高二数学人教选修1-2同步练习：2.1.1 合情推理(一) word版含解析

1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第七个三角形数是________．2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示，则第n 个正方形数是________．3．如图所示，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为__________．4．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是__________．5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式2S ⨯=底高，可推知扇形面积公式S 扇＝________.6．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，f 4(x )＝f ′3(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ≥2，且n ∈N *，则f 2 011(x )＝__________.7．下图所示为一串黑白相间排列的珠子，第36颗珠子应是__________颜色的．8．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第五个等式为________________．9．已知函数1133()5x x f x --=，1133()5x x g x -+=.分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式．10．类比等差数列的定义，给出等和数列的概念，并利用等和数列的性质解题：已知数列{a n}是等和数列，a1＝2，公和为5，求a18和S21.参考答案1答案：28 解析：第n 个三角形数比前一个多n .故答案为28.2答案：n 2解析：1,4,9,16,25分别为序号的平方，所以第n 个正方形数为n 2. 3答案：解析：观察图中每一行，每一列的规律，从形状和是否有阴影入手.每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形.又每一行，每一列中的图形的颜色应有二黑一白.故填.4答案：31 解析：有菱形纹的正六边形个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.5答案：12lr 解析：类比方法：扇形→三角形，弧长→底边长，半径→高，猜想S 扇＝12lr . 6答案：－cos x 解析：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f ′3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝cos x ，…，再继续下去会重复出现，周期为4，∴f 2 011(x )＝f 3(x )＝－cos x .7答案：白 解析：5个珠子为一个周期，第36颗与第1颗颜色一致.8答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212解析：观察等式，发现等式左边各加数的底数之和等于右边数的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.9答案：解：f (4)－5f (2)g (2)＝1111113333334422225555-----+-⨯⨯＝11113333113322224455---⎛⎫⎛⎫-⨯+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-＝222233332222055-----=.同理可得：f (9)－5f (3)g (3)＝0，∴对任意x∈R，x≠0，有f(x2)－5f(x)g(x)＝0. 证明：f(x2)－5f(x)g(x)＝111111 223333335555x x x x x x---()-()-+-⨯⨯＝11113333 223355x x x xx x---⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪-⎝⎭⎝⎭-＝222233330 55x x x x-----=，∴结论得证.10答案：解：等和数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.由题意可知a1＋a2＝5，又a1＝2，∴a2＝3，又a2＋a3＝5，∴a3＝2.故数列{a n}的形式为：2,3,2,3,2,3，…，。

高二数学人教选修1-2课后练习第2章推理与证明2.1.1 合情推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC =r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·厦门高二检测)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的 (A)，(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.2.给出下列三个类比结论：①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x-y；②类比log a(xy)=log a x+log a y，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正确.【补偿训练】若数列{a n}(n∈N*)是等差数列，则有数列b n=(n∈N*)也是等差数列.类比上述性质，相应地有，若数列{c n}(n∈N*)是等比数列，且c n>0，则数列d n= (n∈N*)也是等比数列.【解析】由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性.等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比.由此猜想d n=.答案：3.设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解析】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.4.(2015·北京高二检测)设0<θ<，已知a1=2cosθ，a n+1=，猜想a n=( )A.2cosB.2cosC.2cosD.2sin【解析】选B.因为a1=2cosθ，a2==2=2cos，a3==2=2cos，…，猜想a n=2cos.【一题多解】验n=1时，排除A，C，D.5.(2015·吉林高二检测)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r=( )A. B.C. D.【解析】选C.△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.【补偿训练】在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径r=.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R= .【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体. 【解析】(构造法)通过类比可得R=.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案：二、填空题(每小题5分，共15分)6.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图中有个原子，有个化学键.【解析】第1，2，3个图中分别有原子：6个、6×2-2个、6×3-2×2个，所以第n个图中有6n-(n-1)×2=4n+2个原子；第1，2，3个图中分别有化学键：6个，6×2-1个，6×3-2个，所以第n个图中有6n-(n-1)=5n+1个化学键.答案：4n+2 5n+17.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18= ，这个数列的前n项和S n 的计算公式为.【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n=故a18=3.从而S n=答案：3 S n=8.如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，正方形A n B n C n D n 的面积为.(用含有n的式子表示，n为正整数)【解题指南】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答.【解析】如题干图1，已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25=52，…正方形A n B n C n D n的面积为5n.答案：5n三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论.【解析】注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为1=2×1-1；3=2×2-1；5=2×3-1；7=2×4-1，…又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42；…由此总结出一般结论：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.10.如图1，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD·BC；若类比该命题，如图2，三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题并加以证明.【解析】命题是：三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有=S△BCM·S△BCD，是一个真命题.证明如下：在图2中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2=EM·ED.于是==·=S△BCM·S△BCD.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是( )A.30B.31C.32D.34【解析】选B.第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4+3=7根火柴棒；第3个图形中有4+3×2=10根火柴棒；…第10个图形中有4+3×9=31根火柴棒.2.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是( )A.(7，5)B.(5，7)C.(2，10)D.(10，1)【解析】选B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第n组“整数对”的和为n+1，且有n个“整数对”.这样前n组一共有个“整数对”.注意到<60<.因此第60个“整数对”处于第11组的第5个位置，可得为(5，7).二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·西安高二检测)对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0；将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有.【解题指南】根据线性几何中的线段长度、平面几何中平面图形的面积中有关等式的共性，将这个共性引申到立体几何中得到相应的等式或结论.【解析】根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若O是四面体ABCD内一点，则有V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0【拓展延伸】类比推理的常见类型及解题思路类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.4.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于.1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111……【解析】由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.答案：1111111三、解答题(每小题10分，共20分)5.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明. 【解析】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体P-ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC=V M-ABC+V M-PAB+V M-PAC+V M-PBC=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4)，而S△ABC=a2，V P-ABC=a3，故d1+d2+d3+d4=a(定值).【拓展延伸】类比法的可靠性(1)类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想直到形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性.(2)一般说来，共有属性越多，结论的可靠程度就越大；共有属性越是本质的，结论的可靠程度就越高.尽管类比法结论的真实性不一定得到保证，但它在人们的认识活动中仍有着重要意义.6.设{a n}是集合{2t+2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，….将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数.(2)求a100.【解析】(1)将前三行各数分别写成2t+2s的形式：第1行：3=21+20；第2行：5=22+20，6=22+21；第3行：9=23+20，10=23+21，12=23+22；由此归纳猜想：第4行：24+20，24+21，24+22，24+23；第5行：25+20，25+21，25+22，25+23，25+24.经计算可得第4行各数依次是：17，18，20，24；第5行各数依次是：33，34，36，40，48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1+2+3+…+13=91个数.因此，a100应当是第14行中的第9个数.所以a100=214+28=16640.。

第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列13521,,n -,,,,则23是这个数列的A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项【答案】C【解析】令2123n -=，解得12n =，故23是这个数列的第12项．故选C ． 2．某演绎推理的“三段”分解如下：①函数()13xf x =是减函数；②指数函数是减函数；③函数()13x f x =是指数函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是 A ．①→②→③ B ．③→②→① C ．②→①→③ D ．②→③→①【答案】D3．下列推理是类比推理的是A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |+|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1=1，31n a n =-，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2πr ，猜想出椭圆22221x ya b+=的面积为πS ab =D ．以上均不正确 【答案】C【解析】A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 是类比推理．故选C ． 4．“因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提与推理形式都错误【答案】B5．设0()sin x f x =，10()()f f x x '=，21()()f f x x '=，…，1()(),n n f f n x x +='∈N ，则2017()f x = A ．cos x - B ．sin x - C ．cos x D ．sin x【答案】C【解析】1()cos f x x =，2()(cos )sin ,f x x 'x ==-，3()cos ,f x x =-，4()sin f x x =， 故2017450411()()()cos f x f x f x x ⨯+===．故选C ．6．在平面几何中有如下结论：设正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214SS =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V = A ．18 B ．19 C ．164D ．127【答案】D【解析】如图，连接AE ，7．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为 1 3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31……A ．811B ．809C ．807D ．805【答案】B【解析】由题意知前20行共有正奇数21353920400++++==个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809⨯-=．故选B ．8．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是……A．26 B．31 C．32 D．36 【答案】B【解析】有灰色的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有灰色的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，5为公差的等差数列，所以第6个图案中有灰色的正六边形的个数是65(61)31+⨯-=．故选B．9．有三个人，甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，丙说：“我不是班长”.已知三个人中只有一个说的是真话，则班长是A．甲B．乙C．丙D．无法确定【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．设等差数列{}n a的前n项和为n S，则4S，84S S-，128S S-成等差数列；类比以上结论有：设等比数列{}n b的前n项积为n T，则4T，______________，128TT成等比数列．【答案】84TT【解析】由题意，等差数列{}n a的前n项和为n S，则4S，84S S-，128S S-成等差数列，运用类比思想，只需要将差改为比即可，故有4T，84TT，128TT成等比数列．11．用演绎推理证明2)0(,,y x x=∈-∞是减函数时，大前提是______________．【答案】减函数的定义【解析】大前提：减函数的定义，在x I ∈内，若有12x x >，则有12()()f x f x <，小前提：2)0(,,y x x =∈-∞时12x x >，有12()()f x f x <， 结论：2)0(,,y x x =∈-∞是减函数．12．已知下列等式：，，，，……则根据以上四个等式，猜想第个等式是__________()*n ∈N ． 【答案】13．在下列类比推理中，正确的有_____________．①把()a b c +与(log )a x y +类比，则有log )l g og (o l a a a x y x y +=+； ②把()a b c +与sin()x y +类比，则有sin()sin sin x y x y +=+；③把实数,a b 满足：“若0,0ab b =≠，则0a =”，类比平面向量的数量积，“若·0=a b ，≠0b ，则=0a ”；④平面内，“在ABC △中，ACB ∠的平分线CE 将三角形分成两部分的面积比=AEC BEC SACS BC△△”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥A BCD －中，平面DEC 平分二面角A CD B --，且与AB 交于点E ，则平面DEC 将三棱锥分成两部分的体积比A CDE ACDB CDE BDCV S V S --=△△．【答案】④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．把下列演绎推理写成三段论的形式．（1）在标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾； （2）一切奇数都不能被2整除，20(2)1+是奇数，所以20(2)1+不能被2整除； （3）三角函数都是周期函数，cos y α=是三角函数，因此cos y α=是周期函数． 【解析】（1）在标准大气压下，水的沸点是100℃，………………大前提 在标准大气压下把水加热到100℃，…………………………………小前提 水会沸腾．………………………………………………………………结论 （2）一切奇数都不能被2整除， ……………………………………大前提20(2)1+是奇数， ……………………………………………………小前提 20(2)1+不能被2整除． ……………………………………………结论（3）三角函数都是周期函数，………………………………………大前提cos y α=是三角函数，………………………………………………小前提 cos y α=是周期函数．………………………………………………结论15．已知()33xf x =+，分别求()0)(1f f +，()12()f f -+，()23()f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．【解析】由1()33xf x=+，得01113()()313333f f=+=+++，12113()()3333123f f-=+=++-+，23113()()3333233f f-=+=++-+，归纳猜想一般性结论为3()(1)3f fx x-++=，证明如下：111131()(1)333313333xx x x xf f xx-++-++=+=++++⋅+1113313313313=33333333(133)x x xx x x x+++⋅⋅+⋅++===++++⋅．16．（1）在平面上，若两个正方形的边长的比为，则它们的面积比为.类似地，在空间中，对应的结论是什么？（2）已知数列满足11212,4nnnaa aa+-==+，求，并由此归纳得出的通项公式（无需证明）.17．如图1，已知PAB△中，，点在斜边上的射影为点.（1）求证：222111PH PA PB =+； （2）如图2，已知三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（1）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.因为，，，所以平面，。

课时作业3合情推理(1)知识点一数列中的归纳推理1。

数列２，５,11，２0,ｘ,47中的x等于( )A.28 B．32 C.33D．27答案Ｂ解析由前几个数字可归纳出此列数字为：２，5,１1，20,32,４7,∴答案为B．2．观察下列各等式：错误!+错误!=2,错误!＋错误!未定义书签。

=2,错误!未定义书签。

＋错误!未定义书签。

=２,错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( ）A。

错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

=２B.错误!＋错误!未定义书签。

=2C.错误!＋错误!未定义书签。

=2D．错误!未定义书签。

+错误!＝2答案A解析观察发现：每个等式的右边均为2,左边是两个分数相加,分子之和等于8，分母中被减数与分子相同,减数都是４,因此只有Ａ正确。

知识点二几何中的归纳推理3。

如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列{ａn｝的前4项，则这个数列的一个通项公式为（)A.a n＝3n－1B.ａn＝3ｎC.ａn=3n－2nﻩＤ．aｎ＝3n－1+2n－3答案A解析∵a１=1，a2＝3，a３=9,a4＝27，猜想a n=3ｎ－１.4．如图所示,图１是棱长为1的小正方体，图2、图３是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层,第2层，…,第n层,第n层的小正方体的个数记为S n。

解答下列问题：（1)按照要求填表:(2）Ｓ10＝_＿__＿__答案（１）10(2)５５解析S１=1,Ｓ2=3＝1＋2,Ｓ3=６=1+2+3,推测Ｓ4=1+２＋3+4=１0，…Ｓ10=1+2＋3+…＋10=55。

知识点三归纳推理的应用５.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有５条对角线,凸六边形有9条对角线，…,由此猜想凸n边形有几条对角线？解因为凸四边形有２条对角线,凸五边形有５条对角线,比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条,…,于是猜想凸ｎ边形的对角线条数比凸(ｎ－1)边形多（n-２)条对角线,由此凸n边形的对角线条数为2+3＋4＋5+…＋(n-2),由等差数列求和公式可得错误!未定义书签。

数学·选修1－2(人教A版)2．1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理►达标训练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27答案：B2．已知三角形的三边长分别是a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S＝12(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为( )A．V＝13 abcB．V＝13 ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)解析：根据类比的一般原理，三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积，因而可以得出答案C.答案：C3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数． 答案：B 4．等比数列{}a n 满足：m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q .由此类推可得，在等差数列{}a n 中，若有m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则有( )A ．a m ·a n ＝a p ·a qB ．a m ＋a n ＝a p ＋a qC.a m a n ＝a pa qD ．a m －a n ＝a p －a q答案：B5．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c＝a c ＋bc (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C6．如右图所示，面积为S 的凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i＝ 1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则∑i＝14(a i h i)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i 个面的距离记为H i(i＝ 1,2,3,4)，若S1 1＝S22＝S33＝S44＝K，则∑i＝14(S i H i)＝( )A.4VKB.3VKC.2VKD.VK解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S＝12(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱锥中，体积为V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.答案：B►素能提高1．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12＋(n －1)×4＝4n ＋8.答案：4n ＋82．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n 个图中三角形被剖分成a n 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________；a 100＝________.…图1 图2 图3答案：182983．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为_____________________________．解析：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边＝2(n ＋1)－1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1164．(2013·广州二模)数列{a n }的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第k ＋1个1之间有2k －1个2，即数列{a n }为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝______；S 2013＝______.答案：36 39815．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)的变量，请你写出类似于①的式子②：_______________________________________.②式可以用语言叙述为：_______________________________.解析：V (R )＝43πR 3，又⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2，故②式可填＝4πR 2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数6．(2013·江门佛山二模)将集合{2s ＋2t |0≤s ＜t 且s ，t ∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j ＞0)，则b 43＝________.答案：207．在等差数列{}a n 中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{}b n 中，若b 9＝1，则有等式______________________成立．解析：a 10是等差数列{}a n 的前19项的中间项，而b 9是等比数列{}b n 的前17项的中间项．所以答案应为：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)8．在平面内观察发现：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜测凸n 边形有几条对角线．解析：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条对角线； 凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条对角线；…归纳猜测：凸n 边形的对角线条数，比凸n －1边形多对角线，于是得到凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．►品味高考1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过下图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝n (n ＋1)2，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15. 从而由上述规律可猜想：b 2k ＝a 5k +＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k (5k －1)2点评：本题考查归纳推理，猜想的能力．归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想．2．(2013·陕西卷)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________________________．答案：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1) 3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________； (2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(2＋22)×2×12＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝12，c＝－1.∴S＝N＋12L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋12×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6(2)79。

第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理1．认识合情推理的含．2．能利用和比等行的推理，领会并合情推理在数学中的作用．基梳理1．推理．由某事物的部分象拥有某些特色，推出事物的所有象都拥有些特色的推理，或许由个事归纳出一般的推理称推理 (称 )．言之，推理是由部分到整体、由个到一般的推理．2．比推理．由两象拥有某些似特色和此中一象的某些已知特色，推出另一象也拥有些特色的推理称比推理 (称比 )．言之，比推理是由特别到特别的推理．3．合情推理．推理和比推理都是依据已有的事，察、剖析、比、想，再行、比，而后提出猜想的推理，我把它称合情推理．平常地，合情推理是指“符合情理”的推理．基自1．已知扇形的弧 l，半径 r，比三角形的面公式S＝底×高，可推知扇形面2公式 S 扇等于 (C)r2l 2A. 2B.2lrC.2D．不行比分析：由扇形的弧与半径比于三角形的底与高可得 C.故 C.2．从 1＝ 12， 2＋ 3＋4＝ 32， 3＋ 4＋ 5＋ 6＋7＝ 52，⋯，可得一般律___________________________________________________ ．分析：猜想：第 n 个等式的左是 2n－1 个整数的和，第 1 个数 n，等式的右是整数个数的平方，即一般律n＋ (n＋ 1) ＋(n＋ 2)＋⋯＋ (3n－2)＝ (2n－ 1)2.答案： n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)23 ．根据下列 5 个形及相点的个数的化律，猜想第 n个形中有______________个点．分析：第 n 个图有 n 个分支，每个分支上有(n－ 1)个点 (不含中心点 )，再加上中心 1 个点，则有 n(n－1)＋ 1＝ n2－ n＋1 个点．答案： n2－n＋ 1AE AC 4．在平面几何中，△ABC 的内角均分线CE 分 AB 所成线段的比为EB＝BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中 (以下图 )，平面 DEC 均分二面角 ACDB 且与 AB 相交于点 E，则获得的类比结论是 ________．分析：把线段比类比到面积比，得AE＝S△ACD. EB S△BCD答案： AE ＝ S△ACDEB S△BCD（一）解读合情推理数学研究中，获得一个新结论以前，合情推理经常能帮助我们猜想和发现结论；证明一个数学结论以前，合情推理经常能为我们供给证明的思路和方向．合情推理的一般过程为：（二）解读归纳推理(1)归纳推理的分类．①完整归纳推理：由某类事物的全体对象推出结论．②不完整归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．需要注意的是，由完整归纳推理获得的结论是正确的，由不完整归纳推理获得的结论不必定正确．(2)归纳推理的特色．因为归纳是依据部分已知的特别现象推测未知的一般现象，因此归纳推理拥有以下特点：①所得结论超越了前提所包括的范围；②所得结论拥有猜想性质，正确性需要证明；③归纳的基础在于察看、实验或经验．(3)归纳推理的一般步骤．①经过察看、剖析个别状况，发现某些同样特色；②将发现的同样特色进行归纳，推出一个明确表达的一般性命题(猜想 )．（三）解读类比推理(1)类比推理的特色．①类比是从一种事物的特别属性推测另一种事物的特别属性；②类比是以原有知识为基础，猜想新结论；③类比能发现新结论，但结论拥有猜想性，正确性需要证明．(2)类比推理的一般步骤．①明确两类对象；②找出两类对象之间的相像性或许一致性；③用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，获得一个明确的结论．1．归纳推理的一般步骤：(1)经过察看个别状况发现某些同样性质．(2)从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想 )．2．归纳推理的思想进度．实验、察看→ 归纳、推行→ 猜想一般性结论．即对有限的资料进行察看、剖析、归纳、整理，提出带有规律性的结论，而后对该猜想的正确性加以查验．3．一般地，归纳的个别状况越多，越拥有代表性，推行的一般性命题就越靠谱．4．运用类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相像性或一致性．(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．5．类比推理常有的几种题型．(1)类比定义：本类题型解决的重点在于弄清两个观点的相像性和相异性以及运用新观点的正确性．(2)类比性质 (定理 )：本类题型解决的重点在于要理解已知性质 ( 定理 ) 的内涵、应用环境及使用方法，经过研究已知性质 (定理 )，刻画新性质 (定理 )的“相貌”．(3)类比方法 (公式 ) ：本类题型解决的重点在于解题方法．1．下一串白黑相摆列的珠子，按种律往下摆列起来，那么第 36 珠子的色是 (A)○○○●●○○○●●○○○●●○○⋯⋯A ．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．数列 2， 5，11， 20， x， 47，⋯中的x 等于 (B)A．28 B．32C．33 D． 273．已知三角形的三分a， b， c，其内切的半径r ，三角形的面：S 1＝2(a＋ b＋ c)r，利用比推理，能够得出四周体的体(C)1A．V＝3abc1B．V＝3Sh1分是四周体四个面的面，r 四周C．V＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4) ·r(此中 S1， S2， S3， S43体内切球的半径)1D． V＝3(ab＋bc＋ ca)h(h 四周体的高)4．等差数列 { a n} 中，有2a n＝ a n－1＋ a n＋1(n≥2，且 n∈ N* )，比以上，在等比数列{ b n} 中似的是________．答案： b2n＝ b n－1· b n＋1( n≥2，且 n∈ N* )1．以下对于推理的法中的是(A)A．推理是由一般到一般的一种推理程B．推理是一种由特别到一般的推理程C．推理得出的拥有有时性，不必定正确D．推理拥有由详细到抽象的功能2．由数列1， 10， 100，1 000，⋯猜数列的第n 可能是 (B)A ． 10nB ．10n－1C． 10n＋1D． 11n3．依据出的数塔猜123 456 ×9＋ 7 等于 (B)1× 9＋ 2＝ 11 12× 9＋3＝ 111 123× 9＋ 4＝ 1 1111 234× 9＋ 5＝11 11112 345 ×9＋ 6＝ 111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113分析：由数塔体现的规律知，结果是各位都是1的 7位数．4．下边使用类比推理正确的选项是 (C)A ．“若 a ·3＝ b ·3，则 a ＝ b ”类推出 “a ·0＝ b ·0，则 a ＝ b ”B ．“(a ＋ b)c ＝ ac ＋ bc ”类推出 “(a ·b)c ＝ ac ·bc ”a ＋ba bC ．“(a ＋ b)c ＝ ac ＋ bc ”类推出 “c ＝ ＋ ( c ≠ 0) ”c cD ．“ (ab)n ＝ a n b n ”类推出 “(a ＋ b)n ＝ a n ＋ b n ” 5． n 个连续自然数按规律摆列以下：依据规律，从 2010 到 2012，箭头的方式挨次是 (C)A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓4 为公差的等差数列，由分析：察看特例的规律知：地点同样的数字是以 11→ 12可知从 2010 到2012为 ↑→. ↑106．以下图，面积为 S 的凸四边形的第 i 条边的边长为 a i (i ＝ 1， 2， 3， 4)，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 h i (i ＝1，2，3，4)，若a 1 a 2 a 3 a 4＝k ，则 4 2S＝ ＝ ＝ 4(a i h i )＝k .1 2 3i ＝1类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S i (i ＝ 1，2，3，4)，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离为H i (i ＝1， 2， 3，4)，若 S 1＝ S 2＝ S 3 ＝K ，则4(S i H i )＝(B)1 2 3i ＝14V 3V 2V VA. KB. KC. KD.K分析：从平面类比到空间，往常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，11 面积为 S ＝ ( a 1h 1＋ a 2h 2＋ a 3h 3＋ a 4h 4)，而在三棱锥中， 体积为 V ＝ (S 1H 1＋ S 2H 2＋S 3H 3＋ S 4H 4)，23即存在系数差别，因此，上述性质类比为B.7．察以下不等式：1 31＋22<2，1 1 51＋22＋32<3，1 1 1 71＋22＋32＋42 <4，⋯照此律，第五个不等式 _______________________________ ．n 个不等式的左＝1＋111分析：察不等式的左，第22＋32＋⋯＋（n＋1） 2，右＝ 2（ n＋1）－ 1，n＋ 1因此第五个不等式11111111＋22＋32＋42 ＋52＋62< 6.8．下是用同格的黑、白两色正方形瓷的若干案，按此律，第n 个案中需用黑色瓷________ (用含 n 的代数式表示 )．分析：第 (1) ，(2) ，(3) ，⋯个案黑色瓷数挨次：15－ 3＝ 12， 24－ 8＝ 16，35－ 15＝20，⋯由此可猜第n 个案黑色瓷数：12＋ (n－ 1) ×4＝ 4n＋ 8.答案： 4n＋ 89． 1 是一个 1 的正三角形，分接个三角形三中点，将原三角形剖分成 4个三角形 (如 2)，再分接 2 中一个小三角形三的中点，又可将原三角形剖分成 7个三角形 (如 3)，⋯，依此推，第 n 个中三角形被剖分红a n个三角形，第 4个中最小三角形的__________ ；a100＝ __________．1答案：29810．的面 S＝π r2，周 c＝ 2π r，二者足 c＝ S′(r)，比此关系写出球的公式的一个是：________．分析：的面、周分与的体和表面比可得，球的体 V＝43π R3，表面S＝ 4πR2，足 S＝V′(R)．432答案： V 球 ＝ π R ，S 球＝ 4π R ， 足 S ＝ V ′(R)．11．在等差数列 { a n } 中，若 a 10＝ 0， 有等式 a 1＋ a 2＋ ⋯＋ a n ＝ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a 19－n (n ＜ 19， n ∈ N * )建立． 比上述性 ，在等比数列 { b n } 中，若 b 9 ＝1， 有等式 __________________ 建立．分析： a 10 是等差数列 { a n } 的前 19 的中 ，而 b 9 是等比数列 { b n } 的前 17 的中*．因此答案 ：b 1 b 2 ⋯b n ＝ b 1b 2 ⋯b 17－ n ( n ＜ 17， n ∈ N )．答案： b 1b 2⋯b n ＝ b 1b 2⋯b 17－n (n ＜ 17， n ∈N * )．2212． a n 是首 1 的正 数列，且 (n ＋ 1)a n ＋ 1－ na n ＋ a n ＋ 1·a n ＝0(n ≥1， n ∈ N) ， 出 个数列的一个通 公式．分析：当 n ＝ 1 ， a 1＝ 1，且 2a 22－ a 21＋ a 2· a 1＝ 0，即 2a 22 ＋ a 2 － 1＝ 0 解得 a 2＝ 12；21 21当 n ＝2 ，由 3a 3－ 2 2 ＋2a 3＝ 0，即 6a 23 ＋ a 3 － 1＝ 0，解得 a 3＝ 13，⋯1由此猜想； a n ＝ n .13．在 x2＋ y 2＝ r 2 中， AB 直径， C 上异于 AB 的随意一点， 有 k AC · k BC ＝－ 1，你能用 比的方法得出 x 2 y 22＋ 2＝ 1(a ＞ b ＞0) 中有什么 的 ？a b分析： A(x 0 ，y 0 ) 上的随意一点， A 点对于中心的 称点 B 的坐 (－ x 0， －y 0)，点 P(x ， y) 上异于 A ， B 两点的随意一点，·k ＝ y － y 0 y ＋ y 0 y 2－ y 20k AP · ＝ x 2 2BP x － x 0 x ＋ x 0 － x 0.因为 A ， B ，P 三点都在 上．x 2 y 22＋ 2＝ 1，x 2－ x 02y 2－y 20∴a b两式相减有2 2 a 2 ＋b 2 ＝0，x 0y 0＝ 1，a 2 ＋b 22－ y 222.∴ y220＝－ b2，即 k AP · k BP ＝－ b 2x － x 0aa故 x 2 y 2a 2＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)中 中心的一条弦的两个端点 A ， B ，P 上异于A ， B2的随意一点， 有 k · k BP ＝－ b 2APa .?品尝高考1．(2014 ·西卷 )已知 f(x)＝x ，x ≥ 0，若 f 1(x)＝ f(x)，f n ＋ 1(x)＝ f( f n (x)) ，n ∈ N ＋， f 2 014(x)1＋ x的表达式 ________．xx分析：由 f 1(x)＝ x? f 2(x)＝ fx＝ 1＋ x ＝ x ；又可得 f 3 (x)＝ f(f 2(x)) ＝1＋ x1＋ x x x1＋ x1＋2x1＋1＋ x1＋1＋ 2x＝ x ，故可猜想1＋ 3xxf 2 014(x)＝ 1＋ 2 014x.答案：x1＋ 2 014x2． (2013 ·西卷 ) 察以下等式：(1＋ 1)＝ 2×12(2＋ 1)(2＋ 2)＝ 2 × 1×3(3＋ 1)(3＋ 2)(3＋ 3)＝ 23× 1×3× 5 ⋯照此 律，第 n 个等式可 _______________________________ ． 答案： (n ＋1)( n ＋ 2) ·⋯·(n ＋n)＝ 2n × 1× 3× 5×⋯× (2n － 1)3． (2013 湖·北卷 )在平面直角坐 系中，若点 P(x ，y)的坐 x ， y 格点． 若一个多 形的 点所有是格点， 称 多 形 格点多 形． S ，其内部的格点数 N ， 界上的格点数 L .比如 中 △ ABC的 S ＝ 1，N ＝ 0， L ＝ 4.均 整数， 称点 P 格点多 形的面 是格点三角形，(1) 中格点四 形 DEFG 的 S ， N ， L 分 是 ________； (2)已知格点多 形的面 可表示 S ＝ aN ＋ bL ＋ c ，此中 a ，b ， c 常数．若某格点多形 的 N ＝ 71， L ＝ 18， S ＝ ________(用数 作答 )．分析： (1)四 形 DEFG 是一个直角梯形， 察 形可知：S ＝( 2＋2 2)× 2× 1＝3，N2＝1，L ＝6.(2)由 (1) 知， S 四边形 DEFG ＝a ＋ 6b ＋ c ＝ 3.S △ ABC ＝ 4b ＋c ＝ 1.2 的正方形， 正方形中S ＝在平面直角坐 系中，取一“田 ”字型四 形，组成4， N ＝ 1， L ＝ 8.S ＝a ＋ 8b ＋ c ＝4.立解得 a ＝ 1， b ＝ 1， c ＝－ 1.2∴ S ＝N ＋ 1L － 1，2N ＝ 71， L ＝ 18， ∴若某格点多 形 的S ＝71＋ 1× 18－ 1＝79. 2答案： (1)3，1， 6 (2)794． 古希腊 达拉斯学派的数学家 常在沙 上画点或用小石子表示数．他 研究 下 所示的三角形数：将三角形数1， 3， 6， 10，⋯数列 { a n} ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的序成一个新数列{ b n} ，能够推：(1)b2 012是数列 { a n} 中的第 ________；(2)b2 k－1＝ ________(用 k 表示 )．分析：由以上律可知三角形数1， 3， 6，10，⋯的一个通公式a＝ n（ n＋1），n2写出其若干有：1， 3，6， 10， 15， 21， 28， 36，45， 55，66， 78， 91， 105， 120，此中能被 5 整除的 10， 15，45， 55， 105， 120 ，故 b1＝ a4， b2＝a5，b3＝ a9， b4＝ a10， b5＝ a14， b6＝ a15.进而由上述律可猜想：5k（ 5k－ 1）b2k＝ a5k＝(k 正整数 )，b2k－1＝a5k－1＝（ 5k－ 1）（ 5k－ 1＋1）＝5k（ 5k－ 1），22故 b2 012＝ b2×1 006＝ a5 030，即 b2 012是数列 { a n} 中的第 5 030 ．5k（ 5k－ 1）答案： (1)5 030(2)2点：本考推理，猜想的能力，推理型重在猜想，不必定要明，但猜想需要有必定的和能力，不可以凭空猜想．。

第二章 2.1 2.1.11．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝( C )A ．r 22B ．l 22C ．lr2D ．不可类比[解析] 类比方法：扇形→三角形，弧长→底边长，半径→高，推知S 扇形＝lr2．2．已知a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，则数列{a n }的一个通项公式为a n ＝( B )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1[解析] 解法一：当n ＝1时，2(n ＋1)2＝12，22n －1＝2，22n －1＝2，排除A 、C 、D ，只有选项B 满足a 1＝1，故选B ．解法二：a 1＝1＝21×2， a 2＝13＝22×3，a 3＝16＝23×4，a 4＝110＝24×5，…，∴a n ＝2n (n ＋1)，故选B ．3．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，在正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是( C )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各面都是全等的正三角形，任意相邻的两个面所成的二面角都相等； ③各面都是全等的正三角形． A ．① B ．①② C ．①②③D ．③[解析] 由平面几何与立体几何的类比特点可知，三条性质都是恰当的．4．观察下列各式：9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为__(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4(n ∈N *)__．[解析] 由已知四个式子可分析规律(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4．5．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也是等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．[解析] 结论：S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列且公差为300． 此结论是正确的，证明如下： 因为数列{a n }的公差d ＝3．所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋10d ＋…＋10d 10个 ＝100d ＝300．同理：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列且公差为300．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第二章 推理与证明 §2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理(一)一、基础过关1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( )A ．47B ．65C ．63D ．1282．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－63．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 1134．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n 个正方形数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)25．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 二、能力提升6．设x∈R，且x≠0，若x＋x－1＝3，猜想x2n＋x－2n(n∈R*)的个位数字是________．7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层．第n层的小正方体的个数记为S n.解答下列问题．(1)按照要求填表：n 1234…S n136…(2)S10＝________.(3)S n10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：(1)b2 012是数列{a n}中的第______项；(2)b2k－1＝________.(用k表示)11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． (1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系； (3)求出f (n )．三、探究与拓展13．在一容器内装有浓度r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．答案1．B 2．A 3．B 4．C5．f (2n )>n ＋226．7 7．①8．a n ＝3n －1(n ∈N *) 9．(1)10 (2)55 (3)n (n ＋1)210．(1)5 030 (2)5k (5k －1)211．解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1； 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．12．解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分． (2)f (n ＋1)＝f (n )＋n ＋1.(3)f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋22.13．解 b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100(45r ＋15p )；b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)2r ＋15p ＋452p ]；b 3＝ab 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)3r ＋15p ＋452p ＋4253p ]；归纳得b n ＝1100[(45)n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p ]．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理第1课时归纳推理双基达标(限时20分钟)1．已知a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a33为()．A．3 B．－3C．6 D．－6解析a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{a n}是以6个项为周期循环出现的数列，a33＝a3＝3.答案 A2．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，f n(x)＝f n－′(x)，则f2 007(x)等于1()．A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x解析由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…可以归纳出：f4n(x)＝sin x，f 4n ＋1(x )＝cos x ， f 4n ＋2(x )＝－sin x ， f 4n ＋3(x )＝－cos x (n ∈N ＋)， ∴f 2 007(x )＝f 3(x )＝－cos x . 答案 D3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那这个数列的通项公式是( )．A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1)B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n解析 当n ＝1时，a 1＝32a 1－3，∴a 1＝6， 由S n ＝32a n －3，当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －32a n －1， ∴a n ＝3a n －1.∴a 1＝6，a 2＝3×6，a 3＝32×6. 猜想：a n ＝6·3n －1＝2·3n . 答案 D4．设f (x )＝2x x ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2)，则x 2，x 3，x 4分别为________．猜想x n ＝________. 解析 x 2＝f (x 1)＝21＋2＝23，x 3＝f (x 2)＝12＝24 x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25，∴x n ＝2n ＋1.答案23，24，252n＋15．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．解析由已知四个式子可分析规律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.答案(n＋2)2－n2＝4n＋46．对于函数f(x)＝x－1x＋1，设f2(x)＝f[f(x)]，f3(x)＝f[f2(x)]，…，f n＋1(x)＝f[f n(x)](n∈N*，且n≥2)，(1)写出f2(x)，f3(x)，f4(x)，f5(x)的表达式；(2)根据(1)的结论，请你猜想并写出f4n－1(x)的表达式．解(1)∵f(x)＝1－2 x＋1∴f2(x)＝1－2f(x)＋1＝1－x＋1x＝－1x，f3(x)＝1＋x1－x，f4(x)＝x，f5(x)＝f(x)…，故f n(x)是以4为周期．(2)f4n－1(x)＝f3(x)＝1＋x1－x.综合提高(限时25分钟)7．设0<θ<π2，已知a1＝2cos θ，a n＋1＝2＋a n，猜想a n＝()．A．2cos θ2n B．2cosθ2n－1C．2cosθ2n＋1D．2 sinθ2n解析法一∵a1＝2cos θ，a2＝2＋2cos θ＝2 1＋cos θ2＝2cos θ2，a3＝2＋a2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n＝2cos θ2n－1.法二验n＝1时，排除A、C、D，故选B.答案 B8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111……A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.答案 B9．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)试求第七个三角形数是________．解析观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，∴当n＝7时，7×(7＋1)2＝28. 答案 2810．(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，解析 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n . 答案 n 2＋n11．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f (n )＝(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的值． 解 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34， f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝f (1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19 ＝34·89＝23＝46，f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3) ＝f (2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝23·1516＝58. 由此猜想：f (n )＝n ＋22(n ＋1).12．(创新拓展)观察下表：1 2,3 4,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，……问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 010是第几行的第几个数？解(1)∵第n＋1行的第一个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1＋2n－1)·2n－12＝3×22n－3－2n－2为所求．(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024＜2 010＜2 048，∴2 010在第11行，该行第1个数是210＝1 024.由2 010－1 024＋1＝987，知2 010是第11行的第987个数．。

2．1.1合情推理填一填1.归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：由特殊到特殊的推理．3．合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理．(2)推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想判一判1.解析：符合归纳推理的特征，故正确．2．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)解析：类比得到的结论不一定是正确的，故错误．3．统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．(√) 解析：符合由特殊到一般的特征，故正确．4．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)解析：平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，故错误．5.23<2＋13＋1，23<2＋23＋2，23<2＋33＋3，…由此猜想：23<2＋m3＋m(m为正实数)．上述推理是归纳推理．(√)解析：符合归纳推理的由特殊到一般的特征，故正确．6．由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面平行．此推理是类比推理．(√)解析：符合由特殊到特殊的特征，故正确．想一想1.提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理的作用提示：合情推理主要包括归纳推理和类比推理．在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．思考感悟：练一练1．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －1D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：9×0＋1＝1＝10－9,9×1＋2＝11＝10×2－9,9×2＋3＝21＝10×3－9,9×3＋4＝31＝10×4－9，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为9(n －1)＋n ＝10n －9，故选B. 答案：B2．三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)解析：设△ABC 的内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c .类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，半径为r ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .故选C.答案：C3．观察下列各式：m ＋n ＝1，m 2＋n 2＝3，m 3＋n 3＝4，m 4＋n 4＝7，m 5＋n 5＝11，…，则m 11＋n 11＝________.解析：由m ＋n ＝1，m 2＋n 2＝3，m 3＋n 3＝4，m 4＋n 4＝7，m 5＋n 5＝11，…，可以发现从第3个等式开始，等式右边的数字等于前两个等式的右边的数字之和，依次计算可得m 11＋n 11＝199.答案：1994．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N *)构造的新数列{b n }也是等差数列．类比上述性质可得，若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则由d n ＝________(n ∈N *)构造的新数列{d n }也是等比数列．解析：由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性．等差数列与等比数列的类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝nc 1c 2c 3…c n (n ∈N *)．答案：nc 1c 2c 3…c n知识点一归纳推理1.数列A ．28B ．32C ．33D ．27解析：由前几个数字可归纳出此列数字为：2,5,11,20,32,47，∴答案为B 项． 答案：B2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A 项正确．答案：A3．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S 10＝________解析：S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3， 推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，…S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55. 答案：(1)10 (2)554．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．所以凸n 边形的对角线条数为1n (n －3)(n ≥4，n ∈N *).5.①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab ”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故选B. 答案：B6．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边长的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2)C ．(1)(2)(3)D ．都不对解析：以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．答案：C7．我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5C.5217D ．3 5解析：类比点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，可知在空间中，点P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2.点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离d ＝|2＋8＋2＋3|1＋4＋4＝5.答案：B8．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．解析：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.基础达标一、选择题1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形的面积S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr2D ．不可类比 答案：C2．由“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”得到“若a ＞b ，则ac ＞bc ”采用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．数学证明 答案：C3．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中的①②③④，那么图中的⑤⑥所对应的运算结果是( )A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D解析：由图中①②③④得，A表示“|”，B表示“□”，C表示“—”，D表示“○”，故图中⑤⑥所对应的运算结果分别为B*D和A*C.故选B.答案：B4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 018的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 018＝4×504＋2，所以72 018的末两位数字与72的末两位数字相同，为49.答案：D5．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36解析：方法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.方法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.答案：B6．n个连续自然数按规律排列(如图所示)．根据规律，从2 016到2 018，箭头的方向依次是()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察数字排列的规律知，位置相同的数字是以4为公差的等差数列，故可知从2 016到2 018的箭头的方向依次为↓→.故选A.答案：A7．设n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱的对角面的个数f (n ＋1)等于( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2解析：对于n 棱柱，由于过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能确定一个对角面，所以过每一条侧棱可确定(n －3)个对角面，所以过n 条侧棱可确定n (n －3)个对角面，又因为这些对角面相互之间重复计算了，所以过n 条侧棱共可确定n (n －3)2个对角面，所以可得f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)(n ＋1－3)2－n (n －3)2＝n －1，故f (n ＋1)＝f (n )＋n －1.故选C.答案：C 二、填空题8．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12AB →＋AC →，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：________________________________.解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A -BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG →＝13()AB →＋AC →＋AD →9．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．解析：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，因此应得到：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面． 答案：过原点的平面10．观察由火柴棒拼成的一系列图形(如图所示)，第n 个图形是由n 个正方形组成．通过观察可以发现：在第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．解析：第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，第4个图形有13根火柴棒，…，猜想第n 个图形有(3n ＋1)根火柴棒．答案：13 3n ＋111．蜜蜂被认为是自然界中杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第1个图有1个蜂巢，第2个图有7个蜂巢，第3个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则f (n )＝________.解析：由题可得，f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…，因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.答案：3n 2－3n ＋112．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 8三、解答题13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )， 试计算f (1)，f (2)，f (3)的值，并推测出f (n )的表达式．解析：因为a 1＝14，a 2＝19，a 3＝116，所以f (1)＝1－a 1＝34，f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19＝34×89＝23， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝34×89×1516＝58，推测f (n )＝n ＋22(n ＋1)(n ∈N *)．14．在Rt △ABC 中，若C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，求其外接球的半径R .解析：通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 22. 证明过程为：作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.能力提升15.图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1)＋…＋1f (n )－1的值．解析：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上面规律，得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒ f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n. 16．如图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC .若类比该命题，如图(2)，三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是不是真命题．解析：命题是：三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD .此命题是一个真命题． 证明如下：在图(2)中，延长DM 交BC 于E ， 连接AE ，则有DE ⊥BC .因为AD ⊥平面ABC ， 所以AD ⊥AE . 又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EM ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .。

数学•选修1—2（人教力版）2. 1合情推理与演绎推理2. 1.2演绎推理A达标训练1.下面说法正确的有（）①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：①③④正确，②错误的原因是：演绎推理的结论要为真, 必须前提和推理形式都为真.答案：C2・下列三段可以组成一个“三段论”，则“小前提”是（）①因为指数函数y=a（a> 1）是增函数②所以尸尸是增函数③而尸罗是指数函数A.①B.②C.①②D.③解析：根据三段论的原理，可知选D. 答案：D3.三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的・”中“小前提” 是（）A.①B.②C.①②D.③答案：B4. 在不等边三角形中，$边最大，要想得到为钝角的结论, 三边❺b, c 应满足的条件是（）A. a 2<Z?2 + cB. acC ・ a^>I ）+cD ・ a^：b 2 +c答案：C“由于所有能被6整除的数都能被3整除，18是能被6整除 的数，所以18能被3整除•”这个推理是（）A.大前提错误B.结论错误解析：易知该推理是一个正确的三段论，所以选C.答案：C6. 在△磁中，E 、F 分别为曲、07的中点，则有彩比；这个 问题的大前提为（）A. 三角形的中位线平行于第三边B. 三角形的中位线等于第三边的一半C. 莎为中位线D. EF//CB 答案:A1.下列推理是演绎推理的是（）A. M, N 是平面内两定点，动点尸满足|刊1 + |刖=2$>|洌,解析: 由cos 4 ^+c 2-a 2A = 2bc<0知I ）+c —a 2<0,所以应选C. 5. C.正确的 D.小前提错误得点F 的轨迹是椭B.由ai = l, a n=2n—l9求出S, 猜想出数列的前刀项和S的表达式C.由2 2/+/=?的面积为"猜想出椭圆手+务=1的面积为兀abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇义作为大前提的演绎推理.答案：A2.推理“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③所以正方形 是平行四边形”中的小前提是（） A.① C.③B.②D.①和② 解析：①为大前提，②为小前提，③为结论. 答案：B3. （2013 •深圳二模）非空数集力=仙,釦念,…，aj （z?eN*） 中，所有元素的算术平均数记为EG4）,即E （A ） = 若非空数集〃满足下列两个条件：①〃②= E3 ,则称〃为 力的一个“保均值子集”・据此，集合｛1,2, 3, 4, 5｝的“保均值子集”有（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个答案：C4.以下是小王同学用“三段论”证明命题“直角三角形两锐角之 和为90。

绝密★启用前2.1.1合情推理一、选择题1．【题文】已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式2S ⨯=底高，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A ．22rB ．22l C ．12lrD ．不可类比2．【题文】如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性大D ．黑色的可能性大3．【题文】下列推理是类比推理的是（）A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |+|PB |=2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1=1，31n a n =-，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2πr ，猜想出椭圆22221x y a b+=的面积为πS ab =D ．以上均不正确4．【题文】设()()11112,23f n n n n=++++>∈N ，经计算可得 (4)2,f >5(8),2f >(16)3,f >7(32)2f >. 观察上面结果，可得出的一般结论是（）A ．()()2122,2n f n n n +>≥∈N B ．()()222,2n f n n n +≥≥∈N C ．()()222,2n n f n n +≥≥∈ND ．()()222,2n n f n n +>≥∈N5．【题文】在平面几何中有如下结论：设正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ） A ．18 B.19 C.164 D.1276．【题文】如图，第个图形是由正2+n 边形“扩展”而来（⋅⋅⋅=,3,2,1n ），则在第个图形中共有个顶点（）A ．)2)(1(++n nB ．)3)(2(++n nC ．2nD ．7．【题文】如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2016次跳跃后它将停在的点是()A ．1B ．2C ．3D ．48．【题文】将正整数排成下表：1 2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……则表中数字2 017出现在( ) A ．第44行第78列 B ．第45行第78列 C ．第44行第77列 D ．第45行第81列二、填空题9．【题文】已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________.10．【题文】在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间的关系为________.11．【题文】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为()12n n +＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数N (n ，3)＝12n 2＋12n ， 正方形数N (n ，4)＝n 2， 五边形数N (n ，5)＝32n 2－12n ， 六边形数N (n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________.三、解答题12．【题文】已知：2223sin 30sin 90sin 1502︒+︒+︒=；2223sin 5sin 65sin 1252︒+︒+︒=. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.13．【题文】已知()f x =()()01f f +，()()12f f -+，()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.14．【题文】（1）证明：当1>a 时，不等式223311aa a a +>+成立； （2）要使上述不等式223311a a a a +>+成立，能否将条件“1>a ”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；（3）请根据（1）、（2），试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．2.1.1合情推理 参考答案与解析一、选择题 1． 【答案】C【解析】将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r ，∴S 扇＝12lr .考点：类比推理. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】A【解析】由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色是白色． 考点：归纳推理. 【题型】选择题 【难度】较易3． 【答案】C【解析】A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 是类比推理．故选C. 考点：推理的类型及特点. 【题型】选择题 【难度】较易 4． 【答案】D 【解析】()2422>f ，()2523>f ，()2624>f ，()2725>f ，所以推得一般结论是()()222,2n n f n n +>>∈N ，故选D. 考点：归纳推理. 【题型】选择题 【难度】较易 5． 【答案】D【解析】由平面图形的面积类比立体图形的体积，得出在空间内，若两个正四面体的外内切球、外接球的半径比为1∶3，则它们体积比为 1∶27. 考点：类比推理. 【题型】选择题 【难度】一般 6． 【答案】B【解析】第一个图形是正三角形的每边变成4条线段，第二个图形是正方形的每边变成5条线段，第三个图形是正五边形的每边变成6条线段，第四个图形是正六边形的每边变成7条线段，…，因此，第个图形是正2n +边形的每边变成3n +条线段，从而它是(2)(3)n n ++边形，共有(2)(3)n n ++个顶点．故选B ． 考点：归纳推理．【题型】选择题 【难度】一般 7． 【答案】D【解析】记a n 表示青蛙第n 次跳跃后所在的点数，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝1，a 5＝2，a 6＝4，…，显然{a n }是一个周期为3的数列，故a 2016＝a 3＝4，答案为D ． 考点：归纳推理. 【题型】选择题 【难度】一般8． 【答案】D【解析】第n 行有2n －1个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 017＜2 025，∴2 017在第45行．又2 025－2 017＝8，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 017在第89－8＝81列． 考点：归纳推理. 【题型】选择题 【难度】一般二、填空题 9．【答案】sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32【解析】观察每个式子中三个角的关系：三个角分别成等差数列，即30°＋60°＝90°，90°＋60°＝150°；5°＋60°＝65°，65°＋60°＝125°.根据式子中角的这种关系，可以归纳得出sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32. 考点：归纳推理. 【题型】填空题 【难度】较易 10．【答案】2ABC S ＝S △OBC ·S △DBC【解析】将直角三角形的一条直角边长类比为与棱AD 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比为△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积，可得2ABC S ∆＝S △OBC ·S △DBC ． 考点：类比推理. 【题型】填空题 【难度】一般 11．【答案】1000【解析】已知式子可化为()22113243,3,2222N n n n n n --=+=+ ()()22224244315245,4,,5,222222N n n n n N n n n n n ----==+=-=+()226246,62,22N n n n n n --=-=+由归纳推理可得()224,22k kN n k n n --=+，1000. 考点：归纳推理的应用. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12．【答案】2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=【解析】一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=. 证明：左边()()1cos 21201cos 21201cos 2=222ααα--︒-+︒-++[]313cos(2120)cos 2cos(2120)222ααα=--︒+++︒=， 所以等式成立.考点：归纳推理，三角函数的化简. 【题型】解答题 【难度】一般13．【答案】()()1f x f x -++=【解析】由()f x =()()01f f +==，()()12f f -+，()()23f f -+==，归纳猜想一般性结论为()()1f x f x -++=， 证明如下：()()1x f x f x -++=====考点：合情推理. 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】（1）见解析（2）上述不等式的条件可放宽为0>a 且1≠a （3）若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有n nm m aa a a 11+>+【解析】（1）证明：352233)1)(1()1(1aa a a a a a --=+-+,∵1a >， ∴510,10a a ->->，∴0)1)(1(35>--aa a ，∴不等式223311a a a a +>+成立． （2）∵()()1112345++++⋅-=-a a a a a a ，则对任意0>a 且1≠a ，式子1-a 与15-a 同号，∴条件可放宽为0>a 且1≠a ．（3）根据（1）（2）可推知：若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有nnm m a a a a 11+>+．mn m n m n m m nm n aa a a a aa )1)(1()1(1)1(--=---=-+--， 若1>a ，则由1,,1,1m n m n m n m n a a *+->≥∈⇒>>⇒N 不等式成立；若10<<a ，则由1,,01,01m n m n m n m n a a *+->≥∈⇒<<<<⇒N 不等式成立． 综上得：若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有nnm m a a a a 11+>+成立． 考点：不等式的应用. 【题型】解答题 【难度】较难。

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1合情推理一、基础达标1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于() A．47 B．65C．63 D．128[答案] B[解析]5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65. 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113[答案] B[解析]由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.3．设0<θ<π2，已知a1＝2cos θ，a n＋1＝2＋a n，猜想a n＝()A．2cos θ2n B．2cosθ2n－1C．2cosθ2n＋1D．2 sinθ2n[答案] B[解析]法一∵a1＝2cos θ，a2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a3＝2＋a2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n＝2cos θ2n－1.法二验n＝1时，排除A、C、D，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的() A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心[答案] D[解析]由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．[答案]13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)[解析]观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.6．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． [答案] n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”．证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB ∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎪⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体SABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体SABC 的体积为V ，则r ＝ ( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.9．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为n(n＋1)2＝12n2＋12n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n正方形数N(n,4)＝n2五边形数N(n,5)＝32n2－12n六边形数N(n,6)＝2n2－n……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.[答案] 1 000[解析]由归纳推理可知：n2和n前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N(n，k)＝k－22n2－12n(k－4)，所以N(10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2013·陕西)观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为________．[答案] 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)[解析] 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)． 11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．(1)证明 设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )． 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)解 定值为：－(a 2＋b 2)． 三、探究与创新13．如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。

第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A 级 基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是( )A ．F 1，F 2为定点，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a >|F 1F 2|，得P 的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B 项为归纳推理． 答案：B2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．111 1110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：由1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝111 111； …归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同， 所以123 456×9＋7＝1 111 111. 答案：B3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值( )A ．一定是零B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)[1－(－1)n ]＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)[1－(－1)n ]＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数．答案：C5．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋zc＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b ＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋yb ＋zc＝1. 答案：A 二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________． 解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2. 答案：n 27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶88．观察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(e x－e－x)′＝e x＋e－x；④(x cos x)′＝cos x－x sin x.根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝e x－e－x为奇函数，p′(x)＝e x＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝x cos x为奇函数，q′(x)＝cos x－x sin x为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cosγ.B 级 能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.答案：C2．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7. 答案：b 4＋b 8>b 5＋b 7 3．观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α⎝⎛⎭⎫32cos α－sin α2＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.。

§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）【内容分析】：归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。

【教学目标】：1、知识与技能：（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义（2）能利用归纳方法进行简单的推理，2、过程与方法：通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。

3、情感态度与价值观：体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。

【教学重点】：（1）体会并实践归纳推理的探索过程（2）归纳推理的局限【教学难点】：引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论2．归纳推理的一般步骤：1)对已有的资料进行观察、分析、归纳、整理；2)猜想3)检验指出对归纳推理的结果进行检验是必要的归纳推理【练习与测试】：（基础题）1）数列2,5,11,20,,47,x…中的x等于（）A．28 B．32 C．33 D．272）从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

3)定义,,,A B B C C D D A****的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是（）.（1）4）（AA.,B D A D** B.,B D A C** C.,B C A D** D.,C D A D**4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n件首饰所用珠宝总数为_________________颗.6)已知nnanna11+=+（n=1.2. …）11=a试归纳这个数列的通项公式答案：1）B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x-==2）2*1...212...32(21),n n n n n n n N++++-+++-=-∈注意左边共有21n-项3）B4）（n-2）36005） 91,1+5+9+…4n+1=2n2+3n+16） a1=1,a2=21a3=31… a n=n1（中等题）1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有n 条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f （4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测123...)1()1(...321++++-++-++++=n n n a n 的结果. 答案：1）1+2+3+4+…+(n+1)=)2)(1(21++n n 2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3）C4）依次为，1，22，32，42，所以a n =n 2（难题）1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

数学： 2.1《合情推理与演绎证明》测试2（新人教A 版选修2-2 ）、选择题1 •下面使用的类比推理中恰当的是（）A. “若m ・2二n ・2，则m = n ”类比得出"若 rnrO 二n ・0 ,贝U m = n ” E. “（a b ）c = ac be ”类 比得出"（a ・b ）c = ac ・be ” C. “（a b ）c=ac be ”类比得出“b （c=0） ”c c cD. “（pq ）n=p n ・q n ”类比得出“ （P7）n=p n 7n ” 答案：C2.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图 2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体 木块总数就是（ ）cos 4 v -sin 4r=（cos 2 r sin 2v ）（cos 2 v -sin 2 J ）=cos 2 J-sin 2d=cos2v ”中应用了（）A. 25B. 66 答案：CC. 91D. 120“033.推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（ ） A.① B.②C.③D.①和②答案：B4 .用数学归纳法证明等式时，左边应取的项是（ A. 1 B. 1 21 2 3山（n 3）」n 律n 4）（ n N ）时，第一步验证n =1C. 12 3D. 1234答案：D在证明命题对于任意角-cos v -sin J 二cos2J ” 的过程答案：E33 — 3 _6.要使•. a -、. b ：：： .a-b 成立，则a, b 应满足的条件是（）A. ab ：：：0且 a bB. ab 0且 a bC.ab ：：：0 且 a ::: b D. ab0 且 a b 或 ab ：：： 0 且 a ,, b答案：D7•下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ）A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形答案：C&命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角答案：C9.用数学归纳法证明34n1 -52n 1（n • N ）能被8整除时，当n =k 1时，对于34（k '1） 1 52（k 1） 1 可变形为（）A. 56- 34k + +25（34k+ +52k+）B. 34-34k+ +52-52k答案：A10.已知扇形的弧长为 l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：1 S底高，可2得扇形的面积公式为（ )A. 1r 2B.丄122 21 C.rl D.不可类比2答案：C11 .已知m 1 , a = .m ，1 - m , b = m- m -1，则以下结论正确的是（ ）A. a bB. a :: bC. a=bD. a , b 大小不定 答案：B2 2 212.观察下列各式：1=1 , 2亠3亠4 = 3 , 3亠4亠5亠6亠7 = 5 , 4亠5亠6亠7亠8亠9亠10=7 ,A.分析法E.综合法 C.分析法和综合法综合使用 D.间接证法C. 34 k 1 . 52k 1D. 25(34k 1 - 52k1)，可以得出的一般结论是( )A. n (n 1) (n 2) (3n _2) =n2B. 2n (n 1) (n 2) (3n -2) =(2n -1)C. 2n (n 1) (n 2)山(3n -1) = nD. n (n 1) (n 2)山(3n —1)=(2 n —1)2答案:B二、填空题11 1 113.已知f(n)二一•——_________________ 一-2，贝V f(n)中共有项.n n +1 n +2 n答案：n2 -n 1来14.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：「3 • •.17 ：：：2...10，75 • . 125 ：：：2..10，.8 • ,2 • *12- .2 <2 ..10，根据以上不等式的规律，请写出对正实数m, n成立的条件不等式__________ .答案：当m n =20 时，有.m . n < 2、1015. ________________________________________________________________________________ 在数列「aj中，印=2 , a. 1 勺(n • N ),可以猜测数列通项気的表达式为 _____________________3寻+16n —5116.若三角形内切圆的半径为r ,三边长为a, b, c,则三角形的面积等于S =- r(a b c),2根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R,四个面的面积分别是S, S2, S3, S4，则四面体的体积v= _________________1 答案：一R(3 S2 S3 S4)三、解答题217.已知a是整数，a是偶数，求证：a也是偶数.证明：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数.设 a =2n 1(n 三Z)，贝U a2 =4n2亠4n T .•••4(n2F)是偶数，2 2••• 4n ，4n・1是奇数，这与已知a是偶数矛盾.由上述矛盾可知，a一定是偶数18.已知命题：“若数列CaJ 是等比数列，且a n 0，则数列b n 硕a n( n・NJ也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列b n二㊁"山乳也是等差数列.n证明如下：nq+n(n "设等差数列:a n ［的公差为d，则b n二一更引-——=a i - (n -1),n n 2所以数列是以a,为首项，-为公差的等差数列.2b - ac —19.已知a b c，且a b ^0，求证： 3 .a证明：因为a b c，且a，b，c=O ,所以a 0 , c ：：：0，要证明原不等式成立，只需证明.b2 -ac「3a r,即证b -ac ：：：3a，从而只需证明(a c) -ac ::3a ,即(a - c)(2 a c) 0 ,因为 a -c 0 , 2a c = a c a=a—b 0 ,所以(a -c)(2a c) 0成立，故原不等式成立.20.用三段论方法证明：a2 b^ . b2 c^ c2 a2> 2(a b c).证明：因为a2b2> 2ab，所以2(a2b2) > a2b22ab (此处省略了大前提)，所以Pa? +b? > 子血+b > ^(a +b)(两次省略了大前提，小前提)，同理， .b 2 c 2 > (b c) , . c 2 a 2 (c a),三式 相加得 -a 2 b 2 :；b 2 c 2 : -;c 2 - a 2 > 2(a b c). (省略了大前提，小前提)21 .由下列不等式：1 . - ,1 — - 1 , 1 丄1山 1— , 1 - - — 2 ,,2 23 2 37 2 2 3 15你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明. 解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为:1 1 1 丄 n (n N ).2 3 2-12用数学归纳法证明如下：22.是否存在常数a, b , c ，使得等式 1(n 2 -12) - 2(n 2 -22) •山■n(n 2 -n 2)=an 4 ■bn 2 ■ c 对一切正整数n 都成立？若存在，求出 a, b , c 的值；若不存在，说明理由. 解：假设存在a , b, c ，使得所给等式成立.a b c =0,16a 4b • c =3,解得 :81a 9b c =18以下用数学归纳法证明等式1(n 2 -12) - 2( n 2-22) V n(n 2 - n j J n 4,1 n 2对一切正整数4 4n 都成立.(1 )当n =1时，由以上可知等式成立；(2)假设当 n =k 时，等式成立，即 1(k 2 -12) 2(k 2 -22)订|1 - k(k 2 -k 2)」k 4 -丄 k 2 ,44则当n = k 1时，1[(k 1)2 -12] 2[(k 1)2 —22] HI k[(k 1)2 — k 2] (k 1)[(k 1)2 — (k 1)2] =1(k 2 -1)2 2(k 2 —22) HI k(k 2 -k 2) (2k 1) 2(2k 1) Hl k(2k 1) ^k 4 -Ik 2 (2k 1)•坐耳二代■1)^1(k 1)2 .(1)当nJ 时，1 .1，猜想成立;2(2) 假设当n =k 时，猜想成立，即 k2 -1则当 n = k T 时，11111kk-2 1k k k O2 32 -1 2 2 12-1 ，即当n =k 1时，猜想也正确，所以对任意的11kkk:一；2 1 2-122 2k 1k -2 2nN ,不等式成立.令n =1,2,3代入等式得 c =0,4 4 2 4 4 由(1) (2)知，等式结一切正整数n都成立.。

2.1.2演绎推理一、基础过关1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤2．下列说法不正确的是() A．在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论必定正确B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理() A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论)那么这个推理是() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．下列几种推理过程是演绎推理的是( )A ．5和22可以比较大小B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．由1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，…，归纳出1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2D ．预测股票走势图二、能力提升7．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是__________(填序号)．8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________．9．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是______________． 10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)．11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，求a 的值．三、探究与拓展13．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC .答案1．D 2．D 3．C 4．B5．A 6.A7．③8．y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)9．a >0，b >c ⇒ab >ac10．②③11．证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期．小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )．结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴(a －1a )(e x －1e x )＝0对于一切x ∈R 恒成立， 由此得a －1a＝0，即a 2＝1. 又a >0，∴a ＝1.13．证明 如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，∴AE ⊥平面SBC ，∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥平面SAB .∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC .。