压杆稳定(1)

浙江大学材料力学实验报告（实验项目：压杆稳定）一、实验目的：1、观察压杆的失稳现象；2、测定两端铰支压杆的临界压力；3、观察改变支座约束对压杆临界压力的影响。

二、设备及装置：1. 带有力传感和显示器的简易加载装置或万能电子试验机；2. 数字应变仪；3. 大量程百分表及支架；4. 游标卡尺及卷尺；5. 试样，压杆试样为由弹簧钢制成的细长杆，截面为矩形，两端加工成带有小圆弧的刀刃。

在试样中点的左右两端各贴仪枚应变片。

6. 支座，支座为浅V 性压杆变形时两端可绕Z 轴转动，故可作为铰支架。

三、实验原理和方法：1、理论计算：理想压杆，当压力P 小于临界压力cr P 时，压杆的直线平衡是稳定的。

这时压力P 与中点挠度δ的关系相当于右图中的直线OA 。

当压力到达临界压力cr P 时，压杆的直线平衡变为不稳定，它可能转为曲线平衡。

按照小挠度理论，P 与δ的关系相当于图中水平线AB 。

两端铰支细长杆的临界压力由欧拉公式计算 2cr 2P EIl π=，其中I 为横截面对z 轴的惯性矩。

2、实测时：实际压杆难免有初弯曲，材料不均匀和压力偏心等缺陷，由于这些缺陷，在P 远小于cr P 时，压杆已经出现弯曲。

开始，δ很不明显，且增长缓慢，如图中的OCD 段。

随着P 逐步接近cr P ，δ将急剧增大。

只有弹性很好的细长杆才可以承受大挠度，压力才可能略微超过cr P ，实测时，在压杆两侧各贴一应变片，测定P-ε曲线，对前后应变ε取增量ε∆，当ε∆大于上一个的ε∆的2倍时即认为此时的压力为临界压力。

3、加载分两个阶段，在理论值cr P 的70%~80%之前，可采取大等级加载，载荷超过cr P 的80%以后，载荷增量应取得小些。

在整个实验过程中，加载要保持均匀、平稳、缓慢。

四、实验结果1、理论计算参数记录：b=30.00mm, h=3.50mm, k=2.13, L=525mm, E=210GPa31041.07191012bh I m -==⨯，则由欧拉公式得 2cr 2P 805.2EI N lπ== 2、实测临界压力：实验数据记录如下：压力-800N 时，应变增量192，超过了-780N 时的应变增量90的2倍，可得临界压力为-800N 。

压杆稳定1. 图示结构，AB 为刚性杆，其它杆均为直径10 mm d =的细长圆杆，弹性模量200 GPa E =, 屈服极限s 360 MPa σ=，试求此结构的破坏载荷F 值。

解：12.37 m, sin 26H α⎛⎫== ⎪⎝⎭,0.169()Cy Dy F F F =-=↓,N1N4N2N30.507F F F F F ==-=-=由杆1，4，N11s 0.507F F A σ==，s 155.8 kN 0.507AF σ==由杆2，3，2N2cr 2π0.673 kN EIF F l ===, cr 2 1.33 kN 0.507F F ==结构破坏载荷 1.33 kN F =2. 图示桁架由5根圆截面杆组成。

已知各杆直径均为30 mm d =， 1 m l =。

各杆的弹性模量均为200 GPa E =，p 100λ=，061λ=，直线经验公式系数304 MPa a =， 1.12 MPa b =，许用应力[]160 MPa σ=，并规定稳定安全因数st []3n =，试求此结构的许可载荷[]F 。

解：由平衡条件可知杆1，2，3，4受压，其轴力为N1N2N3N4N 2F F F F F =====杆5受拉，其轴力为N5F F = 按杆5的强度条件：N5[], []113 kN F F A Aσσ≤≤= 按杆1，2，3，4的稳定条件 p 133λλ=> 由欧拉公式 cr 78.48 kN F =crst N[]F n F ≥ 37.1 kN F ≤ ， []37.1 kN F =3. 钢杆和铜杆截面、长度均相同，都是细长杆。

将两杆的两端分别用铰链并联，如图，此时两杆都不受力。

试计算当温度升高多少度时，将会导致结构失稳？已知杆长 2 m l =，横截面积220 cm A =，惯性矩440 cm z I =；钢的弹性模量s 200 GPa E =，铜的弹性模量1.2m F ACFB HD0.4m1324lF︒45l12345钢铜c 100 GPa E =，钢的线膨胀系数6s 12.510α-=⨯℃-1，铜的线膨系数6c 16.510α-=⨯℃-1。

二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1） 边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3） 若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。

如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。

那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表 又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。

第七章压杆稳定本章重点介绍有关压杆稳定的基本概念和压杆临界力的计算方法，简单说明其它形式构件的稳定性问题。

第一节压杆稳定的概念考察图7-1所示的受压理想直杆，当压力F小于某一数值时，在任意小的扰动下，压杆偏离其直线平衡位置，产生轻微弯曲，当扰动除去后，压杆又回到原来的直线平衡位置。

这表明压杆的直线平衡是稳定的。

当压力逐渐增加达到一定数值时，压杆在外界扰动下，偏离直线平衡位置，扰动去除，则不能再回到原来的直线平衡位置，而在某一弯曲状态下达到新的平衡，因此称该直线平衡是不稳定的。

从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的压力极限值，称为临界载荷或临界力，用F cr表示。

压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简称失稳。

图7-1杆件失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大，从而使杆件丧失承载能力。

但细长压杆失稳时，杆内的应力不一定高，有时甚至低于材料的比例极限。

可见，压杆失稳并非强度不足，而是区别于强度、刚度失效的又一种失效形式。

由于压杆稳定是突然发生的，因此所造成的后果也是严重的。

历史上瑞士和俄国的铁路桥，都发生过因为桥桁架中的压杆失稳而酿成的重大事故。

因此在工程实际中，对于压杆稳定性问题必须充分重视。

当压杆的材料、尺寸和约束等情况已经确定时，临界力是一个确定的值。

因此可根据杆件实际的工作压力是小于还是大于压杆的临界力，来判断压杆是稳定的还是不稳定的。

可见解决压杆稳定的关键问题是确定压杆的临界力。

第二节细长压杆的临界载荷一、两端铰支细长压杆的临界力取一根两端为球铰的细长压杆，使其处于微弯的平衡状态，选取相应的坐标系（图7-2a）。

考察微弯状态下任意一段压杆的平衡（图7-2 b），则杆件横截面上的弯矩为(a)根据挠曲线近似微分方程，有(b)将式(a)代入式(b),有(c)其中(d)微分方程(c)的一般解为(e)其中Ｃ1、Ｃ2常数,可根据两端支承的约束边界条件确定，在两端铰支的情况下，边界条件为（０）＝（ｌ）＝０将微分方程的解代入，得Ｃ2=0, Ｃ1sinkl=0 (f)后式表明,Ｃ1或者sinkl等于零。