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数学建模案例之多变量无约束最优化

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机械优化设计方法第五章 多变量无约束优化方法

机械优化设计方法第五章 多变量无约束优化方法

似极小点，则在X(k)点根据函数f(X)的性质，选择一个方向S(k)，沿 此方向搜索函数值应是下降的，称S(k)为下降方向。
(3)当搜索方向S(k)确定以后，由X(k)点出发，沿S(k)方向进行搜索，
定出步长因子α(k)，得新设计点 X(k+1)= X(k)+α(k) S(k) 并满足f(X(k+1))＜f(X(k))。具有这种性质的算法称为下降算法。α(k) 可以是一维搜索方法确定的最优步长因子，亦可用其他方法确定。 (4)若新点X(k+1)满足迭代计算终止条件，则停止迭代，X(k+1)点就 作为近似局部极小点X*；否则，又从X(k+1)点出发，返回第(2)步 继续进行搜索迭代。
的极为有用的性质：从任意初始点X(0)出发，依次沿n个线性无关 的与A共扼的方向S1，S2，…, Sn各进行一维搜索，那么总能在第n 步或n步之前就能达到n维正定二次函数的极小点；并且这个性质 与所有的n个方向的次序无关。因而说共轭方向法具有有限步收敛 的特性。通常称具有这种性质的算法为二次收敛算法。 2.理论与实践证明，将二次收敛算法用于非二次的目标函数， 亦有很好的效果，但迭代次数不一定保证有限次，即对非二次n维 目标函数经n步共轭方向一维搜索不一定就能达到极小点。 3.对于非二次的目标函数寻优的另一种处理方法是循环迭代 法，即当达n步迭代终点X(n)时还未收敛，此时可将X(n)作为新的初 始点，再重新开始迭代，实践证明，这样做要比一直迭代下去具 有更好的效果。 4.即便对于正定二次函数，在数值计算中，由于数据的舍入 以及计算误差的累积，往往破坏了这种共轭性质。
(一)共轭方向的定义
设A为n×n阶实对称正定矩阵，如果有两个n维向量S1和S2满足
S1TAS2=0 则称向量S1与S2对于矩阵A共轭。 共轭向量的方向称为共轭方向。

第三章 无约束最优化方法

第三章 无约束最优化方法

f x f x
*

所以函数f(x)在 x * 处取得局部极小值，称x *为
局部极小点。 而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内 的全局极小点。 函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢？
5
第三章 无约束最优化方法
下凸的一元函数
可以证明凸规划问题的局部最小点就是其全局最小点。
6
第三章 无约束最优化方法
f x 0
x Rn

的问题。一般地，这是一个非线性方程组， 17 可对其采用迭代法求解之。
第三章 无约束最优化方法
下降迭代算法
算法：给定目标函数 f x 的极小点的一个初始估计点 x0 ， 然后按一定的规则产生一个序列 xk ，这种规则通常称 为算法。如果这个序列的极限恰好是问题（3-1）的极 小点 x* ，即
正定矩阵 设 Q是n×n 阶对称矩阵。
若 x Rn 且 x 0 都有 x T Q x 0 ，则称矩阵Q 是正定的 若 x R
n n
T x 都有 Q x 0 ，则称矩阵Q 是半正定的
若 x R 且 x 0 都有 xT Q x 0 ，则称矩阵Q 是负定的 若 x Rn 都有 x T Q x 0 ，则称矩阵Q 是半负定的
为正定的定义是：若对任何向量d (d!=0)，有
d T 2 f x* d 0
对称正定方阵 2 f x* 的检验方法是所有主子式均大于零。 二、迭代方法 求解 无约束最优化问题 T f x min x x1, x2 , , xn 的问题可以转变为求解n 元方程组
26
3-2
一维搜索（0.618法）
设给定一个较小的步长δ，从α=0开始，先计算φ(0)，然 后计算在 (1.618)0 的函数值φ(δ)；如果φ(δ)<φ(0)， 则讲步长δ增大1.618倍，得到一个新点 1.618 2.618 , 计算φ(2.618δ)；如果φ(2.618δ)仍小于φ(δ)，再继续增加 步长为原步长的1.618倍，如下图所示，从而得到一系列 j 点的αj的值为 '

无约束多维问题的优化方法

无约束多维问题的优化方法

T
k 1
X X 0
F
k 0
i0
X, f
f 0 f X
t Si 2
结束
9
2013-2-28
3)最优步长法 最优步长法是利用一维探索方方，如黄金分割 法或二次插值法，来确定最优步长 i 值 在第k轮探索的第i次迭代中其步长为：
min f

X
i 1
Si f
f ( x 0 ) 104 2 x1 4 f ( x ) 100 50 x2 x0 沿负梯度方向进行一维搜索，有
0
2 4 0 x x 0 f ( x ) 2 100 0
1 0 0
0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件

4.1 坐标轮换法
坐标轮换法又称为“变量轮换法”，“交替法”或 “降维法”。是一种常用的降维方法。是一种不需要 求函数导数，直接探索目标函数最优解的方法。
一）基本思想

每次仅对多元函数的一个变量沿其坐标轴进行 一维探索，其余各变量均固定不动，并依次轮换进 行一维探索的坐标轴，完成第一轮探索后再重新进 行第二轮探索，直到找到目标函数在全域上的最小 点为止。以达到将一个多维的无约束最优化问题， 转化为一系列的一维问题来求解的目的。
2 4 0 1.919 877 x 2 100 0 0.307 178 5 102
1
f ( x1 ) 3.686 164
T 继续作下去，经10次迭代后，得到最优解 x 0 0
f ( x ) 0

这一问题的目标函数f(x)的等值线为一簇椭圆。
全过程的搜索路线呈锯齿状，在远离极小点时逼近速度 较快，而在接近极小点时逼近速度较慢。 （4）梯度法的收敛速度 与目标函数的性质密切相 关。对于等值线(面)为同 心圆（球）的目标函数， 一次搜索即可达到极小点。

多变量无约束优化算法

多变量无约束优化算法

第6章 多变量无约束优化算法Chapter6 Unconstrained Several Variables Technique6-1 概述在求解目标函极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加任何限制，则这类优化问题就称为无约束优化问题，其数学模型如下nRX X f ∈)(m in在实际问题中，没有约束条件的优化问题是很少的，但尽管如此，人们仍然花大量的时间和精力来研究这类算法，其主要原因是1) 有些实际问题可以近似地处理成无约束优化问题；2) 通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础； 3) 约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。

从第4章优化问题的经典解法知，无约束优化问题的求解可以直接利用极值条件来确定极值点的位置，即0)(*=∇X f对于n 维问题而言，这是一个含有n 个未知量、n 个方程的方程组，并且一般是非线性的方程组。

除了特殊情况外，非线性方程组的求解也是一个非常困难的问题，一般很难用解析方法求解。

因此，无约束优化问题求极值的通常作法就是用数值解法。

数值解法最常用的方法是下降迭代法step-down iteration ，其基本思想是从给定的初始点)0(X initial point 出发，沿某一搜索方向)0(S searching direction 进行搜索，确定最佳步长optimal increment 0α，使函数值沿)0(S 方向下降最大，形成的迭代下降算法 iteration formula)()()()1(k k k k S X X α+=+ 要求requiring )()()()1(k k X f X f <+如何产生这些下降的搜索方向，就成为各种无约束优化方法的主要区别和特征。

根据构成搜索方向所使用的信息不同，无约束优化方法可以分成二类，一类是只利用（计算）目标函数值就能构成搜索的无约束优化方法，如坐标轮换法、Powell 法等，统称直接法direct method ；另一类是利用目标函数一阶或二阶导数构成搜索的无约束优化方法，如梯度法、牛顿法等，称为间接法indirect method 。

数学建模案例之多变量无约束最优化

数学建模案例之多变量无约束最优化

数学建模案例之多变量无约束最优化多变量无约束最优化问题是指在变量间没有限制条件的情况下，求解目标函数的最优值。

这类问题在数学建模中非常常见，实际应用非常广泛。

下面以一个实际案例说明多变量无约束最优化的建模过程。

假设地有几个旅游景点，现在需要制定一个旅游路线，使得游客的游玩时间最长，同时经济成本最低。

已知每个旅游景点之间的距离和游玩时间，以及游客每次游玩每公里所需的成本。

目标是找到一条旅游路线，使得游客在游览所有景点后，花费的经济成本最少。

首先，我们需要定义问题的数学模型。

假设有n个旅游景点，用x1, x2, ..., xn表示每个景点的游玩时间（单位：小时），用dij表示第i个景点和第j个景点之间的距离（单位：公里），用c表示游客游玩每公里所需的成本。

为了定义问题的数学模型，我们需要明确如下几个关键部分：1. 决策变量：定义一个n维向量X，其中每一个分量xi表示游客在第i个景点的游玩时间。

2. 目标函数：定义一个目标函数f(X)，表示游客花费的经济成本。

在本例中，目标函数可以定义为：f(X) = ∑dij * xi * c。

3.约束条件：由于是无约束最优化问题，这里没有额外的约束条件。

有了以上几个关键部分，我们可以将问题的数学模型表达为如下形式：最小化：f(X) = ∑dij * xi * c其中，i=1,2,...,n下一步是求解这个最优化问题。

可以使用各种数值优化算法，比如梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。

具体的求解过程会涉及到算法的具体细节，这里不再详述。

最后，根据求解结果，我们可以得到游玩时间最长且经济成本最低的旅游路线。

这条路线就是我们需要制定的旅游路线。

总结起来，多变量无约束最优化问题在数学建模中的应用非常广泛。

通过定义合适的决策变量、目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过数值优化算法求解这个模型，得到最优解。

在实际应用中，对于复杂的问题，可能需要结合多种算法和技巧来求解。

第八章 无约束多维问题的最优化方法

第八章 无约束多维问题的最优化方法

5 共轭梯度法
共轭梯度法的迭代公式
设从xk出发，沿dk=-gk 方向作一维搜索到 xk+1点，并算 出xk+1点的梯度方向gk+1。由于gk+1 是沿等直面在该点的法 线方向，而dk是沿等直面在该点的切线方向，故(dk)Tgk+1= 0，即 gk+1Tgk=0，gk+1 与 gk 正交。 为了在 gk+1 和 gk 构成的正交系中确定共轭方向dk+1，令 dk+1 = -gk+1+k dk 即把共轭方向dk+1看成-gk+1与 dk的线性组合，k 为待定 系数。要使dk+1与dk 共轭，就应使 (dk+1)TGdk =0 而 (dk+1)TGdk =(-gk+1+kdk)TGdk =(-gk+1 kgk)TG(-gk ) =gk+1TGgk+k gkTGgk =0
T
0 T 4 100 1 50
T
1 1 2 2 4 0 100 0 4 100 50 2 f x 0

0 0
T
对照梯度法和牛顿法迭代公式，可以看出只相差一项 海赛矩阵的逆矩阵。因此，牛顿法是对梯度法的进一步修 正。事实上，梯度法是对目标函数f(x)在点xk的一阶(线性) 近似，而牛顿法是对f(x)在点xk 的二阶(二次)近似。
2 最速下降法
(1) 最速下降法以负梯度方向作为搜索方向并作一维搜索，因 此又称为“梯度法”，属于求导数的间接法。它的基本思想早 在1847年就已提出。尽管它本身不再被认为是一种有效的方法， 但它是许多优化方法尤其是二次收敛方法的基础。 各点的梯度一般各不相同，因此“最速下降方向”仅对某 一点附近而言，它具有局部性质。 当作一维搜索时，搜索方向是与目标函数等值线相切的， 而切点的梯度方向是与等值线正交的。因此，相邻两次搜索方 向相互垂直，搜索路径呈严重的“之”字形，特别是目标函数 接近二次型时更为明显。 可以利用梯度矢量在极值点为零这一重要性质设立收敛准 则 f(x*)

第三讲 无约束优化(多维无约束优化方法)


2019/10/21
5
1. 梯度法（最速下降法 ）
（2）迭代公式 ： X (k 1) X (k) k S (k) X k f X k
或
X (k1) X (k) k
f f
X k X k
f
X k


f ，f x1 x2
X (2) 1
S (1)
S为S（2）的共轭方向。
S即为S(1)的共轭方向。
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18
（2）共轭梯度法的基本原理
2）共轭方向的构造
S k1 f X k1 k S k
上式的意义是以新的负梯度方向 f X k1 ，加上原
负梯度的一部分k S k 来构造 S k1 。
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3
1. 梯度法（最速下降法 ）
数值迭代格式
X (k 1) X (k ) k S (k )
从数值迭代格式可以看出，构造一种算法的关键 是如何确定一个有利的搜索方向。
梯度方向是函数值上升最快的方向，负梯度 方向是函数值下降最快的方向。
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以负梯度方向作为搜索方向
4）牛顿法不能保证函数值稳定下降，严重时还会造 成点列发散导致迭代失败。
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1 27
3. 多维牛顿法（阻尼牛顿法）
问题的提出
因函数不一定是二次函数，基本牛顿法的步长因子 恒为1，有时会导致迭代发散而失效。
改进方法
仍取牛顿方向，但改用最优步长因子：
X (k1) X (k ) k [H ( X (k ) )]1f ( X (k) ) 一维搜索求最优步长
'X 0

最优化方法：第三章无约束问题的最优化方法

令
f1 f 2 ，则新区间＝ [a, 2 ]
f1 f 2
[a1 , b]
a 1 , 1 2 , f1 f 2
，记N0=1；
4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够精度，
如果收敛条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小 点的数值近似解。如果条件不满足则转向步骤5）。
(3）产生新的探测点a3＝a1＋h，y3＝f(a3); (4) 比较函数值 y2与y3： （a） 如y2>y3, 加大步长 h＝2 h ，a1=a2, a2=a3,转（3） 继续探测。 （b）如y2<y3, 则初始区间得到： a=min[a1,a3]， b=max[a3,a1]，函数最小值所在的区间 为 [a ， b] 。
解得： b
c
p 3 a b 3 c 3 f 3
2 2 2 2
2 3 f1 3 1 f 2 1 2 f 3 1 2 2 3 3 1
3 f1 3 1 f 2 1 2 f 3 1 2 2 3 3 1
确定的搜索区间必定
f (x) f (x)
α
是一个含有最优点α*的 单峰区间。
0Leabharlann α1α3α
0
α1
α3
α
2、确定初始单谷区间的进退法 基本思想： 对f(x)任选一个初始点a1及初始步长h， 通过比较这两点函数 值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是 否为 “高—低—高” 形态。 步骤： （1）选定初始点a, 初始步长h＝h0，计算 y1＝f(a1)，y2＝f(a1＋h)。 （2）比较y1和y2。 （a）如y1>y2, 向右前进；加大步长 h＝2 h ，转（3）向前； （b）如y1<y2, 向左后退；h＝－ h0， 将a1与a2，y1与y2的 值互换。转（3）向后探测； （c）如y1＝y2，极小点在a1和a1＋h之间。

数学建模实验二 无约束优化

数学建模试验报告（五 ）姓名 学号 班级问题：.陈酒出售的最佳时机问题某酒厂有批新酿的好酒,如果现在就出售,可得总收入0R =50万元(人民币),如果窖藏起来待来日(第n 年)按陈酒价格出售,第n 年末可得总收入60en R R (万元),而银行利率为r =0.05,试分析这批好酒窖藏多少年后出售可使总收入的现值最大. (假设现有资金X 万元,将其存入银行,到第n 年时增值为()R n 万元,则称X 为()R n 的现值.)并填下表. 第一种方案：将酒现在出售，所获50万元本金存入银行； 第二种方案：将酒窖藏起来，待第n 年出售.（1）计算15年内采用两种方案，50万元增值的数目并填入表1，2中； （2）计算15年内陈酒出售后总收入()R n 的现值填入 表3中.表1 第一种方案第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 59.0680 63.2899 66.7329 69.7806 72.5808 第6年 第7年 第8年 第9年 第10年 75.2090 77.7098 80.1121 82.4361 84.6961 第11年 第12年 第13年 第14年 第15年 86.9031 89.0656 91.1903 93.2825 95.3467 表2 第二种方案第1年 第2年第3年第4年第5年第6年第7年第8年第9年第10年第11年第12年第13年第14年第15年表3 陈酒出售后的现值第1年 第2年第3年第4年第5年第6年第7年第8年第9年第10年第11年第12年第13年第14年第15年问题的分析和假设：假设问题不受市场上其他因素的影响，忽略通货膨胀的因素，假设酒水没有人为的损坏， 对问题分析。

存款存入银行的问题，可以建模为递增的函数。

问题二和问题一的原理相同。

建模：第一种方案，过n年出售：设第n年的收益为bn，则根据题目，写出运算公式为：r=50bn=r*exp(sqrt(n)/6)第二种方案，立即出售，存款存入银行：可以设存入银行的年收入为r，初始值为r0=50（万元）则，第n年的时候r=r0*（1+0.05）^nr0=50求解的Matlab程序代码：第一种方案，过n年出售：在m文件种编辑：输入为，for n=1:15b(n)=50*exp(sqrt(n)/6);endbb =用来计算1-15年的收益。

最优化方法第六讲 无约束(多维)最优化


step4. 若 || f ( xk1) || ,停止，x* xk1 ;
否则，令 k : k 1, 转step 2 。
14
➢算法框图
给定初始点x0和精度 || f ( x0 ) ||
停止，输出x1
否
是
| x1 x0 |
是 停止，输出x0
否 否
2 f (x0) 0
计算x1
x0
f ( x0 ) 2 f (x0)
1
13 62
x2
x1
1d 1
(
36 , 31
8 31
)T
7
三、最速下降法的特点
1.性质. 设 f ( x) 有一阶连续偏导数，若 步长 满足 k
f ( xk d k ) min f ( xk d k )
k
则有 f ( xk d k )T d k 0。 k
证明：令 ( ) f ( xk d k )，所以
5
一、梯度法（最速下降法）：
1. 搜索方向：d k f ( xk ) ,也称为最速下降方向；
2. 搜 索 步 长: k 取 最 优 步 长, 即 满 足
f (xk
kd k )
min
f
(xk
d k ) 。
二、梯度法算法步骤：
1. 给定初始点 x1 Rn ,允许误差 0, 令k 1。
2. 计算搜索方向 d k f ( xk ) ;
Step3. 令 xk 1 xk kd k , 其中tk : f ( xk kd k ) min f ( xk d k )。
24
Step 4. 判断 xk 1 是否满足终止准则： yes: 计算 stop, 则x* : xk1
No : 转 step 5 。
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导数dP/da中的这一部分代表了最优生产量s和t的 变化对利润的影响。其和为零说明了生产量的微小变 化对利润几乎没有什么影响。从几何上看，由于P(s,t) 在极值点是平的，s和t的微小变化对P几乎没有什么影 响。所以19英寸彩电的价格弹性系数10%的提高而导 致的最优利润的下降几乎全部是由售价的改变引起 的。因此我们的模型给出的生产量几乎是最优的。
稳定点为:（4735，7043）, D1= -0.02< 0， D2=0.000351 >0， 所以P(s,t)在稳定点处取得 最大值553641. 553641.
其它数据为：p=270.52，q=309.63，C=2907950，利润率=0.190385
3 结果说明
简单来说，这家公司今年可以通过生产4735台19 英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年 获得的净利润为553641美元。 19英寸彩电的每台平均售价为270.52美元；21英 寸彩电的每台平均售价为309.63美元；生产总支出为 2907950美元，相应的利润率为19%。这些数据显示 有利可图，因此建议公司推出新产品。
如果19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，则我们应 该将19英寸彩电的生产量缩小11%，21英寸彩电的生产量 扩大2.7%。
a S(s,a) S(t,a)
0.008 -1.18 0.39
0.009 -1.16 0.32
0.01 -1.14 0.27
0.011 -1.12 0.23
0.012 -1.11 0.20
(2)Biblioteka 图1.5画出了P关于a的曲线图。由图上显示，19英寸彩 电的价格弹性系数a的提高，会导致利润的下降。 而当a=0.01时有： dP a
S ( P, a ) = da P ≈ −0.40
说明当19英寸彩电的价格弹性系数a提高10%时，利润 P只减少4%，a的微小变化对模型结果(利润)的影响很小。
建立数学模型
由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：
max P( s, t ) = （339-as − 0.003t ) s + (399 − 0.01t − 0.004s )t − (400000 + 195s + 225t ) s.t s ≥ 0, t ≥ 0
其中a=0.01.
模型求解
1 求解方法： ∂P( s, t ) （1）求出稳定点（s0 , t0）,即解方程组 ∂s = 0 ∂P( s, t ) = 0 ∂t （2）判断是否在稳定点处取极值，方法如下：
0
2）判断 若D1 > 0，D2 >0,则（s0 , t0）是极小值点； 若D1 < 0，D2 >0,则（s0 , t0）是极大值点； 若D2 <0,则（s0 , t0）不是极值点； 若D2 =0,则不能肯定（s0 , t0）是不是极 值点，还需进一步判定。
0)
2 计算结果 运用Mathematica计算得出：
例如：设a=0.01, 但实际的价格弹性系数比它高出了10%. 我们用原来算出的最优生产量(4735,7043),与a=0.011算出的 最优生产量(4251,7212)相比，我们会多生产出11%的19英寸彩 电,而少生产约3%的21英寸彩电.而且利润也会比最优值低4%。 但我们仍采用该模型的结果实际会损失什么呢？采用原来 算出的最优生产量(4735,7043), 会得到利润为531221美元， 而采用现在算出的最优生产量(4251,7212)会得到最优利润为 533514美元。因此，采用我们模型的结果，虽然现在的生产 量与最优生产量有相当的差距，但获得的利润仅仅比可能的最 优利润损失了0.43%。在这意义下，我们的模型显示了非常好 的稳健性。
假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售 价格会下降1美分。
假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩 电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩 电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
变量之间的相互关系确定：
因此，19英寸彩电的销售价格为： p=339 - a×s - 0.003×t，此处a=0.01 21英寸彩电的销售价格为： q=399 - 0.01×t - 0.004×s 因此，总的销售收入为： R=p×s + q×t 生产成本为： C=400000 + 195×s + 225×t 净利润为： P = R - C 因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得P取得最大值。
图1.5 利润关于a的灵敏性
在计算dP/da除了前面直接对(2)式的单变量求导 外，还可以利用多变量函数的链式法则：
dP ∂P ds ∂P dt ∂P = + + da ∂s da ∂t da ∂a (3)
由于在极值点∂P ∂s 与∂P ∂t 都为零，则有
dP ∂P = =−s2 da ∂a
这样可直接得到dP/da，进而求出 S ( P, a ) = −0.40 . (3) 式的中： ∂P ds ∂P dt + =0 ∂s da ∂t da 有其实际意义。
1）先计算
∂ 2 P ( s, t ) D1 = ∂s 2 ( s ,t
0
0)
D2 =
∂ 2 P ( s, t ) ∂s 2 ( s ∂ 2 P ( s, t ) ∂s∂t ( s
0 ,t 0 )
∂ 2 P ( s, t ) ∂s∂t ( s ,t
0
0)
0 ,t 0 )
∂ 2 P ( s, t ) ∂t 2 ( s ,t
如：价格弹性系数a=0.008，如果我们提高10%，19 英寸彩电的生产量缩小11.8%，21英寸彩电的生产量扩大 3.9%。
2）利润对a的灵敏性分析 19英寸彩电的价格弹性系数的变化会对利润造成什么 影响？ 直接把（1）带入前面的表达式，得
1662000 581700 1662000 − 0.003(8700 − )) 40000a − 49 40000a − 49 40000a − 49 1662000 581700 581700 + (399 − 0.004 − 0.01(8700 − ))(8700 − ) 40000a − 49 40000a − 49 40000a − 49 1662000 581700 −(400000 + 195 + 225(8700 − )) 40000a − 49 40000a − 49 P(a) = （399-a
1）产量对a的灵敏性分析 在模型中我们假设a=0.01美元/台，将其带入前面的公 式中，我们得到：
P ( s, t ) = （339-as − 0.003t ) s + (399 − 0.004 s − 0.01t )t − (400000 + 195s + 225t )
令P关于s，t的偏导数为零，则：
步骤：
1．问题分析、假设与符号说明 2．建立数学模型 3．模型求解 4．灵敏性分析
符号说明(变量)
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
数学建模案例之 多变量无约束最优化
2010.3.22
问题1:
一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸立体声彩色电视 机，制造商建议零售价为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价 为399美元。公司付出的成本为19英寸彩店每台195美元，21英寸彩电每台225 美元，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩 电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台， 平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销 售，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价 会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4 美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？ 清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？
图1.3 s关于a的灵敏性曲线
图1.4 t关于a的灵敏性曲线
可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。s对a 的灵敏性记作 S ( s, a) ,定义为
S ( s, a ) =
da s
ds a da s
当a=0.01时有： S ( s, a ) = ds a ≈ −1.14 同理可得：
S (t , a ) = dt a ≈ 0.268 da t
图1.2 彩电问题中关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的利润函数有的水平集图
灵敏性分析：
由于在模型中我们假设19英寸彩电的价格弹性系数 a=0.01美元/台，所以应该研究它的微小变化对模型结果的 影响。而模型主要求的是生产量以及最大利润，所以我们 只考虑a的微小变化对这两个的影响。
1662000 40000a − 49 581700 t (a ) = 8700 − 40000a − 49 s(a) =
(1)
图1.3，1.4画出了s(a)，t(a)关于a的曲线图。 由图上显示，19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致 19英寸彩电的最优生产量s的下降，及21英寸彩电的最优生产 量t的提高。
图形说明
图1.1给出了函数P的3维图象，图象显示，P在内部达到 最大值； 图1.2给出了P的水平集图，从中我们可以估计出P的最 大值出现在s=5000,t=7000附近。函数P是一个抛物面，其 最高点为方程组的唯一解。
图1.1 彩电问题的利润y关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的3维图象
常量
1.两种彩电的初始定价：339美元和399美元； 2.其对应的成本分别为：195美元和225美元； 3.每种彩电多销售一台，平均售价下降系数a=0.01 美元（称为价格弹性系数），两种彩电之间的销售 相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元； 4.固定成本为400000美元。