苏教版数学高二- 选修2-2试题 《合情推理—归纳推理》(1)

综合检测(二)第2章推理与证明(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确的答案填在题中横线上)1．下面几种推理是合情推理的序号的是________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.【解析】①是类比推理；②是归纳推理；③不属于合情推理；④是归纳推理．【答案】①②④2．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理错在________(填“大前提”，“小前提”或“推理过程”)．【解析】a＝0时，a2＝0，因此大前提错误．【答案】大前提3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n（2n2＋1）3时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．【解析】由等式的特征，左边应添加(k＋1)2＋k2.【答案】(k＋1)2＋k24．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1，3，9，27，…，故a n＝3n－1.【答案】3n－15．已知a＞0，b＞0，m＝lg a＋b2，n＝lga＋b2，则m与n的大小关系为________．【解析】∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab＞a＋b＞0，∴a＋b＞a＋b＞0，则a＋b2＞a＋b2.∴lg a＋b2＞lga＋b2，则m＞n.【答案】m＞n6．已知圆x2＋y2＝r2(r＞0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的面积最有可能是________．【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即a＝b情形．∴类比S圆＝πr2，得椭圆面积S＝πab.【答案】πab7．已知结论“若a1，a2∈{正实数}，且a1＋a2＝1，则1a1＋1a2≥4”，请猜想若a1，a2，…，a n∈{正实数}，且a1＋a2＋…＋a n＝1，则1a1＋1a2＋…＋1a n≥________．【解析】左边是2项，右边为22，猜想：左边是n项，右边为n2.【答案】n2图28．现有一个关于平面图形的命题：如图2，在一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个正方形的某个顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个正方体的某个顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．【解析】正方形类比到正方体，重叠面积类比到重叠体积，则S＝a24，类比得V＝(a2)3＝a38.【答案】a3 89．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 345 6789101112131415根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左到右的第三个数是________．【解析】前n－1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n2－n2个，∴第n行第3个数是n2－n2＋3＝n2－n＋62.【答案】n2－n＋6210．(2013·南京高二检测)已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且公比q＞1，若a1＝b1，a2 013＝b2 013，则a1 007与b1 007的大小关系是________．【解析】 由2a 1 007＝a 1＋a 2 013，得a 1 007＝a 1＋a 2 0132.又b 21 007＝b 1·b 2 013，得b 1 007＝b 1·b 2 013，∵a 1＝b 1＞0，a 2 013＝b 2 013＞0，且a 1≠a 2 013， ∴a 1 007＞b 1 007. 【答案】 a 1 007＞b 1 00711．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其“三段论”的形式为：大前提：一切奇数都不能被2整除． 小前提：________．结论：所以2100＋1不能被2整除． 【答案】 2100＋1是奇数12．求证：1＋5＜23的证明如下：因为1＋5和23都是正数，所以为了证明1＋5＜23， 只需证明(1＋5)2＜(23)2， 展开得6＋25＜12，即5＜3， 只需证明5＜9.因为5＜9成立． 所以不等式1＋5＜23成立． 上述证明过程应用的方法是________． 【答案】 分析法13．用反证法证明命题“a ，b ∈N *，ab 可被5整除， 那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是________．【解析】 “a 、b 中至少有一个能被5整除”的否定为“a ，b 都不能被5整除”．【答案】 a ，b 都不能被5整除14．(2013·徐州高二检测)在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图3所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．图3【解析】 CE 平分角ACB ，而面CDE 平分二面角A —CD —B. ∴AC BC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AE EB ＝S △ACDS △BCD .【答案】 AE EB ＝S △ACDS △BCD二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)观察：(1)sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； (2)sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 【解】 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°＋2α）2＋sin α(32cos α－12sin α) ＝1－cos 2α2＋12[1＋(12cos 2α－32sin 2α)]＋34sin 2α－12sin 2α ＝1－14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－12×1－cos 2α2＝3 4.16．(本小题满分14分)已知0<a<1，求证：1a＋41－a≥9.【证明】∵0<a<1，∴1－a>0.欲证1a ＋41－a≥9成立，只需证明1－a＋4a≥9a(1－a)．整理移项9a2－6a＋1≥0.即证明(3a－1)2≥0.∵a∈(0，1)，∴(3a－1)2≥0显然成立．故1 a ＋41－a≥9成立．17．(本小题满分14分)(2013·无锡高二检测)已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c，是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．【解】f(a)＋f(c)＞2f(b)，证明如下：∵a，b，c是不相等的正数，∴a＋c＞2ac，∵b2＝ac，∴ac＋2(a＋c)＞b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4＞b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)＞(b＋2)2，∵f(x)＝log2x是增函数，∴log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2，即log2(a＋2)＋log2(c＋2)＞2log2(b＋2)故f(a)＋f(c)＞2f(b)．18．(本小题满分16分)如图4甲，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图乙，三棱锥A—BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题？图4【解】命题是：三棱锥A—BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD 所在平面内的射影为M，则有S2△ABC＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题．证明如下：在图乙中，连结DM，并延长交BC于E，连结AE，则有DE⊥BC，AE⊥BC.因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.因为AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是S2△ABC＝(12BC·AE)2＝(12BC·EM)·(12BC·ED)＝S△BCM·S△BCD.19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a＜b)．(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.【解】(1)当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)．∴f′(x)＝(x－1)(3x－5)，则f′(2)＝1.又f(2)＝(2－1)2(2－2)＝0.∴f(x)在点(2，0)处的切线方程为y ＝x －2. (2)因为f′(x)＝3(x －a)(x －a ＋2b3)， 由于a ＜b ，故a ＜a ＋2b 3，所以f(x)的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b 3. 不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2， 且x 3是f(x)的零点． 故x 3＝b.又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b3)， 故可令x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3，此时，a ，2a ＋b 3，a ＋2b3，b 依次成等差数列， 所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b3.20．(本小题满分16分)已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g(n)＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．【解】 (1)当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)； 当n ＝2时，f(2)＝98，g(2)＝118，所以f(2)＜g(2)；当n ＝3时，f(3)＝251216，g(3)＝312216， 所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明： ①当n ＝1，2，3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k(k ≥3)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2， 那么，当n ＝k ＋1时， f(k ＋1)＝f(k)＋1（k ＋1）3＜32－12k 2＋1（k ＋1）3， 因为12（k ＋1）2＋1（k ＋1）3－12k 2＝k ＋32（k ＋1）3－12k 2＝－3k －12（k ＋1）3k 2＜0， ∴－12k 2＋1（k ＋1）3＜－12（k ＋1）2，因此32－12k 2＋1（k ＋1）3＜32－12（k ＋1）2， ∴f(k ＋1)＜32－12（k ＋1）2， ∴当n ＝k ＋1时成立． 由①②可知，对一切n ∈N *， 都有f(n)≤g(n)成立．。

2.1.1 合情推理双基达标 限时20分钟1．下列推理中，是归纳推理的有________．①A 、B 为定点，动点P 满足PA ＋PB ＝2a>AB ，得P 的轨迹为椭圆．②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列的前n 项和S n 的表达式．③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab. ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 是从特殊到一般的推理．答案 ②2．下面几种推理是合情推理的是________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和是180°；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形内角和是(n －2)·180°.答案 ①②④3．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是__________．答案 夹在两平行平面间的平行线段相等 真命题4．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n 个等式为________．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n)5．如图(1)有面积关系：S△PA′B′S△PAB ＝PA′·PB′PA·PB ，则图(2)有体积关系：V P­A′B′C′V P-ABC ＝________.解析 把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V P­A′B′C′V P-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC . 答案 PA′·PB′·PC′PA·PB·PC6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和S n ，则有如下性质：①通项：a n ＝a m ＋(n －m)d ；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m 、n 、p 、q ∈N *)；③若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p (m 、n 、p ∈N *)；④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假． 解 在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，则可以得到：①通项：b n ＝b m ·q n －m (真命题)；②若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q (m ，n ，p ，q ∈N *)(真命题)；③若m ＋n ＝2p ，则b m ·b n ＝b 2p(m ，n ，p ∈N *)(真命题)； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列(假命题)．综合提高 限时25分钟7．当a ，b ，c ∈(0，＋∞)时，由a ＋b 2≥ab ，a ＋b ＋c 3≥3abc ，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是________．解析 a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (a i ＞0，i ＝1,2，…，n)是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．答案 a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (a i ＞0，i ＝1,2，…，n) 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________ ，T 16T 12成等比数列．解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此，T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 18T 12成等比数列． 答案 T 8T 4 T 12T 89．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15…………………………根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左向右的第3个数是________．解析 ∵前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个， ∴第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 答案 n 2－n ＋6210．观察下列等式：①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝mcos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋ncos 4α＋pcos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.解析 观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得 －12＝m ⎝⎛⎭⎫1210－1 280×⎝⎛⎭⎫128＋1 120×⎝⎛⎭⎫126＋n×⎝⎛⎭⎫124＋p×⎝⎛⎭⎫122－1，即n ＋4p ＝－200(2) 联立(1)(2)，得n ＝－400，p ＝50，∴m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962.答案 96211．就任一等差数列{a n }，计算a 7＋a 10和a 8＋a 9，a 10＋a 40和a 20＋a 30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？解设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，从而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d.所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d，可得a7＋a10＝a8＋a9.同理a10＋a40＝a20＋a30.由此猜想，任一等差数列{a n}，若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则有a m＋a n＝a p＋a q成立．类比等差数列，可得等比数列{a n}的性质：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有a m·a n＝a p·a q成立．12.如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB，SAC，SBC与底面ABC所成角分别为α1，α2，α3，三棱SC，SB，SA与底面ABC所成的角为β1，β2，β3，三侧面△SAB，△SAC，△SBC的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想．解如图，在△DEF中，由正弦定理得DE sin F＝EFsin D＝DFsin E.如图，由于平面SAB，SAC，SBC与底面所成的二面角分别为α1，α2，α3，类比可得：在四面体S -ABC中，有S△SAB sin α1＝S△SACsin α2＝S△SBCsin α3，即S1sin α1＝S2sin α2＝S3sin α3.13．(创新拓展)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列，提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)并进行研究，你能得到什么样的结论？解：(1)∵a10＝a1＋9×1＝10，a20＝a10＋10d＝10＋10d＝40.∴d＝3.(2)∵a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d≠0)， ∴a 30＝10，即a 30为关于d 的二次函数， 由于d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴a 30∈[152，＋∞)． (3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，a 10n ＋2，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式． 研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)推广到一般有： a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋d 2＋…＋d n )(n ∈N *)．。

2.1.1 合情推理—归纳推理教案（1）学习目标1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

学习重点、难点教学重点了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点用归纳进行推理，做出猜想。

学习过程一、课堂引入从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、问题情境案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

案例2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒案例3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）二、学生活动案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

由此猜想：案例2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒由此猜想：案例3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正由此猜想：三、建构数学这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理。

2.1 合情推理与演绎推理1、观察按下列顺序排列的等式:9011⨯+=,91211⨯+=,92321⨯+=,93431⨯+=,…,猜想第()*N n n ∈个等式应为( ) A.()91109n n n ++=+B.()91109n n n -+=-C.()91101n n n +-=-D.()()9111010n n n -+-=-2、如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a 所表示的数是( )A.2B.4C.6D.83、下列推理是归纳推理的是( )A.,A B 为定点,动点P 满足2PA PB a AB +=>,则P 点的轨迹为椭圆B.由11a =,31n a n =-,求出123,,S S S 猜想出数列的前n 项和n S 的表达式C.由圆222x y r +=的面积2πr ,猜想出椭圆22221x y a b +=的面积πS ab = D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4、如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )A. B. C. D.5、已知扇形的弧长为l ,半径为r ,类比三角形的面积公式:,可推出扇形的面积公式( )A. 22r B. 22l C. 2lr D.不可类比6、下面使用类比推理正确的是( )A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()0a b a b c c c c+=+≠” D.“() n n n ab a b =”类推出“()n n n a b a b +=+”7、在证明()21f x x =+为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提;④函数()21f x x =+满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是( )A.①④B.②④C.①③D.②③8、“π是无限不循环小数,所以π是无理数”,以上推理的大前提是( )A.实数分为有理数和无理数B. π不是有理数C.无理数都是无限不循环小数D.有理数都是有限循环小数9、对于推理:若a b >,则22a b >;因为23>-,所以()2223>-即49>下列说法正确的是( )A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理形式不正确10、下列说法正确的是( )A.类比推理是由特殊到一般的推理B.演绎推理是由特殊到一般的推理C.归纳推理是由个别到一般的推理D.合情推理可以作为证明的步骤11、观察下列等式. 11122-=11111123434-+-=+ 11111111123456456-+-+-=++ ……据此规律,第n 个等式可为__________.12、已知222233+=,333388+=,44441515+=,...,若666a b b += (,a b 均为实数),则a =__________,b =__________.13、观察下列等式211=22123-=-2221236-+=2222123410-+-=-……照此规律,第n 个等式可为__________。

2.1.1 合情推理(一)明目标、知重点 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发展中的作用．1．归纳推理从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．2．归纳推理的特点(1)归纳推理是从特殊到一般的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．[情境导学]佛教《百喻经》中有这样一则故事．从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买．”仆人拿好钱就去了．到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看．”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠．”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去．带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了．想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理．探究点一归纳推理思考1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答根据一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．思考2 观察下面两个推理，回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：4＝2＋26＝3＋38＝3＋510＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 16＝5＋11 ……1 000＝29＋971 1 002＝139＋863 ……猜想：任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和．(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电． 问题： ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？ ②其结论一定正确吗？答 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确．小结 从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论． 探究点二 归纳推理在数列中的应用例 1 已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n.反思与感悟 (1)归纳推理的思想：对于集合{ a 、b 、c 、d 、e 、f }，若a 、b 、c 、d ∈A ，则a 、b 、c 、d 、e 、f ∈A .(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．(3)归纳推理的意义：归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项具有的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n 项和公式，其正确性有待证明，但为证明正确性提供了方向．跟踪训练1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…) (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . 解 (1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31. (2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n－1(n ∈N *)． 探究点三 归纳推理在图形变化中的应用例 2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝______；f (n )＝______(答案用含n 的代数式表示)．答案 10n n ＋1n ＋26解析 观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12.将以上(n －1)个式子相加可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋12＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12[16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n n ＋12]＝n n ＋1n ＋26.反思与感悟 解例2的关键在于寻找递推关系式：f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12，然后用“叠加法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前n 项和的变化规律．跟踪训练2 在平面内观察： 凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， …由此猜想凸n (n ≥4且n ∈N *)边形有几条对角线？ 解 凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条， 凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条， ……于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线．因此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4且n ∈N *)．探究点四 归纳推理在算式问题中的应用 例3 观察下面等式，并从中归纳出一般法则． 1＝12， 1＋3＝22， 1＋3＋5＝32， 1＋3＋5＋7＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝52， ……解 对于等式，等号左端是整数，且是从1开始的n 项的和，等号的右端是项数的平方． ∴猜想结论：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N )．反思与感悟 对于运算式的猜测和推广，这一类问题需要观察的方面很多：首先是式子的共同结构特点，其次是式子中出现的字母之间的关系，还有化简或运算的结果等等．另外要注意对较为复杂的运算式，不要化简，这样便于观察运算规律和结构上的共同点．跟踪训练3 在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n中有怎样的不等式成立？答案1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *)．1．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若 6＋a b ＝6a b(a 、b 均为实数)．请推测a ＝________，b ＝________. 答案 6 35解析 由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35.2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应是________．答案 白色解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵： 错误!按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．答案①解析观察图中每一行，每一列的规律，从形状和颜色入手．每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形．又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白．[呈重点、现规律]归纳推理的一般步骤：(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想．注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.一、基础过关1．数列5,9,17,33，x，…中的x＝________答案65解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7＝________.1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…答案 1 111 111解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.答案 －g (x )解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数， 故g (－x )＝－g (x )．4．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有____________． 答案 f (2n)>2＋n 2(n ≥2)解析 观测f (n )中n 的规律为2k(k ＝1,2，…) 不等式右侧分别为2＋k2，k ＝1,2，…，∴f (2n)>2＋n 2(n ≥2)．5．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32. 通过观察上述两等式的规律，请写出一个一般性的命题：_______________________________________. 答案 sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝326．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为__________________________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n )，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .解 a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)，又因为a 1>0，所以a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝12(a n ＋1a n )，S n －1＝12(a n －1＋1a n －1)，两式相减得：a n ＝12(a n ＋1a n )－12(a n －1＋1a n －1)，即a n －1a n ＝－(a n －1＋1a n －1)．所以a 2－1a 2＝－2，又因为a 2>0，所以a 2＝2－1.a 3－1a 3＝－22，又因为a 3>0，所以a 3＝3－ 2.a 4－1a 4＝－23，又因为a 4>0，所以a 4＝2－ 3.将上面4个式子写成统一的形式：a 1＝1－0，a 2＝2－1，a 3＝3－2，a 4＝4－3，由此可以归纳推测：a n ＝n －n －1. 二、能力提升8．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.9．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第______项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) 答案 (1)5 030 (2)5k5k －12解析 由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝n n ＋12，写出其若干项有1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15.从而由上述规律可猜想：b 2k ＝a 5k ＝5k5k ＋12(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)×5k －1＋12＝5k 5k －12，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 10．观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …照此规律，第n 个等式可为______________________________________． 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋12解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋12.11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(2)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a. 猜想a n ＝n －1－n －2a n －n －1a(n ∈N *)．(2)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0， ∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3. 同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式． 解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1； 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．三、探究与拓展13．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．解 b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100(45r ＋15p )；b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)2r ＋15p ＋452p ]； b 3＝ab 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)3r ＋15p ＋452p ＋4253p ]．归纳得b n ＝1100[(45)n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p ].。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为_____________.任何推理都包含_____________和_____________两部分，____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；___________是根据___________推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么.2.从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为_____________,简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.3.根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为_____________，简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.4.根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程为_____________，_____________、_____________是_____________常用的思维方法.知识导学学习本节内容时，要注意多观察、多总结、多回顾、多比较，尽量寻找一些规律，找出共性，产生联想，归纳出有关的结论.或类比原来研究过的内容来研究与之相似的，更深更广一些的内容，可从类似的方法、类似的结论、类似的研究手段，并用发展的观点来研究问题，如研究立体几何问题，可类比平面几何问题来研究，仔细体会归纳法和类比法在数学发展过程中的重要性.学习本节，不但是学习课本上的知识，更重要的是学习数学中的这种学习和研究方法，来研究课本以外的知识，学会探索，勇于探索，注意知识的前后、纵横联系. 疑难突破1.归纳推理剖析：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是作出科学发现的重要手段，所得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验.可从正反两个方面举例理解.2.类比推理剖析：类比推理在日常生活中常用，可以由一种事物的特征、启发得到尚未熟悉或尚未被发现的事物的研究，是从特殊到特殊的推理.类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现新问题、探索新知识的功能.如研究球时常与圆类比；研究立体方面的问题常与平面问题类比；研究双曲线、抛物线常与椭圆相类比，这种思维方式，可以使旧知识得到发展，将新旧知识联系起来，使科学不断发展.典题精讲【例1】设f(n)=n2+n+41，n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值.同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,…,10的结果进行归维推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.由此猜想，n 为任何正整数时f(n)=n 2+n+41都是质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41,∴f(40)为合数，∴猜想的结论不正确.绿色通道：归纳推理是从个别到一般，从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段,通过归纳得到猜想结论.一般来说，归纳推理发现真理的过程为：从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形成一般命题→结论的猜想→证明.变式训练:)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n ,写出1、2、3、4的值,归纳并猜想出结果. 解：取n=1,2,3,4分别得54,43,32,21，观察4个结果都是分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1，猜想：原式=1+n n . 推算：由111)1(1,,3121321,211211+-=+-=⨯-=⨯n n n n , ∴原式=111111141313121211+=+-=+-++-+-+-n n n n n . 【例2】两个同心圆中，任作大圆的弦XY 交小圆于P 、Q ，大圆半径为R ，小圆半径为r ，求证：PX×PY 为定值.思路分析：本题PX×PY 为定值，定值是多少？我们可先由特殊到一般，我们可先取特殊位置，如XY 为大圆的直径等.解：当XY 为大圆的直径时，PX×PY=(R+r)·(R=r)=R 2-r 2.当XY 为小圆的切线时，P 、Q 重合，PX×PY=OX 2-OP 2=R 2-r 2.猜想：过点P 作一直径MN ，由相交弦定理，得PX·PY=PM·PN=(R+r)(R-r)=R 2-r 2(为定值).绿色通道：类比是对知识进行理线串连的好方法，在平时学习中，常以一两个对象为中心，把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆和运用，思维过程一般为：从具体问题→类比推理→联想→形成一般命题→结论的猜想→证明预见.变式训练:类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即a +b =b +a ,(a +b )+c =a +(b +c ).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即a +x =b ,则x =b -a .(4)在实数加法中，任意实数与0相加不改变大小，在向量加法中任意向量a +0=a .【例3】从大、小正方形的数量关系上，观察图2-1-1所示的几何图形，试归纳得出的结论.图2-1-1思路分析：从个别事例归纳总结，得到一般性的结论.解：从大、小正方形的数量关系上容易发现：1=12，1+3=2×2=22，1+3+5=3×3=32，1+3+5+7=4×4=42，1+3+5+7+9=5×5=52，1+3+5+7+9+11=6×6=62，猜想：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.绿色通道：本题为图形语言，要善于观察图形的前后联系和变化，找出规律.变式训练:把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图2-1-2所示.则第七个三角形点数是( )A.27B.28C.29D.30图2-1-2答案：B问题探究问题1：意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年出版的《算经》一书中，记述了有趣的兔子问题，假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？若一直推算下去，可得到一个数列{a n}.若a1=a2=1，你能归纳出当n≥3时a n的递推关系吗？导思：从具体问题出发，经过观察、分析再进行归纳，归纳离不开观察、分析，我们应从数值特征、从式子结构、从已知与未知的必然联系等方面观察、分析、探究.应注意所探究的事物或现象的本质属性和因果关系，才能发现规律.探究：我们将各个月的大兔子对数依次排列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……通过观察我们会发现每个数为前两个数之和.∴a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*).问题2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.导思：类比推理，就是根据两个不同的对象的某些方面相同或相似推测他们在其他方面也可能相同或相似的思维方式.它是思维过程由特殊到特殊的推理.利用直角三角形的有关性质，通过观察四面体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题，提出猜想，结论中S2=S12+S22+S32为真命题.探究：类比时应先找共性，抓特点,前提类比、结论类比.考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可类比选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象，在图2-1-3中的四面体P—DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,图2-1-3设S1、S2、S3和S分别表示△PDF、△PDE、△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边和一条斜边.四面体中有3个“直角面”，S1、S2、S3和一个“斜面”S，于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2=S12+S22+S32成立.。

[基础达标]1.根据如图所给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于________．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111解析：根据所给出的数塔的构成规律，经分析、比较可猜测123 456×9＋7的值是由1排成的正整数，其中1的个数应是7，故应填1 111 111.答案：1 111 1112.如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝________．解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形可得：a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝（2）2＋12＝3，…，故可归纳推测a n ＝n .答案：n3.若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________． 解析：前9项共使用了1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，a 10由第46个到第55个共10个奇数的和组成，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10×（91＋109）2＝1 000. 答案：1 0004.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a 所表示的数是________．11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5 1…解析：由杨辉三角形经观察、分析可以发现：每行除1外，每个数都是他肩上的两数之和，如第5行的第2个数5，它肩上的两数为1和4，5＝1＋4，故a ＝3＋3＝6，故填6. 答案：65.设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2 015)等于________． 解析：∵f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2，∴f (3)＝13f （1）＝132，f (5)＝13f （3）＝2， f (7)＝13f （5）＝132，f (9)＝13f （7）＝2，…，∴归纳得f (2n －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，132，n 为偶数. ∴f (2 015)＝f (2×1 008－1)＝132，故应填132. 答案：1326.观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为____________．解析：根据已知13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，可归纳第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)27.设{a n }是首项为1的正数项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，试归纳猜想这个数列{a n }的通项公式．解：由首项为1，得a 1＝1；当n ＝1时，由2a 22－1＋a 2＝0，得a 2＝12； 当n ＝2时，由3a 23－2×⎝⎛⎭⎫122＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13； …故可归纳猜想这个数列{a n }的通项公式为a n ＝1n. 8.平面内有n 条直线(n ∈N *)，任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点．用f (n )表示这n 条直线把平面分成的区域的块数，试求f (n )的表达式(用n 表示)．解：如图，f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝7，f (4)＝11，f (5)＝16，….而f (2)－f (1)＝2，f (3)－f (2)＝3，f (4)－f (3)＝4，f (5)－f (4)＝5，…，∴f (n )－f (n －1)＝n (n ≥2，n ∈N *)，累加得f (n )＝f (1)＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n ＋22. [能力提升]1.已知在数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1(n ∈N *)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，则A 2 015＝________．解析：由a 1＝3，a 1－a 1a 2＝1，得a 2＝23； 由a 2＝23，a 2－a 2a 3＝1，得a 3＝－12； 由a 3＝－12，a 3－a 3a 4＝1，得a 4＝3，知a 1＝a 4＝3， 因此可归纳猜想出该数列{a n }的项从a 1开始呈周期性变化，最小正周期为3.而a 1a 2a 3＝3×23×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，2 014＝671×3＋1， 2 015＝671×3＋2，所以a 2 014＝a 1＝3，a 2 015＝a 2＝23.故A 2 015＝(－1)671×a 2 014×a 2 015＝－a 1×a 2＝－3×23＝－2. 答案：－22.对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 014次操作后得到的数是________．解析：由23＋53＝133，13＋33＋33＝55，53＋53＝250，23＋53＋03＝133，得该种操作呈周期性变化且周期为3，又2 014＝3×671＋1.∴第2 014次操作的结果即为第1次操作的结果．答案：1333.我们已经学过了等差数列，“差”与“和”可类比，那么：(1)类比“等差数列”的定义，给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明；(3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2)当n ∈N *时，由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2，所以a n ＋2＝a n .所以，等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *，则S n ＝S 2k ＝k (a 1＋a 2)＝k (a ＋b )＝n 2(a ＋b )． 当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N *，则S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝n －12(a ＋b )＋a ＝n ＋12a ＋n －12b . 所以，等和数列{a n }的前n 项和为S n ＝⎩⎨⎧n 2（a ＋b ），n 为偶数，n ＋12a ＋n －12b ，n 为奇数. 4.已知椭圆具有以下性质：已知M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)写出具有类似特征的性质，并加以证明． 解：类似的性质为：已知M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )、(x ，y )，且x ≠±m ，则N 点的坐标为(－m ，－n )． ∵点M (m ，n )在已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴m 2a 2－n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a 2m 2－b 2，同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2. ∴y 2－n 2＝b 2a 2(x 2－m 2)． 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。

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高中数学 第2章 推理与证明 2.1。

1 合情推理自我小测 苏教版选修2—21．把1,3，6，10,15,21，…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如图所示，则第七个三角形数是________．2．我们把1，4,9,16，25,…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示,则第n 个正方形数是________．3．如图所示，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为__________．4．有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是__________．5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式2S ⨯=底高，可推知扇形面积公式S 扇＝________。

6．已知f 1(x ）＝cos x ，f 2（x ）＝f ′1（x )，f 3(x )＝f ′2(x )，f 4(x )＝f ′3（x ），…，f n (x )＝f ′n －1(x ），n ≥2，且n ∈N *，则f 2 011(x )＝__________.7．下图所示为一串黑白相间排列的珠子，第36颗珠子应是__________颜色的．8．观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2,13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4）2，…,根据上述规律,第五个等式为________________．9．已知函数1133()5x xf x--=，1133()5x xg x-+=.分别计算f（4）－5f（2）g(2)和f(9)－5f（3)g（3）的值，由此概括出涉及f(x)和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式．10．类比等差数列的定义，给出等和数列的概念，并利用等和数列的性质解题：已知数列{a n｝是等和数列，a1＝2，公和为5，求a18和S21.参考答案1答案：28 解析：第n个三角形数比前一个多n。

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．3．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A ，BB ，CC ，DD ，EA ，E疏散乘客时间（s ）186125160175145则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．AB ．BC ．CD ．D4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．325．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0B ．13C ．12D ．16．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项7．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯8．用数学归纳法证明“11112321n++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +9．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d10．如果把一个多边形的所有便中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( ) A ．65B ．96C ．104D ．11211．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -12．已知 222233+=，333388+=,44441515+=，m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(),22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22(133)(22323)++++⨯+⨯22222(22323)(122)++⨯+⨯=++2(133)91++=，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．15．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分． 16．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．17．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．18．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________. 19．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．20．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 22．若10a >，11a ≠，121+=+nn na a a （n ＝1，2，…）． （1）求证：1+≠n n a a ； （2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．23．已知数列11111,,,,,12233445(1)n n ⨯⨯⨯⨯⨯+，…的前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S 的值，根据计算结果，猜想n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 表达式.24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式. 25．依次计算数列114⎛⎫-⎪⎝⎭，111149⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1111114916⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111111491625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，的前4项的值，由此猜想21111111111491625(1)n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（n *∈N ）的结果，并用数学归纳法加以证明.26．设a ，b 均为正数，且ab ．证明：（1）664224a b a b a b +>+（2）a b a b b a+>+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．C解析：C 【分析】 结合题意可知,代入数据,即可.【详解】A 选项,13不满足某个数的平方,故错误;B 选项,,故错误;C 选项,故正确;D 选项,,故错误.故选C. 【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.3．C解析：C 【解析】分析：根据疏散1000名乘客所需的时间，两两对比，即可求出结果. 详解：同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客，所需时间对比：开方AB 、出口时间为186s ，开方BC 、出口时间为125s ，得C 比A 快； 开方CD 、出口时间为160s ，开方DE 、出口时间为175s ，得C 比E 快；开方AB 、出口时间为186s ，开方A E 、出口时间为145s ，得E 比B 快； 开方BC 、出口时间为125s ，开方CD 、出口时间为160s ，得B 比D 快； 综上，疏散乘客最快的安全出口的编号是C. 故选C.点睛：本题考查简单的合情推理，考查学生推理论证能力.4．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1， 则变换中的第7项一定为2， 变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8， 变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.5．B解析：B 【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13∴三个数中至少有一个大于或等于13假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++<∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13故选B.6．D解析：D 【分析】分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】当n k =时，不等式左边为1111232k++++，当1n k =+时，不等式左边为1111111232212k k k +++++++++，则增加了112(21)1222k k k k k ++-++=-=项，故选D. 【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.7．B解析：B 【详解】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯， 第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.8．C解析：C 【解析】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121n -； 由n=k ，末项为121k-到n=k+1，末项为11121212k k k+=--+， ∴应增加的项数为2k ． 故选C ．9．A解析：A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ，乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是cc ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的；乙同学说的2号门中有d 是正确的；并同学说的3号门中有c 是正确的；丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,b d c a ，所以4号门里是a ，故选A. 点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．10．C解析：C 【解析】可以通过列表归纳分析得到；16边形有2+3+4+…+14=2=104条对角线． 故选C ．11．B解析：B 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．12．C解析：C 【解析】分析：由等式归纳得出m 和t 的关系，从而得出关于m 的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出λ的范围.=21t m =-， 30m t λ--<恒成立，即220m m λ--<恒成立，m N *∈且2m ≥，222m m m mλ+∴<=+.令()2f m m m =+，()221f m m ='-，2m ≥，()0f m ∴'>，()f m ∴单调递增，∴当2m =时，()f m 取得最小值()23f =，3λ∴<.故选：C.点睛：若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．二、填空题13．【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第个等式即可详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1第2个等式开头为2第3个等式开头为3第4个等式开头为4则第n 个等式开头为n 第1个等式左侧有1个解析：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-.【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第n 个等式即可. 详解：首先观察等式左侧的特点： 第1个等式开头为1，第2个等式开头为2， 第3个等式开头为3，第4个等式开头为4， 则第n 个等式开头为n ，第1个等式左侧有1个数，第2个等式左侧有3个数， 第3个等式左侧有5个数，第4个等式左侧有7个数， 则第n 个等式左侧有2n -1个数， 据此可知第n 个等式左侧为：()()132n n n ++++-，第1个等式右侧为1，第2个等式右侧为9， 第3个等式右侧为25，第4个等式右侧为49， 则第n 个等式右侧为()221n -， 据此可得第n 个等式为()()()213221n n n n ++++-=-.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．14．217【分析】根据题意类比36的所有正约数之和的方法分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）计算可得答案【详解】根据题意由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方解析：217 【分析】根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52），计算可得答案． 【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52， 所以100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52）=217． 可求得100的所有正约数之和为217； 故答案为：217. 【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．15．【解析】分析：根据几何图形列出前面几项根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果详解：1条直线将平面分成2个部分即2条直线将平面分成4个部分即3条直线将平面分为7个部分即4条直线将平面分为11个部分即解析：(1)12n n ++ 【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。

_2.1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理第一课时归纳推理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电．问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高．问题5：数列{a n}的前五项为1,3,5,7,9试写出a n.提示：a n＝2n－1(n∈N*)．1．推理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图实验、观察猜测一般性结论(3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围．2．归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质．3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．[对应学生用书P13][例1]已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2，…)，求出a2，a3，a4，并推测a n.[思路点拨]数列的通项公式表示的是数列{a n}的第n项a n与序号n之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n 与a n 的关系即可解决．[精解详析] 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为 a n ＝1n.[一点通] 在求数列的通项与前n 项和时，经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n 的关系，往往会较简捷地获得结论．1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n .求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .解：∵S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，∴a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1. 又∵a n >0，∴a 1＝1；a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，即1＋12a 2＝12a 2，∴a 2＝2－1； a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3， 即2＋12a 3＝12a 3，∴a 3＝3－2；a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝12⎝⎛⎭⎫a 4＋1a 4， ∴3＋12a 4＝12a 4，∴a 4＝2－3；观察可得，a n ＝n －n －1. 2．已知数列{a n }中，a 2＝6，a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n .(1)求a 1，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解：(1)由a 2＝6，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，得a 1＝1.由a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，得a 3＝15.由a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，得a 4＝28.故a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28. (2)由a 1＝1＝1×(2×1－1)； a 2＝6＝2×(2×2－1)； a 3＝15＝3×(2×3－1)； a 4＝28＝4×(2×4－1)， …猜想a n ＝n (2n －1)．[例2] [思路点拨] 给n 从小到大赋值→计算各式的值→比较大小→归纳猜想 [精解详析] 当n ＝1时，21>12； 当n ＝2时，22＝22； 当n ＝3时，23<32； 当n ＝4时，24＝42； 当n ＝5时，25>52； 当n ＝6时，26>62.归纳猜想，当n ＝3时，2n <n 2； 当n ∈N *，且n ≠3时，2n ≥n 2.[一点通] 对于与正整数n 有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n 的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．3．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为________． 解析：第1个不等式：1＋1(1＋1)2<2×1＋11＋1；第2个不等式：1＋122＋1(2＋1)2<2×2＋12＋1；第3个不等式：1＋122＋132＋1(3＋1)2<2×3＋13＋1； …故猜想第n 个不等式为1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1. 答案：1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1 4．对任意正整数n ，猜想n n ＋1与(n ＋1)n 的大小关系．解：n ＝1时，12<21；n ＝2时，23<32，n ＝3时；34>43； n ＝4时，45>54，n ＝5时；56>65. 据此猜想，当n <3时，n n ＋1<(n ＋1)n ，n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n .[例3]由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n 个三角形数．[思路点拨] 将1,3,6,10分别写成1×22，2×32，3×42，4×52，据此可完成本题的求解．[精解详析] 观察项与项数的关系特点如下：分析：项的各分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数与1和的积． 归纳：第n 个三角形数应为n (n ＋1)2(n ∈N *)． [一点通] 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n 项和等．5．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n个图有a n个树枝，则a n＋1与a n(n≥1)之间的关系是________________．解析：由图可得，第一个图形有1根树枝，a1＝1，第2个图形有3根树枝，即a2＝3，同理可知：a3＝7, a4＝15，a5＝31.归纳可知：a2＝3＝2×1＋1＝2a1＋1，a3＝7＝2×3＋1＝2a2＋1，a4＝15＝2×7＋1＝2a3＋1，a5＝31＝2×15＋1＝2a4＋1，由归纳推理可猜测：a n＋1＝2a n＋1.答案：a n＋1＝2a n＋16．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中点的个数.解析：图中点的个数依次为：1,3,7,13,21.又1＝1＋0×1；3＝1＋1×2；7＝1＋2×3,13＝1＋3×4,21＝1＋4×5.结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为：1＋(n－1)n，即为n2－n＋1(n∈N*)．答案：n2－n＋1(n∈N*)[例4][思路点拨]由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律，由此寻找第8行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律．[精解详析] 第8行：1 7 21 35 35 21 7 1. 一般规律：(1)每行左、右的数字具有对称性；(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它肩上两数字之和； (3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大．[一点通] 解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下： (1)明确各行、各列数的大小；(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系； (3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论．7.将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________．解析：第1行，第2行，第3行，…分别有1,2,3，…个数字，且每个数字前后差1，则第n －1行的最后一个数字加3即为第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数，前n －1行共有数字1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2，则第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数为n (n －1)2＋3＝n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋628.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 行．如a 42＝8，若a ij ＝2 009.则i 和j 的和为________．解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.答案：1071．归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质． (2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论．(3)猜想这个结论对该类事物都成立．2．归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．[对应学生用书P15]一、填空题1．(陕西高考)观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为________________．解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)2．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，f n(x)＝f n－1′(x)，则f2 014(x)＝________.解析：f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，f5(x)＝f4′(x)＝cos x，…再继续下去会重复出现，周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.答案：－sin x3．根据三角恒等变换，可得到如下等式：cos θ＝cos θ；cos 2θ＝2cos2θ－1；cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ；cos 4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1；cos 5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cos θ依照规律猜想cos 6θ＝32cos6θ＋m cos4θ＋n cos2θ－1.则m ＋n ＝________.解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1， 即32＋m ＋n －1＝1. ∴m ＋n ＝－30. 答案：－304．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝________.解析：每行对应的元素个数分别为1,3,5 …，那么第10行最后一个数为a 100，则第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝a 112＝⎝⎛⎭⎫13112.答案：⎝⎛⎭⎫131125．经计算发现下列不等式：2＋18<210，4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.解析：2＋18＝20,4.5＋15.5＝20,3＋2＋17－2＝20，…，即各不等式左边两根号内的数之和等于20，右侧均为210.答案：当a ＋b ＝20，a ，b ∈(0，＋∞)时，有a ＋b ≤210 二、解答题 6．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ，b 的值． 解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律． 由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同， 而分母是这个分子的平方减1， 由此推测6＋ab中，a ＝6，b ＝62－1＝35， 即a ＝6，b ＝35.7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线……由此猜出凸n 边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n －1边形多n －2条对角线，由此凸n 边形对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．8．观察：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1； ②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广． 解：观察到10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°， 因此猜测此推广为α＋β＋γ＝π2，且α、β、γ都不为k π＋π2，k ∈Z ，则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1. 证明如下：由α＋β＋γ＝π2得α＋β＝π2－γ，∴tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－γ＝cot γ. 又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) ＝cot γ(1－tan αtan β)．∴tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α ＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β ＝tan γ(1－tan αtan β)·cot γ＋tan αtan β ＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.。