数学难归纳06函数值域及求法教案

函数（3）——值域二．教学目标：1. 会求常见函数的值域；2. 掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元法等。

（一）复习：（提问） 1．函数的三要素；2．函数的定义域：自变量x 的取值的集合；函数的值域：自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。

（二）新课讲解：例1、试画出下列函数图象。

（1）f(x)=x+1, (2)f(x)=(x-1)2+1,[)1,3x ∈练习：已知函数与分别由下表给出，那么((1))_____;((2))______((3))______;((4))_______f f f g g f g g ====1．观察法求函数值域 例1．求下列函数值域：（1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）21y x =- {2,1,0,1,2}x ∈--（3）31y x =+ （4）1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（答案一[4,5]-）， （答案二{3,0,1}-）， （答案三(,1)(1,)-∞+∞）， （答案四{1,0,1}-） 2．配方法求二次函数值域例2．已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。

（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈． 解：（1）∵2(1)4y x =+-∴min 4y =- ∴值域为[4,)-+∞．（2）∵223y x x =+-的图象如图， 当0x =时，min 3y =-，∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞． （3）根据图象可得： 当1x =-时，min 4y =-，当2x =时，max 5y =，∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-． （4）根据图象可得：当1x =时，min 0y =，当2x =时，max 5y =，∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]． 说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同；（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。

龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数及定义域、值域求法
教学重点1、理解并掌握函数和映射的概念和它们的异同点
2、理解定义域的概念，会求一些函数的定义域
3、理解值域的概念，会求一些函数的值域
教学难点1、函数与映射的异同点
2、求解函数的定义域和值域
教学目标1、掌握函数与映射的异同点
2、掌握函数定义域和值域的求法
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。

二、内容讲解：
知识点一：函数与映射
知识点二：函数的定义域
知识点三：函数的值域
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日。

函数的值域教案教案标题：函数的值域教案教案目标：1. 理解函数的值域的概念；2. 能够确定给定函数的值域；3. 能够解决与函数值域相关的问题。

教案步骤：引入（5分钟）：1. 引入函数的概念，解释函数的定义和符号表示；2. 引入函数的定义域和值域的概念，并解释二者的区别；3. 提出一个问题，例如：对于函数f(x) = x^2，我们如何确定它的值域？探究（15分钟）：1. 分组讨论：让学生分成小组，每组选择一个函数进行研究；2. 指导学生分析所选函数的定义域和值域；3. 引导学生思考如何确定函数的值域，例如通过绘制函数图像、寻找函数的最大值和最小值等方法；4. 指导学生应用所学方法确定各自函数的值域，并与其他小组分享结果。

总结（10分钟）：1. 收集各组的结果，让学生分享他们所确定的函数值域；2. 引导学生总结确定函数值域的方法，并强调重要的观察点，例如函数的最大值、最小值以及是否存在水平渐近线等；3. 提出一些挑战性问题，例如如何确定复杂函数的值域。

应用（15分钟）：1. 分发练习题，让学生在课堂上或课后完成；2. 引导学生应用所学方法解决练习题中的问题；3. 鼓励学生互相合作、讨论和解答问题；4. 督促学生检查答案，并解释他们的解题思路。

拓展（5分钟）：1. 提出一个拓展问题，例如：如何确定反函数的值域？2. 引导学生思考并讨论拓展问题；3. 总结课堂内容，并鼓励学生在日常生活中应用所学知识。

教案评估：1. 观察学生在小组讨论中的参与程度；2. 检查学生在练习题中的解答情况；3. 评估学生对于函数值域概念的理解程度；4. 通过课堂讨论和问题解答，评估学生解决函数值域相关问题的能力。

教案扩展：1. 引导学生研究更复杂的函数，并确定其值域；2. 引导学生应用函数值域的概念解决实际问题；3. 引导学生研究函数值域的性质和特点，例如单调性、奇偶性等。

教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。

2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。

3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。

分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。

分段函数是一个函数，而不是几个函数。

在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。

4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数 把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。

（一）常见函数的值域（1）一次函数)0(≠+=k b kx y （2）反比例函数)0(≠=k xky 的值域为{}0≠y y . （3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为⎪⎪⎫⎢⎡+∞-,442a b ac ；当0<a 时，值域为⎥⎤⎛-∞-a b ac 44,2.（二）求函数值域的方法 （1）直接法（观察法）从自变量x 的范围出发，推出)(x f y =的取值范围，适合于简单的复合函数；【例1】求函数221x y +=的值域。

【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<210y y（2）配方法适用于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠或可化为二次函数型的函数；【例2】求函数223y x x =+- ()x R ∈的值域。

（4)1(2-+=x y ）【答案】{}4-≥y y【变式练习1】求函数()2f x =-【解】22)1(2522242)(---=-+-=x x x x f ，053()2f x ≤≤⇒-≤≤（3）换元法运用换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

形如y ax b =+±【例3】求函数y x =+【解析】令0)t t =≥，则212t x += 221(1)(0)22t t y t t ++∴=+=≥ 12y ∴≥【变式练习】求函数x x y 212-+=的值域。

【解析】令)0(21≥-=t x t ，则212t x -= 22151()(0)24y t t t t ∴=-++=--+≥∴当21=t ，即83=x 时，45m ax =y ，无最小值。

（4）判别式法（∆法）运用方程思想，把函数转化为关于x 的二次方程0),(=y x F ，依据二次方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x R ∈的分式；【例4】求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。

函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。

三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。

（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。

比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。

2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。

（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。

（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。

- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。

3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。

请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。

（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。

高中数学求值域教案一、教学目标：1. 知识目标：理解求值域的概念，掌握求值域的计算方法。

2. 能力目标：能够独立解决求值域问题，灵活运用求值域的相关知识。

3. 情感态度目标：培养学生对数学问题的探究和思考能力，增强学生对数学的兴趣和信心。

二、教学重点和难点：1. 教学重点：求值域的概念和计算方法。

2. 教学难点：掌握如何确定函数的值域。

三、教学过程：1. 导入活动（5分钟）：教师简要介绍求值域的概念，并通过一个简单的例子引导学生思考什么是函数的值域。

2. 理论讲解（15分钟）：教师系统地介绍求值域的定义和计算方法，重点讲解如何确定函数的最大值和最小值。

3. 示例分析（20分钟）：教师通过几个实例讲解求值域的具体计算过程，引导学生掌握解题方法和技巧。

4. 练习与讨论（15分钟）：学生通过小组合作或个人练习，解决一些求值域问题，并在讨论中互相交流思路和方法。

5. 总结与拓展（5分钟）：教师对本节课的内容进行总结，并展示一些扩展问题，鼓励学生进一步挑战。

四、教学方法：1. 讲授法：通过系统地讲解，帮助学生建立求值域的概念。

2. 实例引导法：通过实例分析，帮助学生理解求值域的计算方法。

3. 合作探究法：通过小组合作，培养学生解决问题的能力和团队合作精神。

五、教学资源：1. 教材教辅资料2. 多媒体设备六、教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论和练习。

2. 作业表现：学生是否独立完成求值域问题，并能正确解答。

3. 课后反馈：通过课后作业批改和答疑，检验学生对求值域的理解和掌握程度。

函数的定义域和值域教案模板【前导部分】（引入概念，简述重要性）函数的定义域和值域是数学中非常重要的概念。

函数的定义域指的是自变量的取值范围，而值域指的是函数在定义域内能够取到的所有函数值。

了解一个函数的定义域和值域，有助于我们理解函数的性质和应用，能够更好地解决与函数相关的问题。

【正文部分】一、定义域的概念及判定方法在介绍函数的定义域之前，我们先回顾一下函数的定义。

函数是一种将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立起对应关系的规则。

在函数的定义中，自变量是我们输入的元素，而函数值则是和输入元素对应的输出。

1. 定义域的概念函数的定义域是指在这个函数中，自变量可以取哪些值。

在数学中，我们通常用一组数的集合来表示定义域。

2. 判定定义域的方法a. 对于代数式函数，我们需要注意函数中是否存在某些禁止的运算，例如分母为零的情况，以及根号内是负数的情况；b. 对于分段函数，我们则需要考虑每一段函数的定义域，并求取它们的交集。

二、值域的概念及判定方法1. 值域的概念函数的值域是函数在定义域内可以取到的所有函数值所组成的集合。

换句话说，值域是函数在纵坐标上的投影。

2. 判定值域的方法针对不同类型的函数，我们有不同的方法来判定其值域：a. 对于线性函数，我们可以通过函数的斜率来判断值域的范围；b. 对于二次函数，我们可以观察其开口方向和顶点坐标，从而确定值域的区间；c. 对于三角函数，我们则需要根据其周期性、奇偶性等特点来判定值域；d. 对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和对数的取值范围等条件。

【拓展应用】函数的定义域和值域不仅仅在数学中有重要的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。

1. 物理学中的应用在物理学中，我们经常需要建立各种物理量之间的函数关系。

函数的定义域和值域在解决物理问题时能够帮助我们确定物理量的取值范围、判断物理规律的适用范围等。

2. 经济学中的应用在经济学中，函数的定义域和值域能够帮助我们确定经济模型中各个变量的取值范围，理解经济规律的限制条件，以及进行经济政策的制定和分析。