第十三章 Laplace变换法

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laplace变换的原理和方法

其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]

s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有

'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)

t t t
L [ dt

dt
n

f ( t ) dt ]
m

C m 1 ( s s1 )
m 1

C1 s s1

C m 1 s s m 1

Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )

13-1拉普拉斯变换

j
F
(S
)e
st
ds
3
定义在 (0, ) 区域内的函数 f (t) ，如果满足下列两个条件：
（1） t 0 的任一有限区间内， f (t) 分段连续；（2）在 t 充分大时， f (t) 满足不等式
| f (t) | Mect 其中 M、C 为实常数（即 f (t) 为一指数函数），则 f (t) 的拉氏变换 F (s) f (t)est dt ，在复平面上
f (t)est ，再在（0－，∞）内对 t 积分，该积分称为单边
拉普拉斯（Laplace）正变换，简称拉氏变换。 L[ f (t)] F (s) f (t)estdt
0
式中 s j 为复数（复频率变量）上式对 t 求定积分后，变成了复变量 s 的函数，所以记作 F(s) 。
∴
|
0
f (t)e st dt |
M e ( c)t dt
0
当 c 0 ，即 c ，即 Re(s) c 时， M e( c)t dt 是
0
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

积分变换laplace

(n)
(t ) s F ( s ) s
n
n1
f (0) s
n 2
f ( 0 ) f
( n1)
(0)
17
例1 求
f
t
t
m
的拉氏变换（m为正整数）。
m 1
解由于 f
0
f 0 f
(m )
0
0, 而 f
m
t
存在常数 M > 0及c 0, 使得
|f (t)| M e c t, 0 t <. 则 f (t)的拉氏变换
F ( s)

f ( t )e d t
st
0
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的半平面内, F(s)为解析函数.
6
y
Mect
f (t)
O

e
st
dt
1 s
e
st
0
1 s
0
L [ u ( t )]
1 s
(R e ( s ) 0 ) .
4
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数).
解根据拉氏变换的定义, 有
L[ f ( t )]

e e
kt
st
dt
0

e
( sk ) t
L a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t ) a 1 F 1 ( s ) a 2 F 2 ( s ),
1
L
b1 F 1 ( s ) b 2 F 2 ( s ) b1 f 1 ( t ) b 2 f 2 ( t ) .

微分方程的Laplace变换解法

微分方程的Laplace变换解法微分方程在数学和工程领域中是一种常见的数学工具，用来描述物理现象和自然规律。

在解微分方程时，Laplace变换是一种非常有用的转换方法。

通过将微分方程转换为代数方程，我们可以更容易地求解微分方程的解。

Laplace变换的定义Laplace变换是一种线性积分变换，用来将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)。

其定义如下： \[F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)dt\]其中，s是一个复变量，t是实数。

Laplace变换在工程中的应用非常广泛，能够有效地解决很多常见的微分方程问题。

Laplace变换的性质在求解微分方程时，我们需要了解一些Laplace变换的基本性质：1.线性性质：\[L(a_1f_1(t) + a_2f_2(t)) = a_1F_1(s) + a_2F_2(s)\]2.积分性质：\[L\left(\int_0^t f(u)du\right) = \frac{F(s)}{s}\]3.微分性质：\[L\left(\frac{d n}{dt n}f(t)\right) = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) -s^{n-2}f’(0) - \ldots - f^{(n-1)}(0)\]掌握这些性质对于有效地应用Laplace变换解微分方程至关重要。

Laplace变换解微分方程的步骤利用Laplace变换解微分方程的一般步骤如下：1.应用Laplace变换将微分方程转换为代数方程。

2.解代数方程得到F(s)。

3.对F(s)进行逆变换，得到原方程的解f(t)。

在解微分方程时，我们通常遵循这些步骤，并注意一些常见的Laplace变换对应表。

实例分析让我们以一个示例来说明Laplace变换解微分方程的过程。

考虑一个简单的线性微分方程： \[ \frac{d}{dt}y(t) + 2y(t) = 3e^{-t}, \quad y(0) = 1\]我们首先应用Laplace变换将方程转换为代数方程： \[ sY(s) - y(0) + 2Y(s) =\frac{3}{s+1}\] \[ (s+2)Y(s) = 1 + \frac{3}{s+1}\]解出Y(s)为： \[ Y(s) = \frac{1}{s+2} + \frac{3}{(s+2)(s+1)}\]进一步求解反变换，我们得到微分方程的解为： \[ y(t) = e^{-2t} + 2e^{-t}\] 通过以上实例，我们展示了如何利用Laplace变换解一个简单的微分方程。

拉普拉斯积分变换

f
(t)
L1
s
2
s
1
s est 2s
s
j
s 2s
e
st
s j
1 (e jt ejt ) cost, t 0 2
37
例2：求 F(s) 1
的逆变换。
s(s 1)2
解: s=0 为一级极点，s=1为二级极点，拉氏反演积
分公式得
f (t)
3s 2
1
e st
4s 1
s0
lim s1
33
等式两边乘以 e t，并考虑到它与积分变量
无关，则
f (t) 1
F ( j)e( j)t d, t 0
2
令 j s ，有
f (t) 1
j
F (s)est ds, t 0
2 j j
这就是从象函数F(s)求它的象原函数f(t)的一般公式，右端的积分称为拉氏反演积分。
L (t)
(t) est dt
0
(t) est dt 0
(t) est dt est
t0 1
10
例7 求函数 f (t) e t (t) e tu(t)( 0)
的拉氏变换。
解 L f (t) f (t) estdt 0 e t (t) e tu(t) estdt 0
34
此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s) 为有理函数时更为简单。
35
定理
若 s1, s2 , sn 是函数 F(s) 的所有奇点（适当选
取使这些奇点全在 Re(s) 的范围内），且当 s 时，F(s) 0 ，则有

Laplace变换和逆变换

1 1
2) 含有共轭复数极点的情况
a3 an a1 s a 2 M ( s) F ( s) N ( s) ( s j )( s j ) s p 3 s pn
将上式两端同乘(s+2s 5 3 a3 ( s 2) 5 3 ( s 2) s 2
d s 2 2s 5 3 a2 ( s 2) 2 3 ds ( s 2) s 2
d 2 s 2 2s 5 3 a1 ( s 2) 1 2 3 2!ds ( s 2) s 2
pn t
)
s3 例2-19 求 F ( s) 2 的Laplace逆变换 s 3s 2
解 F ( s)
a1 a2 s3 s3 2 s 3s 2 ( s 1)( s 2) s 1 s 2
其中
s3 a1 ( s 1) 2 ( s 1)( s 2) s 1
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (n m) n 1 N (s) s a1s an1s an
m
m 1
使分母为零的s值称为极点，
使分子为零的点称为零点。
根据实系数多项式分解定理，分母有n 次多项式，则必然有 n个根，因此F(s)可分解为
1 a j st f (t ) F ( s)e ds 2j a j
简写
f (t ) L [ F (s)]
直接通过积分求 Laplace 逆变换通常很繁锁，对于一般问题都可以避免这样的积分，利用Laplace 变换表，查表求原函数。
1
对于一般的控制系统，可以用通用有理分式表示

电路分析第十三章-拉普拉斯变换

⑵ 在t充分大时， f (t) 满足不等式
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛，则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−

第十三章拉普拉斯变换

4、时域位移定理
L f t F S ,
L f t F S ,
L[ f (t t0 ) 1(t t0 )] F ( S )e St0
5、初值定理与终值定理
f (0 ) lim f (t ) lim SF ( S )
S j
f(t)：原函数；F(S)：f(t)在S域中的象函数。
拉普拉斯反变换：
f (t ) [ F ( S )]
1
1 2 j

j
j
F ( S )e St dS
13.2 拉氏变换的性质
13-2拉氏变换的性质
1、线性定理
L f1 t F1 S , L f 2 t F2 S : L af1 t bf 2 t aL f1 t bL f 2 t aF1 S bF2 S
2、微分定理
L f t F S
df SF ( S ) f (0 ) dt
3、积分定理
L f t F S ,
t F S L f t dt 0 S
13.2 拉氏变换的性质
]

0
e

t St
e
dt

0
e( S )t dt
0
1 ( S )t e S

0

1 S
2、常数
1 [1(t )] 1 t e st dt e st 0 S

1 S
3、正弦函数
[ 1 jt 1 1 1 (e e jt )] ( ) 2 2j 2 j S j S j S 2

第13章积分变换法

1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2
2a xat
例：求解无限长细杆的热传导问题：
泛定方程 ut a2uxx 0
( x )
初始条件 u(x,t) t0 (x) ( x )
解：将
u(x,t) U (,t)ei xd
代入泛定方程
[ dU(,t) a2 2U (,t)]ei xd 0
2a
p
1 e px/a x e p /a [ p ( ) ( )]d
2a
p
1 e px/a x e p /a [ p ( ) ( )]d
2a
p
u (x, p) 1 e px/a x e p /a [ p ( ) ( )]d
2a
p
1 e px/a x e p /a [ p ( ) ( )]d
dU (,t) a2 2U (,t) F(,t) 求其
dt
通解
初始条件
U (,0) ()
dU (,t) a2 2U (,t) F(,t)
dt
其通解可用Laplace 变换法求
pU U (0) a2 2U F 其中 U (,0) ()
U
( ) p a2 2
1
pHale Waihona Puke a2 2F因为L1[
t
)
§13.2 Laplace变换法
Laplace变换法适用于求解初值问题，不管泛定方程或边界条件是否为齐次
例：求解无限长的自由振动定解问题：
泛定方程 utt a2uxx 0 ( x )
初始条件 u(x,t) t0 (x) ( x ) ut (x,t) t0 (x) ( x )
1 [ e p( x)/a ( )d x e p(x )/a ( )d ]

laplace变换公式

laplace变换公式拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。

[1] 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。

拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

拉普拉斯变换应用过程中，需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示，而图形的表示方法是以传递函数(复域数学模型)为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。

利用拉氏变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。

拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是将复数域信号变为时域信号。

[6] 拉普拉斯变换[2] 是对于t≥0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。

它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。

据此，在“电路分析”中，元件的伏安关系可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI,电感元件：V=sLI,电容元件：I=sCV。

如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那么就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))，于是响应的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s）与传递函数H（s）的乘积，即Y(s)=X(s)H(s)如果定义：f(t)是一个关于t的函数，使得当t<0时候，f(t)=0；s是一个复变量；是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e' dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。

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第十三章 Laplace 变换法本章介绍线性电路过渡过程的第二种方法—变换法。

所谓变换法法，早在初等数学中就已经知道，比如要计算的a b 值，一种简单的方法是应用对数进行计算，其基本思想是不直接对“数”本身进行计算，而是对"对应的数"进行简单的计算，这就是最简单的变换法。

取对数的运算就是作变换，对数的值就是原来数的变换象，取反对数的运算就是反变换。

在第八、第九章中计算正弦交流电路的相量法实质上也是一种变换法，其中的相量就是正弦量的“变换”象，应用相量法就可使原来正弦量的计算变为相量（复数）的计算。

在数学中，为了求解微分方程，可用适当的“算子”（Operater )或积分变换将原微分方程变成代数方程，通过简单的代数运算进行求解；然后进行反变换，这种方法成为算子法或运算法，现在常用的有傅立叶变换、拉普拉斯（Laplace)变换和Z 变换。

本章采用拉普拉斯（Laplace)变换法。

第一节 Laplace 变换的定义、性质一、定义：1、傅立叶变换：当一个时间函数f(t) 既满足狄里赫利条件，又满足绝对可积条件时，其傅立叶变换成立。

正、反变换分别为：2、由傅立叶变换到Laplace 变换：在电气工程和无线电工程中，常见的函数一般均满足狄里赫利条件，但通常不满足绝对可积条件，因此不能直接进行傅立叶变换。

分析函数不满足绝对可积条件的原因是当t →∞时，函数f(t)不衰减，或不但不衰减，反而增长。

为了使f(t)变的绝对可积，选一个指数衰减因子——在电路理论中，常常把换路的瞬间记为t=0，然后研究t ＞0的过渡过程。

这就是说，激励是从t=0开始作用于电路的，响应也应定义在t ≥0。

因此，傅立叶变换中积分的下限考虑到由0-到0+可能发生的跃变，故定义为0-。

即⎰⎰∞∞-ω∞∞-ω-ωωπ==ωd e )j (F 21)t (f dte )t (f )j (F t j t j 绝对可积的函数。

减以趋于零，使其成为时不断的衰的幅度在使选得足够大，一般就可其中，乘以原函数∞→σσ-σ-t e )t (f ),t (f e t t利用拉氏变换的定义计算下列各题。

【例13-1】求单位冲激函数的拉氏变换式。

【例13-2】求单位阶跃函数和延时的阶跃函数的拉氏变换式。

【例13-2】求衰减的指数函数的拉氏变换式。

*对于常见函数的拉氏变换式可以记住，也可以查拉氏变换表。

二、拉氏变换的性质：（证明略）利用拉氏变换的性质，可以简化函数的拉氏变换的计算。

性质1°：唯一性。

象函数F(S)与半开区间 [0，∞）的时域函数f(t)存在一一对应的关系。

性质2°：线性性质。

之间是一一对应的关系与称为复频率。

）（）（简记为：傅立叶反变换式。

傅立叶正变换式。

））、（代入（时，时，当则：令）（：两边同乘以相应的傅立叶反变换：）（)t (f )s (F S )]s (F [L t f ]t f [L )s (F ds e )s (F j21)t (f dt e )t (f )s (F 21j S j S jdsd jd ds j s 2de )j (F 21)t (f e d e )j (F 21)j (F e )t (f )1()j (F dt e )t (f dt e e )t (f ]e )t (f [F 1j j st 0st tj t t j 1t 0t )j (0t j t t -∞+δ∞-δ∞--∞∞-ω+σσ-∞∞-ω-σ-∞-ω+σ-∞-ω-σ-σ-==---π=---=⎭⎬⎫∞+σ=∞→ω∞-σ=-∞→ω=ω⇒ω=ω+σ=---ωω+σπ=ωω+σπ=ω+σ=---ω+σ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰1dt e )t (dt e )t (dt e )t ()]t ([L 000s 00st t0st ⎰⎰⎰+--+----=δ=δ=δ=δS1e 'dt e )'t (e )T t (d e e )T t (dt e )T t ()]T t ([L S 10e S1dt e dt e )t ()]t ([L 000sT 0'st sT 00sT )T t (s 00st 00st 0st 0st -∞---∞----∞---∞--∞--⎰⎰⎰⎰⎰=ε=--ε=-ε=-ε=-∞-==ε=εa s 10e as 1dt e dt e e ]e [L t )a s (0t )a s (0st at at +=-∞+-===+-∞-+-∞----⎰⎰222222s s]0s *s [1]t Cos [L ]t Sin dt d[1t Cos t Cos s ]t Sin [L ω+=-ω+ωω=ωωω=ωωω+ω=ω则：解：的拉氏变换式。

求：已知：设L[f 1(t)]=F 1(S)，L[f 2(t)]=F 2(S)则：L[A 1 f 1(t)±A 2 f 2(t)]= A 1 F 1(S) ±A 2 F 2(S) 【例13-3】求下列表达式的拉氏变换式。

性质3°：时域导数性质。

【例13-4】性质4°：时域积分性质。

【例13-5】求斜坡函数的拉氏变换式。

ST2t j t j at at at e sAs A )]T t (A )t (A [L )3(2s )j s 1j s 1(j 21)]e e (j 21[L ]t Sin [L )2(as 1s 1]e [L ]1[L ]e 1[L )1()T t (A )t (A )3(tSin )2(e 1)1(-ω-ω----=-ε-εω+ω=ω+-ω-=-=ω--=-=--ε-εω-解：)0(f ...)0('f S )0(f S )S (F S )]t (f dtd[L 0t )t (f )0(f )0(f )S (SF )]t (f dtd[L )S (F )]t (f [L 0t )t (f )1n (2n 1n n nn ------------=-=-==≥推广：时的值。

在为函数。

式中则：内导数存在，若时有定义，在该定义域在设。

则：时有定义，若在设)S (F S1]d )(f [L )S (F )]t (f [L 0t )t (f t0=ξξ=≥⎰-2a t0a S1S 1*S 1)]t (*t [L )]t (r [L S 1)]t ([L d )()t (*t )t (r ==ε==εξξε=ε=⎰-则：又：解：斜坡函数性质5°：时域平移性质（延迟性质或时滞定理）。

性质6°频域平移性质。

性质7°卷积定理。

第二节运算电路在高等数学中，拉氏变换法是将给定的微分方程变换为相应的关于S 代数方程。

在电路理论中，微分方程不是给定的，是根据换路后的电路结构列出来的，而列微分方程是一个比较烦琐的过程。

因此电路的拉氏变换法从画运算电路开始，同时引入运算阻抗的概念，列出运算形式方程并求出运算形式的解，即象函数，再经过反变换得到时域形式的解。

一、无源元件的运算电路：1、电阻：选择电阻两端的电压、电流为关联参考方向，如图1-1-2。

u(t)=Ri(t)。

对该方程两边取拉氏变换得到：U(S)=RI(S) 可见，电阻的电压、电流的欧姆定律的形式未变。

电路如图13-2-1。

2、电感：选择电感两端的电压、电流为关联参考方向，如图1-2-5。

其电压、电流之间关系方程为：电感的运算电路如图13-2-2。

Li(0-)或i(0-)/s 称为电感的附加电源（或内电源）。

s1e )]t t ([L )s (F *e )]t t ()t t (f [L )s (F )]t (f [L 00st 0st 00--=-ε=-ε-=如，则设22at at )a s (]t Sin e [L )a s (F )]t (f e [L )s (F )]t (f [L ω++ω=ω+==--如，则设）（）（则：）（），（如果由于s F *s F )]t (f )t (f [L s F )]t (f [L s F )]t (f [L d )t (f )(f d )(f )t (f )t (f )t (f 21212211t0212t0121=⊗==ξξ-ξ=ξξξ-=⊗⎰⎰--为运算感纳。

其中或为运算感抗。

数值。

为电感电流在换路前的其中两边取拉氏变换，。

如果用微分形式。

或SL1S )0(i SL )S (U )S (I SL )0(i )0(Li )S (I *SL )S (U d )(i L1i dt di Lu t---∞-+=-=ξξ==⎰注意：（1）电感两端的电压由两部分组成。

（2）附加电源的参考方向。

3、电容：选择电容两端的电压、电流为关联参考方向，如图1-2-3。

其电压、电流之间关系方程为：电容的运算电路如图13-2-3。

Cu(0-)或u(0-)/s 称为电容的附加电源（或内电源） 4、互感：电路如图13-2-4(a),电压、电流参考方向如图。

为运算容纳。

为附加电源，其中或为运算容抗。

数值。

为电容电压在换路前的其中两边取拉氏变换，。

如果用积分形式。

或SC )0(Cu )0(Cu )S (U *SC )S (I SC1)0(u )S (I *SC1S )0(u )S (U d )(i C 1)0(u d )(i C1u dt du Ci t0t------∞--=+=ξξ+=ξξ==⎰⎰两边取拉氏变换⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=dt di Mdt di L u dt di M dt di L u 12222111U 1(S)=SL 1I 1(S)-L 1i 1(0-)+SMI 2(S)-Mi 2(0-) U 2(S)=SL 2I 2(S)-L 2i 2(0-)+SMI 1(S)-Mi 1(0-) 运算电路图如（b ）。

二、基尔霍夫定律的运算形式：三、象函数的求法：以R 、L 、C 串联电路为例，如图13-2-5（a ）。

运算电路如(b)。

【例13-6】求（a ）中换路后电流、电压的运算形式。

∑∑∑∑====0)S (U ,0u 0)S (I ,0i 质，则根据拉氏变换的线性性由质，则根据拉氏变换的线性性由式。

称为欧姆定律的运算形态条件下：称为运算阻抗。

在零状）（其中则电流），）中，根据在图（)S (Z )S (U )S (I SC1SL R S Z )S (Z S )0(u )0(Li )S (U SC 1SL R S )0(u )0(Li )S (U )S (I S)0(u )0(Li )S (U SC 1SL R )(S (I KVL b C C C =++=-+=++-+=-+=++------【解】首先计算t=0-的状态，确定附加电源。

步骤：（1）计算初值。