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第三章量子力学初步(2018)

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原子物理3

原子物理3

19世纪末的三大发现 揭开了近代物理的序幕
1895年的X射线 1896年放射性元素 1897年的电子的发现
早期量子论 量子力学
相对论量子力学
普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论
德布罗意实物粒子波粒二象性 薛定谔方程 波恩的物质波统计解释 海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义 相对论相结合
四、德布罗意波和量子态
v 质量为 m 的粒子以速度 匀速运动时，具有能
量 E 和动量 p ；从波动性方面来看，它具有波长
和频率 ，这些量之间的关系遵从下述公式：
E mc2 h
p mv h

具有静止质量 m0 的实物粒子以速度 v 运动，
则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：
的精密度的极限。还表明
px 0 x 位置不确定
x 0 px 动量不确定
pyqy 2
pzqz 2
pxqx 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
二、测不准关系式的理解 1、 用经典物理学量——动量、坐标来描写微 观粒子行为时将会受到一定的限制 。 2、 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应 该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
例3 电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子 枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后 的横向速度的不确定量。
解： 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm
vx 2mx 0.58m s
v 2eU 6 107 m/s m
pdp m
E vp
Et vpt pq
2
mv

第三章 量子力学初步

第三章 量子力学初步

2
求出本征函数ψ 的表 达式和本征值E的数值
求解微分方程，需要利用一定的边界条件
1、一维简谐振子势
1 2 1 2 2 • 势能 V ( x) kx m x 2 2
哈密顿方程为：
势能函数是 一条抛物线
V ( x)
d 2 ( x) 1 2 kx ( x) E ( x) 2 2m dx 2
X<0区域内薛定谔方程的通解：
I ( x) Ae
ik1x
Be
ik1x
b) x>0 区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为：
d 2 2 ( x) 2m(V0 E ) 2 ( x ) k 2 2 2 ( x) 2 2 dx
其通解为：
2m(V0 E ) k 2
2 2
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
2
2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:
E1
2
2
2ma 2
为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：
xp
2
势阱中的位置不确定量为Δx≈a
p
进一步确定 本征函数
2a
不可能有
p0
nx nx ( x) A cos B sin a a
当 x
a 时，依据边界条件，有 2
通解为
( x) A cos kx B sin kx

量子力学第三章

量子力学第三章
2
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω

量子力学 第三章 课件

量子力学 第三章 课件

可以看出，相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时，本征值间隔可任意小；当 L 时 Px 0 ，即离散谱→连续谱
（3）在自由粒子波函数 P r , t 所描写的状态中， 粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
5
3.1 表示力学量的算符
（1）算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号
ˆ Fu v
例：
ˆ F dx ˆ Fx
ˆ d F dx
ˆ F 称为算符 d uv dx
udx v
xu v
(2）算符的本征方程 ˆ 算符 F 作用在函数 上，等于一常数 乘以 ˆ ˆ 即 F 此称为算符 F 的本征方程
17
2 角动量算符 （1）轨道角动量算符的定义
z
r
r y
ˆ r P ˆ L
ˆ ˆ zP i y z Lx yPz ˆy z y ˆ ˆ xP i z x Ly zPx ˆz x z ˆ xP yP i x y ˆ ˆ Lz y x y x
ˆ 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
证明：
ˆ px dx i x dx
* *
* * ˆ i i dx ( px )* dx x
11
3.2 动量算符与角动量算符
1 动量算符
z
dz
Pz P ( z )
z
P ( z ) C3e
z
归一化系数的确定
1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ，即

03第三章 量子力学初步(甲型)

03第三章 量子力学初步(甲型)

Lord Kelvin
• 第Th一e f朵irs乌t c云am伴e 随int着o e光xi的ste波nc动e w理it论h t而he来，这 一un理du论lat由ory菲th涅eo耳ry和of托li马gh斯t, a·n杨d博wa士s 所dea建lt立wi；th 它by隐Fr含esn着el这an样d的Dr问. T题ho：m地as 球Yo如un何g;在it 弹inv性ol介ved 质the中qu运es动tio，n,例ho如w从co本ul质d t上he说ea这rth种m介ov质e 就是 发thr光ou的gh以an太e？lastic solid, such as essentially is
• 坚and信L热ig和ht 光（都19是00运）动形式的动 • 力Th学e b理ea论uty的a优nd雅cl和ea清rne晰ss，of目th前e
由dy于nam被i两cal朵th乌eo云ry,遮w蔽hic而h 暗ass淡er无ts 光heat and light to be modes of motion, is at present obscured by two clouds.
• 假设相互间只能以热辐射的 形式交换能量
• 每一个物体向外辐射能量， 也吸收其它物体辐射到其表 面的能量
• 温度低的，辐射小，吸收大； 温度高的，辐射大，吸收小
• 经过一个过程后，所有物体的 温度相同，达到热平衡
• 热平衡时，每一个物体辐射的 能量等于其吸收的能量
• 热平衡状态下，吸收本领大， 辐射本领也大
• 基尔霍夫热辐射定律：热平衡 状态下物体的辐射本领与吸收 本领成正比，比值只与T，ν有 关。
E( ,T ) f ( ,T ) 吸收大，辐射也大。 A( ,T )
f ( ,T ) 是普适函数，与物质无关 应当通过实验测量 f ( ,T )

3第三章量子力学初步2

3第三章量子力学初步2
(x) Asin n x
一维无限深势阱中粒子如何运动？
它的波函数如何？能量如何？
解：由于粒子做一维运动，所以有
2
d2 dx2
由于势能 U (x)中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。
因此一维定态薛定谔方程为
2
2
d 2(x)
dx2
U (x)(x)
E(x)
方程的解为定态解 (x,t) (x)ei Et
1．方程的通解
2
2
d 2(x)
子初始时刻的状态 (r0 , t0 ) 。原则上说，只要通过薛 定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 (r ,t) 。
4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以 (r,t) 一般是复数
形式。 (r ,t) 表示概率波， (r , t) 2 是表示粒子在时刻t、
在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态
(x, y, z,t) 2 即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现 电子的几率密度。如果 (x, y,大z,t，) 2 则电子出现几率大，
因而电子出现的目也多，此处为衍射极大值处；反之，
如果
小，则电子出现几率小，电子出现的数目也
少，此 (处x,为y, z衍,t)射2 极小值处。
W (x, y, z,t) 2 * 表示t时刻、（x、y、z）处发现粒
x 0 x p x h / 2 px
二、不确定关系
1927年，海森堡首先推导出不确定关系 ：
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2
p / 2 E t / 2
三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子
例1:设电子与 m 0.01 kg的子弹均沿x方向运动， x 500m,/精s 确度

原子物理第三章习题答案

原子物理第三章习题答案第三章量子力学初步3.1 波长为οA 1的X 光光子的动量和能量各为多少？解：根据德布罗意关系式，得：动量为：12410341063.6101063.6----=?==秒米千克λhp 能量为：λ/hc hv E==焦耳151083410986.110/1031063.6---?==。

3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：meV h 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--?=?=e m把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：οοολA A A V 1225.01000025.1225.12===对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--?=?=e m ，代入波长的表示式，得：ολA 319273410862.2100001060.11067.1210626.6----?==3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。

因而原来ολA V25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：ολA V V)10489.01(25.126-?-=其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。

试证明之。

证明：德布罗意波长：p h /=λ对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：222022c p c Km K =+而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =2200222/)(22)(c eV eV m p eV m ceV p +=+=∴因此有：2002112/c m eV eVm h p h +==λ一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。

所以，可以将上式的根式作泰勒展开。

只取前两项，得：)10489.01(2)41(260200V eVm h c m eV eVm h -?-=-=λ 由于上式中οA VeV m h 25.122/0≈，其中V 以伏特为单位，代回原式得：ολA V V)10489.01(25.126-?-=由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。

量子力学讲义第三章讲义

量子力学讲义第三章讲义第三章力学量用算符表达§3.1算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

vAu表示把函数u变成v，就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符，称为线性算符(cc)cAA112211c2A2其中c1,c2是任意复常数，1,2是任意两个波函数。

i，例如：动量算符p单位算符I是线性算符。

2、算符相等对体系的任何波函数的运算结果都相同，即A相等记为B，则算符和算符B若两个算符、BBA3、算符之和B称为算符之对体系的任何波函数有：(ACBB，则A)AC若两个算符、B和。

B，ABA(B)(ABC)CA4、算符之积，定义为之积，记为AB算符与B)A(B)C(ABBA是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即AB5、对易关系BA，则称与B不对易。

若ABB，则称与BBA对易。

若ABA和B，则称A反对易。

若算符满足AB某i例如：算符某,p不对易某1某某(i证明：(1)某p)i某某某某某(i(2)p)某ii某某某显然二者结果不相等，所以：某p某某某p某p某某)i(某p因为是体系的任意波函数，所以某p某某i对易关系某p同理可证其它坐标算符与共轭动量满足zpzziypyyi，zpyp但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

ypy某0yp某p某z0某p某y0某pzp，，zppz0yppy0yz某pzpz某0zyzp某p某pz0ypzpzpy0，p某pypyp某0，ppy某0，pzp某p某pz0ypzpzpy0，p某y写成通式(概括起来)：p某i(1)某p某某某0某ppp0其中,某,y,z或1,2,3p量子力学中最基本的对易关系。

对易，B与对易，不能推知与对易与否。

注意：当与B6、对易括号(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：,BBA]AB[A这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：]i[某,p不难证明对易括号满足下列代数恒等式：,B]][B,A1)[A,B][A,B,C]C][A2)[A,kB,B,BC,C][A,B，[AB,C]A[B][A,C]B]k[A]]B[A]C,C，[A3)[A,[B]][B,A]][C,[A,B,C,[C]]0——称为Jacobi恒等式。

量子力学第三章


2
a ( n
1 2
( n )

2
2 a
所以
E
n


2

2
于是波 函数：
1 2 ( n ) 2 2 a

( 2 n1)
2 2
2
8 a
2
I III 0 n II n 1 2n 1 2 n A sin(x ) A cos x A cos x A cos x 2 a 2a

d dx d dx d dx
2 2 2 2 2 2


2
I
0 0 0
V(x)
II

2
II
I -a
II 0 a
III
III

2
III

V(x)

1。单值，成立； 2。有限：当x - ∞ ，
I
II
III
-a

类似 I 中关于 n = m 的讨论可知：
( n 0,1, 2, )
综合 I 、II
结果，最后得：
Em
m
2
2

2
2
8a
I
对应 m = 2 n

III

m

0 m 2a x m 0 的偶数
I II
0
C 1e
x
a
C 2e
x
ψ 有限条件要求 C2=0。

x
I

d dx d dx d dx

量子初步复习要点及及答案

第三章 量子力学初步
（1）为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：
A.电子的波动性和粒子性
B.电子的波动性
C.电子的粒子性
D.所有粒子具有二项性
(2)德布罗意假设可归结为下列关系式：
A .E=h υ， p =λh
; B.E=ω ，P=κ ; C. E=h υ ，p =λ
; D. E=ω ，p=λ
(3)为使电子的德布罗意假设波长为100埃,应加多大的加速电压：
A ．11.51⨯106V ； B.24.4V ； C.24.4⨯105V ； D.0.015V
(4）基于德布罗意假设得出的公式V 26
.12=λ Å的适用条件是：
A.自由电子，非相对论近似；
B.一切实物粒子，非相对论近似；
C.被电场束缚的电子，相对论结果； D 带电的任何粒子，非相对论近似
(5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为（以焦耳为单位）：
A ．10-34； B.10-27； C.10-24； D.10-30
(9)按原子力学原理,原子状态用波函数来描述.考虑电子自旋,对氢原子当nl 确定后,对应的状态数为：【A 】
A.2(2l +1);
B.2l +1;
C. n;
D.n 2
(10)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述.考虑自旋对氢原子当nl m 确定后对应的状态数为：【B 】
A.1;
B.2;
C.2l +1;
D. n
3．简答题
（1）波恩对波函数作出什么样的解释？
（2）请回答测不准关系的主要内容）
（5）波函数满足标准条件是什么？写出波函数的归一化条件.。

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对t求一次偏导：
p i p x p x
i p y p
i E p t
2 p x 2
2 p y 2
i
p t
E p
对x、y、z分别求二次偏导：
2 p px i px 2p x
p y
p
p p2 i y py 2p y
2 p pz i pz 2p x
i p z p z
2 p z 2
三者相加：
2 p x
2

2 p y
2

2 p z 2
1 2 2 2 ( px p2 p p y z)
2 p
i
2 2 2 拉普拉斯算符： 2 2 2 2 x y z
费曼 — 这些实验都是用经典方法绝对不能解释的 , 但是量子力学的核心正是包含在这些实验之中
物理, 科学,自然杂志，大学物理等
子弹双缝实验有否 干涉现象?为什么
h h p m
P 12 ( x) P 1 ( x) P 2 ( x)
例1：一质量为40g的子弹以1.0×103m· s-1的速率 飞行，求：德布罗意波的波长。
四、讨论
1.不确定关系是波粒二象性的必然结果
2．不确定关系是物质的客观规律 3．不确定关系在微观粒子中才明显表现出来
x 500m / s ， 例2设电子与 m 0.01kg的子弹均沿x方向运动， 精确度为 0.01 % ，求测定x 坐标所能达到的最大准确度。
x 500104 m / s 5 102 m / s
――处在以势能表征的力场中的微观粒子所满足的运动 方程，称之为薛定谔方程。
二、薛定谔方程的讨论
1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 (r , t ) 在势
场U (r , t )中随时间变化 的规律。 2．具体的势场 U (r , t )决定粒子状态变化的情况，
( r , t ) t
p2 2p
E p
p t
自由粒子:
p
1 p2 2 E 2 2
E p
p2 p 2
2 2 i p t 2
――自由粒子的薛定谔方程。
2．一般粒子的薛定谔方程
粒子受到力场为：
U r, t

2 2 i p t 2
1.空间位置与动量的不确定关系
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2
p / 2
2.能量与时间的不确定关系
E t / 2
三、应用举例
1.能级自然宽度
E t / 2
2. 粒子不可能同时具有确定的空间位置和动量 3.束缚粒子的最小平均动能,电子不能被束缚原子核内
电子在晶体上的衍射图样
电子双缝干涉实验(1974年, 1989年)
问题－－电子流密度小，电子流密度大各 会产生的现象？
分布无规律－粒 子性，有干涉条 纹－波动性 干涉图样 -- 反映大 量电子的统计分 布? 每次只有单电子 通过缝－可观察 到干涉条纹 波动性是每个粒 子固有的性质
STM观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
辐射场是由光量子（光子）组成，即光具有粒子的特 性，光子既有能量又有动量。
原子体系的内部能量是量子化
玻尔理论困难 1.无法解释复杂原子的光谱 2.无法解释氢原子光谱的谱线强度和精细结构 3. 原子处在定态时不辐射,原子的能量是量子化. 这都是同经典理论不符的,但该理论叉是建立在经 典基础上的 我们需要新的思想!
4. 近代物理学中最重要的两个关系式
h p
E mc
2
三、戴维逊和革末实验(1927年) 1．实验装置
2．实验结果
(1)当U不变时，I与的 关系如图
当 U=54V ， ＝ 500 ， 探测到的反射束强度 出现极大
(2)当不变时，I与U的 关系如图 当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
df (t ) i Ef (t ) dt
df (t ) i Ef (t ) dt
df (t ) i Edt f (t )
解出： f (t )
(r , t )
i Et Ce
p Ae
i ( Et p.r )
玻恩的观点:波函数代表发现粒子的几率
玻恩的观点:波函数代表发现粒子的几率 表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积 内发现粒子的几率。
( x, y , z , t )
2
t时刻、x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz、的体元 dV dxdydz 内发现粒子的几率：
讨 论
dW ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) dV
具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一 定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：
p
h

h p
----德布罗意关系式。
E h
与实物粒子相应的波称为德布罗意波，称为德布罗意 波长。
德布罗意关系式还可以写成
E
h p n k

2：角频率； n ：传播方向上的单位矢量 式中，
n
意常数。
即如果 1 2 n 、是体系可能的状态，那么它 们的的线性组合
cn n 也是体系一个可能的状态
nபைடு நூலகம்
三、定态薛定谔方程 (能量不随时间变化的状态称为定态)
设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能 U (r ) 中不
显含时间t，
2 2 i U (r ) t 2
i E t
p
微观粒子的波函数为： (r , t )
2 p 仍满足方程： 2 2 p2 此时 E 2 U (r , t )
2 p
p2 2p
2 2 i U ( r , t ) 则有： t 2
可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。
1.225nm 对于通过电压U加速的电子： U (V )
n 1,2
当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值 当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大值
实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗 意公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、 中子、质子等都具有波动性。
( x, y , z , t )
2
dV 1
STM 观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
§3.4 薛定谔波动方程
一、薛定谔方程的建立
1．自由粒子的薛定谔方程
p Ae
i ( Et p.r )
Ae
p
i ( Et xpx yp y zp z )
波函数分离变量： (r , t ) (r ) f (t )
i df (t ) 1 2 2 [ U (r )] (r ) E f (t ) dt (r ) 2
E为一常数
2 2 [ U (r )] (r ) E (r ) 2
(r0 , t0 )
(r , t )
3．薛定谔方程是量子力学的基本方程 ４. 非相对论的结果,不适合一切
p2 E U (r , t ) 2
0 的粒子
5．态迭加原理
如果 1 2 n、是方程的解，那么它们的的线性组
ci 为任 合 c1 1 c2 2 cn n cn n 也是方程的解，
h 1.66 10 35 m mv
§3.2 不确定原理
一、电子的单缝衍射 (1961年，约恩逊成功的做出)
x d
px p sin
px sin sin p d x
p x p x
h p
x p x p h
第三章 量子力学初步
经典力学、 经典电磁场理论、 经典统计力学
在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云
（1）“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利－金斯公 式，辐射本领在高频部分趋无穷。（2）“以太漂 移”，迈克尔逊－莫雷实验表明，不存在以太。 物理学的革命－相对论的建立和量子力学的诞生
1900年，普朗克黑体辐射能量量子化 1905年，爱因斯坦光电效应光量子 1913年，玻尔氢原子光谱原子的量子态 能量量子化的假设(1)黑体的腔壁由无数个带电的谐振 子组成的.(2)这些谐振子所具有的能量是分立的.物体只能 以 h为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“ 量子”方式进行，每一份能量叫一能量子。
经过电场加速的电子：
1 m 2 E k 2
h hc 1.225nm 2mEk Ek (ev) 2mc2 Ek
3．实验解释
晶体结构：
n 波程差： 2d sin (2n 1) 2
当 2d sin n 时加强----布拉格公式。
n 波程差：2d sin (2n 1) 2
自由粒子 平面波
i ( pr Et )
自由粒子的波函数
E h
h p n

p Ae
――自由粒子的波函数，描写动量为 p 、能量为 E 的自由粒子。 波函数代表什么?可否测量?
干涉图像的出现体现 了微观粒子的共同特性， 而且它并不是由微观粒子 相互作用产生的,而是个别 微观粒子属性的集体贡献. 从波的观点来看，极大 值处表示波的强度大，极小 值处表示波的强度小。 用粒子的观点，强度大意味着到达的电子多，每 个电子出现几率大；强度小处意味着到达的电子少， 每个电子出现几率小。