相干叠加而消失。
♣ 稳定驻波条件：
hp
♣（上式称为德布罗意关系式，对于静质
量不为零的粒子，此式与 h 相互
独立。需要另外假设。）
♠de Broglie的物质波概念：
de Broglie将Einstein的光 量子概念推广，提出了物质 波的概念(1924年)
所有的波都具有粒子性 所有的粒子都具有波动性
p=h /
不能将物质的运动和波的传 播分开。和物质联系的波称 物质波。
♣无这么小的光栅或晶格。
二，微观粒子波动性实验现象 1，电子的晶体衍射
1、Davison－Germer实验 （1927）电子从晶体表面的 反射，呈现波动的衍射特征
♣实验装置：
Clinton Joseph
Davisson 1881～1958
金属镍单晶
Lester Halbert
Germer 1896～1971
♣实验现象：
当电压为54伏时，电子垂直入射镍单晶，这时在 50°角方向电子散射出现极大。
♣实验现象分析：
垂直入射时，晶体表面类似反射光栅，相应的光栅常数d
取决于晶格常数和晶面取向。镍单晶表面d=2.15A，电子
德波罗意波长为：
h p 12.26A
12.26A V
1.67 A 54V
♣实验结果恰好满足光栅衍射极大条件:dsinθ=nλ 。这样不 但证实了电子的波动性，也证实了德布罗意关系式的正确 性。
到电子（具有随机性），不会探到半个电子（显示粒子性）； 长时间探测结果，几率分布成干涉分布，即：
P（x）=P1(x)+P2(x)+干涉项（是什么？如何计算？）
♣与光子类比： 光子时：E~总(x) E~1(x) E~2 (x); I (E~1 E~2 )(E~1 E~2 ) I1 I2 2 Re E~1E~2 (干涉项)
P(
x)
(
1
2
)(
1
2
)
பைடு நூலகம்
1 2 2 2 2 Re1 2 P1(x) P2 (x) 干涉项。
结论：（A）定义P(x) (x) 2 几率密度， (x) 几率幅；
(B)干涉是几率福的相干叠 加。
♣其他实验：1969年，钾原子的单缝衍射实验； 1975年，中子干涉实验；20世纪90年代，创立原子 光学；近代，发现碳—60（大分子）衍射实验。
（c）单光子干涉是一种奇特的统计特性的干涉， 干涉是光子几率波幅的线性叠加。
I E~总（ x）E~总（x） E~1(x) E~2(x) E~1(x) E~2 (x)
E~1(x) 2 E~2 (x) 2 2 Re E~1(x)E~2 (x)
♥光波是光子的几率波。
B,实物粒子的波粒二象性及其实验验证：
2、Thomson实验（1927）——电子透过晶 体薄膜的透射现象
X-Ray在铝箔上的衍射 电子在铝箔上的衍射
2, Jonssen 电子多缝干涉仪实验：
♣实验装置：铜膜：五缝，缝宽~0.3μm，缝长 ~50μm,缝距~1μm，加速电压=50KV，D=35cm.
♣实验现象： （1）强电子束实验：
b,他认为原子中电子的稳定运动状态 （定态）中引入了整数。在物理学中涉及整数
现象的只有干涉 L m和驻波 L n 2
（这使他产生这样的想法，不能把电子简单的
视为微粒，必须同时也赋予它周期性（波动 性）。 →电子也具有某种波动性。
♠德布罗意假设： 德布罗意物质波假设（1）“任何物
体伴随以波，而且不可能将物体的运动 与波分开。（2）物质波的波长为：