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laplace变换习题答案
Laplace变换习题答案
Laplace变换是一种非常重要的数学工具，它在控制工程、电路分析、信号处理等领域都有着广泛的应用。
通过Laplace变换，我们可以将一个复杂的微分方
程转化为一个简单的代数方程，从而更容易地解决问题。
在学习Laplace变换的过程中，习题是非常重要的一部分。
通过做习题，我们
可以更好地理解Laplace变换的原理和应用。
下面，我们来看几道Laplace变换的习题，并给出相应的答案。
1. 计算函数f(t) = e^(-2t)的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{e^(-2t)} = 1/(s+2)。
2. 计算函数f(t) = sin(3t)的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{sin(3t)} = 3/(s^2+9)。
3. 计算函数f(t) = t^2的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{t^2} = 2/s^3。
通过以上习题的解答，我们可以看到Laplace变换的计算并不复杂，只需要根
据定义进行变换即可。
但在实际应用中，可能会碰到更复杂的函数，需要运用
一些技巧和公式来进行计算。
因此，熟练掌握Laplace变换的原理和方法，对
于我们解决实际问题将会有很大的帮助。
总之，通过做Laplace变换的习题，我们可以更好地掌握这一重要的数学工具，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望大家能够认真对待Laplace变换，
多加练习，提高自己的数学水平。
题目：已知()t t f 5.0=，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.221sD. s 21 分析与提示：由拉氏变换的定义计算，可得()[]215.0s t f L = 答案：C题目：函数f (t )的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式。
答案：dt e t f st ⎰∞-0)(题目：函数()atet f -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式可得，且f(t)为基本函数。
答案：as +1题目：若te t tf 22)(-=，则()=)]([t f L 【 】A.22+s B.3)2(2+s C.22-s D.3)2(2-s分析与提示：拉氏变换定义式可得，即常用函数的拉氏变换对，3)2(2)]([+=s t f L 答案：B题目：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足 条件。
分析与提示：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足狄里赫利条件。
答案：狄里赫利题目：已知()15.0+=t t f ，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.s s1212+ D. s 21分析与提示：由拉氏变换的定义计算，这是两个基本信号的和，由拉氏变换的线性性质，其拉氏变换为两个信号拉氏变换的和。
()[]s st f L 115.02+= 答案：C题目：若()ss s s F ++=214，则()t f t ∞→lim )=( )。
【 】A. 1B. 4C. ∞D. 0分析与提示：根据拉氏变换的终值定理)(lim )(lim )(0s sF t f f s t →∞→==∞。
即有414lim )(lim 20=++=→∞→ss s st f s t答案：B题目：函数()t et f atωcos -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：基本函数t ωcos 的拉氏变换为22ω+s s，由拉氏变换的平移性质可知()[]()22ω+++=a s as t f L 。
第二章拉普拉斯(Laplace) 变换第二节Laplace变换的性质1. 线性性质若α, β 是常数，且ℒ[f 1(t )]=F 1(s ),ℒ[f 2(t )]=F 2(s ),则有ℒ[αf 1(t )+ βf 2(t )]=α F 1(s )+β F 2(s )ℒ−1[α F 1(s )+β F 2(s )]=α f 1(t )+β f 2(t )此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.2. 微分性质若ℒ[ f (t )]=F (s ),则ℒ[ f '(t )]= sF (s ) -f (0)e ()()deststf t f t +∞+∞−−=−∫证明0[()]()ed stf t f t t +∞−′′=∫L 0e d ()stf t +∞−=∫[()](0)s f t f =−L 0(0)()e d stf s f t t+∞−=−+∫()]()(0)(Re())f t sF s f s c ′=−>推论:若L [ f (t )]=F (s ), 则L [ f ''(t )]=s L [f '(t )]-f '(0)特别, 当初值 f (0)= f '(0)=......= f (n -1)(0)=0时, 有ℒ[ f '(t )]= sF (s ),ℒ[f ''(t )]=s 2F (s ), ......,ℒ[ f (n )(t )]=s n F (s )=s {s L [ f (t )]-f (0)} –f '(0)= s 2 L [ f (t )] –s f (0) -f '(0)…...L L [ f (n )(t )]=s LL [ f (n -1)(t )]-f (n -1)(0)=s n F (s ) -s n -1f (0) -s n -2f '(0) -...... -f (n -1)(0)10).mm m t s s+=>由于f (0) = f '(0)=…...= f (m -1)(0)= 0, 而f (m )(t ) =m !例1. 利用微分性质, 求函数f (t )=t m 的拉氏变换, 其中m 是正整数.解即所以ℒ[m !]= ℒ[ [f (m )(t )]=s m ℒ[ f (t )]!!]! [1]m m m s ==L 111(Re()0).m m s ++>）(1m t m t e dt ∞−Γ+∫+0）=象函数的微分性质:若ℒ[ f (t )]=F (s ), 则F '(s )= ℒ[-t f (t )], Re(s )>c .和F (n )(s )= ℒ[(-t )n f (t )], Re(s )>c .d d ()()e d stF s f t t +∞−=∫证明0()e d ()e d d stf t t tf t t s +∞−=−∫()]tf t −()()]()()](1)()nn t F s f t Fs ′=−=−例2.求函数f (t )=t sin kt 的拉氏变换.22[sin ]kkt s k=+∵2222222222221()()s s ks k s k s k −−=+++解由象函数的微分性质知22d [sin ]k t kt k =− L 2222()kss k =+22d d s s s k=− +3. 积分性质若ℒ[ f (t )]=F (s ), 则01()d ()tf t t F s s= ∫L []11)d ()()t f t F s ss== L 证明设0()()d ,t h t f t t =∫则()(),(0)0h t f t h ′==且 [()](0) [()],s h t h s h t −=L L重复应用上式, 就可得到:)9.2()(1d )(d d }{000s F s t t f n t t n ttt=∫∫∫次L象函数的积分性质:若ℒ[ f (t )]=F (s ),则0()d ()e d d tssF f t t ττττ∞∞+∞−=∫∫∫()e d d tsf t tττ+∞∞−=∫∫e d t s t τ∞− 0()e d st f t t t +∞−=∫()f t t =L ()()d sf t F s st ∞=∫L象函数的积分性质:,()d d ()d n s s s f t s s F s st ∞∞∞= ∫∫∫一般地有L例3 求函数sin()ktf tt=的拉氏变换.()()dsf tF s st∞=∫L(其中F (s )= ℒ[ f (t )]).,d )(d )(0,)10.2(,d )(000∫∫∫∞∞++∞==s s F t tt f s t t t f 则有取式按存在如果积分2|arctan d 11,110022π==+=+=∞∞∫s s s t s 则有()()d s f t F s s t ∞ =∫L4.位移性质若ℒ[ f (t )]=F (s ),则有ℒ[e at f (t )]=F (s -a )(Re(s -a )>c ).(2.12)0[e ()]e ()e d atatstf t f t t+∞−=∫L =F (s -a )(Re(s -a )>c )证根据拉氏变换式, 有()0()ed s a tf t t+∞−−=∫22[sin ],kkt s k=+已知 由位移性得L 例4求ℒℒ[e -at sin kt ]2[esin ]atkkt k−=+L sin 3]t =23(2)9s ++sin 3]t =23(1)9s −+5. 延迟性质若ℒ[ f (t )]=F (s ), 又t <0时f (t )=0,则对于任一非负数τ ≥0, 有ℒ[ f (t −τ)]= e −s τF (s )(2.13)[()]()e d stf t f t tττ+∞−−=−∫L 证由拉氏变换的定义得)e d tτ−()ed stf t tττ+∞−−())ed s u u u τ−+,,d d u t u t u τ=+=() (R e())s s c >0e()ed s suf u uτ+∞−−=∫函数f (t −τ)与f (t )相比, f (t )从t =0开始有非零数值. 而f (t −τ)是从t =τ (τ ≧0)开始才有非零数值. 即延迟了一个时间τ. 从它的图象讲, f (t −τ) 是由f (t )沿t 轴向右平移τ 而得, 其拉氏变换也多一个因子e −s τ.tτf (t )f (t −τ)例5求函数0(),(0)1t u t t ττττ< −=>> 1[()]s u t eττ−−=L 的拉氏变换.τt1[()],u t s=已知L 根据延迟性性质小结性质小结，，设ℒ[ f (t ) ]= F (s )，ℒ[ g (t ) ]= G (s )()()()()f t g t F s G s αβαβ+↔+线性() ()(0)f t sF s f ′↔−微分()12(1)() ()(0)(0)(0)n n n n n ft s F s sf sf f−−−↔−′−−− ()()n s ()d F s s τ↔()()s t F s ds∞↔∫() ()t F s a ↔−) () (0,()00)s t s t e F f ττ−<↔<≥且性质小结性质小结，，设ℒ[ f (t ) ]= F (s )，ℒ[ g (t ) ]= G (s )相似性(书P92,2)常见函数的拉氏变换1(), (0)s f at F a a a↔>ℒ[ 1 ]=122k k+22ss k+1(1)m m s+Γ+ℒ[ ]=mt 1!m m s +ℒ[ ]=mt m 为正整数利用常见函数的拉氏变换以及拉氏变换的性质可求：利用常见函数的拉氏变换以及拉氏变换的性质可求：1、其他函数的拉氏变换2、拉氏逆变换求解微分、、积分方程3、求解微分例6.求下列函数的拉氏变换F (s ).(1)()sin ,2t f t at a=4(2)()cos 4,t f t e t −=30sin 2.t u e u du −∫(1)te −−例7.求下列函数的拉氏逆变换f (t ).41(1) (),(1)F s s =+21(2) (),(4)F s s s =+2.413s ++作业P92: 1(1, 3, 5, 7, 9); 2(4); 3(1, 4);4(4); 6(2, 4, 6)。
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dt tete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
3．求下列函数的Laplace 变换式：（2）42()t f t t e =220(4)4251[]2124[].2(2)tt st te e e dt s t e s s +∞-==-⎛⎫==⎪--⎝⎭⎰解：由象函数的微分性质可得，L L（3）()cos f t t t =()()200'22221[cos ][][][]2211112211[cos ].1(1)it it it it it st it st e e t e e se e dt e e dt s i s i s s s t t s s --+∞+∞---+==+⎛⎫=+=+= ⎪-++⎝⎭-⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭⎰⎰解：由象函数的微分性质可得，L L L L L 4．若[]()()f t F s =L，证明：()()∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰S f t F s ds t L 或1()[()]∞-=⎰Sf t t F s ds L 。
并利用此结论，计算下列式子： （1）sin ()ktf t t=，求()F s .（2）22()(1)sF s s =-，求()f t . 0000()()()()()()st st st sts s S f t f t e e dt f t dt f t e dsdt f t e dtds F s ds t t t -∞∞∞∞∞∞∞---⎡⎤=====⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§3 Laplace 逆变换 §4 卷积一、选择题1．函数221s s +的Laplace 逆变换212[]1s s -=+L [ ] （A ）()cos t t δ+ （B ）()cos t t δ- （C ）()sin t t δ+ （D ）()sin t t δ-22222111122222()0.111(0).11111[][1][1][]11111()Res[,]Res[,]11()()sin 2st st it its F s s s s s s s s s t e i e i s s e e t t t i δδδ-----⎛⎫ ⎪→∞→ ⎪ ⎪=-→ ⎪+++ ⎪ ⎪=-=- ⎪+++ ⎪⎛⎫ ⎪=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭ - =-=- ⎝⎭利用留数方法。
注：留数方法的条件要求当时，函数此时从而L L L L ⎪⎪⎪ 2．函数22s s e e s ---的Laplace 逆变换212[]ss e e s----=L [ ] （A ）(2)2(1)u t u t --- （B ）(1)2(2)u t u t ---（C ）2(1)(2)u t u t --- （D ）2(2)(1)u t u t ---2221111[()][(1)][(2)]2[]2[][]2(1)(2)s ss s s su t s e e u t u t s s e e e e u t u t s s s ---------⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪- ⎪=-=--- ⎪⎝⎭已知，由延迟性质可知，及，从而L L L L L L 3．设()sin()3f t t π=-，则[()]f t =L [ ]（A）212(1)s + （B）22(1)s s + （C ）3211s e s π-+ （D ）321s s e s π-+()()333333[sin()][][][]32221122i ii t i t it it i ie e e e t e e i i i e e i s i i s i πππππππ------⎛⎫- ⎪-==- ⎪ ⎪ ⎪=⋅-⋅= ⎪-+⎝⎭L L L L 二、填空题1．设()(35)f t u t =-，则[]()f t =L。
5551[(35)][(3)]33s sse e u t e u t s s ---⎛⎫⎪-==⋅= ⎪⎪⎝⎭L L 2．函数41(2)s s ++的Laplace 逆变换141(2)s s -⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦L 。
()'''221442111(3)Res[,-2]=(2)(2)3!6stt st s s e s s t t e e s s --=-⎛⎫⎡⎤+⎡⎤++-⎣⎦⎪==⎢⎥ ⎪++⎣⎦⎝⎭L 3．函数1ss +的Laplace 逆变换11s s -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L 。
[]111111111111()Res[,1]()1st t s s s s t e t e s δδ-----⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪=--=-⎪+⎝⎭L L L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换式：（1）2()32f t t t =++[][][][]222'''3232321()3()21()11123232t t t t t u t t u t u t s s s s s s ⎡⎤⎡⎤++=++⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⋅+⋅+⋅⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L L（2）2()sin t f t e t -=[]2221sin 11sin (2)1tt s e t s -=+⎡⎤=⎣⎦++由，则L L2．若[]()()f t F s =L，且a 为正实数，证明[]1()()sf at F a a =L[]0011()()()()()s at s staad s f at f ate dtf ef e d F a a a aτττττττ=+∞+∞+∞-⋅-⋅-====⎰⎰⎰L3．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）。
（1）22()(1)(4)sF s s s =++[]22122222()2.(1)(4)()Res[(),]Res[(),]Res[(),2]Res[(),2]()(4)()(4)(1)(2)(1st st st st st st st sts i s i s i sF s z s i s i s s F s F s e i F s e i F s e i F s e i se se se se s i s s i s s s i s -==-===±=±++=+-++-=+++++-++++函数在平面上具有四个奇点和，它们都是一阶极点由留数方法可知，L2)(2)cos cos23s i s i t t=---=（2）21()6s F s s s +=+-4．若[()]()f t Fs =L ，证明[()]()tf t F s '=-L ，并利用此结论，设1()ln1s F s s +=-，计算()f t 。
11111()lnln(1)ln(1)111'()111111()['()][][][]1111()t tt ts F s s s s F s s s tf t F s e e s s s s e e f t t ------+==+---⇒=-+-⇒==-=-=-+-+--⇒=L L L L5．求下列卷积：（1）tt e *001t t tt t t t tt t tt t to t e e d e e d e de e e e d e te e t e τττττττττττττ-------*===-⎡⎤⎡⎤=-+=--=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰法一：222'2022112111[][][]1(1)10(1)1Res[,0]1;(1)1Res[,1](1)1[] 1.(1)t t stst s st stts t t e t e s s s s s s s s ee t s s s e e e s s se t s s ==-*=⋅=⋅=--=-=⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭==-=---法二：由于函数在复平面上具有一个二阶极点和一个一阶极点，从而由留数方法可知，L L L L（2）sin sin (0)kt kt k *≠222222222222'2222220'2222220[sin sin ][sin ][sin ]()()Res[,]();()()44Res[,]()()stst kti s st st s k k k kt kt kt kt s k s k s k k s ki s k k ek e i tki e s k s ki k k ek e ki s k s ki ==*=⋅=⋅=+++=±+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫-= ⎪+-⎝⎭法二：由于函数在复平面上具有两个个二阶极点，从而L L L 21222()4422sin cos []()().()22kti kti kti i te k k i i kt t kt t e t e s k k k k ---=-=-++-=-+由留数方法可知，L积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§5 Laplace 变换的应用 综合练习题一、选择题1．设[()]()f t F s =L ，则下列公式中，不正确的是 [ ]（A ）1()(1)()[()]n n n f t F s t--=L （B ）1()[()](0)()f t sF s f t δ-'=-L（C ）10()()[]tF s f t dt s-=⎰L （D ）1()[()]at e f t F s a -=+L 2．利用Laplace 变换的性质，实积分sin (0)at te btdt a +∞->⎰的值为 [ ]（A ）22222()b a a b -+ （B ）22222()a b a b -+ （C ）2222()ab a b + （D ）2222()ab a b -+二、填空题1．设3()sin 2t f t te t -=，则[()]f t =L 。
