材料力学(单辉组)第十一章压杆稳定问题
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建筑力学课件 第十一章 压杆稳定
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
1．如图11-3b所示，当杆承受的轴向 压力数值FN小于某一数值FNcr时 ，在撤去干扰力以后，杆能自动 恢复到原有的直线平衡状态而保 持平衡，这种原有的直线平衡状 态称为稳定的平衡。
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
2．如图11-3c所示，当杆承 受的轴向压力数值FN逐渐 增大到等于某一数值FNcr 时，即使撤去干扰力，杆 仍然处于微弯形状，不能 再自动恢复到原有的直线 平衡状态，但也不继续弯 曲，这种原有的直线平衡 状态就是临界的平衡。
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
压杆经常被应用于各种工程实际中，例如内燃机的连杆 （如图11-4）和液压装置的活塞杆（如图11-5），这 些构件在处于图示位置时，均承受压力。虽然这些受 压构件，不会受人为的干扰力作用，但是由于制造误 差可能造成初始弯曲、轴向力不一定完全与轴线重合 等因素，相当于作用了干扰力。所以此时必须考虑其 稳定性，以免产生压杆失稳破坏。
如图11-9所示，为一端固定一 端自由的细长压杆的挠曲 线形状，其长度为2l的挠 曲线形状，形成一半波正 弦曲线，即当将其原长度 乘以2的长度系数后，就 与长度为2l的两端铰支压 杆相同。所以，一端固定 一端自由的细长压杆的长 度系数等于2。
为方便查用，将几种不同杆 端约束情况下的长度系数 μ值列于表11—1中。
建筑力学 第十一章 压杆稳定
第十一章 压杆稳定
【学习目标】
1.理解稳定与失稳的概念； 2.掌握用欧拉公式计算压杆的临 界荷载与临界应力；
3.了解压杆的临界应力总图； 4.理解压杆稳定条件及其实用计 算。
11.1平衡的三种形态与压杆稳定的概念
在前面各章中，讨论了构件的强度计算问题，现在讨论 稳定问题。
《压杆稳定问题》课件
软件：用于分析和处理实验数据的软件
测试台：用于固定压杆和压力传感器的测试台
计算机：用于采集和处理实验数据的计算机
压杆：用于进行压杆稳定性实验的杆件
压力传感器：用于测量压杆受力的传感器
实验步骤和结果分析
压杆稳定的工程应用
桥梁工程中的应用
桥梁维护：监测压杆稳定性，及时发现问题
桥梁结构设计：考虑压杆稳定性，确保桥梁安全
压杆稳定问题涉及到许多力学原理和数学方法，是结构力学研究的重要内容
压杆稳定问题在实际工程中经常遇到，如桥梁、高层建筑等结构设计中都需要考虑压杆稳定的问题
压杆稳定问题也是结构力学教学中的重要内容，可以帮助学生理解力学原理和数学方法在工程中的应用
压杆稳定的分类
临界稳定：压杆在临界载荷下，其变形和应力达到临界值
失稳：压杆在超过临界载荷后，其变形和应力迅速增大，导致破坏
线性稳定：压杆在受到外力作用下，其变形和应力保持线性关系
非线性稳定：压杆在受到外力作用下，其变形和应力不再保持线性关系
压杆稳定的理论分析
弹性失稳的概念
弹性失稳是指在受力过程中，杆件的变形超过其弹性极限，导致杆件的稳定性丧失。
弹性失稳的主要原因是杆件的受力超过了其弹性极限，导致杆件的变形过大，无法恢复原状。
压杆稳定问题的研究将更加注重数值模拟和实验研究相结合，以提高研究效率和准确性
压杆稳定问题的研究将更加注重人工智能和大数据技术的应用，以提高研究效率和预测能力
感谢您的观看
汇报人：PPT
临界载荷：压杆在弹性范围内所能承受的最大载荷
临界应力与临界应变的关系：临界应力与临界应变成正比
临界载荷与临界应力的关系：临界载荷与临界应力成正比
弹性失稳的预防措施
测试台：用于固定压杆和压力传感器的测试台
计算机：用于采集和处理实验数据的计算机
压杆：用于进行压杆稳定性实验的杆件
压力传感器：用于测量压杆受力的传感器
实验步骤和结果分析
压杆稳定的工程应用
桥梁工程中的应用
桥梁维护：监测压杆稳定性，及时发现问题
桥梁结构设计：考虑压杆稳定性，确保桥梁安全
压杆稳定问题涉及到许多力学原理和数学方法，是结构力学研究的重要内容
压杆稳定问题在实际工程中经常遇到，如桥梁、高层建筑等结构设计中都需要考虑压杆稳定的问题
压杆稳定问题也是结构力学教学中的重要内容，可以帮助学生理解力学原理和数学方法在工程中的应用
压杆稳定的分类
临界稳定：压杆在临界载荷下，其变形和应力达到临界值
失稳：压杆在超过临界载荷后，其变形和应力迅速增大，导致破坏
线性稳定：压杆在受到外力作用下，其变形和应力保持线性关系
非线性稳定：压杆在受到外力作用下，其变形和应力不再保持线性关系
压杆稳定的理论分析
弹性失稳的概念
弹性失稳是指在受力过程中，杆件的变形超过其弹性极限，导致杆件的稳定性丧失。
弹性失稳的主要原因是杆件的受力超过了其弹性极限，导致杆件的变形过大，无法恢复原状。
压杆稳定问题的研究将更加注重数值模拟和实验研究相结合，以提高研究效率和准确性
压杆稳定问题的研究将更加注重人工智能和大数据技术的应用，以提高研究效率和预测能力
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临界载荷：压杆在弹性范围内所能承受的最大载荷
临界应力与临界应变的关系：临界应力与临界应变成正比
临界载荷与临界应力的关系：临界载荷与临界应力成正比
弹性失稳的预防措施
材料力学2-11压杆稳定
M0
F x M0
令: k2
x L
F EI
EIy k 2 y k 2
M F
yccoskxdsinkx
边界条件为:
F
M0
F
M0
x 0, y y 0; x L, y y 0
c
M , d 0 , kL 2n 并 kL n F
kL2n
材料的σ-ε的关系为非线形，加载时切线弹性模量用Eσ表示， 卸载时弹性模量为初始弹性模量用E表示，得截面弯曲正应力： 受压区： c E y ( x ) y 受拉区： t E
( x )
得折减弹性模量：
E
4 E E E
2
Er
对于 P 的杆为中小柔度杆，其临界力用下式求：
大多数情况下可取b类。
2. 木材: 按照树种的强度等级分别给出了两种计算公式,见9-11----9-12公式。
例6 图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直
径为： d = 0.3m，试求此杆的容许压力。
B T1 解：折减系数法 ①最大柔度 x y面内， =1.0
bh , 12
3
Fcry
2 EI y
L2 2
=0.7 ，
③压杆的临界力
bh 3 Iz , 12
Fcrz
2 EI z
( 0.7 L1 )2
Fcr min( Fcry , Fcrz )
例3 F
求下列细长压杆的临界力。
解：图(a)
F
10
30
I min
30 103 1012 2.5 109 m 4 12
A1 12.74cm 2 ,z0 1.52cm,
材料力学第11章 压杆稳定
8
图11.2
9
上述现象表明，在轴向压力逐渐增大的过程中， 压杆经历了两种不同性质的平衡。当轴向压力F<F cr时，压杆直线形式的平衡是稳定的；而当轴向压 力F>Fcr时，压杆直线形式的平衡则是不稳定的。 使理想压杆直线形式的平衡开始由稳定转变为不稳 定的轴向压力值Fcr称为压杆的临界轴力。
10
三、分叉点失稳和极值点失稳 (1)分叉点失稳 设如图11.2所示理想压杆的轴向压力为F，干 扰去除后杆中点挠度为y0，在Oy0F坐标系下，Fy0 关系曲线如图11.3(a)所示。可见，当F < Fcr时，y 0=0；当F = Fcr时，y0取值视干扰大小而定，在AB 间变化，但AB是微量。
17
这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，其通 解为
代入式(f) 可得
18
可见Fcr有一系列的理论取值，但是使压杆保 持微弯平衡状态的最小压力才是临界轴力。但n =0时，Fcr=0，显然无意义。所以式(j)中n的合理最 小值是1，于是
19
第三节不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉 公式 当杆端为其他约束情况时，细长压杆的临界轴 力公式可以仿照两端铰支压杆临界轴力公式的推导 方法，根据在不同的杆端约束情况下压杆的挠曲线 近似微分方程式和挠曲线的边界条件来推导。
11
可见，对于理想压杆，当F<Fcr时，Fy0关系曲 线为直线OA；当F≥Fcr时，AD对应无干扰时的直 线位置平衡状态，而AC对应有干扰时的平衡状态。 A点称为分叉点(bifurcation point)。OAC曲线所描 述的失稳现象也称为分叉点失稳(bifurcation buckli ng)。
14
如图11.4(a)所示，设压杆在临界轴力Fcr作用 下处于微弯平衡状态，并设其挠曲线方程为y=y(x)。 从微弯平衡状态的压杆中取分离体如图11.4(b)所 示，在x截面上的弯矩为
材料力学-第11章 压杆稳定new
引言
压杆稳定的利用 － 柔性电子器件
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
基本概念
F
压杆失稳（屈曲）： 受压杆件由直线平衡状态变为弯曲平衡状态 临界载荷：
使得受压杆件由直线平衡态转为弯曲平衡态的临界力
材料力学－第11章 压杆稳定 受压杆件为什么会失稳？
F
引言
杆件压力超过临界载荷时，弯曲构型具有更 小的应变能
Fcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)；
为反映不同支承影响的系数，称为长度因数（coefficient of
1ength），可由屈曲后的正弦半波长度确定。
材料力学－第11章 压杆稳定
FPcr
π 2 EI
l
2
需要注意的是, 临界载荷公式只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
例题
图示四根压杆，已知杆件横截面和材料完全相同。 试：将压杆按承载能力大小排序
5m
7m
(a)
(b)
3m
(c)
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 长度因数 由屈曲后的正弦半波长度确定
欧拉公式可写为：
2 EI
正弦半波长
2
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
两端固定 ＝0.5
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
F
Fcr
(精品)材料力学课件：压杆稳定问题
y
l
O
xF
z
h F
b
2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。
y
压杆在x-y平面内，Fc(rxy )
2 EIz
l2
压杆在x-z平面内，Fc(rxz )
2 EI y (l )2
边界条件发生变化 其中=0.5 ～1， Iy<Ix
需要判断，杆件总沿临界载荷最小的方向失稳
z
a
x
Iy
hb3 12
Iz
38
压杆稳定问题
谢谢
39
28
压杆稳定问题
例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
O
z
xF
l
F
解：临界载荷
Fcr
2 EI
l2
问题：结构在哪个平面内失稳？ 临界载荷等于多少？
1. 当两端的约束是球形铰。
2. 当两端的约束是圆柱形铰， 圆柱销轴线沿z轴。
h b
y z
a
x
29
压杆稳定问题
例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
O
22
压杆稳定问题
Euler(1707-1783) 生平简介
1720年进入巴塞尔大学，John Bernoulli的学生，16岁取得硕 士学位，20岁发表第一篇科学论文。1727年进入俄国科学院， 1733年成为俄国科学院数学部主任。1741年进入普鲁士科学院， 1759年主持普鲁士科学院工作。1766年回到俄国科学院。 他的一生对数学、刚体力学以及材料力学中的弹性线、稳定 理论等都有重大贡献，出版了“曲线变分法”(1744)、“微积 分导论”(1748)、“微分学”(1755)、积分学(1768)等经典著作， 大部分18世纪末、19世纪初的著名数学家都是欧拉的学生。 是18世纪著述最多的科学家，1735年一眼失明，晚年双目失 明，在助手协助下完成了400多篇论文。
材料力学09(第十一章 压杆稳定问题)
2E E P P P
λP仅与材料有关。 对于Q235钢λP＝100。
可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
P
当：i） p
cr 2 E 2
2E , P
细长杆，大柔度杆
a s , ii） p o b
中长杆，中柔度杆
l
l 2 x
x
B y
B y (b)
w A sin kx 0
失稳!!!
(a)
失稳的条件是： sin kl 0
kl n
Fcr l n EI
n 2 2 EI Fcr 2 l
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
F
F（较小） F（较小）
F（特殊值） F（特殊值）
Q Q
轴压 直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定：
例2、L=1.5m (两端铰支)，d=55mm，A3钢（1=102，2 =56） E=210GPa，P=80KN，n=5，试校核此连杆稳定性。
2、计算Pcr（cr） 2E P A cr 2
解： 1、计算 I d i 13.75mm A 4 L 11.5 103 109 i 13.75 属大柔度杆。
不安全！
讨论： 2）、 若：
0.7 1.5 10 76.4 1 13.75
材料力学第11章 压杆稳定
长度系数
一端固定，另一端自由 两端铰支
2 1
一端固定，另一端铰支
2 0.7
3
两端固定
1 0.5
2
第十一章 压杆稳定
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围 二、中柔度压杆的临界应力 三、小柔度压杆的临界应力 四、临界应力总图
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
2E 2
O 小 0 中 p 大
柔柔
柔
度度
度
压压
压
杆杆
杆
可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
例1 图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，
试求立柱的临界压力。
解：1.求
F
查表：i imin iy 2.50 cm, A 55.4 cm2
ymax
欧拉公式适用于小变形情况
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
1.一端固定、另一端自由
Fcr
Fcr
2EI
Fcr (2l)2
l
l
l
Fcr
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
2.两端固定
b=20
b 2.57 MPa
h=45
cr a b y 289.6 MPa
Fcr cr A 261 kN y
n
Fcr F
4.35
nst
∴ 连杆安全
l 1=800
材料力学--压杆稳定问题 ppt课件
F
Fcr nst
151.47 3
50.5KN
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26.7KN
材料力学
PPT课件
42
例8-4 图示托架结构，梁AB与圆杆BC 材料相同。梁AB为16号工字 钢，立柱为圆钢管，其外径D=80 mm，内径d=76mm，l=6m，a=3 m， 受均布载荷q=4 KN/m 作用；已知钢管的稳定安全系数nw=3,试对立
n Fcr Fp
269 150
1.793 nst 1.8
所以压杆的稳定性是不安全的.
材料力学
PPT课件
38
例8-3 简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB：d1 30mm，杆
AC：d2 20mm,两杆材料均为Q235钢, E 200GPa, s 240MPa p 100,0 60 ,规定的强度安全系数ns 2，稳定安全系 数 nst 3，试确定起重机架的最大起重量 Fmax 。
柱进行稳定校核。
l
q
B
A
F
a
C
材料力学
PPT课件
43
压杆稳定问题/提高压杆稳定性的措施
五、提高压杆稳定性的措施
材料力学
PPT课件
44
压杆稳定问题/提高压杆稳定性的措施
1、合理选择材料
细长杆： cr与E成正比。
普通钢与高强度钢的E大致相同，但比铜、铝合金的 高，所以要多用钢压杆。
中长杆： cr随 s 的提高而提高。
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段,曲线上凸,
1 0;
材料力学第11章试题及答案 压杆稳定
11-2
11-1
11-5
图示铰接杆系 ABC 由两根截面和材料均相同的细长杆组
成。若由于杆件在 ABC 平面内失稳而引起毁坏，试确定载荷 F 为最 大时的 θ 角（假设 0 < θ < π / 2 ）。
FN = F 2 cos 45o = F
(
)
2
手轮
对 CD 杆，由 ∑ M C = 0 ： 可得 F = 7 FB 6
500
F d
πd 2 4
E
λp = π
λ0 =
σp
=π
200 × 103 = 99.3 200
查表得： a = 304 MPa ，b = 1.12 MPa ， λp = 100 ， λ0 = 62 ∴ λ0 < λ < λp ，AB 杆为中柔度压杆， 故有
C
FN
θ
F
a − σ s 304 − 235 = = 61.6 b 1.12 μl μa 1 × 1 × 103 = = 80 λ= = i d 4 50 / 4
i min =
欧拉公式适用于 λmax
I min = A ≥ λp ，即
hb 3 12 = b bh 2 3
E
解： 最合理的情况为 AB、BC 两杆同时失稳，此时 F 最大。 π 2 EI π 2 EI FcrAB = F cosθ = 2 = 2 l AB l AC cos 2 β FcrBC = F sin θ = 两式相除得到
11-8
图示托架，AB 杆的直径 d = 4 cm ，长度 l = 80 cm ，两端铰
支，材料为 Q235 钢。 (1) 试根据杆 AB 的稳定条件确定托架的临界力 Fcr ； (2) 若已知实际载荷 F = 70 kN ，杆 AB 规定的稳定安全因数
11-1
11-5
图示铰接杆系 ABC 由两根截面和材料均相同的细长杆组
成。若由于杆件在 ABC 平面内失稳而引起毁坏，试确定载荷 F 为最 大时的 θ 角（假设 0 < θ < π / 2 ）。
FN = F 2 cos 45o = F
(
)
2
手轮
对 CD 杆，由 ∑ M C = 0 ： 可得 F = 7 FB 6
500
F d
πd 2 4
E
λp = π
λ0 =
σp
=π
200 × 103 = 99.3 200
查表得： a = 304 MPa ，b = 1.12 MPa ， λp = 100 ， λ0 = 62 ∴ λ0 < λ < λp ，AB 杆为中柔度压杆， 故有
C
FN
θ
F
a − σ s 304 − 235 = = 61.6 b 1.12 μl μa 1 × 1 × 103 = = 80 λ= = i d 4 50 / 4
i min =
欧拉公式适用于 λmax
I min = A ≥ λp ，即
hb 3 12 = b bh 2 3
E
解： 最合理的情况为 AB、BC 两杆同时失稳，此时 F 最大。 π 2 EI π 2 EI FcrAB = F cosθ = 2 = 2 l AB l AC cos 2 β FcrBC = F sin θ = 两式相除得到
11-8
图示托架，AB 杆的直径 d = 4 cm ，长度 l = 80 cm ，两端铰
支，材料为 Q235 钢。 (1) 试根据杆 AB 的稳定条件确定托架的临界力 Fcr ； (2) 若已知实际载荷 F = 70 kN ，杆 AB 规定的稳定安全因数
材料力学(单辉祖)第十一章压杆稳定问题
形心主惯矩I的选取准则
Pcr
=
π 2EI
l2
若杆端在各个方向的约束情况相同(如球形 铰)，I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆 的实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取 挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即此 时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的 临界压力，得到直杆的实际临界力(最小值)。
25
欧拉公式
求解上述非线性微分方程，得挠曲线中
点挠度δ 与压力P之间的近似关系
δ = 2 2l π
其图形为
P Pcr
⎡ − 1⎢1 −
⎣
1 2
⎛⎜⎜⎝
P Pcr
−1⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎦
P
A
Pcr
可见，只有当P ≥Pcr时，压杆 B 才可能存在非直线的平衡态，
即直杆发生失稳，并且挠度δ
与压力P之间存在一对一关系，
M (x) = Pcrv(x) − Q(l − x)
x Pcr
Q A
M(x)
m
m
l
x
BQ MB y Pcr
39
Example-1
x
代入挠曲线近似微分方程
Pcr
EI
d 2v dx 2
=
−M
(x)
=
− Pcr v( x)
+
Q(l
−
x)
令 k 2 = Pcr
EI
则控制微分方程化简为
d 2v dx 2
+
k 2v
28
欧拉公式
思考题
29
不同约束下压杆临界力的 欧拉公式 • 压杆长度系数
30
长度系数
问题：
考虑下端固定、上端 自由并在上端承受轴 向压力作用等截面细 长杆，几何尺寸见图 确定此压杆临界压力
Pcr
=
π 2EI
l2
若杆端在各个方向的约束情况相同(如球形 铰)，I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆 的实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取 挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即此 时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的 临界压力，得到直杆的实际临界力(最小值)。
25
欧拉公式
求解上述非线性微分方程，得挠曲线中
点挠度δ 与压力P之间的近似关系
δ = 2 2l π
其图形为
P Pcr
⎡ − 1⎢1 −
⎣
1 2
⎛⎜⎜⎝
P Pcr
−1⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎦
P
A
Pcr
可见，只有当P ≥Pcr时，压杆 B 才可能存在非直线的平衡态，
即直杆发生失稳，并且挠度δ
与压力P之间存在一对一关系，
M (x) = Pcrv(x) − Q(l − x)
x Pcr
Q A
M(x)
m
m
l
x
BQ MB y Pcr
39
Example-1
x
代入挠曲线近似微分方程
Pcr
EI
d 2v dx 2
=
−M
(x)
=
− Pcr v( x)
+
Q(l
−
x)
令 k 2 = Pcr
EI
则控制微分方程化简为
d 2v dx 2
+
k 2v
28
欧拉公式
思考题
29
不同约束下压杆临界力的 欧拉公式 • 压杆长度系数
30
长度系数
问题：
考虑下端固定、上端 自由并在上端承受轴 向压力作用等截面细 长杆，几何尺寸见图 确定此压杆临界压力
材料力学第11章压杆稳定[精]
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材料力学
出版社 理工分社
因λ s<λ y<λ p，杆件属中柔度杆，所以可采用直线经验公式（式（11.7） ）计算其临界应力。由表11.2查得松木材料，a=29.3，b=0.194，所以临界 应力为 临界压力为 （2）若压杆在xy平面内失稳 杆端约束为两端铰支，所以长度因数μ z=1.0。 横截面对z轴的惯性矩为 所以横截面对z轴的惯性半径为 根据式(11.3)，在xy平面内的柔度为 因λ z>λ p，杆件属大柔度杆，所以用欧拉公式（11.4）计算其临界应力， 即
式中nst称为稳定安全因数。稳定安全因数一般比强度安全因数大。在静载 荷作用下，钢材nst=1.8～3.0，铸铁nst=5.0～5.5，木材nst=2.8～3.2。 将［Fcr］作为压杆具有稳定性的F的比值为压杆的工作稳定因数n，于是得到用
轴向压力的量变，将引起压杆平衡状态的质变。压杆从稳定平衡过渡到非稳
定平衡时的压力临界值称为临界压力，以Fcr表示。显然，当压杆所受的压
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力达到临界值时，压杆开始丧失稳定。由此可见，确定压杆临界压力的大小 ，将工作压力控制在临界压力范围内，是解决压杆稳定问题的关键。 当然，除了压杆以外，某些其他构件也存在稳定性问题。例如，薄壁球形容 器在径向压力作用下的变形（见图11.4（a））；狭长矩形截面梁在弯曲时 的侧弯失稳（见图11.4（b））；两铰拱在竖向载荷作用下变为虚线所示形 状而失稳（见图11.4（c））等。这些都是稳定性问题，在工程设计中应当 注意。本章仅讨论中心受压直杆的稳定性问题。
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当λ ≤λ s时，其临界应力将达到或超过材料的屈服极限，已属于强度问题 ，而不会出现失稳现象。若将这类杆也按稳定形式处理，则材料的临界应力 σ cr可表示为 这类压杆称为小柔度杆或短粗杆。 （2）抛物线型经验公式 抛物线型经验公式把临界应力σ cr与压杆的柔度λ 表示为以下的抛物线关系
《材料力学》11压杆稳定
nst
[ ]st
（稳定许用应力）
稳定安全因数 一般要高于强度安全因数
（P 293）
表 常用压杆的稳定安全因数
压杆 种类
金属 结构
机床 丝杠
精密 水平 磨床油缸 高速发动机 矿冶
丝杠 长丝杠 活塞杆
挺杆
设备
nst 1.8—3.0 2.5—4.0 > 4
>4
2—5
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2—5
4—8
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压杆稳定性计算除要考虑强度计算所须考虑因素（主观认识－实际 情况的差异、不测的不利、风险因素……）外，
一. 两端铰支——Euler公式
Column for Simply Supported 考虑微弯状态， 求临界力
x
① 挠曲近似微分方程：
F Fcr
F M
w
x
F M Fw
w
d 2w dx 2
M EI
Fw EI
d 2w dx 2
F EI
w
0
令 : k2 F
w
EI
d 2w dx 2
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临界力－ Euler公式 （细长压杆） 表1
支承
两端铰支 固定一自由 固定一铰支 两端固定
Fcr 失 稳 挠 曲 形 状
l l l
Fcr
Fcr
Fcr
临界力 Fcr 长度因数 μ
2 EI
l2
1
(Factor of Length )
2 EI
(2l ) 2
2
2 EI
(0.7l )2
因而工程实践中，应参照各种设计规范的具体规定，也可参 考上述典型形式，根据实际情况定出适当的长度系数
[ ]st
（稳定许用应力）
稳定安全因数 一般要高于强度安全因数
（P 293）
表 常用压杆的稳定安全因数
压杆 种类
金属 结构
机床 丝杠
精密 水平 磨床油缸 高速发动机 矿冶
丝杠 长丝杠 活塞杆
挺杆
设备
nst 1.8—3.0 2.5—4.0 > 4
>4
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压杆稳定性计算除要考虑强度计算所须考虑因素（主观认识－实际 情况的差异、不测的不利、风险因素……）外，
一. 两端铰支——Euler公式
Column for Simply Supported 考虑微弯状态， 求临界力
x
① 挠曲近似微分方程：
F Fcr
F M
w
x
F M Fw
w
d 2w dx 2
M EI
Fw EI
d 2w dx 2
F EI
w
0
令 : k2 F
w
EI
d 2w dx 2
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临界力－ Euler公式 （细长压杆） 表1
支承
两端铰支 固定一自由 固定一铰支 两端固定
Fcr 失 稳 挠 曲 形 状
l l l
Fcr
Fcr
Fcr
临界力 Fcr 长度因数 μ
2 EI
l2
1
(Factor of Length )
2 EI
(2l ) 2
2
2 EI
(0.7l )2
因而工程实践中，应参照各种设计规范的具体规定，也可参 考上述典型形式，根据实际情况定出适当的长度系数
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欧拉公式
2n2EI
Fcr l 2
w x Asin nπx
l
屈 曲 模 态
n=1
n=2
n=3
n=4
不同屈曲模态对应的临界载荷不一样
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结论
对两端铰支的等截面细长 中心受压直杆临界压力
Байду номын сангаас
Pcr
2EI
l2
---欧拉公式
13岁巴塞尔大学，15岁毕业， 16岁获硕士学位
空
弹
气
道
动
学
第十一章 压杆稳定问题
主 讲人： 张能辉
1
压杆稳定性概念
2
工程实例
1995年韩国汉城三丰百货大楼，立柱失稳破坏 死502人，伤930人，失踪113人
3
工程实例
2010年智利地震中剪力墙破坏，纵筋屈曲
4
工程实例
2013年四川庐山空间钢网架震害，连杆屈曲
5
工程实例
高压输电线路保持 相间距离受压构件
Pcr
min 1 n
Pcrn
Pcr1
l2
22
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
此时直杆挠曲线 w(x) Asin x l
B0
Pcr
A
ld
其中A为待定常数，代表中点挠度 B
表明屈曲挠度是不确定的量 与模型假设压杆处于任意微弯状态一致
A xw Pcr
l
M(x) m
压力Pcr取正值 位移w(x)以沿y轴正向为正
内力是在变形前/后位置求解?
x
B
y
Pcr
挠度向下为正，与前面坐标轴不一样
19
将M(x)代入挠曲轴微分方程
d2w EI dx2 M (x) Pcrw(x) 令 k 2 Pcr
EI
xv Pcr
M(x) m
x
则挠曲轴微分方程变为
B'
原因：缺陷敏感性
d
若只关心临界载荷，则采用线性理论
(较好描述临界载荷，但无法扑捉屈曲状态)
若还关心屈曲状态，则采用非线性理论
30
思考题
√
Fcr
2n2EI
l2
空间失稳的取向性
31
不同约束下压杆临界力的 欧拉公式 • 压杆长度系数
32
问题1
下端固定, 上端自由 在上端承受轴向压力作用
P P
Q
P
P
13
撤去干扰Q后
P 若弯曲变形消失， 杆恢复到原来的直线平衡 状态，则称杆的直线平衡态是稳定的平衡态 若弯曲变形不能消失，杆不能保持直线状态， 则称杆的直线平衡态是不稳定的平衡态
直线平衡态由稳定平衡转化为不稳定平衡时 所受的轴向压力称为杆的临界压力
14
P Q
当P较小
P
P Q
当P较大
P
d 2 2l
P 1 P
Pcr
1 1
2
Pcr
1
P
A
B
Pcr
d
载荷位移图
只有当P >Pcr时，压杆才可能存在非直线的平衡态，
即直杆失稳，挠度d 与压力P之间存在一对一关系
不存在随遇平衡状态！！！
29
线性理论、非线性理论
与实际压杆比较
P
B
Pcr A
实际临界载荷小于理论预测
y
d2w dx2
k
2
w(
x)
0
Pcr
这是一个二阶线性齐次常微分方程
20
微分方程通解 w ( x ) A s in k x B c o s k x A、B和k为待定常数
边界条件 x 0,l, w(x) 0
A
0 A＋1 B 0
sinkl A coskl B 0
B
由线性代数知，使A、B不全为零的条件
01
0
sinkl coskl
21
由行列式为零，得 sin kl 0
kl n (n 1, 2,3, )
k 2 Pcr EI
n2 2EI
Pcrn l 2
(n 1, 2,3, )
Pcrn中最小值称为直杆临界压力，记为Pcr
2EI
则称中心受压细长直杆稳定性
问题为线弹性稳定性问题
w Pcr P
17
问题
等截面细长直杆 两端铰支，长度l , 在临界压力Pcr作用下 直杆失稳 即产生微弯状态
求杆件临界载荷Pcr
Pcr A
l B
思路：微弯状态~挠度~挠曲轴近似微分方程
18
求解
Pcr
设失稳后轴线的挠度w(x) 则任一横截面上弯矩
M (x) Pcr w(x)
内燃机挺杆 油缸中活塞杆
6
工程实例
压杆
压杆
共同特点 细长压杆受力过大后造成一种新的破坏形式
7
实验现象 (1)粗短压杆 塑性材料(Steel)
脆性材料(Iron)
压力增加
压力增加
强度问题
8
(2)扭转轴
强度满足情况下 变形不能过大
刚度问题
变形特点：连续性
9
(3)细长压杆
P
P<Pcr
P
P
P
P>Pcr
P
稳定性问题
P
变形特点：突发性
10
细长压杆弯曲原因---缺陷
• 在杆件轴向压缩变形过程中，
往往伴随着横向弯曲变形 几何缺陷
实际压杆轴线存在着初始曲率
载荷缺陷
外力作用线也不与杆件轴线重合
材料缺陷
材料达不到理想的均匀性
11
如果杆件抗弯刚度较大，且轴 向压力在一定范围内，杆件的 变形可分别由杆件压缩和弯曲 变形叠加而得到——组合变形
力
学
25
稳定性问题在数学上归结为什么问题？
d2w dx2
k
2w(x)
0
x 0, w(x) 0, x l, w(x) 0
Pcr A
ld
归结为求齐次线性代数方程组非零解
B
26
随遇平衡问题
稳定平衡：微扰撤销后， 小球回到原平衡位置
不稳定平衡：微扰撤销后， 小球远离原来平衡位置
小
撤去干扰Q 稳定的
稳
P定
P
的
临界压力 Pcr
P
不
稳
撤去干扰Q
不稳定的
定
的
大
P
临界压力: 保持直线状态的最大压力 维持曲线状态的最小压力
15
细长中心受压直杆 临界力的欧拉公式
16
压杆线弹性稳定性问题
在临界力作用下中心受压细长 直杆处于不稳定平衡直线形态
如果此时材料仍处于理想线弹 性范围内(即胡克定理成立)，
轴向压力逐渐增大，轴向压力 对杆件弯曲变形影响不可忽略; w 现在 当轴向压力达到某一特定值时， 以前 杆件变形极度增大，导致受压 杆件丧失承载能力
Pcr P
12
受压杆件理想力学模型
李雅普诺夫观点
受轴向压力P作用一理想直杆， 则其直线形态是一个平衡态
假想微小干扰Q作用(替代缺陷) ， 则在力P和Q作用下， 直杆发生压缩和弯曲组合变形
随遇平衡：微扰撤销后， 小球在任意平衡位置
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临界压力Pcr下，直杆失稳挠曲线
w(x) d sin x
l
d 未知量， 小量即可
表明在线性弹性稳定性理论范畴， 受压直杆在临界压力处是随遇平衡
实际这种随遇平衡状态时不存在 不合理原因：采用近似线性理论
Pcr A ld B
28
非线性弹性稳定性理论