第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）一、知识结构重点：函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用； 难点：运用函数解决问题：建立数学模型。
第一课时 函数的概念和图象（1）学习要求1．理解函数概念；2．了解构成函数的三个要素；3．会求一些简单函数的定义域与值域；4．培养理解抽象概念的能力．自学评价1． 函数的定义：设,A B 是两个非空数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为(),y f x x A =∈．其中输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，所有输出值y 的取值集合叫做函数()y f x =的值域。
【精典范例】例1：判断下列对应是否为函数： （1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈； （3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，；听课随笔（4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤， {|03}y y y ∈≤≤．【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A 中的x 即可． 【解】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是。
点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。
例2：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ；（3）1()2f x x=-．【解】（1）),2()2,4(+∞--- ；（2）]1,3[-；（3）[1,2)(2,)-+∞。
点评: 求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况： ①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。
例3：比较下列两个函数的定义域与值域：（1）f(x)=(x+2)2+1，x ∈{－1,0,1,2,3}； （2）2()(1)1f x x =-+．【解】（1）函数的定义域为{1,0,1,2,3}- ∴函数值域为{2,5,10,17,26}；（2）函数的定义域为R ，∵2(1)11x -+≥，∴函数值域为[1,)+∞。
点评:对应法则相同的函数，不一定是相同的函数。
追踪训练一1. 对于集合{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，有下列从A 到B 的三个对应：①12x y x →=；②13x y x →=；③x y x →=；其中是从A 到B 的函数的对应的序号为 ① ② ； 2. 函数3()|1|2f x x =+-的定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞--+∞；3. 函数f(x)=x －1（x z ∈且[1,4]x ∈-）的值域为{2,1,0,1,2,3}--．【选修延伸】一、求函数值例4: 已知函数()|1|1f x x =--的定义域为{2,1,0,1,2,3,4}--，求(1),((1))f f f --的值．分析：求((1))f f -的值，即当(1)x f =-时，求()f x 的值。
【解】(1)|11|11f -=---=；((1))(1)|11|11f f f -==--=-二．求函数的定义域例5．求函数1()11f x x =+的定义域。
【解】由110x +≠，得10x x+≠，∴1x ≠-且0x ≠，即函数的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞。
思维点拨求函数定义域，不能先化简函数表达式，否则容易出错。
如例5，若先化简得()1xf x x =+,此时求得的定义域为{|1}x x ≠-显然是错误的．追踪训练二1．若2()(1)1,{1,0,1,2,3}f x x x =-+∈-，则 ((0))f f = 2 ；2．函数()f x =的定义域为 {1,1}-；3．已知函数()y f x =的定义域为[－2，3]，则函数(1)f x +的定义域为[－3，2]．第二课时 函数的概念和图象（2）学习要求1．理解函数图象的意义；2．能正确画出一些常见函数的图象；3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；4．从“形”的角度加深对函数的理解．自学评价1．函数的图象：将函数()f x 自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x ，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．2．函数()y f x =的图象与其定义域、值域的对应关系：函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域，在y 轴上的射影构成的集合对应着函数的值域．【精典范例】例1：画出下列函数的图象：（1）()1f x x =+； （2）2()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈； （3）5y x =，{1,2,3,4}x ∈； （4）()f x =【解】点评:函数图象可以由直线或曲线（段）构成，也可以是一些离散的点．画函数的图象，必须注意图象的范围、图象经过的关键点、图象的变化趋势等． 例2：画出函数2()1f x x =+的图象，并根据图象回答下列问题： （1）比较(2),(1),(3)f f f -的大小； （2）若120x x <<（或120x x <<，或||||x x <）比较()f x 与()f x 的大小；O y x O y xO y x O yx（3）分别写出函数2()1f x x =+（(1,2]x ∈-）， 2()1f x x =+（(1,2]x ∈）的值域． 【解】（1）(1)(1)(3)f f f <-< （2）若120x x <<，则 12()()f x f x <；若120x x <<，则12()()f x f x >；若12||||x x <，则12()()f x f x <．点评: 函数的图象能形象地反映函数的性质（定义域、值域、函数值的变化趋势等）．追踪训练一1．根据例1（2）中的图象可知，函数2()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈的值域 为 [1,5) ；2. 直线1x =与抛物线21y x =+的交点有1 个；直线()x a a R =∈与抛物线21y x =+的交点可能有 1 个；3. 函数()f x x =与2()x g x x=的图象相同吗？答： 不同 ．【选修延伸】一、函数值域例4: 已知函数2361y x x =-+，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域： （1）[1,2]x ∈-； （2）[4,0]x ∈-； （3）[2,5]x ∈． 【解】（1）[2,10]-； （2）[1,73]； （3）[1,46]．例5．集合{(,)|(),}P x y y f x x R ==∈与集合{|(),}Q y y f x x R ==∈相同吗？请说明理由． 【解】不相等．集合P 是坐标平面内的一个点集，表示函数()y f x =的图象；集合Q 是一个数集，表示函数()y f x =的值域．思维点拨利用二次函数的图象求函数值域，作图时必须抓住以下关键点：抛物线的开口方向、对称轴、顶点以及区间的端点；解决集合问题，首先必须弄清集合中的元素是什么．O yxO yx追踪训练二1．已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322x x x x x ，x(1)画出函数图象； (2)求f{f[f(－2)]}(3)求当f(x)= －7时，x 的值； 解：(1)图象略(2)f(－2)=2x(－2)+3=－1f(－1)=( －1)2=1 f(1)=1所以f{f[f(－2)]}=1 (3)因为f(x)= －7 所以2x+3=－7 所以x=－5第三课时 函数的概念和图象（3）学习要求1．掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法； 2．能选用恰当的方法来求出两个变量之间的函数关系； 3．培养抽象概括能力和解决问题的能力．自学评价1．用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的输入值与输出值一目了然；用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法（这个等式通常叫函数的解析表达式，简称解析式），其优点是函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质；用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法，其优点是能直观地反映函数值随自变量变化的趋势．2．购买某种饮料x 听，所需钱数y 元 ．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y 表示成({1,2,3,4})x x ∈的函数，并指出函数的值域．解：解析法：2,{1,2,3,4}y x x =∈； 列表法：图象法：【精典范例】例1：画出函数()||f x x =的图象，并求(3)f -， (3)f ，(1)f -，(1)f 的值． 【解】,0,(),0.x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩图象如右。
(3)f -=(3)3f =， (1)f -(1)1f ==。
例2：某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式；并画出图象． 【解】设路程为xkm ，收费为y 元，则7,03,7 2.4(3), 3.x y x x <≤⎧=⎨+⨯->⎩，即 7,03,2.40.2, 3.x y x x <≤⎧=⎨->⎩图象如图：点评: 分段函数是指函数的解析式是分段表示的。
分段是对于定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应法则不一样。
分段函数是一个．．函数，而不是几个函数。
68例3．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图象过原点，求()g x ； （3）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；（4）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点． 解：（1）由题意设 ()f x ax b =+，∵(0)5f = 且图象过点(2,1)-，∴521b a b =⎧⎨-+=⎩ ⇒25a b =⎧⎨=⎩∴()25f x x =+．（2）由题意设 2()g x ax bx c =++，∵(1)1g =，(1)5g -=，且图象过原点，∴150a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩ ∴320a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴2()32g x x x =-．（3）由题意设 ()(2)(3)h x a x x =+-， 又∵(0)3h =-，∴63a -=- 得12a =∴211()322h x x x =--． （4）由题意设 2()(1)2F x a x =++，又∵图象经过原点，∴(0)0F =，∴20a += 得2a =-，∴2()24F x x x =--．点评：此为待定系数法求函数解析式，用此方法必须知道函数的类型，才能设出含有参数的解析式，从而代入条件，解方程（组）得到参数值，即得到函数解析式。
