几种多变量函数无约束求极值的算法实现和性能比较(2015年12月17修正)

多维无约束优化算法部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑多维无约束优化算法多维无约束优化问题的一般数学表达式为：求n 维设计变量使目标函数 多维无约束优化算法就是求解这类问题的方法，它是优化技术中最重要最基础的内容之一。

因为它不仅可以直接用来求解无约束优化问题，而且实际工程设计问题中的大量约束优化问题，有时也是通过对约束条件的适当处理，转化为无约束优化问题来求解的。

所以，无约束优化方法在工程优化设计中有着十分重要的作用。

b5E2RGbCAP 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。

<1）间接法——要使用导数，如梯度法、<阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。

<2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。

用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。

这类方法较适用于解决变量个数较少的<n ≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。

间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛矩阵。

p1EanqFDPw各种优化方法之间的主要差异是在于构造的搜索方向，因此，搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。

12[]T n x x x =x ()min f →x min ()nf R ∈x x 1(0,1,2,)k k k k s k α+=+=x x下面介绍几种经典的无约束优化方法。

1、梯度法基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。

将n 维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。

DXDiTa9E3d 搜索方向s 取该点的负梯度方向(最速下降方向> ，使函数值在该点附近的范围内下降最快 。

为了使目标函数值沿搜索方向能够获得最大的下降值，其步长因子应取一维搜索的最佳步长。

即有根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式，得在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。

基本牛顿法无约束多维极值问题原理一、概述无约束多维极值问题是数学中的一个重要问题，涉及到优化理论和实际问题中的多种场景。

针对这类问题，基本牛顿法是一种常用的求解方法，具有较高的收敛速度和效率。

本文将介绍基本牛顿法在无约束多维极值问题中的应用，以及其原理和相关概念。

二、基本牛顿法概述1. 基本牛顿法的基本思想基本牛顿法是一种迭代方法，用于求解无约束多维极值问题的极小点。

其基本思想是利用目标函数的二阶导数信息来逼近极小点。

通过不断更新当前点的位置，使得目标函数在迭代过程中逐渐趋向最小值点。

2. 基本牛顿法的迭代公式设目标函数为f(x)，在点x_k处的梯度为g_k，二阶导数矩阵为H_k，则基本牛顿法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - H_k^(-1) * g_k其中，H_k^(-1)为H_k的逆矩阵，代表了目标函数曲率信息的逆。

通过不断更新x_k的值，可以逐步逼近极小点的位置。

三、基本牛顿法的收敛性分析1. 收敛速度基本牛顿法具有较高的收敛速度。

在目标函数满足一定条件（如凸性和光滑性）的情况下，基本牛顿法通常能够在很少的迭代次数内达到较高的精度要求。

2. 局部收敛性基本牛顿法在局部收敛性上表现较好。

当初始点距离极小点较近时，通常能够快速收敛到极小点附近。

3. 全局收敛性基本牛顿法在全局收敛性上存在一定的局限性。

对于非凸函数或者特定类型的目标函数，可能会出现收敛到局部极小点而非全局极小点的情况。

四、基本牛顿法的应用举例1. 无约束多维极小化问题基本牛顿法广泛应用于无约束多维极小化问题的求解中。

在机器学习和优化理论中，经常需要对多维目标函数进行极小化操作，基本牛顿法能够快速有效地求解该类问题。

2. 凸优化问题在凸优化问题的求解中，基本牛顿法也具有良好的应用效果。

由于凸函数的特殊性质，基本牛顿法往往能够在很少的迭代次数内找到全局极小点。

五、基本牛顿法的改进与扩展1. 阻尼牛顿法阻尼牛顿法是基本牛顿法的一种改进形式，通过引入阻尼因子来增加迭代的稳定性和收敛性。

一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。

本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。

一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。

在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。

下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。

假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。

现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。

根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。

于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。

即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。

多变量最值问题求解的常用解法
1. 枚举法：若实际问题中的目标函数为只有已知解的有限多解，则
可以用枚举法列举所有的解，并依据目标函数的需求，选择其中的最
优解。

2. 穷举法：用于解决多变量最优化问题，即多元非线性函数最值问题，又称暴力搜索法。

穷举法的思想就是将问题的所有解范围分割成一个
个小区间，然后将所有小区间取点，最终求取各点函数值得出最值。

3. 暴力搜索法：通过搜索问题中可能出现的每一种情况，最终求取最
优解。

4. 遗传算法：是一种著名的进化计算方法，它具有简单易行、收敛速
度快等优点，在解决多变量最优化问题时能够取得很好的效果。

5. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种建立在模拟物理过程的算法，
该算法采取尝试性的搜索方式，避免局部最优的出现和陷入，对多变
量最优化问题常常可以取得满意的解。

多维无约束优化算法多维无约束优化问题的一般数学表达式为：求n 维设计变量使目标函数多维无约束优化算法就是求解这类问题的方法，它是优化技术中最重要最基础的内容之一。

因为它不仅可以直接用来求解无约束优化问题，而且实际工程设计问题中的大量约束优化问题，有时也是通过对约束条件的适当处理，转化为无约束优化问题来求解的。

所以，无约束优化方法在工程优化设计中有着十分重要的作用。

目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。

（1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。

（2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。

用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。

这类方法较适用于解决变量个数较少的（n ≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。

间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛矩阵。

各种优化方法之间的主要差异是在于构造的搜索方向，因此，搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。

下面介绍几种经典的无约束优化方法。

1、梯度法基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。

将n 维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。

搜索方向s 取该点的负梯度方向(最速下降方向) ，使函数值在该点附近的范围内下降最快 。

为了使目标函数值沿搜索方向能够获得最大的下降值，其步长因子应取一维搜索的最佳步长。

即有12[]T n x x x = x ()min f →x ()k f -∇x k αmin ()nf R ∈x x 1(0,1,2,)k k k k s k α+=+= x x 1(0,1,2,)k k k k s k α+=+= x x 1()(0,1,2,)k k k k a f k +=-∇= x x x 1()[()]min [()]min ()k k k k k k k a af f a f f a f ϕα+=-∇=-∇=x x x x x根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式，得在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。