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laplace变换习题答案
Laplace变换习题答案
Laplace变换是一种非常重要的数学工具，它在控制工程、电路分析、信号处理等领域都有着广泛的应用。
通过Laplace变换，我们可以将一个复杂的微分方
程转化为一个简单的代数方程，从而更容易地解决问题。
在学习Laplace变换的过程中，习题是非常重要的一部分。
通过做习题，我们
可以更好地理解Laplace变换的原理和应用。
下面，我们来看几道Laplace变换的习题，并给出相应的答案。
1. 计算函数f(t) = e^(-2t)的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{e^(-2t)} = 1/(s+2)。
2. 计算函数f(t) = sin(3t)的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{sin(3t)} = 3/(s^2+9)。
3. 计算函数f(t) = t^2的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{t^2} = 2/s^3。
通过以上习题的解答，我们可以看到Laplace变换的计算并不复杂，只需要根
据定义进行变换即可。
但在实际应用中，可能会碰到更复杂的函数，需要运用
一些技巧和公式来进行计算。
因此，熟练掌握Laplace变换的原理和方法，对
于我们解决实际问题将会有很大的帮助。
总之，通过做Laplace变换的习题，我们可以更好地掌握这一重要的数学工具，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望大家能够认真对待Laplace变换，
多加练习，提高自己的数学水平。
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dt tete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
3．求下列函数的Laplace 变换式：（2）42()t f t t e =220(4)4251[]2124[].2(2)tt st te e e dt s t e s s +∞-==-⎛⎫==⎪--⎝⎭⎰解：由象函数的微分性质可得，L L（3）()cos f t t t =()()200'22221[cos ][][][]2211112211[cos ].1(1)it it it it it st it st e e t e e se e dt e e dt s i s i s s s t t s s --+∞+∞---+==+⎛⎫=+=+= ⎪-++⎝⎭-⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭⎰⎰解：由象函数的微分性质可得，L L L L L 4．若[]()()f t F s =L，证明：()()∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰S f t F s ds t L 或1()[()]∞-=⎰Sf t t F s ds L 。
并利用此结论，计算下列式子： （1）sin ()ktf t t=，求()F s .（2）22()(1)sF s s =-，求()f t . 0000()()()()()()st st st sts s S f t f t e e dt f t dt f t e dsdt f t e dtds F s ds t t t -∞∞∞∞∞∞∞---⎡⎤=====⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§3 Laplace 逆变换 §4 卷积一、选择题1．函数221s s +的Laplace 逆变换212[]1s s -=+L [ ] （A ）()cos t t δ+ （B ）()cos t t δ- （C ）()sin t t δ+ （D ）()sin t t δ-22222111122222()0.111(0).11111[][1][1][]11111()Res[,]Res[,]11()()sin 2st st it its F s s s s s s s s s t e i e i s s e e t t t i δδδ-----⎛⎫ ⎪→∞→ ⎪ ⎪=-→ ⎪+++ ⎪ ⎪=-=- ⎪+++ ⎪⎛⎫ ⎪=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭ - =-=- ⎝⎭利用留数方法。
注：留数方法的条件要求当时，函数此时从而L L L L ⎪⎪⎪ 2．函数22s s e e s ---的Laplace 逆变换212[]ss e e s----=L [ ] （A ）(2)2(1)u t u t --- （B ）(1)2(2)u t u t ---（C ）2(1)(2)u t u t --- （D ）2(2)(1)u t u t ---2221111[()][(1)][(2)]2[]2[][]2(1)(2)s ss s s su t s e e u t u t s s e e e e u t u t s s s ---------⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪- ⎪=-=--- ⎪⎝⎭已知，由延迟性质可知，及，从而L L L L L L 3．设()sin()3f t t π=-，则[()]f t =L [ ]（A）212(1)s + （B）22(1)s s + （C ）3211s e s π-+ （D ）321s s e s π-+()()333333[sin()][][][]32221122i ii t i t it it i ie e e e t e e i i i e e i s i i s i πππππππ------⎛⎫- ⎪-==- ⎪ ⎪ ⎪=⋅-⋅= ⎪-+⎝⎭L L L L 二、填空题1．设()(35)f t u t =-，则[]()f t =L。
5551[(35)][(3)]33s sse e u t e u t s s ---⎛⎫⎪-==⋅= ⎪⎪⎝⎭L L 2．函数41(2)s s ++的Laplace 逆变换141(2)s s -⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦L 。
()'''221442111(3)Res[,-2]=(2)(2)3!6stt st s s e s s t t e e s s --=-⎛⎫⎡⎤+⎡⎤++-⎣⎦⎪==⎢⎥ ⎪++⎣⎦⎝⎭L 3．函数1ss +的Laplace 逆变换11s s -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L 。
[]111111111111()Res[,1]()1st t s s s s t e t e s δδ-----⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪=--=-⎪+⎝⎭L L L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换式：（1）2()32f t t t =++[][][][]222'''3232321()3()21()11123232t t t t t u t t u t u t s s s s s s ⎡⎤⎡⎤++=++⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⋅+⋅+⋅⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L L（2）2()sin t f t e t -=[]2221sin 11sin (2)1tt s e t s -=+⎡⎤=⎣⎦++由，则L L2．若[]()()f t F s =L，且a 为正实数，证明[]1()()sf at F a a =L[]0011()()()()()s at s staad s f at f ate dtf ef e d F a a a aτττττττ=+∞+∞+∞-⋅-⋅-====⎰⎰⎰L3．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）。
（1）22()(1)(4)sF s s s =++[]22122222()2.(1)(4)()Res[(),]Res[(),]Res[(),2]Res[(),2]()(4)()(4)(1)(2)(1st st st st st st st sts i s i s i sF s z s i s i s s F s F s e i F s e i F s e i F s e i se se se se s i s s i s s s i s -==-===±=±++=+-++-=+++++-++++函数在平面上具有四个奇点和，它们都是一阶极点由留数方法可知，L2)(2)cos cos23s i s i t t=---=（2）21()6s F s s s +=+-4．若[()]()f t Fs =L ，证明[()]()tf t F s '=-L ，并利用此结论，设1()ln1s F s s +=-，计算()f t 。
11111()lnln(1)ln(1)111'()111111()['()][][][]1111()t tt ts F s s s s F s s s tf t F s e e s s s s e e f t t ------+==+---⇒=-+-⇒==-=-=-+-+--⇒=L L L L5．求下列卷积：（1）tt e *001t t tt t t t tt t tt t to t e e d e e d e de e e e d e te e t e τττττττττττττ-------*===-⎡⎤⎡⎤=-+=--=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰法一：222'2022112111[][][]1(1)10(1)1Res[,0]1;(1)1Res[,1](1)1[] 1.(1)t t stst s st stts t t e t e s s s s s s s s ee t s s s e e e s s se t s s ==-*=⋅=⋅=--=-=⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭==-=---法二：由于函数在复平面上具有一个二阶极点和一个一阶极点，从而由留数方法可知，L L L L（2）sin sin (0)kt kt k *≠222222222222'2222220'2222220[sin sin ][sin ][sin ]()()Res[,]();()()44Res[,]()()stst kti s st st s k k k kt kt kt kt s k s k s k k s ki s k k ek e i tki e s k s ki k k ek e ki s k s ki ==*=⋅=⋅=+++=±+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫-= ⎪+-⎝⎭法二：由于函数在复平面上具有两个个二阶极点，从而L L L 21222()4422sin cos []()().()22kti kti kti i te k k i i kt t kt t e t e s k k k k ---=-=-++-=-+由留数方法可知，L积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§5 Laplace 变换的应用 综合练习题一、选择题1．设[()]()f t F s =L ，则下列公式中，不正确的是 [ ]（A ）1()(1)()[()]n n n f t F s t--=L （B ）1()[()](0)()f t sF s f t δ-'=-L（C ）10()()[]tF s f t dt s-=⎰L （D ）1()[()]at e f t F s a -=+L 2．利用Laplace 变换的性质，实积分sin (0)at te btdt a +∞->⎰的值为 [ ]（A ）22222()b a a b -+ （B ）22222()a b a b -+ （C ）2222()ab a b + （D ）2222()ab a b -+二、填空题1．设3()sin 2t f t te t -=，则[()]f t =L 。
