第8章 无约束问题最优化方法

最优化方法归纳总结最优化方法归纳总结篇一：最优化方法综述最优化方法综述1.引论1.1应用介绍最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。

这类问题普遍存在。

例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。

最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。

1.2优化的问题的基本概念工程设计问题一般都可以用数学模型来描述，即转化为数学模型。

优化设计的数学模型通常包括设计变量、目标函数和约束条件。

三个基本要素。

设计变量的个数决定了设计空间的维数。

确定设计变量的原则是：在满足设计基本要求的前提下，将那些对设计目标影响交大的而参数选为设计变量，而将那些对设计目标影响不大的参数作为设计变量，并根据具体情况，赋以定值，以减少设计变量的个数。

用来评价和追求最优化设计方案的函数就称为目标函数，目标函数的一般表达式为f?x??f?x1,x2,?xn?。

优化设计的目的，就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值。

所谓最佳值就是极大值或极小值。

在设计空间中，虽然有无数个设计点，即可能的设计方案，但是一般工程实际问题对设计变量的取值总是有一些限制的，这些限制条件显然是设计变量的函数，一般称之为优化设计问题的约束条件或约束函数。

Matlab中的最优化问题求解方法近年来，最优化问题在各个领域中都扮演着重要的角色。

无论是在工程、经济学还是科学研究中，我们都需要找到最优解来满足特定的需求。

而Matlab作为一种强大的数值计算软件，在解决最优化问题方面有着广泛的应用。

本文将介绍一些Matlab中常用的最优化问题求解方法，并探讨其优缺点以及适用范围。

一. 无约束问题求解方法1. 最速下降法最速下降法是最简单且直观的无约束问题求解方法之一。

其基本思想是沿着梯度的反方向迭代求解，直到达到所需的精度要求。

然而，最速下降法的收敛速度通常很慢，特别是在局部极小值点附近。

2. 共轭梯度法共轭梯度法是一种改进的最速下降法。

它利用了无约束问题的二次函数特性，通过选择一组相互共轭的搜索方向来提高收敛速度。

相比于最速下降法，共轭梯度法的收敛速度更快，尤其适用于大规模优化问题。

3. 牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化方法。

它通过构建并求解特定的二次逼近模型来求解无约束问题。

然而，牛顿法在高维问题中的计算复杂度较高，并且需要矩阵求逆运算，可能导致数值不稳定。

二. 线性规划问题求解方法1. 单纯形法单纯形法是一种经典的线性规划问题求解方法。

它通过在可行域内进行边界移动来寻找最优解。

然而，当问题规模较大时，单纯形法的计算复杂度会大幅增加，导致求解效率低下。

2. 内点法内点法是一种改进的线性规划问题求解方法。

与单纯形法不同，内点法通过将问题转化为一系列等价的非线性问题来求解。

内点法的优势在于其计算复杂度相对较低，尤其适用于大规模线性规划问题。

三. 非线性规划问题求解方法1. 信赖域算法信赖域算法是一种常用的非线性规划问题求解方法。

它通过构建局部模型，并通过逐步调整信赖域半径来寻找最优解。

信赖域算法既考虑了收敛速度，又保持了数值稳定性。

2. 遗传算法遗传算法是一种基于自然进化过程的优化算法。

它模拟遗传操作，并通过选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。

遗传算法的优势在于其适用于复杂的非线性规划问题，但可能需要较长的计算时间。

最优化方法-习题解答张彦斌计算机学院2014年10月20日Contents1第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、412第二章线搜索算法-P27习题2、4、643第三章最速下降法和牛顿法P41习题1，2，374第四章共轭梯度法P51习题1，3，6(1)105第五章拟牛顿法P73-2126第六章信赖域方法P86-8147第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6188第八章最优性条件P112-1，2,5,6239第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),62610第十一章二次规划习题11P178-1（1），5291第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4 1.验证下列各集合是凸集:(1)S={(x1,x2)|2x1+x2≥1,x1−2x2≥1};需要验证：根据凸集的定义，对任意的x(x1,x2),y(y1,y2)∈S及任意的实数λ∈[0,1],都有λx+(1−λ)y∈S.即,(λx1+(1−λ)y1,λx2+(1−λ)y2)∈S证：由x(x1,x2),y(y1,y2)∈S得到，{2x1+x2≥1,x1−2x2≥12y1+y2≥1,y1−2y2≥1(1)1把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1−λ,然后再相加，即得λ(2x1+x2)+(1−λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1−2x2)+(1−λ)(y1−2y2)≥1(2)合并同类项，2(λx1+(1−λ)y1)+(λx2+(1−λ)y2)≥1,(λx1+(1−λ)y1)−2(λx2+(1−λ)y2)≥1(3)证毕.2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：(3)f(x)=x21−2x1x2+x22+2x1+3x2首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是∇2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是∇2f(x)对一切x为正定。

数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。

2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。

无约束最优化绪论人们总是尽可能的找优化方法，航空公司合理安排时刻表，工作人员和飞行器，使支出最小。

投资者寻找投资组合，避免风险，从而获得更高的回报。

生产商在设计和操作方面使他们的操作过程效率最大化。

自然优化，物理系统使一个系统趋向能量最小的状态，分子在一个隔离的化学系统中相互反应直到电子能量总和最小。

光线跟随着一定的路径，使传播的时间最小。

最优化问题在工程技术和科学研究中是一个重要的工具。

为了使用最优化，必须定义一个目标，选取决策变量的值，使函数值取得最大值或者最小值。

这个目标可以用一个简单的数值代表（比如利润、时间、势能或者任何一个组合变量）。

这个目标取决于系统特征，称为变量或者未知量。

我们的目标是求出使目标函数最优的一个值。

这些变量可以是受限的也可以是不受限的。

同样，分子中的电子量和贷款的利率不可能是负数。

对于一个给定的问题，定义目标函数和变量约束条件的时候可以认为是一个最优化问题模型，适当的模型约束条件是第一步也是最重要的一步。

如果模型太简单就不能给实用问题一个有用的解，太复杂就解不出来解了。

一旦模型有了公式表达，最优化算法就可以得到解决。

通常算法和模型可以复杂到连计算机都不能算出整个最优化过程，然而仍然有很多算法可以处理实际问题。

通常由用户选择合适的算法来应用于他们的问题，这个选择很重要，它决定着是否可以很快的解决问题，决定着能否建立解决方案。

一个优化算法是否能用取决于它是否能在一个模型中得到一个确切的解。

很多时候，我们利用决策变量把问题的条件表示成等式或不等式，称为约束条件。

如果约束条件不满足问题，则通常利用给出的信息来估计这个问题是否可以改善。

最后，可以在例如灵敏性分析的应用技术来改善模型和数据。

数学公式在数学中，优化就是在约束条件下求出变量的值，使目标函数取得最大值或者最小值。

我们采用以下符号：X：未知变量F : 目标函数Ci ：约束条件约束问题可以写成********************************************** 式（1.1）其中f 、c 是关于x的函数，Г、ε为指标集。

⽆约束最优化的常⽤⽅法11/22/2017 12:40:56 PM优化问题在很多领域有着重要的应⽤。

为了⽇后查阅⽅便，本⽂列举常见的⽆约束优化⽅法的计算公式。

需要说明的是，本⽂的⼤部分内容选⾃图书《算法笔记》。

⼀、梯度下降法梯度下降法（Gradient Descent Method）也叫做最速下降法（Steepest Descent Method），因为负梯度是函数局部下降最快的⽅向。

梯度下降梯度下降法的迭代格式为x k+1=x k−αk∇f(x k)梯度下降法⾮常简单，只需要知道如何计算⽬标函数的梯度就可以写出迭代格式。

因此，尽管在不少情况下梯度下降法的收敛速度都很慢，也依然不影响它在⼯业界的⼴泛应⽤。

梯度下降法应⽤到⼀些具体模型上有时也会被视作⼀类特定的算法，例如神经⽹络中的后向传导算法（Back Propagation Algorithm）。

随机梯度下降在机器学习中经常有f(x)=∑m i=1ℓi(x)，其中ℓi(x)是第i个训练样本的损失函数。

这时我们可以使⽤随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent Method）。

其迭代格式为x k+1=x k−αk∇ℓr(x k)其中r∈1,2,⋯,m为随机数。

这种做法可以理解为随机选择⼀个训练样本，进⾏⼀次梯度下降的训练。

在机器学习的问题中，我们通常不需要真的求得最优值，这样不精确的迭代，使得算法不容易过拟合。

由于随机梯度下降法的普及，与此相对的梯度下降法有时被称为批量梯度下降法（Batch Gradient Descent Method），因为它同时考虑所有训练样本。

介于批量梯度下降法和随机梯度下降法之间，还有⼩批量梯度下降法（Min-Batch Gradient Descent Method），也就是每次迭代选择若⼲个训练样本。

步长αk的选取梯度下降法可采⽤BB步长（Barzilai Borwein）。

BB步长有两个计算公式，选择其⼀即可。