高等数学第十二章 拉普拉斯变换

第十一章 拉普拉斯变换在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。

拉普拉斯变换（简称拉斯变换）就是其中的一种。

拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。

用变拉普拉斯换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。

本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。

第一节 变拉普拉斯换的概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st在s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s 的函数dt e t f s F st -∞⎰=0)()(叫做函数)(t f 的变拉普拉斯换，记作)]([)(t f L s F =函数F （s ） 也可叫做)(t f 的像函数。

若F （s ）是)(t f 的拉)(t f 是F （s ）的拉氏逆变换（或叫做()s F 的像原函数），记作)]([)(1s f L t f -=在拉氏变换中，只要求)(t f 在),0[+∞内有定义即可。

为了研究方便，以后总假定在)0,(-∞内，)(t f ≡0。

另外，拉氏变换中的参数s 是在复数域中取值的，但我们只讨论s 是实数的情况，所得结论也适用于s 是复数的情况。

例1 求指数函数at e t f =)(（a a ,0≥是常数）的拉氏变换。

解 由拉氏变换定义有 ：dt e dt e e e L t a s st at at ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][此积分在s >a 时收敛，有⎰∞+---=)(1as dt e t a s 所以)(1][a s as e L at >-=例2 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,100)(t t t u ， 的拉氏变换。

解()[]⎰+∞-=0dt e t u L st此积分在0>s 时收敛，且有⎰∞+->=)0(1s sdt e st 所以 ()[])01>=s st u L （ 例3 求at t f =)(（a 为常数）的拉氏变换。

二、拉普拉斯变换 Method of Laplace Transforms在数学中，为了把复杂的运算转化为较简单的运算，常常采取一种变换手段，例如数量的乘积或商可以通过对数变换变成对数的和或差，然后取反对数，即得原来数量的乘积或商。

拉普拉斯变换（Laplace transform ）在某种意义上类似这种情况，它是一种微分方程或积分方程求解的简化方法。

即把微分方程通过积分变换（把一个函数变为另一个函数的变换）转换为代数方程求解，求得代数方程的解后，由逆变换（查变换表）即得原方程的解。

此法比古典法解微分方程简易方便。

（一）定义(definition)函数f (t )的拉普拉斯变换定义为：⎰∞-==0)(d )()]([s F t e t f t f L st （2-1）L[ ] 为拉普拉斯变换符号 f (t ) 为原函数即给定时间函数 S 叫参变量或拉氏运算子 F (t ) 叫象函数即f (t )的拉氏变换故函数f (t )的拉氏变换即是将该函数乘以st e -，然后从0→∞时间内定积分。

定义是由严格的数学方法推导得出的，此处从略。

拉氏变换的实质是将时间函数表达式转换为拉氏运算子S 的函数表达式。

（二）拉普拉斯变换的性质(characteristics of Laplace transform)1．常数的拉普拉斯变换 SA A L =)( （2-2）2．常数与原函数积的拉普拉斯变换)()]([)]([S AF t f AL t Af L ==（2-3）3．函数和的拉普拉斯变换)()()]([)]([)]()([212121S F S F t f L t f L t f t f L +=+=+ （2-4）4．原函数导数的拉普拉斯变换)0()(d )(d f t S L f t t f L -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （2-5）5．指数函数的拉普拉斯变换 aS e L at +=-1][ （2-6）（三）拉普拉斯变换表与常微分方程的解(The table of Laplace transform and the key ofordinary differential eguation)为了计算方便，人们已将某些函数的表达式，采用拉普拉斯积分导出了这些函数表达式的拉普拉斯变换，而造出了拉普拉斯变换表，以后查表就可省出积分步骤。

第一章 拉普拉斯变换1 拉普拉斯变换的概念定义1 设函数()t f 为[)+∞,0上的实（或复）函数，且积分()dt et f st-+∞⎰0（s 为复参量）收敛，则由此积分所确定的函数()()dt et f s F st-+∞⎰=()1称为函数()t f 的拉普拉斯变换（简称为拉式变换）．记作()()[]t f L s F =()2()s F 称为()t f 的拉氏变换（或称为象函数）．如果()s F 是()t f 的拉普拉斯变换，则称()t f 为()s F 的逆变换（或称为象原函数），记作()()[]s F Lt f 1-=．由拉普拉斯变换的定义，可以求得一些常用函数的拉普拉斯变换． 例1 求阶跃函数()⎩⎨⎧<≥=0,00,t t k t f 的拉普拉斯变换.（图1）解 根据拉普拉斯变换的定义有 ()[]()dt et f t f L st-+∞⎰=0dt e k st-+∞⎰=dt ek st⎰+∞-=0积分dt est⎰+∞-0在()0Re >s 时收敛，且有sesdt e st st110=-=∞+-+∞-⎰所以()[]sk t f L =()()0Re >s ．当1=k 时，阶跃函数称为单位阶跃函数，记作()⎩⎨⎧<≥=0,00,t t k t u ，此时有()[]st u L 1=()()0Re >s ．例2 求指数函数()ate tf =的拉普拉斯变换.(a 为复数)解 由()1.2式可得()()dt edt ee s F ta s stat ⎰⎰+∞---+∞==as -=1()()()a s Re Re >．例3 求正弦函数()kt t f sin =的拉普拉斯变换．(k 为复数) 解 []dt kt ekt L st⎰+∞-=0sin sin()dt eee istiktikt-+∞-⎰-=21⎪⎭⎫⎝⎛+--=ik s ik s i 112122ksk +=()()()()()iks ik s ik s Re Re ,0Re 0Re >>->+即且．同理可得余弦函数kt cos 的拉普拉斯变换． []22cos kss kt L +=()()()()()ik s ik s ik s Re Re ,0Re 0Re >>->+即且．2 拉普拉斯变换的存在定理定理1 若函数()t f 在[)+∞,0上满足下列条件： ()1 ()t f 在的任一有限区间上分段连续； ()2 存在常数0,0>>c M ，使得()ctMe t f ≤，则()t f 的拉普拉斯变换 ()()dt et f s F st-+∞⎰=在半平面()c s >Re 上一定存在，此时右端的积分绝对且一致收敛，而在这半平面内，()s F为解析函数．定理的条件是充分的，物理学和工程技术中常见的函数大多都满足定理的条件，因此拉普拉斯变换有着广泛的应用．但是定理的条件不是必要的，即在不满足定理条件的前提下，拉普拉斯变换仍可能存在．如函数21-t 在0=t 处不满足定理的条件()1，但从下面的例子可知它的拉普拉斯变换为sπ．例4 求幂函数()mt t f =（常数1->m ）的拉普拉斯变换．解 根据()1.2式，有[]dt et tL stm m-+∞⎰=0，令u st =，du sdt 1=，从而有du sesu dt et umm stm10-∞+-∞+⎰⎰=()11111+Γ==++∞-+⎰m sdu eu sm um m故()()111+Γ=+m stL m m()()0Re >s ．当m 为正整数时，有 ()1+=m msm t L ！ ()()0Re >s ．当21-=m 时，由于π==⎰⎰+∞-+∞-022dx edu eu xum，()u x =故sdt et stπ=-∞+-⎰21．前用我们利用拉普拉斯变换的定义求得一些较简单的函数的拉氏变换．但仅用这些来求函数的变换是并不方便的，有的甚至求不出来．本节的性质将有助于求函数的拉普拉斯变换．为叙述方便，假设所要求进行拉氏变换的函数的拉氏变换都存在，且记 ()[]()s F t f L =， ()[]()s G t g L =． １. 线性性质()()[]()[]()[]t g L t f L t g t f L βαβα+=+； ()3()()[]()[]()[]s G Ls F Ls G s F L111---+=+βαβα， ()4其中，βα,是常数．此性质的证明可由拉式变换，拉式逆变换的定义直接导出． 例5 求函数()kt e kt kt t f ++=cos sin的拉氏变换．解 ()[][][][]kte L kt L kt L tf L ++=cos sinks ksk s -+++=122()()()()()k s ik s Re Re Re Re >>且２. 微分性质()[]()()0f s sF t f L -=' ()5()()[]()()()()()000121-----'--=n n n nn ff sf ss F s t fL ()()c s >Re ()6证 根据拉氏变换的定义，有 ()[]()dt e t f t f L st-+∞⎰'='0．对右端积分利用分部积分法可得()()()dt et f s et f dt e t f ststst -+∞∞+--+∞⎰⎰+='0()[]()0f t f sL -=． 所以()[]()()0f s sF t f L -='．若利用()5式两次，可得 ()[]()[]{}''=''t f L t f L()[]()0f t f sL '-'=()()()002f sf s F s '--=．由此类推，便可得 ()()[]()()()()()000121-----'--=n n n nn ff sf ss F s t fL ()()c s >Re ．特别地，当初值()()()()00001==='=-n f f f 时，有()[]()()[]()()()[]()s F s t f L s F s t f L s sF t f L n n ==''=',,,2，()()c s >Re ．对于象函数，由拉普拉斯变换存在定理可知()s F 在()c s >Re 内解析，因而 ()()dt et f dsd s F st-+∞⎰='0()[]dt e t f dsd st-+∞⎰=0()dt et tf st-+∞⎰-=()[]t tf L -=,即 ()()[]t tf L s F -=' ()()c s >Re ()7 用同样方法可求得 ()()()()[]()2,≥-=n t f t L s Fnn ， ()()c s >Re()8因此，求象函数()s F 的导数转化为求象原函数()t f 乘以()nt -的拉氏变换，亦可反过来求解问题．例6求函数()kt t f sin =的拉式变换解 因为()kt k kt cos sin ='，()kt k kt sin sin 2-="，于是有()00=f ，()k f ='0，()00=''f ，从而 []()[]()()()00sin 22f sf s F s t f L kt k L '--=''=-，即 [][]k kt L s kt L k -=-sin sin 22．所以 []22s i n ksk ktL += ()()()()0Re Re >>s k ik s 为实数时，，Re ．例7求函数()kt k t f sin =的拉氏变换．解 已知[]22sin ksk kt L +=，等式两边对s 求导，得[]()()222222sin ks ks ks kds d dskt L d +-=⎪⎭⎫⎝⎛+=．则由()7.2式知，[]()[][]kt t L kt t L dskt L d sin sin sin -=-=．比较上述两式即得 []()2222sin kskskt t L +=．同理可得[]()22222c o s ksk sktt L +-=．3. 积分性质()()s F sdt t f L t10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ ()9()()s F s dt t f dt dt L n n t t t 1000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰次()10 证 设()()dtt f t h t⎰=，则()()t f t h ='，()00=h ． 由微分性质，有()[]()[]()()[]t h sL h t h sL t h L =-='0， 即()()[]()s F st f L sdt t f L t110==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰．重复应用()9.2式，可得 ()()s F s dt t f dt dtL n n ttt1000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ 次． 由此，我们可以把象原函数的积分运算转化为对象函数的代数运算． 另外，根据拉氏变换的存在定理，对于象函数可证得下述积分性质：()()ds s F t t f L s⎰∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ()11()()ds s F ds ds t t f L n s s s n 次⎰⎰⎰∞∞∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ()12特别地，当0,1==s n 时，有 ()()ds s F dt tt f ⎰⎰∞+∞+=． ()13 例 8 求函数()⎰=td t f 0sin τττ的拉氏变换．解 由式()9可得()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰t t L s d L t f L t sin 1sin 0τττ， 又由式()11可得[]ds t L t t L s⎰∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡sin sin ds ss⎰∞+=112s arctan 2-=π．故⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰s s d L t arctan 21sin 0πτττ． 且有211sin 02π=+=⎰⎰+∞+∞ds sdt tt ．例9 计算积分dt te ebtat⎰∞+---0．解 由()13可得[]ds eeL dt te ebtatbtat⎰⎰∞+--∞+---=-0a b ds b s a s ln 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎰∞+．4. 延迟性质当0<t 时，()0=t f ，则对任一非负实数0t ，有 ()[]()s F e t t f L st 00-=-， ()14()[]()01t t f s F eLst -=--． ()15证 由式()1可知， ()[]()dt e t t f t t f L st⎰+∞--=-000()()dt et t f dt et t f stt stt -+∞-⎰⎰-+-=0000()dt et t f stt -+∞⎰-=0 ()()00=<t f t 时()du eu f e sust -+∞-⎰=0()0t t u -=令()s F e st 0-=．故有()[]()s F et t f L st 00-=-．比较函数()t f 与()0t t f -，前者在0≥t 时有非零数值，而后者在0t t ≥时有非零数值，即向后延迟了时间0t ．从图形上来看，()t f 沿t 轴向右平移0t 就可得到()0t t f -．此性质表明，时间函数延迟0t 的拉氏变换等于它的象函数乘以指数因子0st e-．例 10 求函数()⎩⎨⎧≤≥=-000,0,1t t t t t t u 的拉氏变换． 解 因为()[]st u L 1=，所以由()14式可得()[]010st est t u L -=-．5.位移性质()()[]t f e L a s F at=- ()16()[]()t f ea s F Lat=--1()17证 由拉氏变换定义知 ()[]()dt et f et f e L statat-+∞⎰=()()()a s F dt et f ta s -==--+∞⎰．此性质表明：一个函数乘以指数函数ate 后的拉氏变换等于其象函数作位移a ． 例11 求[]matte L ．解 已知()()111+Γ=+m stL m m，由()16可知，[]()()111+Γ-=+m a s te L m mat．例12 求[]kt e L atsin ．解 因为[]22sin ksk kt L +=，所以由()16可得， []()22sin ka s kkt eL at+-=．同理可得 []()22cos ka s skt e L at +-=．6.相似性质()[]⎪⎭⎫⎝⎛=a s F a at f L 1()0>a ()18 证 令at u =，则 ()[]()dt eat f at f L st-+∞⎰=()du eu f auas -∞+⎰=1⎪⎭⎫ ⎝⎛=a s F a 1．7.卷积与卷积定理定义2 若函数()t f 1，()t f 2在0<t 时均为零，则积分()()τττd t f f t-⎰201称为函数()t f 1与()t f 2的卷积，记作()()t f t f 21*，即 ()()()()τττd t f f t f t f t-=*⎰20121． ()19由卷积定义，可证明卷积具有如下性质：()1交换律：()()()()t f t f t f t f 1221*=* ()2结合律： ()()()[]()()[]()t f t f t f t f t f t f 321321**=**()3分配律：()()()[]()()()()t f t f t f t f t f t f t f 3121321*+*=+*例 13 求函数()t t f =1和()t t f sin 2=的卷积． 解 由卷积定义可知， ()()()τττd t t f t f t⎰-=*021s i n()()ττττd t t tt ⎰---=0cos cos()t t t 0sin τ-+=t t sin -= 定理 2 （卷积定理）若()[]()s F t f L 11=，()[]()s F t f L 22=，则()()[]()()s F s F t f t f L 2121=* ()20 ()()[]()()t f t f s F s F L21211*=- ()21卷积定理表明两个函数卷积的拉氏变换等于它们各自的拉式变换的乘积．证明略． 以上卷积定理可推广到n 个函数卷积的情形． 推论 若()[]()()n k s F t f L k k ,,2,1 ==，则()()()[]()()()s F s F s F t f t f t f L n n 2121=*** ()22 例14 求函数()t t f =1和()t t f sin 2=的卷积的拉氏变换．解一 由例13知()()[][]t t L t f t f L sin 21-=*，故[][][]()11111sin sin 2222+=+-=-=*sssst L t L t t L ．解二 由卷积定理可得， [][][]()11111s i n s i n 2222+=+==*sssst L t L t t L ．8.初值定理设()[]()s F t f L =，且()[]t f L '存在，则()()s sF t f s t ∞→→=+lim lim 0()23若定义()()t f f t +→+=lim 0（假定极限存在），则称()+f 为()t f 的初值．9.终值定理设()[]()s F t f L =，()[]t f L '存在，且()s sF 的一切奇点都在s 平面的左半平面，则 ()()∞+=→f s sF s 0lim ()24其中()()t f f t +∞→=∞+lim （假定极限存在），我们也称()∞+f 为()t f 的终值．前面我们讨论了函数()t f 在拉氏变换下的象函数()s F 的问题，反过来，若已知拉氏变换下的象函数()s F ，求象原函数()t f ，此问题就是拉式逆变换问题．下面给出拉普拉斯逆变换的定义：定义3 若()[]()s F t f L =，则积分 ()()ds e s F i t f sti i ⎰∞+∞-=ααπ21（α为s 的实部） ()25建立的从()s F 到()t f 的对应称作拉普拉斯逆变换（简称拉式逆变换）．记作 ()[]()t f s F L=-1．它与拉式变换构成了一个拉式变换对．由拉普拉斯变换存在定理可得：定理 3 若()t f 满足拉普拉斯变换存在定理的条件，即()()[]t f L s F =．则()t f 在连续点处有()()ds e s F it f sti i ⎰∞+∞-=ααπ21.在()t f 的间断点处，上式右端收敛于()()[]0021-++t f t f ，其中()c s >=αRe ．若由定义来求拉式逆变换是相当困难的，下面我们介绍一些方法．（1） 利用拉式变换性质求拉式逆变换 例15 求()()()()b a b s a s s F ≠--=1的拉式逆变换．解 因为 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----=b s a s b a s F 111，所以由拉式变换的线性性质及拉式变换表知 ()[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---b s L a s L b a s F L 11111 ()btateeba --=1．()()()()[]b a s Re ,Re max Re >例16 求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1121s s L ． 解 利用高等数学中关于有理真分式的分解知识可知()11111122+++-=+s sss s，故由式()4及拉式变换表可得()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----111111121121s L s L s L s s L tet -++-=1． ()()0Re >s通过上述两个例子，我们发现，若()s F 为有理真分式时，可将()s F 进行适当分解，进一步通过查表得到每个分解式的拉式逆变换，然后利用拉式变换的线性性质求处()s F 的拉式逆变换．这种方法也可称为象原函数的部分分式法．例16求函数()11ln+-=s s s F 的拉式逆变换．解 由拉式变换的微分性质可知 ()[]()t tf s F L -='-1，而()1111+--='s s s F ，所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=-111111s s Ltt f ． 查拉式变换表可得 ()()tteet t f -=-1sht t2-= ()()1Re >s例17 求函数()922-=-sse s F s的拉式逆变换．解 因为t ch s s L 3921=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- ()()0Re >s ， ()922-=-ss e s F s，故由拉式变换的延迟性质有 ()[]()231-=-t ch s F L．例18 求函数()()223252+++=s s s F 的拉式逆变换．解 因为()()()2232122++++=s s s F ，由拉式变换的位移性质可知()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=--221132122s s Ls F L⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=--2212312s s Let⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=---2212212333132s L s s L e t， 查拉式变换表可得 ()[]⎪⎭⎫⎝⎛+=--t t es F Lt3sin 313cos 221．例19 求函数()()2211ss s F +=的拉式逆变换．解 因为 ()11122+=sss F ，故由卷积定理知 ()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--1112211s s Ls F Lt t sin *= t t sin -=例20 求函数()()2221+=sss F 的拉式逆变换．解 因为()()11122222+∙+=+=ss ss sss F ，故由卷积定理知 ()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∙+=--112211s s s sLs F Lt t cos cos *= ()()[]τττττd t t d t tt⎰⎰-+=-=2cos cos 21cos cos()02sin 21cos 21t t t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ττ ()t t t sin cos 21+=．（2） 利用留数方法此方法主要依据下面的定理．定理 4 若n s s s ,,,21 是函数()s F 的所有奇点（适当选取α使这些奇点全在()α<s Re 的范围内），且当∞→s 时，()0→s F ，则有()()[]∑⎰=∞+∞-=nk k ststi i s es F s ds e s F i 1,Re 21ααπ，即()()[]∑==nk k sts e s F s t f 1,Re ()0>t ．()26例21求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--16221s se L s ．解 由定理2.4可知 ∑=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+nk k sts s s e s se s s se L122221,16Re 16．而i s 41=，i s 42-=为函数1622+-sse s的两个一阶极点，()()()it st s t e i s e i s se s 2422221424,16Re ---===⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，()()()it st s t e i s e i s se s 2422221424,16Re ----=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+，故()()[]it i t s e e s se L24242212116-----+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ ()24cos -=t ()2>t ．以上介绍的这些方法可根据()s F 的特点灵活选择使用，也可根据具体情况将各种方法结合起来使用．我们主要介绍拉普拉斯变换在求解微分方程（组）及电学上的应用根据拉式变换的线性和微分性质可知，一个微分方程通过拉氏变换可以转换为象函数的代数方程．如果能从代数方程中解出象函数，则通过求象函数的逆变换，就可以得到原微分方程的解．因此拉式变换可用来解微分方程，下面举例说明．例 1 求微分方程133=+'+''+'''y y y y 满足初始条件()()()0000=''='=y y y 的特解．解 设()()[]t y L s Y =，方程两边取拉式变换，并结合初始条件，可得()()()()ss Y s sY s Y s s Y s 13323-=+++，解之，有()()311+=s s s Y()()321111111+-+-+-=s s s s，取逆变换得到()tttet teet y ------=2211．例2 求方程t ydt y y t=+-'⎰044满足初始条件()00=y 的解．解 设()()[]t y L s Y =，方程两边取拉式变换，则原方程变为 ()()()2144ss Y ss Y s sY =+-即()()221-=s s s Y()222124141-+--=s s s，取拉式逆变换可得()ttteet y 22214141+-=．例3求微分方程组()()2930x x x y y y ''''''-+-++= ()()2750x x x y y y ''''''++--+=满足初始条件: (0)(0)1,(0)(0)0x x y y ''====的解.解 对以上微分方程组作拉氏变换, 记()()X p L x t =⎡⎤⎣⎦, ()()Y p L y t =⎡⎤⎣⎦, 并注意初始条件: (0)(0)1,(0)(0)0x x y y ''====, 有()()1L x t p X p '=-⎡⎤⎣⎦, ()()21L x t p Xp p ''=--⎡⎤⎣⎦, ()()L y t p Yp '=⎡⎤⎣⎦, ()()2L y t p Yp ''=⎡⎤⎣⎦, 因而得()()()()2229321p p X p p p Y p p -+-++=+ ()()()()2227523pp Xp pp Yp p ++--+=+将以上两式相加和相减, 得()()()()21122,41p Xp Y p Xp Y p p p +-=+=+-于是有()2211221313434pXp p p p =++-++()2221221313434pYp p p p =---++再作拉氏逆变换, 便得()()111221122112co s 2sin 23134343t p x t LL L e t t p p p ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1112221221122co s 2sin 23134343tp y t LL L e t t p p p ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦其次, 用拉氏变换来处理一些电路中所反映出的微分方程问题.对于RLC 串联电路(见图5.2.1), 电流()i t 与电阻R 上的电压()R u t 、电感L 上的电压()L u t 及电容C 上的电压()C u t 满足如下的关系式()()()(),,R L d i t u t R i t u t Ld t==()()001,tC u t i t d t q c ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰ (1) 这里0q 表示0t =时电容C 上的电量. 以()I p 表示()i t 的拉氏变换, 或叫运算电流, 又以()RU p 、()L U p 、()C U p 分别表示()R u t 、()L u t 、()C u t 的拉氏变换, 它们都叫运算电压. 由(1.3) 、(1.10) 、(1.13)与(1.16), 有()()()()()()00,1,RL C U p R I p U p L p Ip i U p Ip q C p⎧==-⎡⎤⎣⎦⎪⎨=+⎡⎤⎪⎣⎦⎩(2)其中0i 表示初始时刻0t =电路中的电流. 由于电源电压()()()()R L C u t u t u t u t =++, 如果000i q ==, 则()u t 的拉氏变换为()()()()()()()1R L C Up U p U p U p R L p Ip Zp I p C p ⎡⎤=++=++=⎢⎥⎣⎦(3)此处()1Z p R L p C p=++称为总运算阻抗, 而R 、L p 、1C p分别称为电阻R 、电感L 、电容C 的运算阻抗.一般地说, 当两个运算阻抗为()1Z p 、()2Z p 的元件串联时, 则两个元件上电压的拉氏变换为()()()11U p Z p I p =、()()()22U p Z p I p =,而总电压的拉氏变换为()()()()()()()()1212Up U p U p Z p Z p I p Zp I p =+=+=⎡⎤⎣⎦. (4)类似地, 当两个运算阻抗为()1Z p 、()2Z p 的元件并联时, 总电压的拉氏变换为()()()()()1122Up Z p I p Z p I p ==, (5)而总电流的拉氏变换为()()()()()()()()12121212Up Up Z Z Ip I p I p Up Z p Z p Z Z +=+=+=, (6)所以()()1212Z Z Up Ip Z Z =+. (7)例4 设RLC 串联电路接上电压E 的直流电源, 由在初始时刻0t =的电路中的电流00i =, 电容C 上没有电量即00q =, 求电路中电流()i t 的变化规律?解 由于()()()R L C u t u t u t E ++=, 又000i q ==, 从(2.1), 有()01td i R i Li t d t E d t c++=⎰. (8)由性质, 可知电压E 的拉氏变换为E p, 又由(3), 知(8)式左边的拉氏变换为,()()()()1Up Zp I p R L p Ip C p ⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦,所以有()()21111EUp E p I p R L R L p R L p p p C p C p L C L===++++++(9)()()()121212111E ELp p L p p λλλλλλ⎡⎤==-⎢⎥-----⎣⎦, 这里记21,2R L L Cαβ==,而12λαλα=-+=--是代数方程210R p p LC L++=的两个根.1) 当αβ>,即R >,则从(1.6)式,可求得()I p 的拉氏逆变换,即()1212(),0.ttE i t e et L λλλλ⎡⎤=-≥⎣⎦- （10） 2) 当αβ<,即R <时, 12,λλ是一对共轭复数,即12j λαλα=-+=--=此时同样可得()1212()ttE i t e eL λλλλ⎡⎤=-⎣⎦-((ttE e eαα-+-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦(11)sin ,0.tEt α-=≥3) αβ=,即R =, 12λλα==-,则有2211()1()E E I p R L L p p p L C Lα==+++.从而可求得()I p 的拉氏逆变换 (),0tE i t tet L α-=≥. （12）如果R L C 串联电路的电源是正弦式电压0()sin u t u t ω=, 而()u t 的拉氏变换为[]022()u L u t p ωω=+,则由微分方程001()sin ,0,t d i R i Li t d t u t t d t Cω++=≥⎰(13)即初始条件:000,0i q ==, 可得 , 0222()()1()()()u p A p I p B p p L p R p Cωω==+++(14)这里0()A p u p ω=,2221()()()B p p L p R p Cω=+++都是实系数的多项式, ()B p的根是00,,),)22R R i i p p L Lωω--+=--=,若设2110,()04R L CLω>->,则02()1()2()u A i B i L R i Cωωωωω='-++00022000()()()(2)A p u pB p p L p R ωω='++,再由(1.22)式, 便得()I p 的拉式逆变换(2.15)000222001()R e 2R e ,1()(2)p t i tp i t u e e t o p L p R L R i C ωωωωω⎡⎤⎢⎥=+≥⎢⎥++⎢⎥-++⎣⎦.例1 对于图5.2.2所示的电路, 输入电压即电源电压为E (常数), 又初始时刻0t =的电流00i =,电容上的电量00q =, 求输出电压()u t 出.解 已知输入电压(),0u t E t =>入, 要求输出电压(),0u t t >出, 用()U p 入, ()U p 出分别表示()u t 入, ()u t 出的拉氏变换, 而()E U p p=入, 以()i t 表示通过电路的总电流(见图5.2.2), ()I p 是()i t 的拉氏变换. 因电阻1R 与电容1C 是并联着的, 其运算抗阻为11111111111111R C R C p R R Z R C ppR C pτ===+++,这里111R C τ=, 又设222R C τ=, 则电阻2R 与电容2C 是并联运算抗阻为222222211RC R R Z R C ppτ==++于是电路的总运算阻抗为()()()11221212211212121111R C RC R R R R pR R Z Z Z ppp p ττττττ+++=+=+=++++,而输出运算电压()U p 入与输入运算电压()U p 出之比()()()()()()()()2222221212111RC RC R Z p I p Z p U p p R R U p Zp I p Zp ppτττ+===+++出入 (16)11211122122111111pR p R R p R pR R τττττ+==+⎛⎫++++ ⎪+⎝⎭上述函数称为此电路的传递函数, 它描述了整个电路的特征. 从(2.16)式, 并注意()U p E p =入, 又设121a R R =+, 1212b R R ττ=+, 可得()()()()1111111E b a E b a p p E E E a U p U p a b pp a b pa pa b ppp a bττττ--++===+=+++++入出(17)虽然这里没有列出描述电路的微分方程, 但仍得到了输出运算电压()U p 出的具体表示式, 这显示了用拉氏变换处理线性电路问题的优点. 对(17)式, 作拉氏逆变换, 即得输出电压. ()11,0at b Eu t E e t a ba τ-⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭出. (18)1)当12ττ=时, ()201212,01R E E u t u t R R R R ===>++出；2) 当1τ《2τ时, ()121200,0R R tR R u t u u e t +-≈->出；3)当1τ》2τ时, ()12121012,0R R tR R R E u t u e t R R +-≈+>+出，从以上情况可以看出: 当111222R C R C ττ===时, 便是无失真的输出, 电压幅度衰减为)(212R R R +倍, 因此上述电路可用来作为衰减器.。

第十二章 拉普拉斯变换第一节：拉普拉斯(Laplace)变换概念与性质一、拉普拉斯变换的概念1、定义1、设函数()f t 的定义域为[0,)+∞，如果广义积分 ()()0pt F p f t e dt +∞-=⎰在参数p 的某一区间内收敛，则称该式为()f t 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，并记为：()L f t ⎡⎤⎣⎦ ，即()()()0ptL f t F p f t edt +∞-⎡⎤==⎣⎦⎰其中，()F p 称之为()f t 的“像函数”，而()f t 称之为()F p 的“像原函数”，也称之为()F p 的拉普拉斯“逆变换”，记作；()1L F p -⎡⎤⎣⎦，即()()1f t L F p -⎡⎤=⎣⎦说明：（1）因定义中只要求()f t 在0t ≥时有定义，为讨论方便，今后总假定在0t <时，()0f t =（2）在更深入的讨论中，参数p 可在复数范围内取值，由此可见，求函数()f t 的拉普拉斯变换，实质上就是通过广义积分转换成一个新的函数()F p ，它是一种“积分变换”。

拉普拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，在工程技术领域有着广泛和重要的应用。

例1、求单位阶梯函数()01t h t t <⎧=⎨≥⎩ 的拉普拉斯变换 解：根据拉普拉斯变换的定义，知()01ptL h t e dt +∞-⎡⎤=∙⎣⎦⎰，该广义积分在0p >时收敛，（100px p e e -∞>→→=）， 而广义积分：0001111|pt pt p e dt e e p p e p+∞--+∞∙∞⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰ ()0p >所以，()()0110ptL h t e dt p p+∞-⎡⎤=∙=>⎣⎦⎰例2、求指数函数 ()at f t e = 的拉普拉斯变换 解：()()()()0p a t pt at pt L f t F p f t e dt e e dt e dt +∞∞∞----⎡⎤===∙=⎣⎦⎰⎰⎰由例1可知，当0p a p a ->→>时收敛，且有；()1at L e p a p a⎡⎤=>⎣⎦-例3、求函数 ()f t at = 的拉普拉斯变换 解：()0pt L at at e dt ∞-=∙⎰()1ptpt pt pt pt pt a a a at e dt td e te e dt te e C p p p p ------⎡⎤⎡⎤∙=-=--=-++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 当100t pt p e e →+∞-∞>→−−−→=，110t pt pt t e pe →+∞−−−→===∞()()210000a aL at p p p p ⎡⎤=--+-=>⎢⎥⎣⎦用类似的方法还可得：()22sin (0)L t p p ωωω=>+()22cos (0)pL t p p ωω=>+附录：常用函数的拉普拉斯变换： 1、()()()1f t t F p δ=→=2、()()()()110f t h t t F p p==≥→= 3、()()1!n n n f t t F p p +=→= 4、()()2a f t at F p p =→= 5、()()1at f t e F p p a=→=- 6、()()()1at af t e F p p p a -=-→=+7、()()()21at f t te F p p a =→=- 8、()()()1!n at n n f t t e F p p a +=→=- 9、()()22sin f t t F p p ωωω=→=+10、()()22cos pf t t F p p ωω=→=+ 11、()()()22sin cos sin p f t t F p p ϕωϕωϕω+=+→=+ 12、()()()22cos sin cos p f t t F p p ϕωϕωϕω-=+→=+13、()()()2222sin p f t r t F p pωωω=→=+ 14、()()()22222cos p f t r t F p pωωω-=→=+15、()()()22sin at f t e t F p p a ωωω-=→=++ 16、()()()22cos at p af t e t F p p a ωω-+=→=++17、()()()()222111cos f t at F p a p p a=-→=+ 18、()()()()()at bt a b f t e e F p p a p b -=-→=--19、()()f t F p =→=20、()()f t F p =→=2、定义2（狄拉克Dirac,简称δ函数或称单位脉冲函数）设：()00100t t t t εδεεε<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 当0ε→时，()()0lim t t εεδδ→=称之为狄拉克函数，简称为δ函数。

第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。

我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。

本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

第一节拉普拉斯变换（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。

一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。

例12.1求斜坡函数()f t at =（0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。

解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，0000→→→→εεεε，即1)]([=t L δ。

例12.3现有一单位阶跃输入0,()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。

解：00011[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。

例12.4求指数函数()at f t e =（a 为常数）的拉氏变换。

解：()001[]atat ptp a t L e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。

能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。

能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。

理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。

会判定系统的稳定性。

知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。

0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。

0σ与函数()f t 的性质有关。

2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。