《立方根》优秀课件

；
-16的平方根是
1
思考：如果上面问题中正方体的体积为5 cm3 ，其棱长又是多少？
因为( )3 = －8 ，所以－8的立方根是( ) ，表示为
；
求一个数的立方根. 仔细观察，你能得出什么结论：
判断下列说法是否正确，并说明理由：
0的立方根是 ；
思考：如果上面问题中正方体的体积为5 cm3 ，其棱长又是多少？
立方与开立方互为逆运算.
探究：根据立方根的意义填空.
因为 23=8，所以8的立方根是( )，符号表示为
立方与开立方互为逆运算.
算术平方根是它本身的数呢？
因为( ) = ，所以的立方根是( 3 解：设它的棱长为 x cm.
探究：根据立方根的意义填空.
) ，表示为
；
(P51 练习T3)
因为( ) = 0 ，所以0的立方根是( 思考：如果上面问题中正方体的体积为5 cm3 ，其棱长又是多少？
被开方数的小数点向右每移动 位,它的立方根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向左每移动 位,它的立方根的小数点就向左移动 位.
负数没有平方根.
即：如果 x =a，那么x叫做a的立方根． 3 因为 23=8，所以8的立方根是( )，符号表示为
；
求一个数的立方根的运算叫做开立方．
即求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数。
典例分析 例 求下列各式的值：
(1)3 64 2 3 0.001 33 27
64
43 2 10
27
5 3 1
8
识记
13 1 23 8 33 27 43 64 53 125
63 216 73 343 83 512 93 729 103 1000

类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“开立方”. 立方
＋3
开立方
27
－3
－27
＋5
பைடு நூலகம்125
－5
－125
提示：“开立方”与“立方”互为逆运算.
平方根与立方根的区别和联系 平方根
立方根
正数 两个，互为相反数 一个，为正数
性 质
0
0
0
负数 没有平方根
一个，为负数
表示方法
被开方数的 范围
a 非负数
3a 可以为任何数
根，也叫做a的三次方根．记作 3 a .
立方根的表示：
一个数a的立方根可以表示为:
根指数
3a
被开方数
读作:三次根号 a， 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
立方根的性质： （1）一个正数有一个正的立方根； （2）一个负数有一个负的立方根， （3）零的立方根是零. 注：1.立方根是它本身的数有1, -1, 0；
∴217
的立方根是
1 3
,
3
即
1 27
1 3
(4)∵ (0.4)3 0.064
3 0.064 0.4
(5)∵03 =0
3 0 0
针对练习
1.下列说法正确的是( B ) A.负数没有立方根 B.-9的立方根是3 9 C. 3 9 =3 D.任何正数都有两个立方根，它们互为相反数
知识点二 立方根的有关计算
解：依次按键： 2ndF 3 3 4 3 = 显示：7 所以 3 343=7. 依次按键： 2ndF 3 - 1 . 3 3 1 显示：-1.1 所以 3 1.331= 1.1.
不同的计 算器的按 键方式可 能有所差 别！

1.一个数的平方等于64，则这个数 的立方根是
2.要使 3 (3 k)3 3 k ，k的取值为
（
）
A.K≤3
B. K≥3
C. 0≤K ≤ 3 D.一切实数
3.若3 7 m ＜0 ，则m 的取值为 4.若 (2x 1)2 0.008 ，则x =
13.2 立方根
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比一比： 看谁算的又快又准！
1.判断下列说法是否正确,并说明理由
(1) 8 的立方根是 2 x
27
3
(2) 25 的平方根是5
x
(3) -64 没有立方根
x
(4) -4 的平方根是 2

CHAPTER 03
立方根在实数范围内的应用
立方根与实数的大小关系
立方根与实数的大小关系
对于任意实数a，都有立方根³√a存在，且立方根的大小与原 数的大小关系保持一致，即当a>1时，³√a>1；当0<a<1时 ，0<³√a<1；当a<0时，³√a<0。
立方根大小关系的应用
通过立方根大小关系的判断，可以求解一些实数范围内的不 等式，进行数值大小的比较和排序。
立方根的图形表示
立方根函数的图像
y=³√x的图像是一个单调递增的函数，经过原点和第一象限，当x>0时，函数图像在直线y=x的上方。
立方根在坐标系中的表示
在坐标系中画出y=³√x的图像，通过图像的直观展示，可以更好地理解立方根的性质和在实数范围内的变化情况 。
立方根的实际应用举例
求解方程的解
利用立方根可以求解一些形如 x³-a=0的方程，通过移项得到 x³=a，然后开立方即可求得方
《立方根》优秀课件
2023-11-12
目 录
• 立方根的概念与性质 • 立方根的运算方法 • 立方根在实数范围内的应用 • 立方根的拓展与提高
CHAPTER 01
立方根的概念与性质
立方根的定义
定义
如果一个数的立方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的立方根。
表示方法
正数的立方根用“√￣”表示，如√￣a表示a的立方根；负数的立方根用“√￣”表示，如-√￣a表示a的负立方根。
程的解。
计算体积
在物理学和化学中，经常需要计算 立方体的体积，通过求解立方体的 边长（即立方根），可以轻松得到 体积的值。
工程设计
在工程设计中，有时需要用到立方 根进行计算，比如计算材料的强度 、稳定性等指标，以确保工程的安 全性和稳定性。

或不能），否则与平方根混淆.
2.什么叫开立方？它与立方有何关系？
• 任务二：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有 什么特点？
因为
23 8 ，所以8的立方根是（ ）；
因为 因为
3 =0.125，所以0.125的立方根是（ ）；
3 =0，所以0的立方根是（ ）；
因为
125
⑶0
⑵ 0.216
⑷ (3)3
2、求下列各式的值：
（1） 3 64
（2） 3 125
（3）3 27 64
任务四：知识延伸
1．因为 3 8 ____, 3 8 ____, 所以 3 8 _____ 3 8
因为 3 27 ____, 3 27 ____ ，所以 3 27
以后也许三里清风，三里路，步步清风再无你。可也无悔你来过！人生的路你陪我一程，我念你一生……… 谢谢你来过！往后余生愿安好！感恩相遇，感恩来过……谓夫妻，难在茫茫人海里相遇，易在柴米油盐中疏离。
很多婚姻，似乎都逃脱不过岁月的摧残。 多少夫妻，开始甜蜜幸福，但随着时间的流逝，很多人走着走着就选择了分开，原因无非是对感情不忠、个性不和，不再相爱。但更多以失败告终的婚姻，并不是原则和底线上出了问题，而是一方忙着工作赚钱，另一方忙着照顾家庭，生活的琐碎耗尽了彼此的激情，夫妻双方在平淡的生活中不再去表达对彼此的爱，以为相互理解，实则渐行渐远。 电影《消防员》中，讲述了一个七年之痒的婚姻故事。一对结婚七年的夫妻，丈夫凯勒是一名消防员，妻子凯瑟琳是医院的公关主任，他们都在各自的职业领域里叱咤风云，婚姻生活却水深火热、破碎不堪。丈夫忍受不了自己每天上班那么辛苦，回家却连一口热饭都吃不上，还因为不顾家经常被妻子各种埋怨，动辄愤怒地摔门而出，无视妻子为家庭的其他付出；妻子觉得丈夫只关心工作，根本不关心家庭，为此自己经常大吼大叫，无数次崩溃大哭，忽视了丈夫工作中的压力。

求0.001的立方根，并给出结果。
答案解析
因为(0.1)的立方等于0.001，所以0.001的 立方根是0.1。
练习题三：求(1/2)的立方根
题目描述
求(1/2)的立方根，并给出结果。
答案解析
因为(1/2)的立方等于(1/2)，所以(1/2)的立方根是(1/2)。
THANK YOU
03
立方根的应用实例
体积计算中的应用
计算不规则物体的体积
通过测量物体的长、宽、高，利用立方根计算出物体的体积 。
计算容积
利用立方根计算容器的容积，进而求出容器内液体的体积。
密度计算中的应用
计算物体的密度
通过测量物体的质量和体积，利 用立方根计算出物体的密度。
判断物体的状态
根据物体在不同温度下的密度变 化，判断物体是固态、液态还是 气态。
适用范围
适用于一些简单的立方数，如1、8、 27等。
公式法求解
定义
公式法是指通过使用立方 根的公式来求解立方根的 方法。
适用范围
适用于任意实数的立方根 求解。
步骤
首先了解立方根的公式， 然后根据公式将待求的立 方数代入公式中，计算得 出立代计算，逐步逼近立方根的方法。
立方根ppt课件
contents
目录
• 立方根的定义与性质 • 立方根的运算规则 • 立方根的应用实例 • 立方根的求解方法 • 立方根的注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
立方根的定义与性质
立方根的定义
01
立方根是指一个数的立方等于另 一个数时，这个数就是被开方数 的立方根。
02
例如，如果 $a^3 = N$，那么 $a$ 就是 $N$ 的立方根。

3
64 4
3
64 4
27 3 3 125 5
27 3 3 125 5
求一个数a立方根 的运算，叫作开立方 . a叫被开方数．
如果
x a
3
, 那么
x
3
a
例1:求下列各数的立方根：
（1） -8；
8 （2） ;（3）－0.064. 27
解： (1) 因为(2)3 8 ， 所以－8的
6 ② 的立方等于多少？是否有其 5 216 它的数，它的立方是 ？ 125
③ 0.7的立方是多少？立方是多少？
一个正数有一个正的立方根． 一个负数有一个负的立方根． 0 的立方根是0．
每个数 a 都只有一个 立方根，记“ 3 a ”， 读作“三次根号 a ”．
立方根
( －4 )3=－64
( 10 )3=1000
( －10 )3=－1000
( 0 )3= 0
(
2 3 ) = 3
8 27
一般地，如果一个数x 的立 方等于a，即x3=a，那么这个数x 就叫做 a的立方根（也叫做三次 方根）．
① 2的立方等于多少？ 是否有其它的数， 它的立方是8？ -3的立方等于多少？是否有 其它的数，它的立方也是 -27？
3
（2）3
（ 3）
3
0.3 = 0.3 1 1 216 6
3 3
总结：
①立方根的概念、性质. ②立方根与平方根有什么异同？ （从定义，根的个数，表示方法及被 开方数的取值范围方面来考虑．）
方法归纳 根据乘方与开方的互逆关系求一 个数的立方根．
作业：P103
习题1、3、4
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]

立方等于a,
（a≥0),那么这个数叫做a 那么这个数叫做a的立
的平方根。a的平方根
用± a表示（a≥0)
方根。a的立方根用3 a
表示
2、平方根的性质
（1）一个正数有两个平 方 根，这两个平方根互
2、立方根的性质 （1）正数的立方根还是正数
为相反数
（2）0的立方根还是0
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知

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三 用计算器求立方根
由于一个数的立方根可能是无限不循环小数,所以 我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值.
例4 用计算器求下列各数的立方根：343，-1.331.
解：依次按键： 2ndF 显示：7 所以，3 343 =7.
343=
典例精析
例1 求下列各数的立方根:
（1）－27；（2）1285；（3）3
3； 8
（4）0.216；（5）－5.
解 : (1) 33 27，
27的立方根是 3， 即3 27 3.
(2)
2 5
3
8， 125
8 的立方根是 2，
125
5
即 3 8 2. 125 5
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填一填： 根据立方根的意义填空：
因为2 3 =8，所以8的立方根是（ 2 ）；
因为(
1 2
1
)3 =0.125,所以0.125的立方是（ 2
）；
因为( 0)3 ＝0，所以0的立方根是（0 ）；
因为 (-2 )3 ＝－8，所以－8的立方根是（-2 ）；
因为(
2 3
)3
＝
8 27
，所以 8
27
的立方根是（
一般地， 3 a = 3 a
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平方根与立方根的区别和联系
平方根
立方根
正数 两个，互为相反数
性
质0
0
负数 没有平方根

难点
重点难点分析
内容结构分析
介绍立方根的背景和意义，激发学生学习的兴趣和动力。
引言
概念及运算
应用
拓展
从具体实例中抽象出立方根的概念，并对其运算性质进行总结和归纳。
通过具体实例，讲解立方根在实际生活中的应用，帮助学生了解立方根的应用价值。
介绍立方根在数学文化中的地位和作用，加深学生对立方根的认识和理解。
相关链接资D%93%E5%BA%A6%E7%B1%BD%93%E8%BF%90%E7%AE%971Biblioteka 参考资料23
《数学之书》：pdf版本，立方根部分第24页起。
对数学有兴趣的学生，特别是需要提高数学思维能力的学生。
对象要求
学生需要已经掌握数学基础知识，如代数、方程等。
学生在学习立方根之前，应具备基础的运算能力和数学思维能力。
先修课程要求
02
教学内容分析
掌握立方根的概念和运算性质；能够正确求解一个数的立方根；了解立方根与平方根的区别和联系。
重点
正确理解立方根的概念；在具体情境中灵活运用立方根解决实际问题；拓展学生对立方根的认知范围，加深对立方根的深刻理解。
探究式教学法
通过小组讨论和合作完成任务，培养学生的团队合作精神和交流能力。
合作学习法
03
问题式教学
通过问题引导和启发，激发学生的学习兴趣和思维能力，促进知识意义的自主建构。
教学手段
01
多媒体辅助
利用课件、动画、视频等多种多媒体手段，增强学生的感知和认识，提高教学效率和效果。
02
实验操作法
通过实验操作和实践活动，让学生亲手操作和感知，加深对知识的理解和掌握。
学生能力培养
通过多种教学方法和手段，培养学生的分析、综合、比较、抽象等思维能力。

（1）什么叫一个数a的平方根？如何用 符号表示数a （ a ≥0）的平方根?
（2）正数的平方根有几个？它们之间 的关系是什么？负数有没有平方根？ 0的平方根是什么？
（3）平方和开平方运算有何关系？ （4）算术平方根和平方根有何区别和
联系？
一般地，如果一个数x的平方 等于a，即x2= a ，那么这个数x就叫 做a的平方根（也叫做二次方 根）．如：±2是4的平方根， 0的 平方根是0 ．
, （4）灵活运用公式：3a3a3a3a,3 a3a ；
（5）立方与开立方互为逆运算．我们可以 用立方运算求一个数的立方根，或检验一 个数是不是另一个数的立方根．
引例解决
某化工厂使用半径为1米的 一种球形储气罐储藏气体，现 在要造一个新的球形储气罐，
（1）如果要求它的体积必须 是原来体积的8倍，那么它的 半径应是原来储气罐半径的 倍?
想一想
本节课你学到了哪些数学知识 和解决问题的方法？
1.了解立方根的概念，会用三次根号 表示一个数的立方根，能用立方运算
求一个数的立方根．
2.在学习中应注意以下5点： （1）符号 3 a 中根指数“3”不能省 略； （2）正数、零、负数都有一个立方 根；
（3）平方根和立方根的区别 正数有两个平方根，但只有一个立方根， 负数没有平方根，但却有立方根；
例2 求下列各式的值
1 3 8 ;
2 30 .0 6 4 ;
3 3 8;
3
4 39.
1 2 5
解 ： 1 383232；
2 30.06430.430.4；
3
3 8 125
3523 52；
4 3 9 3 9.
自我测评
求下列各数的立方根:
13 0.125; 23 64; 33 64;