人教新课标版数学高二-选修2-2训练 合情推理

数学·选修2－2(人教A 版)2.1 合情推理与演绎推理2．1.2 演绎推理一、选择题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2－1)是正弦函数，所以f (x )＝sin(x 2－1)是奇函数，以上推理过程中( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：大前提正确，小前提错误，因为f (x )＝sin(x 2－1)不是正弦函数，所以结论也是错误的．故选C.答案：C2．因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．这个推理过程中( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案：A3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)解析：由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(－x)＝－g(x)，故选D.答案：D4．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某学校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式答案：A5. 如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的()A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α，β所成的角相等解析：只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，故选D.答案：D二、填空题6．由“ (a2＋1)x＞3，得x＞3a2＋1”的推理过程中，其大前提是________．解析：因为a 2＋1≥1＞0，所以由 (a 2＋1)x ＞3，得x ＞3a 2＋1.其前提依据为不等式的乘法法则：a ＞0，b ＞c ⇒ab ＞ac .答案： a ＞0，b ＞c ⇒ab ＞ac7．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________.解析：因为奇函数f (x )在x ＝0处有定义则f (0)＝0，而奇函数f (x )＝a －12x ＋1的定义域为R ，所以f (0)＝a －120＋1＝0.解得a ＝12. 答案：128．(2013·西城高二检测)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 014)f (2 013)＝________.解析：利用三段论．因为f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)(大前提)．令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2(小前提)．所以f(2)f(1)＝f(4)f(3)＝…＝f(2 014)f(2 013)＝2 (结论)，所以原式＝1 007×2＝2 014.答案：2 014三、解答题9．通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1，32－22＝2×2＋1，42－32＝2×3＋1，…(n＋1)2－n2＝2×n＋1.将以上各式分别相加，得：(n＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.类比上述求法：请你用(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1求出12＋22＋32＋…＋n2的值．解析：23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，43－33＝3×32＋3×3＋1，…(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各式分别相加得：(n＋1)3－13＝3×(12＋22＋32＋…＋n2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n)＋n.所以12＋22＋32＋…＋n2＝13(n＋1)3－1－n－3n(n＋1)2＝16n(n＋1)(2n＋1)．10．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)<0.求证：(1)f(x)为奇函数；证明：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.再令y＝－x，f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)f(x)为R上的增函数．证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则x1－x2<0，由已知得f(x1－x2)<0.∴f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在R上是增函数．。

合情推理与演绎推理要点讲解一、合情推理之归纳推理与类比推理异同比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.归纳推理和类比推理的区别:(一) 归纳推理1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2.归纳推理的特点:（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．(二).类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.例1 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n= ．【答案】a n=3n2-3n+1.【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.例2 如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：++为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得++=++.在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：++=1.∴++=1.【知识小结】类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比,平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．二、从三个角度解决演绎推理问题角度一：知识梳理演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P ,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P .角度二：在实践中体会与解决问题例1 把“函数21y x x =++的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论.解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）函数12++=x x y 是二次函数 （小前提）所以函数12++=x x y 的图象是一条抛物线 （结论）例2 已知lg2=m ,计算lg0.8.解：（1）lg a n =n lg a (a >0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论lg(a/b )=lg a -lg b (a >0,b >0)——大前提lg0.8=lg(8/10) ——小前提lg0.8=lg(8/10)——结论例3 如图;在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC , BE ⊥AC ,D ,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D ,E 的距离相等.解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, ——大前提在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=90° —-小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线, ——小前提所以 DM=21AB ——结论 同理 EM=21AB 所以 DM=EM. 由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙 述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．例4 证明函数2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b ）内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增．小前提是:2()2f x x x =-+的导数在区间(,1)-∞内满足'()0f x >，这是证明本例的关键．证明：'()22f x x =-+.当(,1)x ∈-∞时，有10x ->，所以'()222(1)0f x x x =-+=->.于是根据“三段论”得2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．还有其他的证明方法吗？思考:因为指数函数x y a =是增函数，——大前提 而1()2x y =是指数函数， ——小前提 所以1()2xy =是增函数． ——结论(1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当01a <<时，指数函数x y a =是减函数），所以所得的结论是错误的．“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的．亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想．例如，欧几里得的《原本》．就是一个典型的演绎系统，它从10条公理和公设出发，利用演绎推理，推出所有其他命题．像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法．继《原本》之后，公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域．例如，牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》中，以牛顿三定律为公理，运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论，建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系．至此，我们学习了两种推理方式一一合情推理与演绎推理．角度三：答疑解惑1．合情推理与演绎推理的主要区别是什么？归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、将积累的知识加工、整理，使之条理化、实验等获取经验；也需要辨别它们的真系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．2．演绎推理常见错误产生的主要原因是：(1)．大前提不成立；(2)．小前提不符合大前提的条件.3．解答演绎推理题时的方法技巧：（1）紧扣题干内容，不要对题中陈述的事实提出任何怀疑，不要被与题中陈述不一致的常理所干扰.题中所给的陈述有的合乎常理，有的可能不太合乎常理.但你心中必须明确，这段陈述在解答过程中被假设是正确的、不容置疑的.你不能对试题所陈述的事实的正误提出怀疑，也不能自作聪明地以自己具备的这方面的知识进行推理，得出答案，而完全忽视试题中所陈述的事实.（2）依靠形式逻辑有关推论法则严格推理，注意大前提、小前提、结论三者之间的关系.在演绎推理题中，前提与结论之间有必然性的联系，结论不能超出前提所界定的范围.因此，在解答此种试题时，必须紧扣题干部分陈述的内容，正确答案应与所给的陈述相符.必须注意的是，此类试题的备选答案具有很强的迷惑性，即各个选项几乎都是有道理的，但有道理并不等于与这段陈述直接相关.正确的答案应与陈述直接有关，即从陈述中直接推出.（3）必要时，可以在草稿纸上用自己设计的符号来表示推论过程，帮助你记住一些重要信息和推出正确结论.。

选修2-2 第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．“∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，以上推理省略的大前提为( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B2．(2013·华池一中高二期中)“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是( ) A ．推理完全正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确[答案] D[解析] 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( ) A ．完全正确 B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致 [答案] A[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确． 4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论[答案] C[解析]这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．5．(2014·洛阳市高二期中)观察下面的演绎推理过程，判断正确的是()大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.结论：A1B1∥AD.A．推理正确B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误[答案] B[解析]由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误．6．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[答案] C[解析]用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．二、填空题7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是__________________________________．[答案]一条边的平方等于其它两边平方和的三角形是直角三角形．8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提_______________________________________________________________．小前提______________________________________________________________．结论_____________________________________________________________．[答案]所有一次函数的图象都是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线9．以下推理中，错误的序号为________．①∵ab＝ac，∴b＝c；②∵a≥b，b>c，∴a>c；③∵75不能被2整除，∴75是奇数；④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.[答案]①[解析]当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．三、解答题10．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．[答案](1)平行四边形的对角线互相平分大前提菱形是平行四边形小前提菱形的对角线互相平分结论(2)一切奇数都不能被2整除大前提75是奇数小前提75不能被2整除结论一、选择题11．“在四边形ABCD中，∵AB綊CD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程()A．省略了大前提B．省略了小前提C．是完整的三段论D．推理形式错误[答案] A[解析]上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．12．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；小前提：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；结论：所以直线b∥直线a.在这个推理中()A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误[答案] D[解析] 如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α时，直线b 与直线a 可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.13．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，……，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92[答案] B[解析] 记|x |＋|y |＝n (n ∈N *)的不同整数解(x ，y )的个数为f (n )，则依题意有f (1)＝4＝4×1，f (2)＝8＝4×2，f (3)＝12＝4×3，……，由此可得f (n )＝4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为f (20)＝4×20＝80，选B.14．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值归纳出{a n }的通项公式[答案] A[解析] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理．二、填空题15．“∵α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，∴AB ⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为________．[答案] 如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 三、解答题16．判断下列推理是否正确？为什么？①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A ，B ，C 为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．[解析]①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有共线的三点才能确定一个平面．②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例．17．下面给出判断函数f(x)＝1＋x2＋x－11＋x2＋x＋1的奇偶性的解题过程：解：由于x∈R，且f(x)f(－x)＝1＋x2＋x－11＋x2＋x＋1·1＋x2－x＋11＋x2－x－1＝(1＋x2)－(x－1)2(1＋x2)－(x＋1)2＝2x－2x＝－1.∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．试用三段论加以分析．[解析]判断奇偶性的大前提“若x∈R，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；若x ∈R，且f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)．。

选修2-2第二章 2.1 2.1.1第1课时1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大[答案] A[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4[答案] D[解析]归纳得，四个小动物在换座过程中，每换座四次与原来的一样，即以4为周期，因此在2011次换座后，四个小动物的位置应该和第三次换座后的位置一样，即小兔的座位对应的编号为4，故选D.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是()①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列{a n}的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N*)．A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④[答案] D [解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ， b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p . 5．(2014·洛阳市高二期中)观察等式：sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15°sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明．[解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2. 下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2) ＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边． 所以原等式成立．。

课后导练基础达标1.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图),则第七个图的数是( )A.27B.28C.29D.30 解析:第七个图的数为1+2+3+4+5+6+7＝28.答案:B2.我们把1,4,9,16,25,…这些数称作正方形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如下图),则第n 个图的数是( )A.n(n-1)B.n(n+1)C.n 2D.(n+1)2 解析:第n 个图的点可排成每边有n 个点的正方形,所以第n 个正方形数为n 2.答案:C3.观察三角形数与正方形数,猜测有可能正确的命题是( )A.相邻两个三角形数之和是正方形数B.相邻两个正方形数之和是三角形数C.相邻两个三角形数之差是正方形数D.相邻两个正方形数之差是三角形数答案:A4.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式：S=2高底 ,可推知扇形面积公式S 扇等于…( ) A.22r B.22l C.2lr D.不可类比 解析:由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可得C.答案:C5.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色的( )A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大 解析:由图知,三白两黑周而复始相继排列,因36÷5＝7余1,所以第36颗应与第1颗珠子颜色相同,即白色.21 答案:A6.观察右图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )解析:图形涉及□,○,△三种符号;其中○与△各有3个,且各自有两黑一白,所以缺一个黑色□符号,即应画上■才合适.答案:A7.如果对象A 和B 都具有相同的属性P 、Q 、R 等,此外已知对象A 还有一个属性S,而对象B 还有一个未知的属性x,由类比推理,可以得出下列哪个结论可能成立?( )A.x 就是PB.x 就是QC.x 就是RD.x 就是S 解析:未知属性x 只能类比S.答案:D8.由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_____________________.解析:等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.答案:各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等9.设{a n }是首项为1的正项数列,且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1·a n =0(n≥1,n ∈N),试归纳出这个数列的通项公式.解：由a 1=1,2a 22-a 12+a 2·a 1=0,得a 2=21. 又3a 32-2a 22+a 3·a 2=0,∴a 3=31. 又4a 42-3a 32+a 4·a 3=0, ∴a 4=41. 归纳猜想a n =n 1. 综合运用10.设平面内有n 个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同一点,它们把平面分成的区域数为p(n),如果该平面内再增一个符合上述条件的圆,把平面分成的区域数为p(n+1),那么p(n)与p(n+1)的递推关系式为___________________.解析:第n+1个圆与前n 个圆有2n 个交点,这2n 个交点将第n+1个圆分成2n 段弧,每段弧把所在的区域一分为二,就增加了2n 个区域.答案:p(n+1)=p(n)+2n11.考查下列式子：1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…得出的结论是___________________________.解析:从数值特征看：左式第一个数为n 时,共有连续2n-1个数,右式为(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n -2)=(2n-1)212.20世纪60年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数,如果它是偶数就用2除它;如果是奇数,则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算,必然会得到什么结果,试考察几个数并给出猜想.解：取自然数6,按角谷的作法有:6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,3×5+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1.其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1.取自然数7,则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→ (1)取自然数100,则有100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→11→ (1)归纳猜想：这样反复计算,必然会得到1.13.( 2006湖北高考,15) 半径为r 的圆的面积S(r)=πr 2,周长C(r)=2πr,若将r 看作(0,+∞)上的变量,则(πr 2)′=2πr. ①①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球,若将R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子:________________________________________________________.②②式可用语言叙述为_______________________________________.解析:该题考查了同学们类比推理的思想.合情推理的正确与否来源于我们平时知识的积累,从平面到空间,长度对面积\,面积对体积,这是我们平时的经验.答案:(34πR 3)′=4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数拓展研究14.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.解：如图所示,我们知道,在Rt △ABC 中,由勾股定理可得c 2=a 2+b 2.于是,类比直角三角形的勾股定理,在四面体D —PEF 中,DP 、DE 、DF 两两垂直，记△DEF 的面积为S 1，△DPF 的面积为S 2，△DPE 的面积为S 3，△PEF 的面积为S.我们猜想:S 2=S 12+S 22+S 32.。

选修2-2 第二章 2.1 2.1.1 第1课时一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A ．B ．△C ．▭D ．○[答案] A[解析] 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n ＝( ) A ．2n －2－12B ．2n －2C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－4[答案] B[解析] ∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n －2.故应选B.3．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27[答案] B[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x －20＝3×4,47－x ＝3×5，推知x ＝32.故应选B.4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[答案] C[解析]从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.5．图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含________个互不重叠的单位正方形．()A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1[答案] B[解析]观察题中给出的四个图形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有12＋22个正方形；图(3)共有22＋32个正方形；图(4)共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．6．n个连续自然数按规律排列下表：01234567891011…根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案] C[解析]观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为↑→，故应选C.二、填空题7．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10， ……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.[答案] (－1)n ＋1n 2＋n2[解析] 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2. 8．(2013·陕西文，13)观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为__________________________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)[解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为________．[答案] S ＝4(n －1)(n ≥2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关系为S ＝4(n －1)(n ≥2)．三、解答题10．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 22cos π16＝21＋cosπ82 ＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…观察上述等式可以发现，第n 个等式右端有n 个根号，n 个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n 个等式的左端应为2cos π2n ＋1，由此可归纳出一般性的结论为：2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号一、选择题11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n等于( )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1[答案] B[解析] 因为S n ＝n 2a n ，a 1＝1，所以S 2＝4a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝13＝23×2，S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3，S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4 ⇒a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n (n ＋1)，故应选B.12．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查． 13．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.二、填空题14．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n 个图有________个原子，有________个化学键．[答案] 4n ＋2,5n ＋1[解析] 第1、2、3个图形中分别有原子个数为6,6＋4,6＋4×2，故第n 个图形有原子6＋4×(n －1)＝4n ＋2个．第1、2、3个图形中，化学键个数依次为6、6＋5、6＋5×2、… ∴第n 个图形化学键个数为 6＋5×(n －1)＝5n ＋1.15．(2014·三峡名校联盟联考)观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为____________________________． [答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1， 所以第五个不等式为： 1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 16．(2013·新疆兵团二师华山中学高二期中)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式__________________________成立．[答案] 1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)．三、解答题17．(2013·西宁质检)已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos (60°＋2a )2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos (60°＋2α)2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.。

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选修2-2第二章 2.1 2.1.2
1．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是()
A．①B．②
C．③D．①②
[答案] B
[解析]由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
2．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．
[答案]log2x－2≥0
[解析]由三段论方法知应为log2x－2≥0.
3．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案]若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
4．先解答下题，然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则．设m为实数，求证：方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
[解析]已知方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，所以方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
说明：此推理过程用三段论表述为：
大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根；
小前提：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ<0；
结论：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
解题过程就是验证小前提成立后，得出结论．
高中数学。

课时提升卷(十四)合情推理（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·亳州高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,f n+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2 013(x)=( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx2.(2012·江西高考)观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为( )A.76B.80C.86D.923.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是( )①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A.①B.①②C.①②③D.③4.在平面直角坐标系内,方程+=1表示在x,y轴上的截距分别为a,b 的直线,拓展到空间,在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的直线方程为( )A.+ +=1B.++=1C.++=1D.ax+by+cz=15.已知集合A={3p+2q|p>q且p,q∈N},若将集合A中的数按从小到大排成数列{a n},则有a1=31+2×0=3,a2=32+2×0=9,a3=32+2×1=11,a4=33=27,…,依此类推,将数列依次排成如图所示的三角形数阵,则第六行第三个数为( )a1a2a3a4a5a6…A.247B.735C.733D.731二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·银川高二检测)已知=2,=3,=4,…,若=6(a,b∈R),则a+b= .7.(2013·晋中高二检测)在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”,类比猜想在空间中有.8.(2013·黄石模拟)有下列各式:1++>1,1++…+>,1+++…+>2,……则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为: .三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.(2013·聊城高二检测)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.10.我们知道12=122=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,……n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边分别相加,得n2=2×[1+2+3+…+(n-1)]+n所以1+2+3+…+(n-1)=.类比上述推理方法写出求12+22+32+…+n2的表达式的过程.11.(能力挑战题)如图,设有双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M 在双曲线上.(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.答案解析1.【解析】选C.由题意知,f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,…,依此类推,f2 013(x)=f1(x)=cosx.2.【解题指南】观察并发现规律,归纳出整数解个数.【解析】选B.由已知条件得,|x|+|y|=n(n∈N+)的整数解(x,y)个数为4n,故|x|+|y|=20的整数解(x,y)的个数为80.3.【解析】选C.正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比,正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比,故①②③都对.4.【解析】选A.由类比推理可知,方程应为++=1.5.【解题指南】观察数阵图可找出规律,第s行第t个数应该为3s+2(t-1).【解析】选C.由条件可以看出,第s行第t个数是3s+2(t-1),所以第六行第三个数应为36+2×(3-1)=729+4=733.【举一反三】在本题条件不变的情况下,求a10+a11.【解析】由三角形数阵可以知道因为1+2+3+4=10,所以a10是第四行第四个数,a11是第五行第一个数,所以a10=34+2×3=87,a11=35=243,所以a10+a11=87+243=330.6.【解析】根据题意,由于=2,=3,=4,…, 那么可知=6,a=6,b=6×6-1=35,所以a+b=41.答案:417.【解析】根据平面几何与立体几何中的类比规律,边类比成面,三角形类比成四面体,所以正三角形类比成正四面体.故类比猜想在空间中有:正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值.答案:正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值8.【解析】由条件中不等式可知,左边分母是连续自然数,且最后项的分母为3,7,15,可写成2n-1(n≥2);又右边可写成规律,故可猜想为1+++…+>(n∈N*,n≥2).答案:1+++…+>(n∈N*,n≥2)9.【解析】(1)选择②式计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=.(2)sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°·cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.【拓展提升】运用归纳推理的一般步骤(1)通过观察特例发现某些共性或一般规律.(2)把这种共性推广为一般性命题(猜想).(3)对所提出的一般性命题进行检验.(4)归纳推理可用框图表示,如图.10.【解析】记S1(n)=1+2+3+…+n,S2(n)=12+22+32+…+n2,…S k(n)=1k+2k+3k+…+n k(k∈N*).已知13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,43=(3+1)3=33+3×32+3×3+1,……n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.将左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===.11.【解析】(1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=,设|MF1|=r1,|MF2|=r2(r1>r2).由双曲线定义,有r1-r2=2a=4,两边平方得+-2r 1·r2=16,即|F 1F2|2-4=16,也即52-16=4,求得=9.(2)若∠F1MF2=60°,在△MF1F2中,由余弦定理得|F 1F2|2=+-2r1r2cos 60°,|F1F2|2=(r1-r2)2+r1r2,所以r1r2=36.求得=r 1r2sin 60°=9.同理可求得若∠F 1MF2=120°,=3.(3)由以上结果猜想,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小.证明如下:令∠F1MF2=θ,则=r1·r2sinθ. 由双曲线定义及余弦定理,有①②②-①得r1·r 2=,所以==,因为0<θ<π,0<<,在(0,)内,tan是增函数.因此当θ增大时,=将减小.。

人教a 版数学高二选修2-2习题_第二章_推理与证明_2.1.1合情推理有答案2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A 级 基础巩固一、选择题1．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 的值为( ) A ．27 B ．28 C ．32 D ．33解析：观察知，5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 所以x －20＝12，得x ＝32. 答案：C2．用火柴棒摆 “金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.故选C.答案：C3．设n 是自然数，则18(n 2－1)的值( )A ．一定是零B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)的值一定为偶数．答案：C4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋zc＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c＝1.答案：A5．已知对正数a 和b ，有下列命题： ①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( ) A ． 2 B.92C ．4D ．5解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以若a ＋b＝9，则ab ≤92.答案：B 二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1＞a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n＝________．解析：计算得a2＝4，a3＝9，所以猜想a n＝n2.答案： n27．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为_____________________________________________________．解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论．答案：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R3.8．西卷)观察分析下表中的数据：解析：三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝2；五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得；F＋V－E＝2；立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝2.所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝2三、解答题9．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n条直线最多有多少个交点．解：设直线条数为n，最多交点个数为f(n)，则f(2)＝1，f(3)＝3＝1＋2，f(4)＝6＝1＋2＋3，f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＝5，…由此可以归纳出，n条直线交点个数最多为f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n（n－1）2.10．设f(x)＝13x＋3，先分别求出f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝33.下面证明：f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝13x1＋3＋131－x1＋3＝13x1＋3＋3x13＋3×3x1＝13x1＋3＋3x13（3＋3x1）＝3＋3x13（3＋3x1）＝33.B级能力提升1．图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是( )图①图②图③图④A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1解析：观察题中给出的四个图形，图①共有12个正方形，图②共有12＋22个正方形；图③共有22＋32个正方形；图④共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．答案：B2．观察：(1)tan 100tan 200＋tan 200tan 600＋tan 600tan 100＝1；(2)tan 50tan 100＋tan 100tan 750＋tan 750tan 50＝1.由以上两式成立，推广得到的一般结论是_________________________________________________________________________.解析：由已知两个式子可知，三个角之和为90°，且这三个角都不是90°，由此可得一般结论．答案：若α、β、γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1.3．通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；……(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．解：因为24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n＋1) 4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n.所以13＋23＋33＋…＋n3＝14＝14n2(n＋1)2.。

一、选择题1．(2013·温州高二检测)下面几种推理中是演绎推理的是() A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n(n＋1)(n∈N＋)C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2【解析】B为归纳推理，C、D为类比推理，A为演绎推理，故选A.【答案】 A2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①和②【解析】结合“三段论”的形式可知②是小前提．【答案】 B3．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，这是因为() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】不符合“三段论”的形式，正确的“三段论”推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议员先生也吃白菜”．【答案】 C4．在三段论推理“正方形的对角线互相垂直平分”中()A．省略了大前提B．省略了小前提C．省略了大前提和小前提D．大前提和小前提都没有省略【解析】大前提是“菱形的对角线互相垂直平分”，小前提是“正方形是菱形”；结论是“正方形的对角线互相垂直平分”，故选C.【答案】 C5．“1<a<2”是“对任意的正数x，都有2x＋ax≥1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当“对任意的正数x，都有2x＋ax≥1”成立时，a≥x－2x2对x∈R＋恒成立，而x－2x2＝－2(x－14)2＋18≤18，∴a≥18.∵(1,2)18，＋∞)，∴1<a<2是“对任意的正数x，都有2x＋ax≥1”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．(2013·广州高二检测)命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”学生小夏这样证明：设a，b与面α分别相交于A、B，连结A、B，∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α①∴a⊥AB，b⊥AB ②∴a∥b ③这里的证明有两个推理，即：①⇒②和②⇒③.老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．【解析】 ②⇒③时，大前提错误，导致结论错误．【答案】 ②⇒③7．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 【解析】 因为奇函数f (x )在x ＝0处有定义且f (0)＝0(大前提)，而奇函数f (x )＝a －12x ＋1的定义域为R (小前提)，所以f (0)＝a －120＋1＝0(结论)． 解得a ＝12.【答案】 128．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N ＋)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝________.【解析】 利用三段论．∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N ＋)(大前提)．令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2(小前提)． ∴f (2)f (1)＝f (3)f (4)＝…＝f (2 012)f (2 011)＝2(结论)，【答案】 2 012三、解答题9．判断下列几个推理是否正确？为什么？(1)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A ，B ，C 为空间三点(小前提)，所以过A ，B ，C 三点只能确定一个平面(结论)．”(2)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”【解】 (1)不正确．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．(2)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．10．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义、单调递增且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x 2)＝2f (x )；(2)求f (1)的值；(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围．【解】 (1)证明：∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，(大前提)∴f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )．(结论)(2)∵f (1)＝f (12)＝2f (1)，(小前提)∴f (1)＝0.(结论)(3)∵f (x )＋f (x ＋3)＝f (x (x ＋3))≤2＝2f (2)＝f (4)，(小前提)且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ＋3>0，x (x ＋3)≤4，解得0<x ≤1.(结论)11．已知函数f (x )＝x 21＋x 2， (1)求f (2)与f (12)，f (3)与f (13)；(2)猜想f (x )与f (1x )有什么关系？并证明你的猜想；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12 013)的值．【解】(1)f(2)＝45，f(12)＝15，f(3)＝910，f(13)＝110.(2)猜想f(x)＋f(1x)＝1，证明如下：f(x)＋f(1x)＝x21＋x2＋1x21＋1x2＝x21＋x2＋11＋x2＝1. (3)原式＝f(1)＋＋＋…＋。

2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理1．了解合情推理的含义．(易混点)2．理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 归纳推理与类比推理阅读教材P70～P74“探究”以上的内容，完成下列问题．归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 合情推理阅读教材P74～P75“例4”以上内容，完成下列问题．1．定义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理．2．推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想如图2-1-1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝____________，a n＝________(n>1，n∈N*)．图2-1-1【解析】依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N*)．【答案】153n－3[小组合作型]数、式中的归纳推理(1)已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f(f n(x))，n∈N*，则f2 017(x)的表达式为________.【导学号：62952066】(2)观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________．(3)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．【精彩点拨】结合数或式子的结构特征，提炼结论．【自主解答】(1)由题意f1(x)＝f(x)＝x1＋x，f2(x)＝f(f1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，f3(x)＝f(f2(x))＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，…，f n(x)＝f(f n－1(x))＝…＝x1＋nx，故f2 017(x)＝x1＋2 017x.(2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．(3)∵f(x)＝x1－x，∴f1(x)＝x1－x.又∵f n(x)＝f n－1(f n－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2(f2(x))＝x1－2x1－2×x1－2x＝x1－4x，f4(x)＝f3(f3(x))＝x1－4x1－4×x1－4x＝x1－8x，f5(x)＝f4(f4(x))＝x1－8x1－8×x1－8x＝x1－16x，根据前几项可以猜想f n(x)＝x1－2n－1x.【答案】(1)f2 017(x)＝x1＋2 017x(2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(3)f3(x)＝x1－4xf n(x)＝x1－2n－1x进行数、式中的归纳推理的一般规律1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．[再练一题]1．(1)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(a∈N*)，则可归纳猜想{a n}的通项公式为()A．a n＝2n B．a n＝2n＋1C．a n＝1n D．a n＝1n＋1(2)已知23＜2＋13＋1，23＜2＋23＋2，23＜2＋33＋3，…，推测猜想一般性结论为________．【解析】(1)由已知得a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝432＋23＝24，a4＝2a32＋a3＝2×122＋12＝25，…，由此可猜想a n＝2n＋1.(2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：ba＜b＋ma＋m(a，b，m均为正数，且a＞b)．【答案】(1)B(2)ba＜b＋ma＋m(a，b，m均为正数，且a＞b)几个图形中的归纳推理(1)图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．图2-1-2(2)根据图2-1-3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________．①②③④图2-1-3【精彩点拨】(1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列．(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳．【自主解答】(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.【答案】(1)5n＋1(2)509归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：寻找―→从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量的关系关系↓结构联系―→从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化↓归纳结论―→常转化为数列中的归纳推理问题，如可通过图形展现的有关数据，构造某一数列的前几项，然后利用归纳数列的某一问题进行解决[再练一题]2．观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812【解析】观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.【答案】F＋V－E＝23．根据如图2-1-4的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n 个图形有多少个圆圈．(1)(2)(3)(4)(5)图2-1-4【解】法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…，故猜测第n个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……由上述的变化规律，可猜测第n 个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n 个方向，每个方向有(n －1)个圆圈，因此共有n (n －1)＋1＝(n 2－n ＋1)个圆圈．[探究共研型]类比推理及其应用探究1 面的面积之间有什么关系？【提示】 四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． 探究2 三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？【提示】 四面体的体积等于底面积与高的积的13.(1)在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．可类比得到的结论是______________________________________________________________. (2)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【精彩点拨】 (1)等比数列中的商类比等差数列中的差．(2)三角形类比四面体，三角形中的边类比四面体中的面，三角形中的高类比四面体中的高．【自主解答】 (1)因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.【答案】数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300 (2)如图①所示，由射影定理得①AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，所以1AD2＝1BD·DC＝BC2 BC·BC·BD·DC＝BC2 AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，所以1AD2＝1AB2＋1AC2.类比猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，A E⊥平面BCD，则1A E2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.如图②，延长B E交CD于F，连接AF，②因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD，而AF⊂平面ACD，所以AB⊥AF，在Rt△ABF中，A E⊥BF，所以1A E2＝1AB2＋1AF2，易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，所以1AF2＝1AC2＋1AD2，所以1A E2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，猜想正确．1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角2.间与平面，圆与球等等．[再练一题]4．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝a x(a>1)图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论ax1＋ax22>a x1＋x22成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))图象上任意不同的两点，则类似地有________成立．【解析】运用类比思想与数形结合思想，可知y＝sin x(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标sin x 1＋sin x 22总是小于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的纵坐标，即sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22成立．【答案】 sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 221．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5)．图2-1-5则第n 个正方形数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)2【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2.【答案】 C2．如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )图2-1-6A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3【解析】∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1.【答案】 A3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【导学号：62952067】【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】1∶84．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…照此规律，第五个等式应为________．【解析】每行最左侧数分别为1,2,3，…，所以第n行最左侧的数应为n；每行的个数分别为1,3,5，…，所以第n行的个数应为2n－1.所以第5行的数依次是5,6,7，…，13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.【答案】5＋6＋7＋…＋13＝815．如图2-1-7，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．图2-1-7【解】考虑到平面几何中为长方形，故可联想到立体几何中的长方体，如图所示．在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。

2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．用归纳和类比进行推理，作出猜想．基础梳理1．归纳推理由于某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．2．类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．想一想：(1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？(2)根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于() 1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．1 111 110B．1 111 111C．1 111 112D．1 111 113(3)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________．(1)解析：归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然性的，而是偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，也不一定可靠，因此也不一定正确．(2)解析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111.故选B.答案：B(3)分析：从方法的类比入手．解析：原问题的解法为等面积法，即S＝12ah＝3×12×ar⇒r＝13h，类比问题的解法应为等体积法，V＝13Sh＝4×13Sr⇒r＝14h，即正四面体的内切球的半径是高的14.答案：正四面体的内切球半径是高的1 4自测自评1．已知a1＝3，a2＝6且a n＋2＝a n＋1－a n，则a33为(A)A．3B．－3C．6D．－6解析：a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{a n}以6个项为周期循环出现，a33＝a3＝3.2．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”采用的是(C)A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．数学证明解析：由加法类比乘法．3．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x．（2－1）x＋2基础巩固1．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(D)①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等A．①B．③C．①②D．①②③2．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为(D)A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 1253．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(D)A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：归纳所给出的导函数知，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，根据这一规律可知，f (x )为偶函数，其导函数g (x )必为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．4．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列几式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 4≥3，……，类比有 x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝_______________．解析：根据已知等式类比可得a ＝n n . 答案： n n 能力提升5．已知对正数a 和b ，有下列命题： ①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤(B ) A ．2 B.92C ．4D ．56．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的直线方程为(A )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝17．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(B)A．28 B．32 C．33 D．27解析：5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9推出x－20＝12，x＝32.故选B.8．(2014·高考陕西卷)观察分析下表中的数据：．解析：①三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝5＋6－9＝2；②五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得F＋V－E＝6＋6－10＝2；③立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝6＋8－12＝2；所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是：F＋V－E ＝2，故答案为F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝29．点P是三角形ABC内切圆的圆心，半径是r，三角形ABC的面积是12(AB＋BC＋CA)r.类比写出三棱锥S­ABC的一个相似的结论．解析：假设点P是三棱锥SABC内切球的球心，半径是R，则三棱锥SABC体积是13(S△SAB＋S△SBC＋S△SCA＋S△ABC)R.10．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n 条直线最多有多少个交点．解析：设直线条数为n ，最多交点个数为f (n )，则 f (2)＝1， f (3)＝3＝1＋2， f (4)＝6＝1＋2＋3， f (5)＝10＝1＋2＋3＋4， f (6)＝15＝1＋2＋3＋4＋5， ……由此可以归纳出，n 条直线交点个数最多为 f (n )＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2.。

第二章 推理与证明§2.1.1 合情推理-----归纳推理学习目标：1. 了解归纳推理是“从特殊到一般”的推理；2. 善于发现规律，善于总结规律.一． 选择题：1.若函数,)(k n f =其中*N n ∈,k 是1415.3=π...926535的小数点后第n 个数字. 例如：=)2(f4，则)]}7([...{f f f f （共2014个f ）=（ ）A.1B.2C.3D.42.将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16… … … … … … …则数表中的300应出现在第（ ）A.18行B.28行C.38行D.48行3.当0>x 时，可得不等式： 21≥+x x 3)2(22422≥++=+x x x x x . 由此可推得：p x n x n n≥+，则=p （ ） A.n n B.2n C.n D.1+n4.n 个连续的自然数按规律排成下表：0 3 4 7 8 111 2 5 6 9 10根据规律，从2014到2016，箭头的方向依次为（）A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓5.观察下列等式：①1cos 22cos 2-=αα②1cos 8cos 84cos 24+-=ααα③1cos 18cos 48cos 326cos 246-+-=αααα④αααα468cos 160cos 256cos 1288cos +-=1cos 322+-α⑤αααα6810cos 1120cos 1280cos 10cos +-=m1cos cos 24-++ααp n则=n ( )A.-200B.300C.-400D.500二．填空题：6.由211=；23432=++；2576543=++++；… … 可得一般的规律是7.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10… … … … …按照以上排列的规律，第n )2≥n （行从左到右的第二个数为8.观察下列不等式： 232112<+353121122<++474131211222<+++ … … … … …照此规律，第八个不等式为9.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点,(k k x P )k y 处，其中1,111==y x ，当2≥k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--)52()51()]52)51([5111k T k T y y k T k T x x k k k k （)(a T 表示非负实数a 的整数部分，例如：=)6.2(T0)2.0(,2=T .按此方案，第八棵树种植点的坐标为 ；第2014棵树种植点的坐标为三．解答题：10.已知数列}{n a 的各项为正数，n S 为前n 项和，且，)1(21nn n a a S +=. （1）求321,,a a a 的值；（2）试猜想数列}{n a 的通项公式.11.有一个奇数列：1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：（1）；（3,5）；（7,9,11）；（13,15,17,19）；…，（1）求第8组的第2个数；（2）将第n 组内各数之和记为n b ，归纳n b 关于n 的表达式.。

2.1.1 合情推理【教学目标】：1、结合已经学过的教学实例和生活实例，了解推理的含义；2、了解归纳推理的含义，并能用归纳的方法进行简单的推理【教学过程】一、案例引入：在日常生活中，我们常常遇到这样一些问题：1、看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，你能得出什么判断？2、张三今天没来上学，我们会有什么判断？3、八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯；4、朝霞不出门，晚霞行千里；5、瑞雪兆丰年。

问：这些实例具有什么样的共同特征？二、新授：I、推理：（1）定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理（2）结构：推理的前提：所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；推理的结论：根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么（3）一般形式：注：推理也可看作是用连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接常用的连接有：“因为…所以…”、“如果…那么…”、“根据…可知…”等等形式（4）分类：推理一般可分为“合情推理”和“演绎推理”两种类型。

问题引入：分析下列几个推理，寻找它们的共同特征：2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】所有三角形内角和都是180°.3.已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．II、归纳推理：（1）定义：上述几个例子均是从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理（2）特点：1、归纳推理是“由部分到整体，由个体到一般”的推理；2、归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，结论是尚属未知的一般现象；3、归纳推理具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；4、归纳推理是一种具有创造性的推理。

第二章 2.1 第1课时一、选择题1．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·4＝b ·4，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” C2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D ．32B∵a 1＝0，∴a 2＝－3，a 3＝－3－3－2＝3，a 4＝0，…，由此可以看出周期为3，∴a 20＝a 3×6＋2＝a 2＝－ 3.3．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④C①是合情推理中的类比法，排除D ；②是归纳推理，排除B ；④是归纳推理．故选C.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的一个表达式是( )A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1Ca2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，故选C.5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)D本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．6．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2C第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C.7．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113B由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.8.观察图所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B ．△ C.D ．○A由每行或每列均有2个黑色图形知，本题选A. 二、填空题9．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________． A利用逻辑推理的知识求解．由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A .10．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是________．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s 、t 是互不相等的正整数，则有b s －1t b t －1s＝1这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中的加、减、乘、除类比到等比数列经常是乘、除、乘方、开方，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础．∴b s －1tb t －1s ＝(b 1·q t －1)s －1(b 1·q s －1)t －1＝1.11．观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为______________________． (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．三、解答题12．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d (n >m ，n ，m ∈N *)(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中，m 、n 、p 、q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． 等比数列{b n }中，设公比为q ，前n 项和为S n . (1)a n ＝a m ·q n －m (n >m ，n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *， 则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，其中，m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (各项均不为零)构成等比数列．一、选择题1．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2nB∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋2a 2＝21＋cosθ22＝2cos θ4……，猜想a n ＝2cos θ2n －1.故选B.2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③C正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.3．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30B观察归纳可知第n －1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第六个三角形数为7×(7＋1)2＝28.故选B.4．(2015·甘肃省会宁一中高二期中)如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12B ．5－12C.5＋1 D ．5－1A类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA |＝a ，|OB |＝b ，|OF |＝c ， 当FB →⊥AB →时，|BF |2＋|AB |2＝|AF |2， ∴b 2＋c 2＋c 2＝a 2＋c 2＋2ac ， ∵b 2＝c 2－a 2，整理得c 2＝a 2＋ac ， ∴e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12，或e ＝－5＋12(舍去)．故黄金双曲线的离心率e ＝5＋12.二、填空题5．在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________．18V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 6．(2015·陕西文，16)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为_________________________________． 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .故答案为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n三、解答题7．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3且n∈N *)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N *)．8．已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos (60°＋2a )2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos (60°＋2α)2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.。

§2.1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理一、基础过关1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65 C．63 D．1282．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的() A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心5．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6ab(a、b均为实数)．请推测a＝______，b＝________. 6．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为____________________． 二、能力提升7． 下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ×3＝b ×3，则a ＝b ”类比推出“若a ×0＝b ×0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”8． 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行9． 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是( )A ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)B ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 18－n (n <18，n ∈N *)C ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 17－n (n <17，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 18－n (n <18，n ∈N *)10．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________．11．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：____________.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．13. 一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．(1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系； (3)求出f (n )．三、探究与拓展14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：(1)b2 012是数列{a n}中的第______项；(2)b2k－1＝________.(用k表示)答案1．B 2．C 3．D 4．D 5．6 356．n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 7．C8．B 9．A 10．f (2n )>n ＋2211．sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝3212．解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．13．解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分．(2)f (n ＋1)＝f (n )＋n ＋1.(3)f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋22.14．(1)5 030 (2)5k (5k －1)2。