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C'B'A'D'DAC C'B'A'D'DA C9.9棱柱和棱锥(三)教学目的：1.了解棱锥、正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质.；2.能初步利用棱锥的概念及其性质解决一些简单角与距离的问题.3.灵活运用棱锥的概念及其性质解决有关角与距离问题；4.了解棱锥的侧面积、全面积的概念，能求出有关面积. 教学重点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 教学难点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时.教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱，则,B C A D C =⊂U ．6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.7.平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.二、讲解新课：1.棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥.其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示.如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．已知：在棱锥S AC -中，SH 是高，截面A B C D E '''''平行于底面，并与SH 交于H '， 求证：截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且22A B C D E ABCDE S SH S SH''''''=． 解：因为截面平行于底面，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，… ∴,A B C ABC B C D BCD ''''''∠=∠∠=∠，…又∵平面SAH 分别与截面和底面相交于A H ''和AH ， ∴//A H AH ''，得A B SA SH AB SA SH ''''==，同理B C SH BC SH '''=，… ∴A B B C SH ABBC SH'''''===L ， 因此，截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且2222A B C D E ABCDE S A B SH S AB SH''''''''==． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面.5．正棱锥定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形． 6．正棱锥的直观图的画法在过底面中心的垂线——'z 轴上取与底面中心距离等于棱锥高的点就得到了棱锥的顶点．给出了画图的比例尺，要特别注意平行于'y 轴的线段的长度的确定．正棱锥的直观图的画法，在具体画图的关键是：①用斜二测画水平放置的底面的直观图； ②正棱锥的顶点的确定；③画直观图的四个步骤：画轴（建立空间直角坐标系）⇒画底面⇒画侧棱（正棱锥画高线）⇒成图． 三、讲解范例：例1.已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点O '平行于底面的截面A B C '''∆的面积.解：连结,OM OA ，在Rt SOM ∆中，22OM l h =-． ∵棱锥S ABC -是正三棱锥，∴O 是ABC ∆中心， ∴2222tan6023AB AM OM l h ==⋅=-o，222333()ABC S AB l h ∆==-， 由棱锥截面性质得：2214A B C ABC S h S h '''∆∆'==，∴2233()4A B C S l h '''∆=-． 例2．已知A B C '''∆是三棱锥S ABC -的中截面，三棱锥S A B C '''-的侧面积为25cm ，求三棱锥S ABC -的侧面积．解：∵截面//A B C '''底面SBC ，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，∴2214S A B SAB S A B S AB '''∆∆''==，同理：14S B C SBC S S '''∆∆=，14S A C SACS S '''∆∆=， ∴14S A B S B C S A C SAB SBC SAC S S S S S S '''''''''∆∆∆∆∆∆++=++，即三棱锥S ABC -的侧面积是三棱锥S A B C '''-的侧面积的4倍， 所以，三棱锥S ABC -的侧面积为220cm ．点评：一般地，平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于截得棱锥的高与原棱锥高的平方比.例3．四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面PAD 和侧面PDC 所成的二面角为120o，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都为60o，求此棱锥的全面积.EDCBAPGEP D CBA 解：∵侧面PAD ⊥底面AC ，侧面PDC ⊥底面AC ， ∴PD ⊥底面AC ，ADC ∠为二面角A PD C --的平面角，即120ADC ∠=o ，∵四边形为菱形，DBC ∆，取BC 中点E ，连结,PE DE ， 则DE BC ⊥，由三垂线定理知PE BC ⊥，∴PED ∠是侧面PBC 与底面AC 所成的二面角的平面角，60PED ∠=o ，在Rt PDE ∆中，,,PD h DE PE h ===， ∴23sin3DE CD h π==， ∵,PDA PDC PBC PAB ∆≅∆∆≅∆，22PDA PBC ABCD S S S S ∆∆=++Y 全222sin1)33PD CD BC PE AD h π=⋅+⋅+=． 说明：棱锥的侧面积等于各侧面三角形的面积之和，正棱锥的侧面积等于底面周长与斜高之积的一半． 四、课堂练习：1.判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥， （2）正四面体是四棱锥，（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥． 答：（1）错，（2）错，（3）错，（4）对．2．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=o ，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120o，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC-的体积．解：（1）取AC 的E ，连结,BE DE ，则//DE PC ， 由PC AC ⊥，知DE AC ⊥，由ABC ∆为正三角形，得BE AC ⊥， 又DE BE E =I ，∵AC ⊥平面DEB ，BD ⊂平面DEB ， ∴AC BD ⊥． （2）作DG BE ⊥，垂足为G ，∵AC ⊥平面DEB ，DG ⊂平面DEB ，DG AC ⊥，DG ⊥平面ABC ，BD 与底面ABC 所成的角DBG ∠， 由DE AC ⊥，BE AC ⊥知DEB ∠是二面角P AC B --的平面角，120DEB ∠=o ，∵112DE PC ==，∴DG =，又∵3BE AB ==， ∴22213213cos12013BD =+-⨯⨯⨯=o∴sin DG DBE DB ∠==，∴BD 与底面ABC 所成的角为arcsin．（3）∵D 为PA 中点，∴P 到平面ABC 的距离2h DG ==，211333P ABC ABC V S h -∆===．五、小结：棱锥、正棱锥的概念，性质；棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比.计算面积时，必须计算对应边上的高，因此要寻找斜高，底面三角形的高，截面三角形的高的相互关系，这种关系应通过棱锥的性质来体现． 六、课后作业： 七、板书设计（略）. 八、课后记：。
数学中的棱柱与棱锥的性质数学中，棱柱与棱锥是常见的立体几何形体。
它们具有一些独特的性质和特点，对于理解和运用立体几何知识都至关重要。
本文将会介绍棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的应用。
一、棱柱的定义和性质1. 定义：棱柱是由两个平行且相等的底面，以及连接底面上对应顶点的若干条棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱柱的侧面是由若干条相互平行的线段所组成，这些线段被称为棱。
（2）棱柱的底面是多边形，其边数与侧面棱数相同，并相互平行。
（3）棱柱的高是两个底面之间的垂直距离。
（4）棱柱的体积可以通过底面积和高的乘积计算得到。
二、棱锥的定义和性质1. 定义：棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个非在同一平面上的点的棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱锥的侧面是由底面的边和连接底面顶点与顶点的棱组成。
（2）棱锥的底面是一个多边形。
（3）棱锥的高是从顶点到底面的垂直距离。
（4）棱锥的体积可以通过底面积和高的乘积再除以3计算得到。
三、棱柱和棱锥的应用1. 棱柱的应用：（1）柱体的形状多用于建筑设计，比如柱子、烟囱等。
（2）在计算几何中，柱体的体积计算可以应用到计算物体的容积、质量等问题中。
2. 棱锥的应用：（1）锥体的形状常见于圆锥、塔尖等建筑物的设计。
（2）在几何学和几何光学中，锥体的性质和转光性质有着重要的应用。
总结：通过对数学中棱柱和棱锥的定义、性质以及应用进行了介绍，我们可以更好地理解和运用立体几何知识。
棱柱和棱锥的独特性质和计算方法有助于解决实际问题，并在建筑设计、几何学、几何光学等领域得到广泛应用。
掌握和理解棱柱和棱锥的概念，对于数学学习和应用具有重要意义。
棱柱和棱锥知识点归纳总结### 棱柱知识点归纳总结一、定义与分类- 棱柱：由两个平行的多边形面和若干个平行四边形侧面组成的几何体。
- 分类：- 按多边形面的形状：三棱柱、四棱柱（长方体）、五棱柱、六棱柱等。
- 按侧面的形状：直棱柱（侧面与底面垂直）、斜棱柱（侧面与底面不垂直）。
二、几何特性- 所有侧棱相互平行。
- 相邻两个侧面的交线是一条直线，称为棱。
- 两个平行多边形面称为底面，其余的面称为侧面。
三、体积计算- 体积公式：V = 底面积× 高。
- 其中，高指的是两个平行多边形面之间的距离。
四、表面积计算- 表面积公式：S = 2 × 底面积 + 侧面积。
- 侧面积 = 底面周长× 高。
五、特殊棱柱- 正棱柱：所有侧面都是全等的矩形。
- 长方体：底面为矩形的四棱柱。
- 正方体：底面为正方形的长方体。
六、易错点- 容易混淆棱柱的高与侧面的边长。
- 计算体积时忘记乘以高。
- 计算表面积时漏掉底面积或侧面积。
经典例题及解题步骤1. 例题：求一个底面为正方形，边长为2，高为3的正方体的体积。
- 解题步骤：1. 确定底面为正方形，边长a=2。
2. 确定高h=3。
3. 应用体积公式：V = a^2 × h。
4. 计算：V = 2^2 × 3 = 12。
2. 例题：求一个底面为等边三角形，高为4的正三棱柱的表面积。
- 解题步骤：1. 确定底面为等边三角形，边长a。
2. 应用等边三角形面积公式：A = (sqrt(3)/4) × a^2。
3. 确定高h=4。
4. 计算侧面积：S_side = 3 × (sqrt(3)/2) × a × h。
5. 应用表面积公式：S = 2 × A + S_side。
6. 计算：S = 2 × (sqrt(3)/4) × a^2 + 3 × (sqrt(3)/2) × a × 4。
认识数学中的棱柱与棱锥体积数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿于我们日常生活的方方面面。
在数学的世界中，有许多有趣的几何概念，其中包括棱柱和棱锥体积。
本文将详细介绍这两个概念，让我们一起来认识数学中的棱柱与棱锥体积。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行且相等的多边形底面以及连接底面对应顶点的直线段组成的几何体。
棱柱的体积可以通过以下公式来计算：V = 底面积 ×高其中，底面积是指底面的面积，高是指连接底面的直线段的长度。
棱柱的底面可以是任意多边形，例如三角形、四边形或者正多边形。
棱柱的侧面可以看作是底面上的边与连接底面顶点的直线段所围成的区域。
棱柱的体积计算方法可以通过一个简单的例子来理解。
假设有一个底面积为10平方厘米，高为5厘米的三角形棱柱，那么它的体积可以计算如下：V = 10平方厘米 × 5厘米 = 50立方厘米从上述例子可以看出，棱柱的体积与底面积以及高密切相关。
当底面积或高增加时，棱柱的体积也会相应增加。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个点的直线段组成的几何体。
棱锥的体积可以通过以下公式来计算：V = 1/3 ×底面积 ×高其中，底面积指的是底面的面积，高是指连接底面顶点与顶点的直线段的长度。
棱锥的底面可以是任意多边形，例如三角形、四边形或者正多边形。
棱锥的侧面可以看作是底面上的边与连接底面顶点与顶点的直线段所围成的区域。
为了更好地理解棱锥的体积计算方法，我们可以举一个实际的例子。
假设有一个底面积为8平方厘米，高为6厘米的三角形棱锥，那么它的体积可以计算如下：V = 1/3 × 8平方厘米 × 6厘米 = 16立方厘米从上述例子可以看出，棱锥的体积与底面积以及高的关系也是密切相关的。
当底面积或高增加时，棱锥的体积也会相应增加。
三、棱柱与棱锥体积的比较通过对棱柱和棱锥体积的计算公式进行比较，我们可以发现它们之间存在着明显的差异。
(完整版)棱柱和棱锥的知识点整理棱柱和棱锥的知识点整理
棱柱和棱锥是几何学中常见的几何体，它们具有一些独特的特
性和属性。
以下是对棱柱和棱锥的知识点的整理：
棱柱
- 棱柱是由两个平行的底面和连接底面的若干个直线段（棱）
所构成的几何体。
- 底面是具有相同形状和大小的平面，棱连接底面上对应点的
直线段。
- 棱柱的侧面是由棱和底面组成的平面形成的。
- 棱柱的顶面是连接棱的顶点的平面。
- 棱柱有一个轴线，通过底面中心和顶面中心的直线叫做轴线。
棱锥
- 棱锥是由一个底面和连接底面到一个顶点的直线段（棱）所
构成的几何体。
- 底面是一个平面形状，棱连接底面上点到顶点的直线段。
- 棱锥的侧面是由棱和底面组成的平面形成的。
- 棱锥的顶面是连接棱的顶点的平面。
相似性质
- 棱柱和棱锥都是由底面和侧面组成的几何体。
- 棱柱和棱锥的侧面都是由棱和底面组成的平面形成的。
- 棱柱和棱锥都有一个顶点，并且顶点连接底面上对应点的直
线段。
- 棱柱和棱锥都有轴线，轴线通过底面中心和顶面中心的直线。
以上是对棱柱和棱锥的基本知识点的整理。
它们是几何学中重
要的几何体，应用广泛，在日常生活和工作中都可以看到它们的存在。
参考资料：
- 《高中几何与初等数学教材》
- 《几何与拓扑》。
9.9棱柱和棱锥(二)教学目的：1.理解平行六面体的概念掌握平行六面体、长方体、正方体的概念及性质；,弄清直平行六面体、长方体、正方体的关系.2.掌握长方体对角线的性质,能利用其计算有关长度与角度的问题. 教学重点：平行六面体、长方体的概念及性质. 教学难点：平行六面体、长方体的概念及性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时.教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线.2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体.3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.说明：我们今后学习的多面体都是．．凸多面体. 4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱， 则,BC AD C =⊂.6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形 （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 7．直棱柱的直观图的画法画棱柱的直观图共分四个步骤： ①画轴； ②画底面； ③画侧棱； ④成图.底面一定要画成水平放置位置的平面图形的直观图. 二、讲解新课：1.平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体.D'C'B'A'DC BA2．平行六面体、长方体的性质定理1：平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分.证明：设O 是AC '的中点，则11()22AO AC AB AD AA ''==++设,,P M N 分别是,,BD CA DB '''的中点，同理：1()2AP AB AD AA '=++，1()2AM AB AD AA '=++，1()2AN AB AD AA '=++，所以，,,,O P M N 四点重合，定理得证.定理2：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.已知：长方体AC '中，AC '是一条对角线， 求证：2222AC AB AD AA ''=++. 证明：∵AC AB AD AA ''=++，∴2||()()AC AB AD AA AB AD AA '''=++⋅++，∵AB AD ⊥，AB AA '⊥，AA AD '⊥，∴2||AC AB AB AD AD AA AA '''=⋅+⋅+⋅222||||||AB AD AA '=++，即2222AC AB AD AA ''=++. 三、讲解范例：例1.如图平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,3A AB A AD BAD π''∠=∠∠=，,AB AD a AA b '===，求对角面BB D D ''的面积.解：∵BD AD AB =-，∴()AA BD AA AD AB ''⋅=⋅-，H OA'D'C'B'DCBA∵A AB A AD ''∠=∠，,AB AD a AA b '===，∴()(cos cos )0AA BD AA AD AB ab A AB A AD ''''⋅=⋅-=∠-∠=， ∴AA BD '⊥，∵//AA DD ''，∴DD BD '⊥，所以，对角面BB D D ''是矩形，它的面积是BD BB ab '⨯=.例2．已知：正四棱柱ABCD A B C D ''''-的底面边长为2， （1）求二面角B AC B '--的大小；（2）求点B 到平面AB C '的距离. 解：（1）连结BD ，设,AC BD 交于O ，连结B O'， ∵ABCD 是正方形，∴BO AC ⊥， 又∵BB '⊥底面ABCD ，∴B O AC '⊥，∴B OB '∠是二面角B AC B '--的平面角， 在Rt B OB '∆中，12OB AC ==BB '=， ∴45B OB '∠=，∴二面角B AC B '--为45．（2）作BH B O '⊥于H ，∵AC ⊥平面B OB '，∴BH AC ⊥， ∴BH ⊥平面AB C '，即BH 为点B 到平面AB C '的距离， 在等腰直角三角形B OB '中，∵BB BO '==∴1BH =，所以，点B 到平面AB C '的距离为1．例3．棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别为棱,A B B C上的动点，且(0)A E B F x x a==≤≤，（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当BEF ∆的面积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小． 证：（1）以O 为原点，直线,,OA OC OO '分别为,,x y z 系，∴AE BF x ==，则(,0,)A a a '，(0,,)C a a '，(,,0)E a x ，(,,0)F a x a -， ∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--，2()A F C E ax a x a a ''⋅=-+-+220ax ax a a =-+-+=，∴A F C E ''⊥．（2）由,BF x EB a x ==-，则2211()()2228BEFx a x a S x a x ∆+-=-≤=，当且仅当x a x =-，即2ax =时等号成立，此时,E F 分别为,AB BC 的中点， 取EF 的中点M ，连BM ，则BM EF ⊥，根据三垂线定理知EF B M '⊥，∴B MB '∠即为二面角B EF B '--的平面角，在Rt BMF ∆中，,24BM BF a BB a '===， 在Rt B BM '∆中，tan 4B BB MB BM''∠=== 所以，二面角B EF B '--的大小是22arctan ．例4如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''D C B A ABCD -的棱'BB 、''C B 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +， ∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD + ＝21(2|'|CC ＋'?CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )． ∵CD CC ⊥'，BC CC ⊥'，CD BC ⊥，∴'?0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝212|'|CC ＝21． 又∵2||2MN =，|'|2CD = ∴c os ＜,'MN CD ＞＝·'·'MN CD MN CD ＝212·2221=， ∴＜,'MN CD ＞＝ 60，即异面直线MN 与'CD 所成的角为60．评述由以上例题，可以看到利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．四、课堂练习：1.正方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，M 为AD 中点，N 为1BD 上一点，1:1:2D N NB =，MCBD P =，A C 1（1）求证：NP 平面ABCD；CC D D所成的角；（2）求平面PNC与平面11D MB的距离.（3）求点C到平面12．直平行六面体的两条对角线分别为9cm，底面周长为18cm，侧棱长为4cm，求它的表面积.五、小结：.平行六面体的概念.直平行六面体、长方体、正方体的关系.长方体对角线的性质.能利用长方体对角线的性质计算有关长度与角度的问题.解决棱柱中有关线线、线面、面面问题时,常用的方法是推理法、向量法，推理及运算时要灵活的结合运用棱柱的性质.六、课后作业：七、板书设计（略）.八、课后记：。
棱柱、棱锥、棱台的结构特征【知识梳理】1．空间几何体题型一、棱柱的结构特征【例1】下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．[答案](3)(4)【类题通法】有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．【对点训练】1．下列四个命题中，假命题为()A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的各个侧面都是平行四边形C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行解析：选A A错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D 是正确的.题型二、棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．[答案](2)(3)(4)【类题通法】判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：2．试判断下列说法正确与否：①由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．解：①不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱；②不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体．侧棱不一定相交于一点，所以不一定是棱台.题型三、多面体的平面展开图【例3】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．【类题通法】1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．【对点训练】3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．2C．快D．乐解析：选B由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.【练习反馈】1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．3．棱锥最少有________个面．答案：44．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．答案：①③④⑥⑤5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱？多少个面？(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2 012？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．(2)设n棱锥的棱数是2 012，则2n＝2012，所以n＝1 006，1 006棱锥的棱数是2 012，它有1 007个面．。
棱柱与棱锥的概念与性质棱柱与棱锥是几何学中常见的三维图形，它们在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将对棱柱与棱锥的概念进行介绍，并探讨它们的性质和特点。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个侧面组成的立体图形。
其中，多边形底面的边数决定了棱柱的名称，例如三角形底面的棱柱称为三棱柱，四边形底面的棱柱称为四棱柱，以此类推。
（1）棱柱的特点在棱柱中，底面和顶面是平行的，并且底面的对应边和顶面的对应边相互平行。
此外，棱柱的侧面由底面的各个顶点和顶面的对应顶点之间的线段组成，这些线段称为棱。
因此，棱柱的名称即为棱的总和。
（2）棱柱的面积和体积棱柱的面积等于底面的面积加上底面与顶面之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱柱的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 棱长×棱的数量。
棱柱的体积等于底面的面积乘以棱长。
因此，我们可以用以下公式计算棱柱的体积：体积 = 底面积 ×棱长。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和它的顶点以及底面的各个顶点之间的直线段组成的立体图形。
与棱柱不同的是，棱锥只有一个底面，而棱柱有两个平行的底面。
（1）棱锥的特点在棱锥中，底面是一个多边形，顶点位于多边形的正上方。
底面的各个顶点与顶点之间的线段称为棱。
同样，棱锥的名称即为棱的总和。
（2）棱锥的面积和体积棱锥的面积等于底面的面积加上底面与顶点之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱锥的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 各侧面的面积之和。
棱锥的体积等于底面的面积乘以高，并除以3（三棱锥）或者是高乘以底面积，并除以3（四棱锥）。
因此，我们可以用以下公式计算棱锥的体积：体积 = 底面积 ×高 ÷ 3。
三、棱柱与棱锥的应用棱柱与棱锥在日常生活和工程实践中有着广泛的应用。
例如，在建筑领域，棱柱形状的建筑物如柱子、烟囱等被广泛使用。
同时，棱锥形状的物体如手指、纸锥、礼帽等也是我们常见的物品。
立体几何中的棱柱与棱锥的性质在立体几何中，棱柱与棱锥是两种常见的立体图形。
它们具有一些特定的性质和特征，下面将对这两种几何图形进行详细介绍。
一、棱柱的性质棱柱是由两个平行相等的多边形底面及连接底面上相对顶点的若干条棱构成的立体图形。
在棱柱中，可以明显地看出以下几个性质：1. 底面：棱柱的底面是相等且平行的多边形。
常见的棱柱底面有三角形、四边形、五边形等各种形状。
底面的形状决定了整个棱柱的特征。
2. 侧面：棱柱的侧面是由底面上的顶点和底面之间的棱所构成。
侧面全部平行于棱柱的轴线，并且相互之间平行。
3. 棱：棱柱的棱是指连接棱柱底面上对应顶点的线段。
共有n条棱，其中n为底面的边数。
4. 高度：棱柱的高度是指两个底面之间的垂直距离。
5. 体积：棱柱的体积可以通过底面的面积与高度的乘积来计算，即V = 底面积 ×高度。
6. 表面积：棱柱的表面积可以通过底面的面积与侧面的面积之和来计算，即S = 底面积 + 侧面积。
二、棱锥的性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点到一个中心点的直线段（称为棱锥的轴）所构成的立体图形。
棱锥具有以下几个主要的性质：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形、五边形等不同形状。
2. 侧面：棱锥的侧面是由底面上的顶点和底面之间的棱所构成。
侧面全部汇集于锥的顶点，并与底面上的顶点相交。
3. 棱：棱锥的棱是指连接底面顶点和顶点的线段。
4. 底面角：棱锥的底面角是指底面上相邻两边之间的夹角。
5. 高度：棱锥的高度是指从顶点到底面的距离，与底面垂直。
6. 体积：棱锥的体积可以通过底面面积与高度的乘积再除以3来计算，即V = (底面积 ×高度) / 3。
7. 表面积：棱锥的表面积可以通过底面的面积与侧面的面积之和来计算，即S = 底面积 + 侧面积。
总结：棱柱和棱锥是立体几何中常见的两种图形，它们有着各自独特的性质。
棱柱由两个平行的底面和连接底面的棱构成，而棱锥由一个底面和连接底面顶点到一个中心点的棱构成。
