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章3 量子力学初步(3)

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原子物理学课后习题答案

原子物理学课后习题答案

第一章 原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭'C 放射的，其动能为67.6810⨯电子伏特。

散射物质是原子序数79Z =的金箔。

试问散射角150οθ=所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mv ctgb b Ze Zeαθπεπε==得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米式中212K Mv α=是α粒子的功能。

1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为220121()(1)4sinmZe r Mv θπε=+，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。

问质子与金箔。

问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e +电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。

当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：220min124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。

原子物理学习题

原子物理学习题

原子物理学习题第一章 原子的核式结构1．选择题：(1)原子半径的数量级是：A ．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m(2)原子核式结构模型的提出是根据α粒子散射实验中A. 绝大多数α粒子散射角接近180︒B.α粒子只偏2︒～3︒C. 以小角散射为主也存在大角散射D. 以大角散射为主也存在小角散射（3）进行卢瑟福理论实验验证时发现小角散射与实验不符这说明：A. 原子不一定存在核式结构B. 散射物太厚C. 卢瑟福理论是错误的D. 小角散射时一次散射理论不成立(4)用相同能量的α粒子束和质子束分别与金箔正碰，测量金原子核半径的上限. 问用质子束所得结果是用α粒子束所得结果的几倍？A. 1/4 B . 1/2 C . 1 D. 2(5)动能E K =40keV 的α粒子对心接近Pb(z=82)核而产生散射,则最小距离为（m ）：A.5.91010-⨯B.3.01210-⨯C.5.9⨯10-12D.5.9⨯10-14(6)如果用相同动能的质子和氘核同金箔产生散射,那么用质子作为入射粒子测得的金原子半径上限是用氘核子作为入射粒子测得的金原子半径上限的几倍？A.2B.1/2C.1 D .4(7)在金箔引起的α粒子散射实验中,每10000个对准金箔的α粒子中发现有4个粒子被散射到角度大于5°的范围内.若金箔的厚度增加到4倍,那么被散射的α粒子会有多少？A. 16B..8C.4D.2(8）在同一α粒子源和散射靶的条件下观察到α粒子被散射在90°和60°角方向上单位立体角内的粒子数之比为：A ．4:1 B.2:2 C.1:4 D.1:8（9）在α粒子散射实验中,若把α粒子换成质子,要想得到α粒子相同的角分布,在散射物不变条件下则必须使：A.质子的速度与α粒子的相同； B ．质子的能量与α粒子的相同；C ．质子的速度是α粒子的一半；D ．质子的能量是α粒子的一半(a)不辐射可见光的物体;(b)不辐射任何光线的物体;(c)不能反射可见光的物体;(d)不能反射任何光线的物体;(e)开有小孔空腔.3．计算题：（1）当一束能量为4.8Mev 的α粒子垂直入射到厚度为4.0×10-5cm 的金箔上时探测器沿20°方向上每秒记录到2.0×104个α粒子试求：①仅改变探测器安置方位,沿60°方向每秒可记录到多少个α粒子？②若α粒子能量减少一半,则沿20°方向每秒可测得多少个α粒子？③α粒子能量仍为4.8MeV,而将金箔换成厚度的铝箔,则沿20°方向每秒可记录到多少个α粒子?(ρ金＝19.3g/cm 3 ρ铅＝27g /cm 3；A 金＝179 ,A 铝＝27,Z 金＝79 Z 铝＝13)(2)试证明:α粒子散射中α粒子与原子核对心碰撞时两者之间的最小距离是散射角为900时相对应的瞄准距离的两倍.(3)10Mev 的质子射到铜箔片上,已知铜的Z=29, 试求质子散射角为900时的瞄准距离b 和最接近于核的距离r m .（4）动能为5.0MeV 的α粒子被金核散射，试问当瞄准距离分别为1fm 和10fm 时，散射角各为多大？（5）假设金核半径为7.0fm ，试问：入设质子需要多大能量，才能在对头碰撞时刚好到达金核表面？（6）在α粒子散射实验中，如果用银箔代替金箔，二者厚度相同，那么在同样的偏转方向，同样的角度间隔内，散射的α粒子数将减小为原来的几分之几？银的密度为10.6公斤／分米3，原子量为108；金的密度为19.3公斤／分米3,原子量197。

量子力学导论第3章答案

量子力学导论第3章答案

第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如b a = ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mE yx n n 222π =)(2222b n a n yx +,2,1, ,sinsin2==y x y x n n n n byn axn abyxππψ若b a =，则 )(222222y x n n n n maE yx +=π ay n a x n a y x nn yxππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如c b a ==，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn b n an m n n n E z yxzy x ++=π ,,3,2,1,, ,sin sin sin 8==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n man n n E z y x ++=π ay n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsinsin sin 223⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

原子物理3

原子物理3

19世纪末的三大发现 揭开了近代物理的序幕
1895年的X射线 1896年放射性元素 1897年的电子的发现
早期量子论 量子力学
相对论量子力学
普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论
德布罗意实物粒子波粒二象性 薛定谔方程 波恩的物质波统计解释 海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义 相对论相结合
四、德布罗意波和量子态
v 质量为 m 的粒子以速度 匀速运动时，具有能
量 E 和动量 p ；从波动性方面来看，它具有波长
和频率 ，这些量之间的关系遵从下述公式：
E mc2 h
p mv h

具有静止质量 m0 的实物粒子以速度 v 运动，
则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：
的精密度的极限。还表明
px 0 x 位置不确定
x 0 px 动量不确定
pyqy 2
pzqz 2
pxqx 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
二、测不准关系式的理解 1、 用经典物理学量——动量、坐标来描写微 观粒子行为时将会受到一定的限制 。 2、 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应 该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
例3 电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子 枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后 的横向速度的不确定量。
解： 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm
vx 2mx 0.58m s
v 2eU 6 107 m/s m
pdp m
E vp
Et vpt pq
2
mv

第三章 量子力学初步

第三章 量子力学初步

2
求出本征函数ψ 的表 达式和本征值E的数值
求解微分方程，需要利用一定的边界条件
1、一维简谐振子势
1 2 1 2 2 • 势能 V ( x) kx m x 2 2
哈密顿方程为：
势能函数是 一条抛物线
V ( x)
d 2 ( x) 1 2 kx ( x) E ( x) 2 2m dx 2
X<0区域内薛定谔方程的通解：
I ( x) Ae
ik1x
Be
ik1x
b) x>0 区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为：
d 2 2 ( x) 2m(V0 E ) 2 ( x ) k 2 2 2 ( x) 2 2 dx
其通解为：
2m(V0 E ) k 2
2 2
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
2
2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:
E1
2
2
2ma 2
为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：
xp
2
势阱中的位置不确定量为Δx≈a
p
进一步确定 本征函数
2a
不可能有
p0
nx nx ( x) A cos B sin a a
当 x
a 时，依据边界条件，有 2
通解为
( x) A cos kx B sin kx

波函数波动方程

波函数波动方程

量子力学中概率密度：p | ( x, t ) |2 * ( x, t )( x, t )
在量子力学中，可测量的函数f（x）的平均值：
f(x)=
L
0
* ( x) f ( x) ( x)dx

L
0
* ( x) ( x)dx
* ( x) f ( x) ( x)dx，
0
L
（若 = ( x, t )，意味着f(x)的测量值与时间有关）
动量的平均值
px *( x) px ( x)dx


( x)
坐标表象（representation） 用坐标（例如一维坐标系中的x）来表示物理体系 （物理量）的行为。
若存在p=p(x),与海森伯不确定关系违背，也与波粒 二象性违背。因此 px(x)是没有意义的，就无法用上 面的公式获得动量的平均值。


f (t )eit dt , 2 / T

傅立叶拟变换：f (t )
1 2


F ( )eit d
类比，可得到具有空间周期性的函数f(x)：
1 傅立叶变换：F (k ) 2


f ( x)eikx dx, k 2 /

1 傅立叶拟变换：f ( x) 2
ˆ xx) ˆ ˆ x ](x)=(xp ˆ ˆ x -p ˆ (x) [x,p d d x[i (x)] (i )[ x(x)] dx dx i (x)
ˆ xy) ˆ ˆ x ](x)=(yp ˆ ˆ x -p ˆ (x) [y,p d d y[i (x)] (i )[ y(x)] dx dx 0
ˆ ,L ˆ ]i [L 利用上关系式和角动量 x y 直角坐标分量算符的表达 [ L ˆ ,L ˆ ]i y z 式,也不难证明 ˆ ,L ˆ ]i [L z x

第三章 量子力学中的角动量

39
J 2 j1 , j2 , j , m = j ( j + 1) J z j1 , j2 , j , m = m
2
j1 , j2 , j , m
j1 , j2 , j , m
显然，总角动量量子数 j，它的 z 分量量子数 m 与 j1 , j 2 , m1 , m 2 有关，为了找出它们之间 的关系，首先必须将耦合表象和无耦合表象这两个表象联系起来。为此，将耦合表象的基矢
J Z j1 , j2 , j , m =
m1 , m2
∑ (J
1Z
+ J 2 Z ) j1 , m1 , j2 , m2 × j1 , m1 , j2 , m2 j1 , j2 , j , m
于是有
m = m1 + m2
上式可写成
j1 , j2 , j , m = ∑ j1 , m1 , j2 , m − m1
j1 , j 2 , j , m 按无耦合表象的基矢 j1 , m1 , j 2 , m 2 展开，得
j1 , j2 , j , m =
m1 , m2
∑
j1 , m1 , j2 , m2
j1 , m1 , j2 , m2 j1 , j2 , j , m
上式中的系数 j1 , m1 , j 2 , m 2 j1 , j 2 , j , m 称为克莱布希一高登(Clebsch 一 Gordon)系数。以算 符式 J z = J1z + J 2 z 分别作用于上式的两端，得
2 2 J , J2 =0
另外显然还存在
2 J Z , J12 = 0, JZ , J2 =0
J 2, JZ =0
这些对易关系表明 J12 , J 22 , J 2 , J Z 这四个算符两两对易，它们具有共同的正交、归一、完备、封 闭的本征函数系。记相应于量子数 j1 j 2 , j, m 的本征函数为 j1 , j 2 , j , m 有

量子力学基础教程

量子力学基础教程量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。

本文将为读者介绍量子力学的基础知识，帮助大家对这一领域有一个初步的了解。

第一章：量子力学的起源量子力学起源于20世纪初，当时科学家们发现传统物理学无法解释一些实验现象，例如黑体辐射和光电效应。

为了解决这些难题，一些科学家开始重新思考物质和能量的本质。

这些思考最终导致了量子力学的诞生。

第二章：波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性。

在经典物理学中，我们认为光可以被看作是一种波动现象。

然而，量子力学揭示了光既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。

这种奇妙的特性不仅出现在光中，也出现在其他微观粒子（如电子和中子）中。

第三章：不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要概念。

它指出，在测量某个粒子的位置和动量时，我们无法同时获得精确的结果。

这意味着，我们无法完全预测微观粒子的行为。

不确定性原理的提出颠覆了经典物理学中确定性的观念，揭示了微观世界的混沌和难以捉摸的一面。

第四章：量子态和波函数量子态是描述微观粒子状态的数学概念。

它可以用波函数来表示，波函数是一个复数函数，描述了粒子的概率分布。

通过对波函数的测量，我们可以获得粒子的位置、动量等信息。

波函数的演化由薛定谔方程描述，它是量子力学的基本方程之一。

第五章：量子力学的应用量子力学在物理学和工程学的许多领域都有广泛的应用。

例如，它在原子物理学中用于解释原子的结构和性质；在材料科学中用于研究材料的电子结构和导电性；在量子计算中用于开发新型的计算机技术等等。

量子力学的应用正在不断拓展，为人类的科技发展带来了巨大的潜力。

结语：量子力学是一门复杂而奇妙的学科，它颠覆了传统物理学的观念，揭示了微观世界的独特规律。

本文介绍了量子力学的起源、波粒二象性、不确定性原理、量子态和波函数以及量子力学的应用。

希望通过这篇文章，读者对量子力学有了初步的了解，并能进一步探索这一神秘的学科。

(完整)曾谨言量子力学第3章ppt

n
例，若 Aˆ d dx
则
Aˆ n dn dx n
显然算符的乘幂满足： Aˆ mn Aˆ m Aˆ n
[Aˆ m, Aˆ n ] 0
两个任意量子态的标积： (ψ ,φ ) dτψ φ
对一维粒子
dτ
dx
对三维粒子 dτ dxdydz r2 sinθdrdθdφ
(ψ ,φ ) dτψ φ
φ arctan(y / x)
lˆx
isin φ
θ
cotθ cosφ
φ
lˆy
i cosφ
θ
cotθ
sin φ
φ
lˆz
i
φ
lˆ 2
2
1
sin θ
θ
sin θ
θ
1
sin 2 θ
2
φ
2
角动量的对易关系
Levi-Civita 符号
[lˆα , xβ ] εαβγ ixγ
εαβγ ε βαγ εαγβ
即 (Aˆ A)ψ 0
或写成 Aˆn Ann
( 3)
An称为算符A的本征值，ψn为相应的本征态， 方程(3)称为算符A的本征方程。
量子力学的测量公设：在任意态下测量力学量A时所有可能出现 的值，都相应于线性厄米算符A的本征值；当体系处于算符A的 本征态时，则每次测量所得的结果都是完全确定的，即An
~ 0 x x
练习 证明： (1) pˆ x pˆ x , (2) (Aˆ Bˆ)T BˆAˆ
(g)复共轭算符和厄米共轭算符 算符A 的复共轭算符A*定义为
Aˆψ (Aˆψ) (40)
通常算符A的复共轭算符A* 按如下方法求解： 把算符A中的 所有量都换成其复共轭。 如 pˆ (i) i pˆ

原子物理学习题标准答案(褚圣麟)很详细

E
hcRH(12
12)
其中hcRH13.6电子伏特
1
n
E1
13.6
(1
1) 10.2
电子伏特
22
E2
13.6
(1
12) 12.1
电子伏特
3
E3
13.6
(1
12)
12.8
电子伏特
4
其中E1和E2小于12.5电子伏特，E3大于12.5电子伏特。可见，具有
12.5电子伏特能量的
电子不足以把基态氢原子激发到n4的能级上去，所以只能出现n3的能级间的跃迁。
A，漫线系第一条的波长为
8193A，
基线系第一条的波长为
18459A，主线系的系限波长为
2413
A。试求
、
、
、
4F
各
3S
3P
3D
谱项的项值。
解：将上述波长依次记为
p max,d max,f max,p,
即p max5893 A,d max8193 A,f max18459 A,p2413 A
容易看出：
(1.60
10
19)2
1.14 1013
米
106
1.60
10
19
由上式看出：rmin与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核
代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为
1.14 1013米。
1/14
1.7能量为3.5兆电子伏特的细粒子束射到单位面积上质量为1.05 102公斤/米2的银
箔上，粒
解：设靶厚度为t'。非垂直入射时引起粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的
厚度t'，而是t
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2 2 nl 2 lm 2
m ( )
2 lm ( )
2
代表几率随角度的分布； 代表几率随角度的分布； 代表几率随矢径r的分布；
2 Rnl (r )
在r、 、 附近、体积元dV内找到电子的几率为：
nlm (r , , )dV R (r ) ( ) m ( ) dV
13
nl (r )dr
2 2 2 2 2 Rnlr dr 0 0 lm m sindd

2 Rnlr 2dr
2r a0
n 1 l 0
10 (r )
2 2r a0
2 R10 ( r ) r 2
4 2 3r e a0
d10 ( r ) 4 2r 3 ( 2r )e dr a0 a0
ˆ Lz m m 0, 1, 2 l 2l 1个 LZ ( ) m ( )
角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间取 6 向量子化，自然得出。
课本108页的解释
7
三、电子的几率分布
nlm (r , , ) nlm (r , , ) R (r ) ( ) m ( )
l 0,1,2n 1
一组量子数n,l,m给出波函数 n,l ,m (r , , ) 的一个具体 5 形式，即n,l,m 确定了原子的状态。
二、能量和角动量 1．主量子数n与能量量子化
E 0时
me 4 Z 2 En (4 0 ) 2 2 2 n 2 1
n 1,2,3
l2
m 1
m 2
5 B21 12
15 21 sin cos 4
l2
B2 2
5 48
P22 3 sin 2
2 2
15 sin 2 16
Rnl ( ) Cnl e
l


2 L2l 1 ( ) n1
2 3 (n l 1)! C nl ( ) na0 2n[( n l )!]3
分离变量
(r, , ) R(r )Y ( , )
1 d 2 dR 2 E 2Z e2 (r ) 2 R R 2 R 0 径向方程 2 2 r dr dr 4 0 r r
是一个与 r , , 无关的常数。
1 Y 1 2Y (sin ) Y 2 2 sin sin


6 10 ( ) cos ml 0 p电子 l 1 2 1 3 2 10 ( , ) 10 ( ) cos2 2 4 0 极大值 零 2
2
极大值
0
零
2作为 的函数和对应的轨道
12
3．电子的径向分布概率 在r、、附近、dV内找到电子的几率为：
(10)佘守宪，势阱中粒子能级与波函数微扰计算的代数递推公式，化学物理学报， 2001.04
（11）李小红等，势阱中粒子能级与波函数微扰计算的代数递推公式，
四川大学学报(自然科学版)，2001.04 （12）马爱群等，氢原子及类氢原子的双波描述，量子光学学报，2003.02 （13）李金海等，氢原子电子云密度分布分析，大学物理，2004.04 （14）佘守宪，一种简捷求解定态薛定谔方程的方法:科尔-霍普夫变换法，大学 物理.2004.12 （15）李兴华等，氢原子波函数的玻色算子表示，物理学报，2005.1
§3.6 氢原子的量子力学处理
一、波函数
Ze2 电子在库仑场中运动： V 4 0 r 定态薛定谔方程：
2 2 Ze 2 [ ] (r ) E (r ) 2 4 0 r
球坐标系：
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
作 业 题
（1）电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U
的静电场加速后，其德布罗意波长为0.4埃，求加速电
势差。（上海大学2002）
（2）试画出时l=2电子轨道角动量在磁场中空间量子化
示意图，并标出电子轨道角动量在外磁场z方向的投影 的各种可能值。（中山大学1993）
（3）褚书第三章习题：1、2、3、6、7、8。
能量是量子化的，自然得出。
E 0时 E取任何值都能使R满足标准条件的解。
2．角量子数 l 和角动量量子化
L l (l 1) l 0,1,2n 1
Байду номын сангаас
ˆ L2Y ( , ) l (l 1)2Y ( , )
角动量是量子化的，自然得出。 3．磁量子数m和空间量子化
nlm (r, , )dV R (r ) ( ) m ( ) r 2 sindrdd
2 nl 2 lm
2
nl (r )dr
2 2 2 2 2 Rnlr dr 0 0 lm m sindd

2 Rnlr 2dr
---在离核r处、厚度为dr的球壳内发现电子的几率。 对于不同的n、l ， nl (r ) 不同。
1 2 1 1 2 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
2 1 2 1 2 Ze 2 [ 2 (r ) 1 (sin ) 2 2 ] E 2 2 2 r r r r sin r sin 4 0 r
2 nl 2 lm 2
dV r 2 sin drdd
归一化：
nlm (r, , )dV R r dr sind m * d 1 m
0 2 nl 2 0 2 lm 0


2

2 Rnl ( r ) r 2 dr 0

1
0
2
m * d m
三、电子云
用小黑点的密或稀形象地表示空间各处概率密度的相 对大小，概率大的地方黑点浓密，概率小的地方黑点稀 疏，称它们为“电子云” 电子在原子核外很小的空间内作高速运动，其运动 规律跟一般物体不同，它们没有确定的轨道。因此，我 们不能同时准确地测定电子在某一时刻所处的位置和运 动的速度，也不能描画出它的运动轨迹。因此，人们常 用一种能够表示电子在一定时间内在核外空间各处出现 机会的模型来描述电子在核外的运动。在这个模型里， 某个点附近的密度表示电子在该处出现机会的大小。密 度大的地方，表明电子在核外空间单位体积内出现的机 会多；密度小的地方，表明电子在核外空间单位体积内 出现的机会少。由于这个模型很像在原子核外有一层疏 密不等的“云”，所以，人们形象地把它叫做“电子 云”。
Blm (l m )!( 2l 1) 2(l m )!
m x2 ) 2 l m l m
连带勒让德多项式
1 m Pl ( x) l (1 2 l!
d
( x 2 1)l
dx
x cos
l 0
l 1
m0 m0
1 B00 2
3 B10 2 3 B11 4
1 e 3/ 2 2 2a0
r 2 a0
e
R20
[2
r ] a0
R21
1 r e 3/ 2 2 6a0 a0

r 2 a0
H原子的波函数
n 1,2,3
n,l ,m (r , , ) Rn,l (r )l ,m ( ) m ( )
m 0,1,2,3 l
角方程
Y ( , ) ( )( )
1 d d (sin ) ( 2 ) 0 sin d d sin
d 2 0 2

是一个与 , 无关的常数。
方程的解
1 im m 0,1,2,3 ( ) e 2 m lm ( ) Blm Pl (cos ) l 0,1,2,3 m 0,1,2, l
l、m不同， lm 不同。
例如： s电子和p电子的角分布
解：s电子 l 0
ml 0
1 00 ( ) 2
1 1 2 00 ( ) 00 ( ) 2 4
呈球对称分布
3 11 ( ) sin ml 1 p电子 l 1 2 1 3 2 11 ( , ) 11 ( ) sin 2 2 8
阅读参考文献
（1）张哲华、刘莲君编 《量子力学与原子物理学》（武汉大学
出版社）第一章实验基础：光的波粒二象性、第二章量子力学原 理（1）：波函数及薛定谔方程部分。 （2）曾谨言著《量子力学》（上）（科学出版社）第一章量子 力学的诞生部分。 （3）苟清泉编《原子物理学》（高等教育出版社）相关部分。 （4）顾建中编《原子物理学》（高教出版社）相关部分。
在通常状况下氢原子电子云示意图
思考题
（1）何谓紫外灾难？简述普朗克对量子物理的贡献。 （2）何谓光电效应？它有哪些实验规律？爱因斯坦是如何进行解 释的？ （3）波恩对波函数作出什么样的解释？
（4）请回答测不准关系的主要内容和物理实质.
（5）为什么说德布罗意是量子力学的创始人？贡献如何？ （6）何谓定态？定态波函数具有何种形式？ （7）波函数满足标准条件是什么？写出波函数归一化条件。 （8）简要写出量子力学处理氢原子的方法、步骤和结论。
0 r a0
在r a0处有极大值
n 2 l 1
21 (r )
4
2 R21 ( r ) r 2 r a0
r e 5 24 a0
4

r a0
d21 (r ) 1 r 3 ( 4 r )e 5 dr a0 24 a0
0 r 4a0
在r 4a0处有极大值
P00
1
1 00 2
3 10 cos 2
11
20
P0 1 P1 1
cos sin
l 1