人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 合情推理

高二数学选修2-2第二章推理与证明课时练习一合情推理一、选择题1、数列2，5，11，20，x ，47…中的x 等于（ ）A 28B 32C 33D 27 2、对“c b a 、、是不全相等的正数”，给出以下判断：① 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ；② b a b a b a =<>及与中至少有一个成立； ③ c a c b c a ≠≠≠,,不能同时成立，其中判断准确的个数是（ ）A 0B 1C 2D 33、数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的第1000项是（ ） A 42 B 45 C 48 D 514、与函数x y =为相同函数的是（ ）A 2x y = B xx y 2= C xe y ln = D x y 22log =二、填空题5、从222576543,3432,11=++++=++=中，克的一般性结论是_________________ 6、设221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-的值是________________.三、解答题7、若数列{}n a 为等差数列，且),,(,+∈≠==N n m n m b a a a n m ，则mn ambn a n m --=+，现已知数列{}),0(+∈>N n b b nn 为等比数列，且),,(,+∈≠==N n m n m b b a b n m ，类比以上结论，可得到什么命题？并证明你的结论.8、若数列{}n a 满足1,2211+-==+n n n na a a a ，试猜测这个数列的通项公式。

选做题9、若数列{}n a 的前8项的值各异，且n n a a =+8对任意的+∈N n 都成立，则以下数列中，可取遍{}n a 的前8项值的数列是（ ）A {}12+k aB {}13+k aC {}14+k aD {}16+k a 10、观察（1）15tan 75tan 75tan 10tan 10tan 5tan )2(;110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 000000000000=++=++由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

2.1.1 合情推理一、选择题1．关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是一般到一般的推理 B ．归纳推理是一般到个别的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论是或然性的 2．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇3．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．274．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( ) A ．2n －2－12B ．2n －2 C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－45．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄， 若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所 有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( ) A ．a (1＋p )7 B ．a (1＋p )8C. ap [(1＋p )7－(1＋p )] D. ap[(1＋p )8－(1＋p )] 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A.2(n ＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－17．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)8．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110B．1111111C．1111112D．11111139．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30二、填空题10．观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝3 4，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝3 4，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝3 4.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为____________________．11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．13．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．14．观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.三、解答题15.a n是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋a n＋1·a n＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．16．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？17．下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各有多少个顶点？多少条边？ 它们围成了多少个区域？并将结果填入下表中．(1) (2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个 平面图有多少条边？18．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是 p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．19．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．——★参考答案★——1.[答案]D[解析]归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.2. [答案]B[解析]由归纳推理的定义知B 是归纳推理，故应选B. 3. [答案]B[解析]因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x －20＝3×4,47－x ＝3×5，推知x ＝32.故应选B. 4. [答案]B[解析]∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n －2. 故应选B. 5. [答案]D[解析]到2006年5月10日存款及利息为a (1＋p )． 到2007年5月10日存款及利息为 a (1＋p )(1＋p )＋a (1＋p )＝a [(1＋p )2＋(1＋p )] 到2008年5月10日存款及利息为 a [(1＋p )2＋(1＋p )](1＋p )＋a (1＋p ) ＝a [(1＋p )3＋(1＋p )2＋(1＋p )] ……所以到2012年5月10日存款及利息为 a [(1＋p )7＋(1＋p )6＋…＋(1＋p )] ＝a (1＋p )[1－(1＋p )7]1－(1＋p )＝ap [(1＋p )8－(1＋p )]． 故应选D. 6. [答案]B[解析]因为S n ＝n 2a n ，a 1＝1， 所以S 2＝4a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝13＝23×2，S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3，S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4⇒a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n (n ＋1)，故应选B.7. [答案]D[解析]本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查． 8. [答案]B[解析]根据规律应为7个1，故应选B. 9. [答案]B[解析]观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.10.[答案]sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3411.[答案]13,3n ＋1[解析]第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n 个图形有3n ＋1根．12.[答案]n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2[解析]第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n 个式子 有2n －1个数相加，且第n 个式子的第一个加数为n ，每数增加1，共有2n －1个数相加，故第n 个式子为：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋{n ＋[(2n －1)－1]} ＝(2n －1)2，即n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 13.[答案]S ＝4(n －1)(n ≥2)[解析]每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条 边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关 系为S ＝4(n －1)(n ≥2)． 14.[答案]24n －1＋(－1)n 22n －1[解析]本小题主要考查归纳推理的能力15.[解析]当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0， 即2a 22＋a 2－1＝0，解得a 2＝12，当n ＝2时，由3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13，……由此猜想：an ＝1n.16.[解析]根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)．17.[解析]各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：故可猜想此平面图可能有1996条边．等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为a n ＝4n －1，第二项指1,3,5,7，…的通项公式b n ＝2n －1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n －1＋(－1)n 22n －1. 18.[解析]b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253P ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n P .19.[解析]f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数．即：当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．但是当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝1681为合数．所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确．。

数学人教B选修2-2第二章2.1.1 合情推理1．理解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．2．体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用．1．推理的结构与合情推理(1)从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做______；一部分是由已知推出的判断，叫做______．(2)前提为真时，结论______为真的推理，叫做合情推理．推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．【做一做1】下列说法正确的是()．A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误2．归纳推理(1)根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________(简称______)．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；(3)人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一不定期的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；(4)归纳推理能够发现前的事实、获得新结论，是科学发现的重要手段。

【做一做2－1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()．A．28 B．32 C．33 D．27【做一做2－2】已知等式sin230°＋sin230°＋sin 30°·sin 30°＝34，sin240°＋sin220°＋sin40°·sin 20°＝34，下面的等式中具有一般性且包含了已知等式的是()．A．sin2α＋sin2(60°－α)＋sin α·sin(60°－α)＝3 4B．sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin α·sin(60°＋α)＝3 4C ．sin 2(60°＋α)＋sin 2(60°－α)＋sin(60°＋α)·sin(60°－α)＝34D ．sin 2α＋sin 2α＋sin α·sin α＝343．类比推理(1)根据____________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做________(简称______)．它属于合情推理．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．【做一做3－1】在平面内，两条相交直线将整个平面分成四部分，类似地，在空间，两个相交平面将整个空间分成________．【做一做3－2】十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中，数码2 004折合成十进制为( )．A ．29B ．254C ．602D ．2 004归纳推理的一般步骤是什么？剖析：(1)实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性结论．题型一 归纳推理【例题1】在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1，b 2，b 3，并归纳出b n 的计算公式．反思：归纳法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般性结论，形成猜想．题型二 类比推理【例题2】在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，且cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．分析：考虑到平面几何中为长方形，故可联想到立体几何中的长方体．反思：(1)类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳，提出猜想．(2)也可类比为：长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ，则有cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(3)(2)中的结论是不对的，实际上此时cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2，由此可知类比的结论不是唯一的，也不一定正确．题型三 易错辨析 易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误，解决这类问题的关键是：先充分认识两类事物的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比．错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的13.错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的12.1已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33等于( )． A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－62已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可推知扇形的面积公式S 扇等于( )．A ．r 22B ．l 22C ．12lr D ．不可类比3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( )．A ．为定值B ．为变数C ．有时为定值，有时为变数D ．与正四面体无关的常数4如图所示，由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．5设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案： 基础知识·梳理1．(1)前提 结论 (2)可能 【做一做1】B2．(1)归纳推理 归纳【做一做2－1】B ∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32. 【做一做2－2】A 等式右边为34，左侧两角和为60°.3．(1)两类不同事物 类比推理 类比 【做一做3－1】四部分【做一做3－2】B 找到十进制与五进制的相似之处．十进制中由低到高的单位依次为100,101,102，…，五进制中由低到高的单位依次为50,51,52，…，那么在五进制中2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝4＋2×53＝4＋250＝254，∴五进制中的数码2 004折合成十进制为254.故选B.典型例题·领悟【例题1】解：由题意可得， b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ， b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p ， b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， 所以归纳得b n ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p . 【例题2】解：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1. 【例题3】错因分析：错解一中“三角形周长”的类比错误，错解二中“12”的类比错误．“三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和”；“12”应类比为“13”．正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的13.随堂练习·巩固1．A 由题意可得，a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，归纳出每6项一个循环，则a 33＝a 3＝3.2．C 由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得S 扇＝12lr .3．A4．13 3n ＋15．32 ∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2·2x ＝12， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝6×12＝3 2.。

．合情推理与演绎推理．合情推理．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点)．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．(重点)．了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理推理与合情推理阅读教材，完成下列问题．．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个，这种思维方式叫做推理．．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做；一部分是由已知推出的判断，叫做．．推理的分类推理一般分为推理与推理．．合情推理前提为真时，结论为真的推理，叫做合情推理．【答案】.判断.前提结论.合情演绎．可能如图--所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有(>，∈＋)个点，每个图形总的点数记为，则＝，＝(>，∈＋)．图--【解析】依据图形特点，可知第个图形中三角形各边上各有个点，因此＝×)．－＝.由＝的图形特点归纳得＝－(>，∈＋【答案】－教材整理归纳推理与类比推理阅读教材～，完成下列问题．．归纳推理()定义根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做(简称)．()归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．【答案】.()归纳推理归纳．类比推理()定义：根据之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做(简称)．它属于合情推理．()类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性；②。

选修2-2 第二章 2.1 2.1.1 第1课时一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A ．B ．△C ．▭D ．○[答案] A[解析] 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n ＝( ) A ．2n －2－12B ．2n －2C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－4[答案] B[解析] ∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n －2.故应选B.3．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27[答案] B[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x －20＝3×4,47－x ＝3×5，推知x ＝32.故应选B.4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[答案] C[解析]从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.5．图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含________个互不重叠的单位正方形．()A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1[答案] B[解析]观察题中给出的四个图形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有12＋22个正方形；图(3)共有22＋32个正方形；图(4)共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．6．n个连续自然数按规律排列下表：01234567891011…根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案] C[解析]观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为↑→，故应选C.二、填空题7．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10， ……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.[答案] (－1)n ＋1n 2＋n2[解析] 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2. 8．(2013·陕西文，13)观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为__________________________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)[解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为________．[答案] S ＝4(n －1)(n ≥2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关系为S ＝4(n －1)(n ≥2)．三、解答题10．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 22cos π16＝21＋cosπ82 ＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…观察上述等式可以发现，第n 个等式右端有n 个根号，n 个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n 个等式的左端应为2cos π2n ＋1，由此可归纳出一般性的结论为：2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号一、选择题11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n等于( )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1[答案] B[解析] 因为S n ＝n 2a n ，a 1＝1，所以S 2＝4a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝13＝23×2，S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3，S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4 ⇒a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n (n ＋1)，故应选B.12．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查． 13．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.二、填空题14．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n 个图有________个原子，有________个化学键．[答案] 4n ＋2,5n ＋1[解析] 第1、2、3个图形中分别有原子个数为6,6＋4,6＋4×2，故第n 个图形有原子6＋4×(n －1)＝4n ＋2个．第1、2、3个图形中，化学键个数依次为6、6＋5、6＋5×2、… ∴第n 个图形化学键个数为 6＋5×(n －1)＝5n ＋1.15．(2014·三峡名校联盟联考)观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为____________________________． [答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1， 所以第五个不等式为： 1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 16．(2013·新疆兵团二师华山中学高二期中)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式__________________________成立．[答案] 1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)．三、解答题17．(2013·西宁质检)已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos (60°＋2a )2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos (60°＋2α)2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.。

【成才之路】2015—2016学年高中数学第2章 2、1第1课时合情推理课时作业新人教B版选修2—2一、选择题1。

下面使用类比推理正确的是( ）A.“若a·4＝b·4,则a＝b"类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b"B。

“（a＋b）c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C.“(a＋b）c＝ac＋bc"类比推出“错误!＝错误!＋错误!（c≠0）”D.“(ab)n＝a n b n"类比推出“（a＋b）n＝a n＋b n”[答案］ C2。

已知数列{a n｝满足a1＝0，a n＋1＝错误!(n∈N＋）,则a20＝( )A.0 B。

－错误!C、错误!D。

错误![答案] B[解析］∵a1＝0，∴a2＝－3,a3＝错误!＝错误!,a4＝0，…,由此可以看出周期为3,∴a20＝a3×6＋2＝a2＝－错误!、3.下面几种推理是合情推理的是( ）①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°、A。

①②B。

①③④C。

①②④D。

②④[答案] C［解析]①是合情推理中的类比法，排除D；②是归纳推理,排除B;④是归纳推理.故选C、4。

已知数列{a n｝中，a1＝1,当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是( ）A.n2－1 B。

（n－1)2＋1C.2n－1D.2n－1＋1[答案］ C［解析］a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3,a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1,故选C、5.观察（x2）′＝2x,(x4）′＝4x3，(cos x)′＝－sin x,由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x）满足f（－x）＝f(x），记g(x）为f(x)的导函数,则g（－x)＝( ）A。

课时作业7合情推理与演绎推理一、选择题1．如果对象A和对象B都具有相同的属性P，Q，R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对象B还有一个未知的属性x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立()A．x就是P B．x就是QC．x就是R D．x就是S各自另外的属性S只能类比x.故应选D.D2．由数列1,10,100,1 000，…，猜测该数列的第n项可能是() A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n由数字特征，归纳推测可能是10n－1.故应选B.B3．观察下图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．▭D．○图形涉及三种符号▭，○，△；其中○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上■才合适．故应选A.A4．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④本题可利用合情推理的定义进行判断，其中③中前提太特殊导致结论很难判断真假，因此不是合情推理．故应选C.C5．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为()A．V＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)由平面向空间类比时，一般是面积对应体积，12对应13，边长对应面积，内切圆半径对应内切球半径．故应选C. C6．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cosθ2n －1 C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2na 2＝2cos θ2，a 3＝2cos θ4，a 4＝2cos θ8，…猜测a n ＝2cos θ2n －1.故应选B. B7．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推出扇形的面积公式S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr 2D ．不可类比由类比推理知S 扇＝12lr .故应选C. C8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7＝( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113类比前五行可得出结论B. 故应选B. B 二、填空题9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________. 因为f (x )在R 上是奇函数， 所以f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )， 又y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称．所以f (x )＝f (1－x )， 所以f (1)＝f (1－1)－f (0)＝0，f (2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝0， f (3)＝f (1－3)＝f (－2)＝－f (2)＝0， f (4)＝f (1－4)＝f (－3)＝－f (3)＝0， f (5)＝f (1－5)＝f (－4)＝－f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0. 010．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．事实上，对等差数列{a n }，如果a k ＝0，则a n ＋1＋a 2k －1－n ＝a n＋2＋a 2k －2－n ＝…＝a k ＋a k ＝0.所以有：a 1＋a 2＋ …＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋(a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2k －2－n ＋a 2k －1－n )(n <2k －1，n ∈N ＋)．从而对等比数列{b n }，如果b k ＝1，则有等式：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 2k －1－n (n <2k －1，n ∈N ＋)成立．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，b ∈N *) 11．下表给出了一个“三角形数阵”：14 12，14 34，38，316 1，12，14，18……依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是________． 观察可知第10行第一个数为104，且每行均为公比是12的等比数列，所以第6个数为104×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝564. 56412．在工程技术中，常用到双曲正弦函数sh x ＝e x －e －x2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正余弦函数有：cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y 成立，而关于双曲余弦函数满足ch(x ＋y )＝ch x ch y －sh x sh y ，请你类比此关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新公式______________________________．以下答案供参考： ch(x －y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ； sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y ； sh2x ＝2sh x ·ch x ；ch2x ＝ch 2x －sh 2x ＝1＋2sh 2x ＝2ch 2x －1； ch 2x －sh 2x ＝1等． 三、解答题 13．设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果．当n ＝1,2,3,4时，计算得原式的值分别为：S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.归纳猜想：S n ＝n n ＋1.推算：由11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.14．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°.(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃， 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃， 结论：水会沸腾．(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2100＋1是奇数，结论：2100＋1不能被2整除．(3)大前提：三角函数都是周期函数，小前提：y＝tanα是三角函数，结论：y＝tanα是周期函数．(4)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，结论：∠A＋∠B＝180°.15．如下图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.16．如下图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，D，E是垂足，求证：(1)△ABD是直角三角形；(2)AB的中点M到D，E的距离相等．(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形(大前提) 在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°(小前提) 所以△ABD是直角三角形(结论)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(大前提)因为DM是直角△ABD斜边上的中线，(小前提)所以DM＝12AB. (结论)同理EM＝12AB.所以DM＝EM，即M到D，E的距离相等．。

【成才之路】高中数学第2章 2.1第2课时演绎推理课时作业新人教B版选修2-2一、选择题1．下面说法正确的个数为( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1 B．2C．3 D．4[答案] C2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中的“小前提”是( )A．①B．②C．①②D．③[答案] B3．(2015·锦州期中)若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB ＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是( )A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理[答案] A[解析]根据三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大提前)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)所以在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论．4．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.结论：A1B1∥AD.A．推理正确B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误[答案] B[解析]由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误．5．下面的推理是关系推理的是( )A．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC 中，∠B＝∠CB．因为2是偶数，并且2是素数，所以2是素数C．因为a∥b，b∥c，所以a∥cD．因为2是有理数或无理数，且2不是有理数，所以2是无理数[答案] C[解析]A是三段论推理，B、D是假言推理．故选C.6．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”补充上述推理的大前提( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析]由结论可得要证的问题是“对角线相等”，因此它应在大前提中体现出来．故选B.7．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析]应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．8.如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠3＝180°.所用的推理规则为( )A．假言推理B．关系推理C．完全归纳推理D．三段论推理[答案] D[解析]关系推理的规则是“若a＝b，b＝c，则a＝c”，或“若a∥b，b∥c，则a∥c”．故选D.二、填空题9．设f(x)定义如下数表，{x n}满足x0＝5，且对任意自然数n均有x n＋1＝f(x n)，则x2 015的值为________.[答案] 4[解析]由数表可知x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝2，……∴{x n}的周期为4.∴x2 015＝x3＝4.10．(2015·徐州期末)给出下列演绎推理：“自然数是整数，________，所以，2是整数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写____________．[答案]2是自然数[解析] 由演绎推理三段论可知：“自然数是整数，2是自然数，所以，2是整数”． 11．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．[答案] log 2x －2≥0 三、解答题12.如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] 在△ABD 中，因为E ，H 分别是AB ，AD 的中点，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD ，同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形.一、选择题1．下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α； 结论：所以直线b ∥直线a . 在这个推理中( ) A ．大前提正确，结论错误 B ．小前提与结论都是错误的 C ．大、小前提正确，只有结论错误 D ．大前提错误，结论错误 [答案] D[解析] 如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α时，直线b 与直线a 可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.2．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，……，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92[答案] B[解析] 记|x |＋|y |＝n (n ∈N *)的不同整数解(x ，y )的个数为f (n )，则依题意有f (1)＝4＝4×1，f (2)＝8＝4×2，f (3)＝12＝4×3，……，由此可得f (n )＝4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为f (20)＝4×20＝80，选B.3．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] A[解析] 由sin C ＝2cos A sin B 得：c ＝2·b 2＋c 2－a 22bc·b ，即：a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC为等腰三角形，故选A.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝log 5(n ＋4)，则数列{a n }从第二项起是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都错[答案] B[解析] 因S n ＝log 5(n ＋4)，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝log 5n ＋4n ＋3＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋3，∴a n 的值随n 的增大而减小． ∴{a n }为递减数列，故选B. 二、填空题5．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．[答案] m >n[解析] ∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b ， ∴a ＋b2>a ＋b2，∴m >n .6．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a ·1＋b 2的最大值为________．[答案]324[解析] a ·1＋b 2＝22·2a 2·1＋b 2 ≤22×2a 2＋1＋b 22＝324. 7．已知sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2mm ＋5，其中α是第二象限角，则m 的取值为________． [答案] 8 [解析] 由⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 整理，得m 2－8m ＝0， ∴m ＝0或8.∵α是第二象限角，则sin α>0，cos α<0. 经验证知m ＝8. 三、解答题8．设函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )>f (b )，求证：ab <1. [证明] 证法1：由已知f (x )＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.∵0<a <b ，f (a )>f (b )，∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上．又由于0<a <b ，故必有a ∈(0，＋∞)．若b ∈(0,1)，显然有ab <1；若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )>0，有－lg a －lg b >0.∴lg(ab )<0.∴ab <1.证法2：由题设f (a )>f (b )，即|lg a |>|lg b |，上式等价于(lg a )2>(lg b )2，即(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )>0.∴lg(ab )·lg a b>0. 由已知b >a >0，∴b a<1.∴lg a b<0.∴lg(ab )<0.∴0<ab <1.9．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判断f (x )在R 上的单调性，并用定义证明； (2)当n ∈N ＋时，合理猜想f (n )与nn ＋1的大小．(不需证明)[证明] (1)f (x )在R 上是增函数．证明如下： 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝22x 2－2x 12x 1＋12x 2＋1.∵x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 2－2x 1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在R 上是增函数． (2)设g (n )＝nn ＋1.当n ＝1时，f (1)＝13，g (1)＝12， 有f (1)<g (1)；当n ＝2时，f (2)＝35，g (2)＝23，有f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝79；g (3)＝34，有f (3)>g (3)；当n ＝4时，f (4)＝1517，g (4)＝45，有f (4)>g (4)；….从而，当n ＝1,2时，f (n )<g (n )，并猜想：当n ≥3时，f (n )>g (n )，即2n－12n ＋1>nn ＋1.。

§2.1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 1133．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x )D ．－g (x )4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋25．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×96．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 47．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1)8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1二、填空题9．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________________________________________________________________________. 10．观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为____________________________________________________ ________________________________________________________________________. 11．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ＝n (a 1＋a n )2，由此可类比得到各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项积T n ＝________(用n ，b 1，b n 表示)． 三、解答题12．三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：13．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由．[答案]精析1．C 2.B 3.D 4.C 5.D6．C [设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.]7．B [依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对．这样前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对．注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，可得为(5,7)．故选B.]8．A [根据“黄金椭圆”的性质是FB →⊥AB →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，∴b 2－ac ＝0， ∴c 2－a 2＝ac .等号两边同除以a 2求得e ＝5＋12.故选A.] 9．若a ＋b ＝20，则a ＋b <210，a ，b ∈R ＋10．1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[解析] 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .11．(b 1b n )n2[解析] 由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项积T n ＝(b 1b n )n2.12．解 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：13.解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确．。