函数的值域教案

诚西郊市崇武区沿街学校高一数学必修1函数的定义域和值域
教学目的
知识与技能
（1）继续理解函数的概念和记号以及域函数概念相关的定义域、函数值、值域的概念。

（2）掌握两个函数是同一函数的条件。

（3）会求简单函数的定义域和值域。

过程与方法
（1）通过对函数的概念的学习，初步探究客观世界中各种运动域数量间的互相依赖关系。

（2）使学生掌握求函数是=式的值得方法。

（3）培养批判思维才能、自我调控才能、交流与才能。

情感、态度与价值观
（1）懂得变化、联络、制约的辩证唯物主意观点。

（2）学会全面的观察、分析、研究问题。

重点难点
重点：符号“y=f(x)〞的含义。

难点：符号“y=f(x)〞的含义。

教法学法：讨论研究
教学用具：多媒体教学过程
板书设计
教学反思。

对数函数定义域值域学案学习目标：1、会求对数函数地定义域； 2、会求对数函数地值域. 学习重点：求对数函数定义域、值域学习难点：利用对数函数定义域、值域解题. 例题分析：例1：求下列函数地定义域 ①()()2log 1+=-x y x ②121log 8.0--=x x y练习1.()()211log -=+x y x 2.)34(log 25.0x x y -=例2：求下列函数地值域 ①1log 2-=x y ②()1log 2-=x y练习1.]8,0(,log 21∈=x x y 2.()()532log 22-≤--=x x x y例3：①若函数]41)1([log 22+-+=x a ax y 地定义域为R ，求实数a 地取值范围.②已知)1lg(2++=ax x y 定义域为R ，值域为R ，求a 地范围例4：已知x 满足条件09log 9)(log 221212≤++x x ,求函数)4(log )3(log )(22x x x f ⋅=地最大值和最小值.学科作业：1.已知)13(log -a a 恒为正数，那么实数a 地取值范围是()A.a ＜31 B.3132<<a C.a ＞1 D. 3132<<a 或a ＞1 2.函数)1(2log )(2≥-=x x x f ，则)(1x f-地定义域是( )A.RB.),2[+∞-C.),1[+∞D.(0,1)3．函数)(x f 地定义域是(0，1)，若)]3([log )(21x f x F -=，则函数F (x )地定义域是.4、函数)176(log 221+-=x x y 地值域是.5、求函数)1(log 2-=x y 地反函数=-)(1x f，反函数地定义域是，值域是6、已知函数)12lg()(2++=x ax x f ，（1）若f(x)地定义域为R ，求实数a 地范围； （2）若f(x)地值域为R ，求实数a 地范围.7、若9271≤≤x ，求)3(log 27log )(33x x x f ⋅=地最值.8、已知函数)1)((log )1(log 11log )(1.01.01.0 a x a x x x x f -+-+-+=地最小值为-2，求实数a 地值.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.b5E2R。

龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数及定义域、值域求法
教学重点1、理解并掌握函数和映射的概念和它们的异同点
2、理解定义域的概念，会求一些函数的定义域
3、理解值域的概念，会求一些函数的值域
教学难点1、函数与映射的异同点
2、求解函数的定义域和值域
教学目标1、掌握函数与映射的异同点
2、掌握函数定义域和值域的求法
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。

二、内容讲解：
知识点一：函数与映射
知识点二：函数的定义域
知识点三：函数的值域
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日。

函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。

三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。

（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。

比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。

2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。

（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。

（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。

- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。

3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。

请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。

（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。

教师：钱沛
科目：数学
通过教师
讲解学生 学生掌握 解题方法
师生归纳 方法
1
3
"
3
[T,l],R
3. 求函数值域的方法：
基本原则：分解、变形、转化 求函数的值域的方法常用的有：直接法,配方法,反函数法,分 离常数法,换元法,判别式法,不等式法，数形结合法，利用某 些函数的有函数的单调性法，利用导数法，利用平移等.
4. 典型例题解析
例1,下列函数值域是（0, +-）的是（）（直接发） A, y = yjx~ ~ 3x +1 B, _y =
2x +1 , 1
C, y = x~ + x +1
D, y =——
x 归纳：某些函数可以通过观察
其解析是直接求出其值域。

例2.求下列函数的值域
1 1 _ -V
（1） y = x 2 - x ——（-1 < x < 1）, （2） y =
2
2兀 + 5 （3） y=刍一乂乜 （4） y = x-Vl-2x
X + X + 1
归纳：二次函数在区间上的值域问题， 解：（1）配方法 3/2
y =（尢 _ —）2 x e [-1,1 ] 如图，Z.yG [-3/4, 3/2],
归纳：二次函数在区间上的值域问题, 可用配方法或图像法求解。

C2）解法一（反函数法）：
由丁=丄二乞解出x,的* =上舍， 2%+ 5 2y + l
•.•2y+lH0, ...yH—*
原函数的值域为{y I yH-丄且WR}
2
解法二（分离常数法）：
7
7
y =-丄+」一，且二一工0
2 2兀 + 5 2%+ 5。

江苏省泰州市第二中学 高一数学教案 函数的值域(1)教学目标：理解函数值域的意义，会求简单函数的值域。

教学重点：二次函数值域的求法。

教学过程:一． 问题情境1、函数的概念2、已知函数1)1()(2+-=x x f x ∈A={-1，0，1，2，3}。

(1)求每一个x 所对应的函数值f （x ）。

并求这些函数值构成的集合C 。

(2)如B=R ，则函数f （x ）=（x-1）2+1，x ∈A={-1，0，1，2，3}，则这个对应是函数吗？集合B 和C 有何关系。

如x ∈R 呢？二． 数学建构用自己的语言说值域的定义。

三． 数学应用问题1：已知函数f （x ）=3x-6，（i ）当（1）x ≥2,（2）x ∈[-1，3]，分别求f （x ）值域.分析：(1)图象观察(2)代数推理（ii ）当函数f(x)的值域为[-1,3],求函数f(x)的定义域。

问题2：试画出函数f(x)=x 2+1的图象，并据图象回答下列问题：(1)比较f(-2)，f(1)，f(3)的大小；(2)若0<x 1<x 2，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小.(3)若x 1<x 2<0，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？(4)若|x 1|<|x 2|，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小？问题3： 已知函数f （x ）=x 2-2x+3，当定义域分别为下列集合时，求f （x ）的值域。

（1）R （2）[2，3] （3）[-3，6]注：给定区间二次函数值域的求法步骤：1．配方画图。

2．确定对称轴和区间的位置，找出最高点和最低点。

3．写解。

思考：已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域是[1，4]，这样的函数有多少个，试写出其中两个。

四．回顾反思五．练习1、求下列函数的值域(1)y=x +1；(2)y=x2-4x+6；x∈[1,5)(3)（选）y=2x-x-12、P28练习3、求函数值域f(x) =2x2-6x+c x∈[1,3]的值域第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

课题：函数值域与最值（复习教案）一、知识点：（一）确定函数值域的因素：函数的值域是由函数的定义域和对应法则确定的。

注意：求函数的值域不要忽视了函数的定义域，一般，求函数值域先求函数的定义域。

（二）基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。

3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R}4、指数函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R 二、求函数值域的常用方法：1、利用基本初等函数值域求一些简单的复合函数的值域例1、求函数y=log 21（x 2-6x+17）的值域。

解法1：设u= x 2-6x+17，则y=log 21u 由x 2-6x+17＞0得函数y 的定义域为R函数u 的在（-∞，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当8≥u 时函数y=log 21u 在R 上是关于u 的减函数 所以函数y=log 21（x 2-6x+17），在（-∞，3）上是关于x 的增函数，在（3，+∞）上是关于x 的减函数。

y max =f （3）=log 218=-3 所以函数的值域为（-∞，-3]解法2：设u= x 2-6x+178≥，则y=log 21u （8≥u ） 求复合函数的值域等价于求外层函数的值域，由于y=log 21u （8≥u ）为减函数，因此8=u 时函数取得最大值3max -=y ，故函数y=log 21u （8≥u ）的值域为（-∞，-3]，即所求函数的值域为（-∞，-3]2、配方法----常用于二次函数或准二次函数 例2、求函数y=3x 2-6x+5（x ＜-2）的值域。

第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析：要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．类型一 函数相等的判断[例1] 下列各组函数： ①f (x )＝x 2－xx ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3； (2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数． (2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．类型二 函数的定义域 命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)0|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x.解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下， f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]， 即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)． (2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2.∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]． 解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}．(2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为( A ) A ．[－1,2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5， 故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6，又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦 1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同． [典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112.。

函数的定义域和值域教案模板【前导部分】（引入概念，简述重要性）函数的定义域和值域是数学中非常重要的概念。

函数的定义域指的是自变量的取值范围，而值域指的是函数在定义域内能够取到的所有函数值。

了解一个函数的定义域和值域，有助于我们理解函数的性质和应用，能够更好地解决与函数相关的问题。

【正文部分】一、定义域的概念及判定方法在介绍函数的定义域之前，我们先回顾一下函数的定义。

函数是一种将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立起对应关系的规则。

在函数的定义中，自变量是我们输入的元素，而函数值则是和输入元素对应的输出。

1. 定义域的概念函数的定义域是指在这个函数中，自变量可以取哪些值。

在数学中，我们通常用一组数的集合来表示定义域。

2. 判定定义域的方法a. 对于代数式函数，我们需要注意函数中是否存在某些禁止的运算，例如分母为零的情况，以及根号内是负数的情况；b. 对于分段函数，我们则需要考虑每一段函数的定义域，并求取它们的交集。

二、值域的概念及判定方法1. 值域的概念函数的值域是函数在定义域内可以取到的所有函数值所组成的集合。

换句话说，值域是函数在纵坐标上的投影。

2. 判定值域的方法针对不同类型的函数，我们有不同的方法来判定其值域：a. 对于线性函数，我们可以通过函数的斜率来判断值域的范围；b. 对于二次函数，我们可以观察其开口方向和顶点坐标，从而确定值域的区间；c. 对于三角函数，我们则需要根据其周期性、奇偶性等特点来判定值域；d. 对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和对数的取值范围等条件。

【拓展应用】函数的定义域和值域不仅仅在数学中有重要的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。

1. 物理学中的应用在物理学中，我们经常需要建立各种物理量之间的函数关系。

函数的定义域和值域在解决物理问题时能够帮助我们确定物理量的取值范围、判断物理规律的适用范围等。

2. 经济学中的应用在经济学中，函数的定义域和值域能够帮助我们确定经济模型中各个变量的取值范围，理解经济规律的限制条件，以及进行经济政策的制定和分析。

函數的定義域與值域 【學習目標】1. 掌握求常規函數的定義域與值域的方法。

2. 瞭解特殊情形下的函數的定義域與值域的求法。

3. 以極度的熱情投入學習，體會成功的快樂。

【學習重點】基本初等函數的定義域與值域的求法。

【學習難點】複合函數的定義域與值域的求法。

[自主學習] 一、定義域：1．函數的定義域就是使函數式 的集合. 2．常見的三種題型確定定義域：① 已知函數的解析式，就是 .② 複合函數f [g(x )]的有關定義域，就要保證內函數g(x )的 域是外函數f (x )的 域. ③實際應用問題的定義域，就是要使得 有意義的引數的取值集合. 二、值域：1．函數y ＝f (x )中，與引數x 的值 的集合.2．常見函數的值域求法，常用的方法有：①觀察法；②配方法；③反函數法；④不等式法；⑤單調性法；⑥數形法；⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法 例如：① 形如y ＝221x +，可採用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可採用 法或法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可採用 法；④ y ＝x －x -1，可採用 法；⑤ y ＝x －21x -，可採用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可採用 法等.[典型例析]（A ）例1. 求下列函數的定義域：（1）y=xx x -+||)1(0; (2)y=232531x x -+-; (3)y=1·1-+x x變式訓練1：求下列函數的定義域： （1）y=212)2lg(x x x -+-+(x-1)0 ;(2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;( B)例2. 設函數y=f(x)的定義域為［0，1］，求下列函數的定義域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x1); (3)y=f()31()31-++x f x ; (4)y=f(x+a)+f(x-a).小結：(B)例3. 求下列函數的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x 21-; (3)y=1e 1e +-x x .（4）y=521+-x x; (5)y=|x|21x -.小結：（C）例4已知函數f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函數的值域為［0，+∞)時的a的值；（2）若函數的值均為非負值，求函數f(a)=2-a|a+3|的值域.[當堂檢測]1.若函數)(x f y =的定義域為[-1,1]，求函數)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定義域__________。

初中函数值域教案目标本课程旨在帮助初中学生理解和求解函数的值域，并培养他们的分析和问题解决能力。

通过本课程的研究，学生将能够：1. 理解函数值域的概念和意义；2. 掌握求解简单函数值域的方法；3. 运用函数值域知识解决实际问题。

内容1. 函数值域的概念- 介绍函数值域的定义和含义；- 通过例子引导学生理解函数值域的概念。

2. 函数值域的求解方法- 解释如何求解简单函数值域；- 提供一些常用函数值域求解方法的步骤和技巧；- 给出练题，让学生熟练掌握函数值域的求解方法。

3. 函数值域在实际问题中的应用- 通过实际问题引导学生思考函数值域的应用场景；- 提供一些实际问题，让学生应用函数值域的知识解决问题；- 鼓励学生分享自己的解决思路和方法。

教学步骤步骤一：导入- 通过一个生动的例子引入函数值域的概念；- 引发学生对函数值域的思考。

步骤二：概念讲解- 讲解函数值域的定义和含义；- 通过示意图和图表展示函数值域的概念。

步骤三：例题演示- 选取一些简单的函数，演示如何求解其值域；- 引导学生跟随演示，并提供解题思路和方法。

步骤四：练与巩固- 针对函数值域的求解方法，设计一些练题；- 分组进行练，并互相讨论解题思路。

步骤五：应用拓展- 给出一些实际生活中的问题，让学生运用函数值域的知识解决问题；- 鼓励学生分享解决方案，展示不同的思考和方法。

步骤六：总结和反思- 通过回顾本节课的内容，总结函数值域的求解方法和应用场景；- 鼓励学生提出问题和反思，加深对函数值域的理解。

教学资源为了支持教学，我们将提供以下资源：- 示例函数与值域的练题；- 函数值域的求解方法总结手册。

评估标准学生将根据以下标准进行评估：1. 对函数值域的理解程度；2. 准确求解函数值域的能力；3. 在实际问题中应用函数值域的能力。

通过本节课的学习，希望学生能够掌握并灵活运用函数值域的知识，同时培养他们的分析和问题解决能力。

授课目的：认识函数三要素，并且掌握求函数三要素的方法。

具体内容:函数的定义域、值域、解析式一、知识点1、定义域的概念和求法2、值域的概念和求法3、映射、对应法则分段函数：1、定义在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数。

它是一类较特殊的函数。

2、分段函数问题例1、市内电话费是这样规定的：每打一次电话不超过3分钟话费为0.18元，超过3分钟而没有超过6分钟话费为0.36元；依次类推。

每次打电话x(0≤x ≤10 )分钟应付话费y 元，写出此函数的解析式并画出图像。

思路分析:由于是分段计费，因此所付话费y 必须用分段函数来表示。

解：依题意应付话费y 的解析式为 0.18(03)0.36(36)0.54(69)0.72(910)x x y x x ≤⎧⎪≤⎪=⎨≤⎪⎪≤⎩<<<< 期函数图像如右图所示 注：本题所列函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，需要用分段函数来表示。

应注意分段函数尽管在各段上的解析式不同，但分段函数是一个函数，而不是几个函数.例2、设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2008）的值。

解：∵2008＞2000，∴f （2008）=f ［f （2008－18）］=f ［f （1990）］=f (1990+13)=f (2003）= f ［f （2003－18）］=f(1985)=1985+13=1998。

练习、o x10 9 3 6 0.540.18 0.72 0.36 y 图3-2-2 [.3[2[1[∈∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩1、(改编题)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x 的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2,当x -2.5,0)时，则函数的解析式为 - x -2.5,-2）答案: f(x)=- x -2,-1)- x -1,0)2、已知f (x)=⎩⎨⎧<+≥-)6)(2()6(5x x f x x 则f (3)= .. 答案23.设函数1122,0(),0x x f x x x --⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是A.（-1，1）B.(1,)-+∞C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞D. (,1)(1,)-∞-⋃+∞ 答案：D三、本次课后作业：四、学生对于本次课的评价：○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差五、教师评定：1、 学生上次作业评价：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差2、 学生本次上课情况评价：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差。

个人收集整理 仅供参考学习1 / 1对数函数定义域值域学案学习目标：1、会求对数函数地定义域； 2、会求对数函数地值域.学习重点：求对数函数定义域、值域学习难点：利用对数函数定义域、值域解题. 例题分析：例1：求下列函数地定义域 ①()()2log 1+=-x y x ②121log 8.0--=x x y练习1.()()211log -=+x y x 2.)34(log 25.0x x y -=例2：求下列函数地值域 ①1log 2-=x y ②()1log 2-=x y练习1.]8,0(,log 21∈=x x y 2.()()532log 22-≤--=x x x y例3：①若函数]41)1([log 22+-+=x a ax y 地定义域为R ，求实数a 地取值范围.②已知)1lg(2++=ax x y 定义域为R ，值域为R ，求a 地范围例4：已知x 满足条件09log 9)(log 221212≤++x x ,求函数)4(log )3(log )(22x x x f ⋅=地最大值和最小值.学科作业：1.已知)13(log -a a 恒为正数，那么实数a 地取值范围是()A.a ＜31 B.3132<<a C.a ＞1 D. 3132<<a 或a ＞1 2.函数)1(2log )(2≥-=x x x f ，则)(1x f-地定义域是( )A.RB.),2[+∞-C.),1[+∞D.(0,1)3．函数)(x f 地定义域是(0，1)，若)]3([log )(21x f x F -=，则函数F (x )地定义域是.4、函数)176(log 221+-=x x y 地值域是.5、求函数)1(log 2-=x y 地反函数=-)(1x f，反函数地定义域是，值域是6、已知函数)12lg()(2++=x ax x f ，（1）若f(x)地定义域为R ，求实数a 地范围； （2）若f(x)地值域为R ，求实数a 地范围.7、若9271≤≤x ，求)3(log 27log )(33x x x f ⋅=地最值.8、已知函数)1)((log )1(log 11log )(1.01.01.0φa x a x x x x f -+-+-+=地最小值为-2，求实数a 地值.。

龙文教育个性化辅导教案提纲学生:日期: 年月日第次时段:教学课题函数的定义域和值域----导学案教学目标考点分析1.掌握基本初等函数定义域和值域的求法，会求一些简单函数的定义域和值域.2.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数值域是高考的难点．3.本部分在高考试题中的题型以选择、填空题为主，属于中、低档题目.教学重点掌握基本初等函数定义域和值域的求法，会求一些简单函数的定义域和值域. 教学难点掌握求函数值域的常用方法的技巧，弄清函数的值域和函数最值的关系教学方法观察法、图象探究法、分析法、讲练结合法，启发式教学法教学过程：一、常见基本初等函数的定义域1．分式函数中分母．2．偶次根式函数被开方式.3．一次函数、二次函数的定义域均为.4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为.5．y＝log ax(a＞0且a≠1)的定义域为．6．y＝tan x的定义域为．7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．二、函数的值域1．在函数概念的三要素中，值域是由和所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为;当a＜0时，值域为;(3)y＝kx(k≠0)的值域是．(4)y＝a x(a>0且a≠1)的值域为．(5)y＝log a x(a>0且a≠1)的值域是.(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是．(7)y＝tan x的值域是.三、课堂基础练习1．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A ．{－1,0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}2．(2011·广东高考)函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3．函数y ＝1x 2＋2的值域为 ( ) A ．RB ．{y |y ≥12}C ．{y |y ≤12}D ．{y |0<y ≤12} 4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________． 5．(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________．四、走近高考[例1] (2011·江西高考)若f (x )＝1 12log (2x ＋1)，则f (x )的定义域( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 若本例中的函数变为f (x )＝2x －1 12log (2x ＋1)，试求f (x )的定义域． [例2] 求下列函数的值域，并指出函数有无最值．(1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋4x(x <0)；(3)f(x)＝x－1－2x.[例3](2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3]D．(1,3)五、高考模拟题1．(2011·台州一模)函数f(x)＝x22－x－lg(x－1)的定义域是()A．(0,2)B．(1,2)C．(2，＋∞) D．(－∞，1)2．(2012·烟台调研)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．3．(2012·青田质检)若函数y＝f(x)的定义域为[－3,5]，则函数g(x)＝f(x＋1)＋f(x－2)的定义域是( )A．[－2,3] B．[－1,3]C．[－1,4] D．[－3,5]4．(2012·青岛模拟)函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)5．(2012·杭州模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是( )A．[－5，－1] B．[－2,0]C．[－6，－2] D．[1,3]6．(2012·宁波模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．7．(2012·嘉兴模拟)已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．8．(2012·合肥模拟)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．9.(2012·温州模拟)函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4的定义域为R，值域为(－∞，0]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，－2)C．{－2} D．[－2,2]知识总结：1.函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．2.函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求解方法有(1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；3. 求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．课后作业：一、选择题1．(2012·潍坊模拟)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)2．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()3．(2012·茂名模拟)函数y＝x(x－1)－lg 1x的定义域为()A．{x|x>0} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＜0} D．{x|0＜x≤1} 4．(2012·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是()A．y＝x2－2x＋1 B．y＝x＋2x＋1(x∈(0，＋∞))C．y＝1x2＋2x＋1(x∈N) D．y＝1|x＋1|5．函数y＝2x－1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) 二、填空题6．(2012·忻州模拟)函数y ＝log a (3x －2)(0<a <1)的定义域是________．7．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．三、解答题8．求下列关于x 的函数的定义域和值域：(1)y ＝1－x －x ；(2)y ＝log 2(－x 2＋2x )；(3)x 0 1 2 3 4 5 y 2 3 4 5 6 79．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值．10．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．学生对于本次课评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 教师评定： 1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化教师签字：教务主任签字： ___________龙文教育教务处。

6x~ — 3x + 2 (2) 、Jx + 43矽(3)v 4x + 8\3x — 2 求下列函数值(1) y = -3x + 2 x G [-1,2] (2) y = 1-x * 1 2 3xe {-2,-1,0,1,2}(3)答案一：［-答案二：｛—f(x)=晶徵的值成1. 会求常见函数的值域.2.掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元法等.(4) f(x) = J3x —1 + J1 —2、+4； (5) f(x) = H-9 ；(6) f(x)=” 一「.x-1…2答案：(1) [x \ x 且 JVW 2}； (2) [―4, —2) U (―2,+oo) ； (3) (—,+00)； (4) [|,|]；(5) (―8,—3]U[3,+8)(6) [-2,1)U(1,2].二、新课讲解1.观察法求函数值域1- 例l,x > 00,x = 0 —1, x < 0答案三：(―8,l)U(l,+8);2.配方法求二次函数值域例2.已知函数y = x1 + 2x-3,分别求它在下列区间上的值域.(1) x eR ； (2) x e [0, +co): (3) x e [-2,2]: (4) x e [1,2].解：(1) •.•y = (x + l)2-4,** 'min = -4值域为[—4,+8).(2) V y = x2 + 2x-3的图象如图,当x = 0 时，y min = -3，.•.当xc[0,+oo)时,值域为[-3,+8).(3)根据图象可得：当X = -1 时，，min=—4，当X = 2时，Vmax = 5 '.•.当xe[-2,2]时，值域为[-4,5].(4)根据图象可得：当x = l 时，y min = 0,当X = 2时，扁乂=5 '.•.当xe[l,2]时，值域为[0,5].说明：(1)函数的定义域不同，值域也不同；(2)二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域.3.部分分式法求分式函数的值域5x + 4例3.求函数的值域.X — 1仙5x + 4 5(x-l) + 9「9解：y = ---------- =---------------- = 5 + ------- ,X ~1 X ~1X -19・.・——更0 .・.y更5 即函数值域为(-00,5) U (5,+oo).x-1说明：形如,=京* ” (c "0,bc如ad)的值域为{yly更f}.ax + b a4.利用“已知函数的值域"求值域例4.求下列函数的值域：(1) y— J1 - 3尤；(2) y = JX。