高一数学 课时跟踪检测(全一册) 苏教版必修

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一§1.1 集合的含义及其表示（1）课后训练【感受理解】1．给出下列命题(其中N 为自然数集) ：①N 中最小的元素是1 ②若a ∈N 则-a ∉N ③ 若a ∈N,b ∈N ，则a+b 的最小值是2（4）x x 212=+的解可表示为}1,1{， 其中正确的命题个数为 . 2．用列举法表示下列集合.①小于12的质数构成的集合；②平方等于本身的数组成的集合；③由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数的集合； ④抛物线221y x x =-+ (x 为小于5的自然数)上的点组成的集合.3. 若方程x 2-5x+6=0和方程x 2-x-2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是【思考应用】5．由实数332,,,x x x x --所组成的集合里最多有 个元素.6. 由“,x xy 0,||,x y ”组成的集合是同一个集合，则实数,x y 的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由.7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ.8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？9. 已知集合{,}A x x m m Z N Z ==+∈∈.(1)证明：任何整数都是A 的元素；(2)设12,,x x A ∈求证：12,x x A ⋅∈【拓展提高】9.设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1S ∉，②若a S ∈，则11S a∈-， 请解答下列问题：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a S ∈，则11S a-∈ （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.§1.1集合的含义及其表示（2）课后训练1． 设a ，b ，c 均为非零实数，则x=||||||||a b c abc a b c abc+++的所有值为元素组成集合是________ 2． 集合}9,7,5,3,1{用描述法表示为 .3． 下列语句中，正确的是 .（填序号）（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2} （4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示.4．所有被3整除的数用集合表示为 .5．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）（1）M={3，2}，N={2，3} （2）M={(3，2)}，N={（2，3）}（3）M={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M={1，2}，N={(1,2)}6.下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号） （1）{1,2},x y ==(2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x7．用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数} （2）{能被3整除，且小于10的正数}（3）}5,{Z x x x x x ∈<=且 （4）*},*,6),{(N y N x y x y x ∈∈=+（5）{5,3,1,1,3--}8．已知{}{}0|,0|22=+-==++=q px x x B q px x x A .当{}2=A 时，求集合B9．用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点的坐标集合.10．对于*,N b a ∈,现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ，集合{(,)*36,,*}M a b a b a b N ==∈ （1） 用列举法表示b a ,奇偶性不同时的集合M.（2） 当b a ,奇偶性相同时的集合M 中共有多少个元素？【拓展提高】11 设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”.（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素？（4）满足条件的集合A 共有多少个？§1.2 子集·全集·补集（1）课后训练【感受理解】1． 设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 2．下列各式中，正确的个数是 ①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}⊆{1，2，3}；⑤{a ，b}⊆{a ，b}．3．设{|12}A x x =<< ，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 .4．若集合A ={1，3，x}，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 .5．设集合M ={(x,y)|x+y<0，xy>0}和N ={(x,y)|x<0，y<0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x|x=a 2-4a+5，a ∈R}，B ={y|y=4b 2+4b+3，b ∈R} 则集合A 与集合B 的关系是________．【思考应用】7.设x ，y ∈R ，B={(x,y)|y-3=x-2}，A={(x,y)|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8.已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 .9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a . 10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个.11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a}，C={x 2+(a+1)x-3，1}. 求（1）当A={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，B A ，求x a ,的值；（3）使B= C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.⊂ ≠(变式)已知集合{}{}|25,|121,A x x B x m x m =-<<=+<<-满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.§1.2 子集·全集·补集（2）课后训练【感受理解】1．设集合{}{},,3|,,4|22R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==则A ，B 间的关系为 . 2若U={x|x 是三角形}，P={x|x 是直角三角形}则U C P = . 3已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A = 4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U .5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A .【思考应用】6．设全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 .7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n∈==，则=A C U .8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 .9．设U=R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U .10.（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围.（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值.【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．（1）求U B ，U C ．（2）若}{A x x D ∈=，说明D B A ,,的关系.§1.3 交集·并集（1）课后训练【感受理解】1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B = . 2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么AB = . 3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 .(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=4．已知集合A={x|-5<x<5}，B={x|-7<x<a}，C={x|b<x<2}，且A ∩B=C ，则 a ，b 的值分别为 .【思考应用】5．设全集U={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A,B)为一个“理想配集”.（若A ＝B ，规定(A,B)＝(B, A)；若A ≠B ，规定(A,B)与(B, A)是两个不同的“理想配集”）.那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。

高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABC­A′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′­ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′­ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′­BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ­ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ­ABCDEF 的直观图六棱锥P ­A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。

课时跟踪检测（九） 正弦、余弦函数的图象与性质层级一 学业水平达标1．若sin x ≥12，x ∈[0,2π]，则x 的取值范围是________．★答案★：⎣⎡⎦⎤π6，5π62．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域是________． 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π， ∴sin x ∈[－1,1]，∴f (x )＝－2sin x ＋1∈[－1,3]． ★答案★： [－1,3] 3．函数y ＝1sin 2x ＋1的值域是____________．解析：∵0≤sin 2x ≤1，∴1≤sin 2x ＋1≤2，∴12≤y ≤1，∴原函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，1. ★答案★：⎣⎡⎦⎤12，1 4．函数y ＝log 12sin x 的定义域是________． 解析：由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧log 12sin x ≥0，sin x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0<sin x ≤1，sin x ＞0， ∴0＜sin x ≤1，由正弦函数图象可得{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z}． ★答案★：{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z}5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________． 解析：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 令2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．∴函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． ★答案★：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 6．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为________． 解析：∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]． ★答案★：[0,2]7．已知函数y ＝2a ＋b sin x 的最大值为3，最小值为1，则函数y ＝－4a sin b2x 的最小正周期为________．解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋|b |＝3，2a －|b |＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，|b |＝1.T ＝2π|b |2＝4π.★答案★：4π8．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．解析：画出函数y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象与直线y ＝1围成一个封闭的平面图形如图阴影部分所示．显然图中封闭图形的面积，就是矩形面积的一半，为12×2×2π＝2π.★答案★：2π9．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，作出函数f (x )的图象，如图，则k 的取值范围是(1,3)．10．已知函数y ＝a －b cos 3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a ·sin 3bx的最大值和最小值．解：由题意知，当cos 3x ＝－1时，y max ＝a ＋b ＝32，当cos 3x ＝1时，y min ＝a －b ＝－12，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1，∴y ＝－4×12·sin 3x ＝－2sin 3x ，∴当sin 3x ＝－1时，y max ＝2， 当sin 3x ＝1时，y min ＝－2.层级二 应试能力达标1．若f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，则f (x )的取值范围是________．解析：由正弦函数图象知，当x ＝π2时，f (x )max ＝1，当x ＝π6时，f (x )min ＝12，从而f (x )∈⎣⎡⎦⎤12，1.★答案★：⎣⎡⎦⎤12，12．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. ★答案★：⎣⎡⎦⎤π2，π 3．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：由题意知，函数f (x )在x ＝π3处取得最大值1，∴1＝sin ωπ3，则ωπ3＝π2⇒ω＝32.★答案★：324．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________． 解析：y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54， ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54，当sin x ＝1时，y max ＝1，故y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. ★答案★：⎣⎡⎦⎤－54，1 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. ★答案★：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于________． 解析：∵⎝⎛⎭⎫π3－x ＋⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π2，∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴y min ＝－1. ★答案★：－17．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z)得，－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)． 据题意：⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.8．若关于x 的方程cos 2x ＋sin x ＋a －1＝0(x ∈R)有实根，求实数a 的取值范围． 解：原方程可化为1－sin 2x ＋sin x ＋a －1＝0，即sin 2x －sin x －a ＝0. 令sin x ＝t (－1≤t ≤1)，则方程变为t 2－t －a ＝0，即a ＝t 2－t .设g (t )＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14(－1≤t ≤1)，则易求得 g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝－14；g (t )max ＝g (－1)＝2. ∴－14≤g (t )≤2，也就是－14≤a ≤2.故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2.。

课时跟踪检测（十） 系统抽样 分层抽样层级一 学业水平达标1．下列抽样是系统抽样的是________．(填序号)①从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i 0，以后i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入样；②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔5 min 抽一件产品进行检验；③搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止；④电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相同)座位号为14的观众留下座谈． 答案：①②④2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是________．解析：为等距抽样，即为系统抽样．答案：系统抽样3．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为________．解析：分层抽样中抽样比一定相同，设样本容量为n ，由题意得，n 120＝2790，解得n ＝36. 答案：364．在学生人数比例为2∶3∶5的A ，B ，C 三所学校中，用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________.解析：由22＋3＋5＝6n，得n ＝30. 答案：305．某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2.(1)若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？(2)若从青年职工中抽取120人，试求所抽取的样本容量．解：(1)由于中、青、老年职工有明显的差异，采用分层抽样更合理．按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为：510×400＝200，310×400＝120，210×400＝80， 因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人、120人、80人．(2)由题设可知青年职工共有310×3 200＝960人． 设抽取的样本容量为n ，则有n 3 200×960＝120.∴n ＝400， 因此所抽取的样本容量为400.层级二 应试能力达标1．从 2 016个编号中抽取20个入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________．解析：先从2 016个个体中剔除16个，则分段间隔为2 00020＝100. 答案：1002．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003，…，0020，第一部分随机抽取一个为0015，则抽取的第40个为________．解析：由题意系统抽样的组距为20，则15＋39×20＝795，故第40个为0795.答案：07953．某校共有2 000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取________人．解析：由题意，全校参加跑步的人数占总人数的34，高三年级参加跑步的总人数为34×2000×310＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取110×450＝45(人)． 答案：454．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是________．解析：了解学生的健康情况，男、女生抽取比例应该相同，因此应用分层抽样法．由题意，25500＝20400， ∴本题采用的抽样方法是分层抽样法．答案：分层抽样5．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度．其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人．按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学，1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学．那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多________人．解析：本班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度的人数比例为5∶1∶3，可设三种态度的人数分别是5x ，x,3x ，则3x －x ＝12，∴x ＝6.即人数分别为30,6,18.∴30－30＋6＋182＝3.故结果是3人． 答案：36．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的为m ，那么在第k 小组中抽取的个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的是________．解析：m ＋k ＝6＋7＝13，由规定知抽取的个位数字为3，第7组中的十位数字为6.所以抽取为63.答案：637．一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、丙二条生产线抽取的个体数和为乙生产线抽取的个体数的两倍，则乙生产线生产了________件产品．解析：甲、乙、丙抽取的个体数为x ，y ，z ，由题意x ＋z ＝2y ，即乙占总体的13，故乙生产线生产了16 800×13＝5 600. 答案：5 6008．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C 产品的数量是______件．解析：设C 产品的数量为x ，则A 产品的数量为1 700－x ，C 产品的样本容量为a ，则A 产品的样本容量为10＋a ，由分层抽样的定义可知1 700－x a ＋10＝x a ＝1 300130，解得x ＝800. 答案：800 9．下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样过程，阅读并回答问题． 本村人口：1 200人，户数：300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户；抽样间隔：1 20030＝40； 确定随机数字：取一X 人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编码为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，编号为52的户为第二样本户；……(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)说明抽样过程中存在哪些问题，并修改．(3)抽样过程中何处应用了简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对该村各户收入情况进行抽样而不是对该村个人收入情况抽样，故抽样间隔应为30030＝10. 其他步骤相应改为：确定随机数字：任取一X 人民币，编号的最后一位为2；确定第一样本户：编号为002的户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，编号为012号的户为第二样本户；……(3)在确定随机数字时，应用的是简单随机抽样，即任取一X 人民币，记下编号的最后一位．10．某公路某某有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36， 抽取的工程师人数为n 36·6＝n 6， 技术员人数为n 36·12＝n 3， 技工人数为n 36·18＝n 2， 所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.。

课时跟踪检测（一）算法的含义[层级一学业水平达标]1．有关算法的描述有下列几种说法：①对一类问题都有效；②对个别问题有效；③可以一步一步地进行，每一步都有唯一的结果；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．其中描述正确的为________．解析：算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，所以①正确，②错误．由于算法必须是明确的，有效的，而且在有限步内完成，故③④正确．答案：①③④2．某人坐飞机去外地办一件急事，下面是他自己从家里出发到坐在机舱内的主要算法，请补充完整．第一步，乘车去飞机场售票处；第二步，____________________________；第三步，凭票登机对号入座．答案：在售票处购买飞机票3．已知算法：第一步，输入n.第二步，判断n是否是2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．第三步，依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，若不能整除n，满足条件．该算法的功能是________．解析：因为2是质数，且大于2的任何数，只要它不能被2,3，…，n－1整除，则n 一定为质数．故上述步骤是判断n是否为质数的算法．答案：判断所给的数是否为质数4．写出求长、宽、高分别为3,2,4的长方体表面积的算法：第一步取a＝3，b＝2，c＝4；第二步____________________________________________________；第三步输出结果S.答案：计算S＝2ab＋2bc＋2ac5．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－x ≤－，x 3x >－，试设计一个算法输入x 的值，求对应的函数值．解：算法如下：第一步 输入x 的值；第二步 当x ≤－1时，计算y ＝－x 2－1，否则执行第三步；第三步 计算y ＝x 3；第四步 输出y .[层级二 应试能力达标]1．已知球的表面积为16π，求球的体积的一个算法如下：第一步 取S ＝16π；第二步 _____________________________________________________；第三步 _____________________________________________________.将其补充完整．答案：计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2) 计算V ＝43πR 3 2．下面是求2×4×6×8×10的一个算法，请将它补充完整．第一步 计算2×4得8；第二步 将第一步中的运算结果8与6相乘得48；第三步 _________________________________________________________； 第四步 _________________________________________________________.答案：将第二步中的运算结果48与8相乘得384将第三步中的运算结果384与10相乘得3 8403．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最值的一个算法如下，请将其补充完整：(1)计算m ＝4ac －b 24a. (2)________________________________________________________________．(3)________________________________________________________________．解析：m 是最大值还是最小值由a 的正负确定，依据二次函数求最值的方法，确定第二、三步的内容．答案：如果a >0，则得到y min ＝m ，否则执行第三步得到y max ＝m4．有蓝和黑两种墨水瓶，但是现在却错把蓝墨水装在黑墨水瓶中，黑墨水装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，下面是将其互换的一个算法，请将其补充完整．第一步 准备一个干净的空瓶；第二步 将黑墨水瓶中的蓝墨水倒入空瓶中，并将黑墨水瓶洗干净；第三步 _______________________________________________________；第四步 _______________________________________________________.答案：将蓝墨水瓶中的黑墨水倒入黑墨水瓶中，并将蓝墨水瓶洗干净 将蓝墨水倒入蓝墨水瓶中5．如下算法：第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立，则y ＝2x ，否则执行第三步；第三步 y ＝log 2(－x )；第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4，则输入的x 的值为________．解析：算法执行的功能是给定x ，求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0，log 2－x ，x <0对应的函数值． 由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4.∴x ＝2或－16.答案：2或－166．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到．答案：若a ＝18，则执行第三步，否则返回第一步7．给出下列算法：第一步 输入x 的值．第二步 当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步．第三步 计算y ＝4－x .第四步 输出y .当输入x ＝10时，输出y ＝__________.解析：∵x ＝10＞4，∴计算y ＝x ＋2＝12.答案：128．下面给出一个问题的算法：第一步 输入x ；第二步 若x ≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步 输出2x －1；第四步 输出x 2－2x ＋3.(1)这个算法解决的问题是______________________________________________．(2)当输入x 值为________时输出的值最小？解析：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥7，当x <4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2.∴当x ＝1时，f (x )min ＝2.即当输入x 的值为1时，输出的值最小．答案：(1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值 (2)19．写出求a ，b ，c 中最小值的算法．解：算法如下：第一步 比较a ，b 的大小，当a >b 时，令“最小值”为b ；否则，令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小，当“最小值”大于c 时，令“最小值”为c ；否则，“最小值”不变；第三步 “最小值”就是a ，b ，c 中的最小值，输出“最小值”．10．已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0，求l 1，l 2，y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．解：算法如下：第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1，l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12，从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3，得到B (0,3)；第四步 求出△ABP 底边AB 的长AB ＝12－3＝9；第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2；第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12AB ·h ； 第七步 输出结果．。

必修一数学版高中苏教年度学2018-2019）课标（新）1及其表示（义集合的含1.1
§训练后课感受理解【】N ：) 集数自然为其中(题出下列
命给．1baNbNaNaaNN∈②若1 中最小的元素是①值的
最小+则，∈,∈若③-则 2 是
2题个数为其中正确的命，
为的解可表示）4（2. 法表示下列集合举．用列成的集合；
质数构的12①小于成的集合；数组②平方等于本身的
的集合；实数所确定的③由
成的集合组上的点)数的自然5小于为
(线④抛物22MMxxxx为的解-2=0-和方程+6=0-5若方程3. 个数为中元素的则，为元素的集合
可以是组值的取则元素，个3中含有，集合个成一．由4】
用应思考【元素个成的集合里最多有
组所实数．由5组”由“6. 是值的则实数
集合，个成的集合是同一组”由“与成的集合 . 明理由说，若不
确定，来求出请否确定的？若确定，
算：运集
合义．定7，求集合设，集合
2x空集、含一为，解
集时件么条足什别满当分，的方程于关．8 元素？两个元素、
含个 .
已知集合9. A：证求数明：任何整证
(1)设(2)的元素；都是2121】拓展提高【，① 成的集合：构所实数件的两个
条足下列满是设9.则，，②若：问题解答下列请
这两个数，求出两个数中必有另外则，）若1（；
则，：若证）求2（a S明理由；请说？个中元素能否只有一）在集合3（S. 不同的元素个中至少有三：集合证）求4（。

课时跟踪检测〔一〕 集合的概念[A 级 根底稳固]1．(多项选择)以下说法正确的选项是( )A ．N *中最小的数是1B ．假设－a ∉N *，那么a ∈N *C ．假设a ∈N *，b ∈N *，那么a ＋b 最小值是2D ．x 2＋4＝4x 的实数解组成的集合中含有2个元素解析：选AC N *是正整数集，最小的正整数是1，故A 正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故B 错误；假设a ∈N *，那么a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故C 正确；由集合元素的互异性知D 是错误的．故A 、C 正确．2．以下各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π组成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|组成的集合B ．P 是由π组成的集合，Q 是由3.141 59组成的集合C ．P 是由2，3组成的集合，Q 是由有序数对(2，3)组成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数组成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．应选A.3．假设以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，那么这个四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．4．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素，应选B.5．(多项选择)以下关系中，正确的选项是( )A.14∈R B ．2∉Q C ．－3∈N D ．3∈Z解析：选AB 14是实数，故A 正确；2是无理数，故B 正确；－3不是自然数，故C 不正确；3是无理数，不是整数，故D 不正确．6．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的根为元素的集合中共有________个元素． 解析：方程x 2－5x ＋6＝0的根是2，3，方程x 2－x －2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．答案：37．集合P 中元素x 满足x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，那么实数a 应满足的条件是________．解析：∵x ∈N ，2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素为3，4，5，∴实数a 应当满足的条件是5<a ≤6.答案：5<a ≤68．集合A 中的元素y 满足y ∈N ，且y ＝－x 2t ∈A ，那么t 的值为________．解析：因为y ＝－x 2＋1≤1，且y ∈N ，所以y 的值为0，1，即集合A 中的元素为0，1.又t ∈A ，所以t ＝0或1.答案：0或19．假设集合A 中含有三个元素a －3，2a －1，a 2－4，且－3∈A ，求实数a 的值． 解：(1)假设a －3＝－3，那么a ＝0，此时A 中含有三个元素－3，－1，－4，满足题意．(2)假设2a －1＝－3，那么a ＝－1，此时A 中三个元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．(3)假设a 2－4＝－3，那么aa ＝1时，A 中含有三个元素－2，1，－3，满足题意；当a ＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a ＝0或a ＝1.10．集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，假设A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：因为集合A ，B 相等，那么x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上可知：x ＝1，y ＝0.[B 级 综合运用]11．(多项选择)x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，那么以下判断正确的选项是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∈MD ．4∈M解析：选CD x ，y ，z 同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M ；当x ，y ，z 中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x ，y ，z 同为负数时，C 、D.12．a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，那么：(1)假设A 中只有1个元素，那么a ＝________；(2)假设A 有且只有2个元素，那么集合A 的个数是________．解析：因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N .假设a ＝0，那么4－a ＝4，此时A 满足要求；假设a ＝1，那么4－a ＝3，此时A 满足要求；假设a ＝2，那么4－a ＝2.此时A 只含1个元素；假设a ＝3，那么4－a ＝1，此时A 满足要求；假设a ＝4，那么4－a ＝0，此时A 满足要求．答案：(1)2 (2)213．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且a b∈A (b ≠0)〞的集合A为“闭集〞．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集〞？假设是，请说明理由；假设不是，请举反例说明．解：①数集N ，Z 不是“闭集〞，例如，3∈N ，2∈N ，而32∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而－32∉Z ，故N ，Z 不是闭集． ②数集Q ，R 是“闭集〞．由于两个有理数a 与b 的和、差、积、商，即a ±b ，ab ，a b(b ≠0)仍是有理数，所以Q 是闭集，同理R 也是闭集．14．设A 为实数集，且满足条件：假设a ∈A ，那么11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)假设2∈A ，那么A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．证明：(1)假设a ∈A ，那么11－a∈A . ∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－〔－1〕＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12. (2)假设A 为单元素集，那么a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴集合A 不可能是单元素集． [C 级 拓展探究]15．集合A 中共有3个元素－4，2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5，1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？假设能，那么求出a 的值，假设不能，那么说明理由．解：∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，假设2a－1＝9，那么a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与矛盾，故舍去．假设a2＝9，那么a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.。

课时跟踪检测（十七） 向量的数乘层级一 学业水平达标1．化简：16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b )＝_______. 解析：原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b . ★答案★：－2a ＋4b2．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________. 解析：2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，所以72y ＝23a ＋12c －12b ，所以y ＝421a －17b ＋17c . ★答案★：421a －17b ＋17c 3．若AP ＝13BP ，AB ＝t BP ，则t 的值是________． 解析：由题意AP ＝13BP ，所以AB ＝－23BP ，所以t ＝－23. ★答案★：－234．已知a ，b 是非零向量，AB ＝a ＋2b ，DC ＝2a ＋4b ，则四边形ABCD 的形状一定是________．解析：因为 DC ＝2AB ，所以DC ∥AB ，且DC ＝2AB ，所以四边形ABCD 一定是梯形．★答案★：梯形5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝AN －AM ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . ★答案★：－14a ＋14b 6．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：因为AB ＋AC ＝(AM ＋MB )＋(AM ＋MC )＝MB ＋MC ＋2AM .由MA ＋MB ＋MC ＝0得，MB ＋MC ＝AM ，所以AB ＋AC ＝3AM ，故m ＝3.★答案★：37.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝________.解析：AF ＝AD ＋DF ，又AB ＋AD ＝a ，AD －AB ＝b ，∴AB ＝12a －12b ，AD ＝12a ＋12b ， DC ＝AB ＝12a －12b ，∴AF ＝AD ＋13DC ＝23a ＋13b . ★答案★：23a ＋13b 8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝________.解析：设AB ＝a ，AC ＝b ，则EB ＝－12b ＋a ，FC ＝－12a ＋b ，从而EB ＋FC ＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD . ★答案★：AD9．计算：(1)14⎣⎡⎦⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )； (2)(λ＋μ)(a ＋b )－(λ－μ)(a －b )．解：(1)原式＝14(a ＋2b )＋34a －112(6a －12b ) ＝14a ＋12b ＋34a －12a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14＋34－12a ＋⎝⎛⎭⎫12＋1b ＝12a ＋32b . (2)原式＝(λ＋μ)a ＋(λ＋μ)b －(λ－μ)a ＋(λ－μ)b＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a ＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b ＝2μa ＋2λb .10．如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是把OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a 和b 表示向量OC ，DC ；(2)若OE ＝λOA ，求实数λ的值．解：(1)依题意，A 是BC 中点，∴2OA ＝OB ＋OC ，即OC ＝2OA －OB ＝2a －b ， DC ＝OC －OD ＝OC －23OB＝2a －b －23b ＝2a －53b . (2)若OE ＝λOA ，则CE ＝OE －OC ＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b .∵CE 与DC 共线．∴存在实数k ，使CE ＝k DC .∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，解得λ＝45. 层级二 应试能力达标1．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. ★答案★：－1或32．若AB ＝5e ，CD ＝－7e ，且|AD |＝|BC |，则四边形ABCD 的形状是________．解析：因为AB ＝5e ，CD ＝－7e ，所以CD ＝－75AB .所以AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |>|AB |.又因为|AD |＝|BC |，所以四边形ABCD 是等腰梯形．★答案★：等腰梯形3．点C 在线段AB 上，且AC ＝35AB ，若AC ＝λCB ，则λ＝________. 解析：∵AC ＝35AB ，∴AC ＝32CB ，AC 与CB 方向相同，故λ＝32. ★答案★：324．已知OP 1＝a ，OP 2＝b ，P P 12＝λPP 2 (λ≠0)，则OP ＝_________. 解析：因为P P 12＝λPP 2，所以OP 2－OP 1＝λ(OP 2－OP )，所以OP ＝1λOP 1＋λ－1λOP 2.★答案★：1λ a ＋λ－1λ b5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．解析：设AB 的中点为D ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD .如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35. ★答案★：356.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP＝m OA ，OQ ＝n OB ，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________． 解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，由题意知OG ＝23×12(OA ＋OB )＝13(a ＋b )，PQ ＝OQ －OP ＝nb －ma ，PG ＝OG －OP ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ ＝λPG ，即nb －ma ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.★答案★：3 7．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ＝m OA ＋(1－m )OB ＝OB ＋m (OA －OB )，所以OP －OB ＝m (OA －OB )，即BP ＝m BA ，所以BP 与BA 共线．又因为BP 与BA 有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线，(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ＝λBA ，所以OP －OB ＝λ(OA －OB )．又OP ＝m OA ＋n OB .故有m OA ＋(n －1)OB ＝λOA －λOB ，即(m －λ)OA ＋(n ＋λ－1)OB ＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA ，OB 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1.8.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AG .解：AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋λBE＝AB ＋λ2(BA ＋BC )＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB ＋λ2(AC －AB ) ＝(1－λ)AB ＋λ2AC ＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG ＝AC ＋CG ＝AC ＋m CF ＝AC ＋m 2(CA ＋CB ) ＝(1－m )AC ＋m 2AB ＝m 2a ＋(1－m )b ， 所以⎩⎨⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23， 所以AG ＝13a ＋13b .。

课时跟踪检测〔二十〕分段函数[A 级 根底稳固]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈〔0，1]，那么函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1，2)，B 错．选A.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0＜x ≤3，假设f (x )＝3，那么x 的值是( )A.3 B ．9 C ．－1或1D ．－3或 3解析：选A 依题意，假设x ≤0，那么x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．假设0＜x ≤3，那么x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.应选A.3．著名的Dirichlet 函数D(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，那么D[D(x )]＝( )A ．0B ．1C.⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为无理数0，x 为有理数 D ．⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数0，x 为无理数解析：选B ∵D(x )∈{0，1}，∴D(x )为有理数， ∴D[D(x )]＝1.4．(2021·无锡市第一中学月考)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2，设h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕，f 〔x 〕≤g 〔x 〕，g 〔x 〕，f 〔x 〕>g 〔x 〕，那么函数h (x )大致图象是( )解析：选D 数形结合，在同一直角坐标系中分别画出函数f (x )＝|x |和g (x )＝x 2的图象，然后把两个函数每一段较小局部找出来即可，选D.5．函数f (x )的图象是两条线段(如下图，不含端点)，那么f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13＝( ) A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝－23＋1＝13. 6．(2021·姜堰中学月考)为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价〞．计费方法如表所示，假设某户居民某月交纳水费60元，那么该月用水量________ m 3.解析：大致先判断出用水量在12到18之间，(60－12×3)÷6＋12＝16. 答案：167．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x ＜A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c和A 的值分别是________，________．解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15.① 由题意知4＜A ，且c 4＝c2＝30.② 由①②解得c ＝60，A ＝16. 答案：60 168．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[－1，1]，x ，x ∉[－1，1]，假设f (f (x ))＝2，那么x 的取值范围是________．解析：设f (x )＝t ，∴f (t )＝2，当t ∈[－1，1]时，满足f (t )＝2，此时－1≤f (x )≤1，无解；当t ＝2时，满足f (t )＝2，此时f (x )＝2，即－1≤x ≤1或x ＝2.答案：{2}∪[－1，1]9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)假设f (x 0)＝8，求x 0的值． 解：(1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4. (2)当0≤x 0≤2时， 由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.10．函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝x ，令φ(x )＝min{f (x )，g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者)． (1)分别用图象法和解析式表示φ(x )； (2)求函数φ(x )的定义域，值域．解：(1)在同一个坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象如图①.由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x )的定义，可得函数φ(x )的图象如图②. 令－x 2＋2＝x 得x ＝－2或x ＝1. 结合图②，得出φ(x )的解析式为φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2，x ≤－2，x ，－2＜x ＜1，－x 2＋2，x ≥1.(2)由图②知，φ(x )的定义域为R ，φ(1)＝1， ∴φ(x )的值域为(－∞，1]．[B 级 综合运用]11．(多项选择)(2021·常州中学月考)设定义在R 上的函数f (x )，对于给定的正数p ，函数f p (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕，f 〔x 〕≤p ，p ，f 〔x 〕>p ，那么称函数f p (x )为f (x )的“p 界函数〞．关于函数f (x )＝x 2－2x －1的“2界函数〞，以下等式成立的是( )A ．f 2(f (0))＝f (f 2(0))B ．f 2(f (1))＝f (f 2(1))C ．f 2(f (2))＝f (f 2(2))D ．f 2(f (3))＝f (f 2(3))解析：选ACD 令x 2－2x －1＝2，解得x ＝－1或x ＝3，根据“p 界函数〞的定义，有f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，－1≤x ≤3，2，x <－1或x >3.所以f 2(f (0))＝f 2(－1)＝2，f (f 2(0))＝f (－1)＝2，故A 选项中的等式成立；f 2(f (1))＝f 2(－2)＝2, f (f 2(1))＝f (－2)＝7，故B 选项中的等式不成立；f 2(f (2))＝f 2(－1)＝2，f (f 2(2))＝f (－1)＝2，故C 选项中的等式成立；f 2(f (3))＝f 2(2)＝－1，f (f 2(3))＝f (2)＝－1，故D 选项中的等式成立．应选A 、C 、D.12．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x ＜0，那么不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x ＜0}解析：选A 当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1， 所以0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2， 所以x ＜0，综上，x ≤1.13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，3x ，x ≥4，假设f (a )＜－3，那么a 的取值范围是________．解析：①当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3；②当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3⇒a ＜－4，不成立； ③当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3⇒a ＜－1，不成立． 综上，a ∈(－∞，－3)． 答案：(－∞，－3)14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞0，x ，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞0，－x ，x ≤0.(1)当x ＜0时，求函数f (g (x ))的解析式； (2)当x ≤0时，求函数g (f (x ))的解析式． 解：(1)由题意，得当x ＜0时，g (x )＝－x ＞0，所以f (g (x ))＝f (－x )＝1－x＝－1x ，即函数f (g (x ))的解析式为f (g (x ))＝－1x (x ＜0)．(2)由题意，得当x ≤0时，f (x )＝x ≤0， 所以g (f (x ))＝g (x )＝－x ，即函数g (f (x ))的解析式为g (f (x ))＝－x (x ≤0)．[C 级 拓展探究]15．(2021·东台中学月考)函数f (x )＝|x －2|(x ＋1)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)判断直线y ＝a 与y ＝|x －2|(x ＋1)的交点的个数． 解：(1)函数f (x )＝|x －2|(x ＋1)，去绝对值符号得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥2，－x 2＋x ＋2，x <2.可得f (x )的图象如下图．(2)直线y ＝a 与y ＝|x －2|(x ＋1)的图象的交点的个数．作出图象如图， 由图象可知：当a <0时，有一个交点；当a ＝0时，有两个交点； 当0<a <94时，有三个交点；当a ＝94时，有两个交点；当a >94时，有一个交点．综上，当a <0或a >94时，有一个交点；当a ＝0或a ＝94时，有两个交点；当0<a <94时，有三个交点．。

课时跟踪检测（六）直线与平面平行层级一学业水平达标1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C 选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m 与平面α平行，故选项C符合题意．2．已知a，b表示两条不同的直线，α表示平面，若a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是( )A．b∩α＝A B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α解析：选D 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线A1D1∥BC，直线A1D1与平面AC没有公共点，即A1D1∥平面AC，而直线BC⊂平面AC；另外，直线B1C1∥A1D1，又直线B1C1∥平面AC，而直线A1D1∥平面AC.因此满足题意的直线b与α的位置关系是b∥α或b⊂α.3．在三棱锥A­BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定解析：选A ∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC ∥平面DEF.4．如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选B 因为A1B1∥AB，AB⊄平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.又A1B1⊄平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1，所以DE∥AB.5.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，PN∥BD，有下列说法：①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.其中正确的说法是( )A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④解析：选C 由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故①正确；由PQ∥AC 可得AC∥截面PQMN，故②正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN 所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故④正确；而AC＝BD没有论证来源，所以③错误．6.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．解析：由题意知EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．答案：27．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE­ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9.如图，在三棱锥P­ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA 的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.求证：AB∥GH.证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.又EF∥AB，所以AB∥GH.10.如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形．层级二应试能力达标1．已知下列说法，其中，正确的个数是( )①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A ①错．因为l可能在平面α内．②错．因为直线a在平面α外有两种情形：a∥α和a与α相交．③错．因为a可能在平面α内．④正确．无论a在平面α内或a∥α，在α内都有无数条直线与a平行．2．对于以下说法：①如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行；②经过两条异面直线外一点，必有一个平面与这两条异面直线都平行；③经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面平行于另一条直线；④若直线b是平面α外的一条直线，若b与α内的所有直线都不相交，则直线b与平面α平行．其中正确的是( ) A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选C 对于①，这两条直线也可能相交，也可能异面；对于②，过两条异面直线外一点分别作这两条直线的平行线，确定的平面与这两条异面直线都平行或一条平行，另一条在平面内；对于③，过两条异面直线中的一条上的某一点，作另一条直线的平行线，确定的平面平行于另一条直线；易知④正确．3.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )A．MF∥NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE解析：选B ∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM綊BN，∴MN綊AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B.4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A．异面B．相交C．平行D．不能确定解析：选C 如图所示，设α∩β＝l，a∥α，a∥β，过直线a作与平面α，β都相交的平面γ，记α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b，且a∥c，∴b∥c.又b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.∴a∥l.5.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.解析：∵AB ∥平面α，AB ⊂平面ABDC ，平面ABDC ∩平面α＝MN ，∴AB ∥MN .又M 是AC的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝12(AB ＋CD )＝5. 答案：56.如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四条边上的点，它们共面，且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.解析：∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，HG ∥AC ，∴EF ＝HG ＝BEAB ·m .同理，EH ＝FG ＝AE AB ·n ，∴BE AB ·m ＝AE AB·n ，∴AE ∶EB ＝m ∶n .答案：m ∶n7.如图所示，在三棱锥P ­ABC 中，与PA ，BC 都平行的截面为四边形EFGH .(1)求证：四边形EFGH 为平行四边形．(2)若PA ＝4，BC ＝6，四边形EFGH 的周长为l ，试确定l 的取值X 围．解：(1)证明：PA ∥平面EFGH ，PA ⊂平面PAB .平面PAB ∩平面EFGH ＝EH .∴PA ∥EH .同理PA ∥FG ，∴EH ∥FG .同理BC ∥EF ，BC ∥HG ，EF ∥HG .∴四边形EFGH 为平行四边形．(2)由(1)知BC ∥EF ，∴EF BC ＝AE AB ，EF ＝AE ·BC AB. 同理FG AP ＝CF CA ＝BE BA ，∴FG ＝BE ·AP AB. ∴l ＝2(EF ＋FG )＝2(AE ·BC ＋BE ·AP )AB ＝12AE ＋8BE AB ＝8AB ＋4AE AB ＝8＋4AE AB .∵0<AE AB<1，∴8<l <12.故l 的取值X 围为(8,12)．8.正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP ＝DQ .求证PQ ∥平面BCE .证明：法一：如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连结MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD .又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB .又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQ BD. ∴PM ∥QN .∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE .法二：如图所示，连结AQ 并延长交BC (或其延长线)于K ，连结EK .∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQ QK. ∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ ＝PE .∴DQ BQ ＝AP PE. ∴AQ QK ＝AP PE .∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE .。

解析：选C 设球的半径为r .则圆锥的底面半径是3r .设圆锥的高为h .则43πr 3＝13π(3r )2h .解得h ＝49r .所以圆锥的高与底面半径之比为427.4．已知底面边长为1.侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上.则该球的体积为( )A.32π3B．4π C．2π D.4π3解析：选D因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半.所以半径r ＝12错误!＝1.所以V 球＝4π3×13＝4π3.故选D. 5.如图.在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中.D 为棱AA 1的中点.若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形.则此三棱柱的体积为( )A．16 3 B．8 3 C．4 3D.833解析：选B 设AB ＝a .AA 1＝b . 由⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b24×2＝a 2＋b 2.得b 2＝2a 2.又12×32a 2＝6.解得a 2＝8. 可得a ＝2 2.b ＝4. ∴V ＝34×8×4＝8 3.6．在△ABC 中.AB ＝2.BC ＝1.5.∠ABC ＝120°.若使△ABC 绕直线BC 旋转一周.则所形成的几何体的体积是________．解析：V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13π(3)2(1＋1.5－1)＝32π.答案：32π7．已知一个长方体的三个面的面积分别是 2. 3. 6.则这个长方体的体积为________．解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a .b .c .则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6.故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 68．已知正方体的棱长为2.则与正方体的各棱都相切的球的体积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图． 故球的半径r ＝ 2.∴其体积V ＝43π·(2)3＝82π3.答案：82π39.如图.已知四棱锥P ­ABCD 的底面为等腰梯形.AB ∥CD .AC ⊥BD .垂足为H .PH 是四棱锥的高．(1)证明平面PAC ⊥平面PBD ；(2)若AB ＝ 6.∠APB ＝∠ADB ＝60°.求四棱锥P ­ABCD 的体积． 解：(1)证明：因为PH 是四棱锥P ­ABCD 的高.所以AC⊥PH.又AC⊥BD.PH.BD都在平面PBD内.且PH∩BD＝H.所以AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC.故平面PAC⊥平面PBD.(2)因为底面ABCD为等腰梯形.AB∥CD.AC⊥BD.AB＝ 6.所以HA＝HB＝ 3.因为∠APB＝∠ADB＝60°.所以PA＝PB＝ 6.HD＝HC＝1.可得PH＝ 3.等腰梯形ABCD的面积为S＝12AC×BD＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V＝13×(2＋3)×3＝3＋233.10．已知正四棱台两底面面积分别为80 cm2和245cm2.截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm.求正四棱台的体积．解：如图.SO＝35.A′O′＝2 5. AO＝752.由SO′SO＝A′O′AO.得SO′＝35×25752＝20.∴OO′＝15.∴V正四棱台＝13×15×(80＋80×245＋245)＝2 325.即正四棱台的体积为2 325 cm3.层级二应试能力达标1.已知正三棱锥S­ABC.D.E分别为底面边AB.AC的中点.则四棱锥S­BCED与三棱锥S­ABC的体积之比为()A．1∶2 B．2∶3C．3∶4 D．1∶4解析：选C两锥体高相等.因此V S­BCED∶V S­ABC＝S BCED∶S ABC＝3∶4.2.如图.在直三棱柱ABC­A1B1C1中.如果AB＝AC＝13.BB1＝BC＝6.E.F为侧棱AA 1上的两点.且EF＝3.那么多面体EF­BB1C1C的体积为()A．30 B．18C．15 D．12解析：选A△ABC中.BC边上的高h＝错误!＝2.V 柱＝12BC·h·BB1＝12×6×2×6＝36.∴V E­ABC＋V F­A1B1C1＝16V柱＝6.故VEF­BB1C1C＝36－6＝30.3.如图.有一个水平放置的透明无盖的正方体容器.容器高8cm.将一个球放在容器口.再向容器内注水.当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器厚度.则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm3解析：选A如图.作出球的一个截面.则MC＝8－6＝2(cm).BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm.则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42.∴R＝5.∴V球＝43π×53＝5003π(cm3)．4．已知等腰直角三角形的直角边的长为2.将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3B.42π3C．22π D．42π解析：选B绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合.等体积的圆锥.如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为 2.故所求几何体的体积V＝2×13×π×()22×2＝42π3.5．已知正方体的体对角线长等于2 3cm.它的顶点中有4个在半球O的底面上.另外4个在半球O的表面上.那么半球O的体积为________cm3.解析：过正方体的对角面作截面如图．设半球O的半径为R.∴A1C＝2 3 cm.又∵AB2＋AC2＋AA21＝A1C2.∴3AA21＝12.A1A＝2 cm.AC＝2 2 cm.∴A1O＝R＝A1A2＋AO2＝4＋2＝6(cm)．∴V＝12×43πR3＝12×43π×(6)3＝46π(cm3)．答案：46π6．(20xx·江苏高考)如图所示.正方体的棱长为2.以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体.它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的.正四棱锥的高为1.所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2×13×(2)2×1＝43.答案：4 37．已知四面体ABCD中.AB＝CD＝13.BC＝AD＝2 5.BD＝AC＝5.求四面体ABC D的体积．解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体．如图． 设长方体的长、宽、高分别为x .y .z .∴⎩⎨⎧x2＋y2＝13，y2＋z2＝20，x2＋z2＝25，∴⎩⎨⎧x＝3，y＝2，z＝4.∵V D ­ABE ＝13DE ·S △ABE ＝16V 长方体．同理V C ­ABF ＝V D ­ACG ＝V D ­BCH ＝16V 长方体．∴V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体．而V 长方体＝2×3×4＝24. ∴V 四面体ABCD ＝8.8.如图所示.在三棱柱ABC­A1B1C1中.E.F分别为AB.AC的中点.平面EB1C1F将三棱柱分成两部分.求这两部分的体积之比．解：截面EB1C1F将三棱柱分成两部分.一部分是三棱台AEF­A1B1C1.另一部分是一个不规则几何体.故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．设棱柱的底面积为S.高为h.则△AEF的面积为14 S.令V1＝V AEF­A1B1C1＝13·h·⎝⎛⎭⎪⎫S4＋S＋S2＝712hS.剩余的不规则几何体的体积为V 2＝V－V1＝hS－712hS＝512hS.所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5.。

课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABC­A′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′­ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′­ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′­BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2.。

课时跟踪检测〔五〕命题、定理、定义[A级根底稳固]1．以下语句：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}，其中命题的个数是() A．0B．1C．2 D．3解析：选B①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．2．命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素〞是假命题，那么以下命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选B①③错误；②④正确．3．(多项选择)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根〞，那么使该命题为真命题的a 的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：选ABD方程有实根时，应满足Δ＝a2－4≥0.4．以下命题中真命题有()①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中，函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点，②正确；③正确；④中空集不是本身的真子集．5．(多项选择)以下命题中是假命题的为()A．面积相等的三角形是全等三角形B．假设xy＝0，那么|x|＋|y|＝0C．假设a>b，那么a＋c>b＋cD．矩形的对角线互相垂直解析：选ABDA错；B中假设x＝3，y＝0，那么xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故B错；C正确；D中矩形的对角线不一定互相垂直．6．以下语句中是命题的有________(填序号)，其中是假命题的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有说明在同一个三角形内；④祈使句，不是命题．答案：②③②③7．(2021·江阴调研)设a，b是两个实数，给出以下条件：①a＋b>2；②a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：对于①，假设a≤1，b≤1，那么a＋b≤2，与条件a＋b>2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；对于②，假设a＝－2，b＝－3，那么a2＋b2>2成立，故由②不能推出“a，b中至少有一个大于1.〞答案：①8．(1)假设x2≠9，那么x≠3的等价命题是________________．(2)假设方程x2＋2ax＋a2＋a－1＝0无实数根，那么a≤2的否命题是________________．解析：(1)原命题的等价命题就是该命题的逆否命题．假设x2≠9，那么x≠3的等价命题是：“假设x＝3，那么x2＝9”．(2)原命题的否命题是否认原命题的条件作为该命题的条件，同时否认原命题的结论作为该命题的结论．即“假设方程x2＋2ax＋a2＋a－1＝0有实数根，那么a>2”．答案：(1)假设x＝3，那么x2＝9(2)假设方程x2＋2ax＋a2＋a－1＝0有实数根，那么a>29．把以下命题改写成“假设p ，那么q 〞的形式，并判断命题的真假．(1)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除．解：(1)原命题可以改写成：假设m >14，那么mx 2－x ＋1＝0无实根． 因为Δ＝1－4m <0，所以是真命题．(2)原命题改写成：假设一个整数的个位数是0，那么这个数一定能被5整除，也能被2整除，此命题为真命题．10．A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“假设p ，那么q 〞为真命题．解：假设视A 为p ，那么命题“假设p ，那么q 〞为“假设x >1＋a 5，那么x >1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； 假设视B 为p ，那么命题“假设p ，那么q 〞为“假设x >1，那么x >1＋a 5〞．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4. 故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比方这里取a ＝1，那么有真命题“假设x >1，那么x >25〞． [B 级 综合运用]11．(多项选择)在平面四边形中，以下命题的逆命题是真命题的是( )A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．平行四边形对角线互相平分D ．矩形的对角线相等解析：选ABC 选项A 为平行四边形的定义，该命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题都为真；选项B 的逆命题为“菱形的对角线互相垂直〞，该命题为菱形的性质定理，是真命题；选项C 的逆命题为“对角线互相平分的四边形为平行四边形〞即平行四边形的判定定理，是真命题；选项D 的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形〞，此命题为假命题(如等腰梯形)．12．能够说明“假设a，b，c是实数，a>b>c，那么a＋b>c〞是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．解析：如a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但不满足a＋b>c.答案：－1，－2，－3(答案不唯一)13．A，B，C，D，E五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜想．A说：“如果我得优，那么B也得优〞；B说：“如果我得优，那么C也得优〞；C说：“如果我得优，那么D也得优〞；D说：“如果我得优，那么E也得优〞．成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优．请问：得优的是哪三位同学？解：如果A得优，可推出B，C，D，E均得优，这与“只有三人得优〞相矛盾，从而A不可能得优；如果B得优，可推出C，D，E也得优，这与“只有三人得优〞相矛盾，从而B也不可能得优；因此，可以判定C，D，E三人得优．14．试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解〞为真命题时，a，b满足的条件．解：方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：；当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－1b 当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．[C级拓展探究]15．m∈Z，关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有整数解是真命题，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0有整数解也是真命题，求m的值．解：由得m≠0，方程mx2－4x＋4＝0有整数解，那么判别式Δ1＝16－4m×4≥0，且m≠0，解得m≤1且m≠0.①方程x2－4mx＋4m2－4m－5＝0有整数解，那么判别式Δ2＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0，解得m≥－54.②满足①②两条件的m的取值范围为－54≤m≤1且m≠0，又因m∈Z，所以m＝－1或1.当m＝－1时，方程x2＋4x－4＝0，解不是整数，不合题意舍去．当m＝1时，方程x2－4x＋4＝0和方程x2－4x－5＝0的解均为整数，满足题意，故m ＝1.。