课时跟踪检测(四十四) 简单的三角恒等变换

§4.3简单的三角恒等变换第Ⅰ卷一、选择题1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．452．化简π11πcos(π+)cos()cos()229πcos(π)sin(π)sin()2αααααα+----+的结果是( )A ．－1B ．1C ．tan αD ．－tan α3． 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π3)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6)4．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝2sin 2x5．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(弧度)( ) A ．1 B ．4 C ．πD ．1或46．已知α、β为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A ．13B ．3C ．913D ．1397．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC 边上的高为36a ，则c b ＋b c的最大值是( )A ．8B ．6C ．32D ．48． 在△ABC 中，若三个角A 、B 、C 成等差数列，对应三条边成等比数列，则△ABC 一定是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9．已知△ABC 中三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若B ＝30°，b ＝1，c ＝3，则△ABC 的面积为( )A ．32B ．34 C ．32或34D ．32或3 10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B＋cos(A ＋C )＝－45，则cos A ＝( )A ．－45B ．45C ．35D ．－3511．若f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f (t ＋π4)＝f (－t )，且f (π8)＝－1则实数m的值等于( )A ．±1B ．－3或1C ．±3D ．－1或312．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则f (x )的解析式和S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝2013B ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝201312C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2014D ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝201412第Ⅱ卷二、填空题13．在△ABC 中，sin C ＝513，cos B ＝－45，则角cos A ＝________.14．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左至少平移________个单位后，得到的图象解析式为y ＝A cos ωx .15．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(其中φ为实数)，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且sin φ<0，则f (x )的单调递增区间是________．16．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y )＝________.三、解答题(17．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值； (2)若x ∈[－π6，π3]，求f (x )的值域．18．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的π3倍，然后再向上平移1个单位，得到函数y ＝3sin x 的图象．(1)求y ＝f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最小值和最大值．19．在△ABC 中，已知角A 为锐角，且f (A )＝22π[cos(π-2)1]sin(π+)sin()222πsin ()sin (π)222A AA A A -----＋cos 2A ．(1)求f (A )的最大值；(2)若A ＋B ＝7π12，f (A )＝1，BC ＝2，求△ABC 的三个内角与AC 边的长．20．已知A 、B 分别在射线CM 、CN (不含端点C )上运动，∠MCN ＝2π3，在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .(1)若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；(2)若c ＝3，∠ABC ＝θ，试用θ表示△ABC 的周长，并求周长的最大值． 21．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，tan B tan C ＝2a －cc .(1)求角B 的大小；(2)求函数f (x )＝cos x ·cos(x ＋B )(x ∈[0，π2])的值域．22．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(λ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数y ＝f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．参考答案 第Ⅰ卷一、选择题 1． B【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2， ∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2aa ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.2． C 3． D【解析】把x ＝π3代入解析式，函数应取到最值，经检验D 符合．4． B 5． D【解析】设扇形半径为R ，圆心角为α，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝6 112R 2α＝2 2由(2)得Rα＝4R ，代入(1)得2R ＋4R ＝6，解之得R ＝1或2，当R ＝1时，α＝4，当R ＝2时，α＝1.∴选D ． 6． B 7． D【解析】b c ＋c b ＝c 2＋b 2bc ，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ，①而条件中的“高”容易联想到面积，12a ·36a ＝12bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，②将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c ＋c b ＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋π6)，当A ＝π3时取得最大值4，故选D ． 8． D【解析】∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3，又b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sin C ，即sin A sin C ＝34，∴sin A sin(2π3－A )＝34，∴sin(2A －π6)＝1，∵0<A <π，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形． 9． C【解析】∵3sin30°＝32<1<3，∴△ABC 有两解．由1sin30°＝3sin C 得，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°， 当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝32； 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝34，故选C ．10． A 【解析】2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C ) ＝[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(π－B ) ＝cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＋cos B －cos B ＝cos(A －B ＋B )＝cos A ＝－45，故选A ．11． B【解析】由f (t ＋π4)＝f (－t )得，f (π8＋t )＝f (π8－t )，∴f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，又f (π8)＝－1，∴m ±2＝－1，∴m ＝1或－3. 12． D【解析】由图象知A ＝0.5，T ＝4＝2πω，∴ω＝π2，b ＝1，∴f (x )＝0.5sin(π2x ＋φ)＋1，由f (x )的图象过点(1，1.5)得，0.5sin(π2＋φ)＋1＝1.5，∴cos φ＝1，∴φ＝2k π，k ∈Z ，取k ＝0得φ＝0，∴f (x )＝0.5sin(π2x )＋1，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝(0.5sin0＋1)＋(0.5sin π2＋1)＋(0.5sinπ＋1)＋(0.5sin 3π2＋1)＝4,2013＝4×503＋1，∴S ＝4×503＋f (2012)＋f (2013)＝2012＋f (0)＋f (1)＝2014.5.第Ⅱ卷二、填空题 13．6365【解析】∵cos B ＝－45，0<B <π，∴sin B ＝35，且B 为钝角，∴C 为锐角，∵sin C ＝513，∴cos C ＝1213，∴cos A ＝cos[π－(B ＋C )]＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ＝35×513－(－45)×1213＝6365.14． π6【解析】由函数的图象可得A ＝1，34T ＝34·2πω＝1112π－π6＝3π4，∴ω＝2.再根据五点法作图可得2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴函数f (x )＝sin(2x ＋π6)．把函数f (x )＝sin(2x ＋π6)的图象向左平移π6个单位，可得y ＝sin[2(x ＋π6)＋π6]＝cos2x 的图象．15． [k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )【解析】由条件知|f (π6)|＝|sin(π3＋φ)|＝1，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π6，∵sin φ<0，∴取k ＝1，φ＝7π6，∴f (x )＝sin(2x ＋7π6)．由2k π－π2≤2x ＋7π6≤2k π＋π2得，k π－5π6≤x ≤k π－π3.16． 23【解析】∵2x ＝(x ＋y )＋(x －y )，2y ＝(x ＋y )－(x －y )，sin2x ＋sin2y ＝23，∴sin(x ＋y )cos(x －y )＝13，又由cos x cos y ＋sin x sin y ＝12得cos(x －y )＝12，∴sin(x ＋y )＝23.三、解答题17．解 (1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12， 所以f (α)＝3sin2α－2sin 2α＝23sin αcos α－2sin 2α ＝23×(－32)×12－2×(－32)2＝－3. (2)f (x )＝3sin2x －2sin 2x ＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin(2x ＋π6)－1，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1，所以f (x )的值域是[－2,1]．18．解 (1)函数y ＝3sin x 的图象向下平移1个单位得y ＝3sin x －1， 再将各点的横坐标缩短到原来的3π倍得到y ＝3sin π3x －1，然后向右移1个单位得y ＝3sin(π3x －π3)－1.所以函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2⇒6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，∴y ＝f (x )的递增区间是[6k －12，6k ＋52]，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最值即为当x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最值． ∵x ∈[3,4]时，π3x －π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x －π3)∈[0，32]，∴f (x )∈[－1，12]，∴y ＝g (x )的最小值是－1，最大值为12.19．解 (1)f (A )＝cos2A ＋1sin A 2cosA2cos 2A 2－sin 2A 2＋cos 2A＝2cos 2A sin A 2cosA2cos A ＋cos 2A ＝12sin2A ＋cos 2A＝12(sin2A ＋cos2A ＋1)＝22sin(2A ＋π4)＋12. ∵角A 为锐角，∴0<A <π2，π4<2A ＋π4<5π4，∴当2A ＋π4＝π2时，f (A )取值最大值，其最大值为2＋12.(2)由f (A )＝1得22sin(2A ＋π4)＋12＝1， ∴sin(2A ＋π4)＝22，∴2A ＋π4＝3π4，A ＝π4.又∵A ＋B ＝7π12，∴B ＝π3，∴C ＝5π12.在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin A ＝ACsin B ，∴AC ＝BC sin Bsin A＝ 6.20．解 (1)∵a 、b 、c 成等差数列，且公差为2，∴a ＝c －4，b ＝c －2， 又∠MCN ＝2π3，∴cos C ＝－12.由余弦定理得：242(2)(2)2(2)(4)c c c c c -+----＝－12，∴c 2－9c ＋14＝0，∴c ＝7或2， ∵c >4，∴c ＝7.(2)在△ABC 中，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB ，∴AC sin θ＝πsin()3BC θ-＝3sin 2π3＝2，∴AC ＝2sin θ，BC ＝2sin(π3－θ)．∴△ABC 的周长L ＝|AC |＋|BC |＋|AB | ＝2sin θ＋2sin(π3－θ)＋3＝2[12sin θ＋32cos θ]＋3＝2sin(θ＋π3)＋3，又∵θ∈(0，π3)，∴π3<θ＋π3<2π3.∴当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，L 取得最大值2＋ 3.21．解 (1)∵sin B cos C sin C cos B ＝2sin A －sin Csin C ，而sin C >0，∴sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴cos B ＝12，∴B ＝π3. (2)f (x )＝12cos 2x －32sin x cos x ＝1＋cos2x 4－34sin2x ＝12cos(2x ＋π3)＋14， ∵2x ＋π3∈[π3，43π]，∴－1≤cos(2x ＋π3)≤12， ∴f (x )的值域为[－14，12]． 22．解 (1)∵f (x )＝a ·b ＋λ＝(cos ωx －sin ωx )·(－cos ωx －sin ωx )＋sin ωx ·23cos ωx ＋λ ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝3sin(2ωx )－cos(2ωx )＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1， ∴2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )， 又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，ω＝56. ∴f (x )＝2sin(53x －π6)＋λ， ∴f (x )的最小正周期为65π. (2)∵函数y ＝f (x )的图象过点(π4，0)， ∴f (π4)＝2sin(53×π4－π6)＋λ＝0，故λ＝－2sin π4＝－ 2. 故f (x )＝2sin(53x －π6)－2， ∵0≤x ≤3π5，∴－π6≤53x －π6≤5π6， ∴－12≤sin(53x －π6)≤1， ∴－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2， 故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．。

§4.6 简单的三角恒等变换A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12D.233．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－17184．(2015·成都第一次诊断性检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4 5．(2015·菏泽期末)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________．7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________．8．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)10．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π211．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π312．若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π13．设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为______________. 14．(2015·临沂一模)已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴． (1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值．答案解析1．A [sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0； cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.]2．A [因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.] 3．D [cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.] 4．A [∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π. ∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π， ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，cos 2α＝－255. ∵β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π， ∴α＋β＝7π4.]5．C [∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.]6．－45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7．－210解析 由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103，∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos 2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 8．－73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74. ∴tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73.9．解 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10．B [由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.]11．D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，故选D.]12．D [因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a －φ)＝±1， 所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，故选D.] 13.3解析 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x ，所以令k ＝2－cos 2x sin 2x.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点 P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率． 又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为 3.方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x .∵x ∈(0，π2)，∴tan x >0.∴32tan x ＋12tan x ≥232tan x ·12tan x＝ 3. (当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号) 即函数的最小值为 3.14．解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13.又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12x .∵g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45.∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。

1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos(π－x )＝－45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－2472．(2023·保定模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，则sin 2θ的值为( )A.79 B ．－79 C.29 D ．－293．(2023·枣庄模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－4π3等于( ) A ．－59 B.59 C ．－13 D.134．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若4m 2＋n ＝16，则m n 2cos 227°－1的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．85．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．sin 15°sin 30°sin 75°＝18C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－12D ．2sin 18°cos 36°＝126. (2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC 中，BC AC ＝5－12，根据这些信息，可得sin 54°等于( )A.25－14B.5＋14C.5＋48D.5＋387．(2023·淄博模拟)sin 12°(2cos 212°－1)3－tan 12°＝________. 8．(2023·青岛模拟)若α∈(0，π)，cos 2α＝sin 2α2－cos 2α2，则α＝________. 9．化简并求值．(1)3－4sin 20°＋8sin 320°2sin 20°sin 480°； (2)⎝⎛⎭⎫1cos 280°－3cos 210°·1cos 20°.10．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝13，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3； (2)已知cos 2θ＝－45，π4<θ<π2，求sin 4θ，cos 4θ. (3)已知sin(α－2β)＝437，cos(2α－β)＝－1114，且0<β<π4<α<π2，求α＋β的值．11．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( ) A ．α＋β＝π2 B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2 12. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cos 27°π16－π2的值为( ) A ．－18 B ．－8 C ．8 D.1813．(多选)(2023·长沙模拟)若sin α2＝33，α∈(0，π)，则( ) A ．cos α＝13B ．sin α＝23C ．sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4＝6＋236D ．sin ⎝⎛⎭⎫α2－π4＝23－6614．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝513，则sin(α＋β)＝________，cos(2α－β)＝________.15．(2023·武汉模拟)f (x )满足：∀x 1，x 2∈(0,1)且x 1≠x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2<0.a ＝sin 7°sin 83°，b ＝tan 8°1＋tan 28°，c ＝cos 25π24－12，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小顺序为( ) A.f (a )a <f (b )b <f (c )cB.f (a )a <f (c )c <f (b )bC.f (b )b <f (c )c <f (a )aD.f (c )c <f (a )a <f (b )b16．设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tan αcos βx ＋sin β＝1，则x ＝________.。

§4.3简单的三角恒等变换A 组一、选择题1．已知角A 是△ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝713，则tan A 等于( )A ．－125B.712C ．－712D.1252．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( ) A.3π4B ．－3π4C.π4D.π23．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为24．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>1，|φ|<π2，且其图象相邻的两条对称轴为 x 1＝0，x 2＝π2，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数 二、填空题5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x cos ⎝⎛⎭⎫π6－x 的最大值为________． 6．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称中心为________． 7．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.三、解答题8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的相交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．B 组一、选择题1．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π12对称，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．82．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2π，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－π B.⎣⎡⎦⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎡⎦⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤3π4，π D.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z ) 3．同时具有下列性质：“①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数”的函数可以是 ( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 二、填空题4．若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π，则ω的值为________． 5．已知函数f (x )＝2sin x ，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ，直线x ＝m 与f (x )，g (x )的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．6．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求f (x )的值域和单调递增区间． 参考答案A 组一、选择题 1． A【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋cos A ＝713，sin 2A ＋cos 2A ＝1，得⎩⎨⎧sin A ＝1213，cos A ＝－513或⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝1213(舍去)，∴tan A ＝－125.2． A【解析】 ∵y ＝cos x ＋2的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，∴x ＋φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π－φ(k ∈Z )，令π4＝k π－φ(k ∈Z )得φ＝k π－π4(k ∈Z )，在四个选项中，只有3π4满足题意．3． B【解析】 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x ，是周期为π的奇函数，其最大值为1，在⎝⎛⎭⎫π4，π2上递减． 4． B【解析】 由已知条件得f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π3， 由题意得T 2＝π2，∴T ＝π.∴T ＝2πω，∴ω＝2.又∵f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π3，x ＝0为f (x )的对称轴， ∴f (0)＝2或－2，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，此时f (x )＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数，故选B. 二、填空题 5．2＋34【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos x ⎝⎛⎭⎫cos π6·cos x ＋sin π6·sin x ＝cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝32cos 2x ＋12sin x ·cos x＝32·1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＝34＋34cos 2x ＋14sin 2x ＝34＋12⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝34＋12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2＋34. 6． ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π4，0(k ∈Z ) 【解析】 ∵y ＝tan x (x ≠π2＋k π，k ∈Z )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )， ∴可令2x ＋π6＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝－π12＋k π4(k ∈Z )．因此，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π4，0(k ∈Z )． 7． 23【解析】 由图象，可知所求函数的最小正周期为2π3，故ω＝3.从函数图象可以看出这个函数的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π12，0中心对称， 也就是函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫7π12－x ＝－f ⎝⎛⎭⎫7π12＋x ， 当x ＝π12时，得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f (0)， 故得f (0)＝23.三、解答题8． 解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1.因为0<A <23π，所以2A －π3＝π2，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csin π4⇒c ＝ 2.又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.9． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在函数f (x )的图象上， 得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1. 故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6， 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6. 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故函数f (x )的值域为[－1,2]．B 组一、选择题 1． A【解析】 由题意知ω·π12＋φ＝k 1π，ω·π3＋φ＝k 2π＋π2，其中k 1，k 2∈Z ，两式相减可得ω＝4(k 2－k 1)＋2， 又ω>0，易知ω的最小值为2.故选A.2． A【解析】 根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )， ∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2π，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－π. 故选A.3． B【解析】 依题意，知满足条件的函数的一个周期是π， 以x ＝π3为对称轴，且在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数． 对于A ，其周期为4π，因此不正确；对于C ，f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 不正确； 对于D ，f ⎝⎛⎭⎫π3≠±1，因此D 不正确． 二、填空题 4． 1【解析】 由于f (x )＝cos ωx cos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx ＝12sin 2ωx 所以T ＝2π2ω＝π⇒ω＝1.5． 22【解析】 构造函数F (x )＝2sin x －2cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故最大值为2 2. 6． π【解析】 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π2＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x ，|P 2P 4|恰为一个周期的长度π. 三、解答题7． 解 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x＝－3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π. ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3递减时，f (x )递增， 令2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，又x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴π12≤x ≤π3. 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12，π3.。

简单的三角恒等变换一、知识清单1．;__________2sin =α2．______;_________________________________2cos ===α3．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠=Z k ,k 4______________2tan ππαα 4．.________________sin =α25．.________________cos =α2二、同步练习1.求证（1）cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α. （2） αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a（3）2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x （4）4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ（5）在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．2.化简求值（1）θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ （2）设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α（3）已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12.求tan α及sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．3.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值，并指出此时x 的值.4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形5.若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( ) A ．±173 B ．－173 C.13 D.1736.已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 7.已知函数 f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；② f (x )的最小正周期是2π；③ f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④ f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，其中为真命题的是( ) A ．①②④ B ．①③ C ．②③ D ．③④8.若函数 f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数 9.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 10.已知函数. (1) 求的最小正周期. (2) 求的单调递增区间11.已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴；（2）若，求的值域.12.(12分)如图, 现要在一块半径为1m, 圆心角为的扇形纸报AOB上剪出一个平行四边形MNPQ, 使点P在弧AB上, 点Q在OA上, 点M、N在OB上, 设∠BOP＝, 平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的角.13.（本小题满分10分）已知函数，求：（I）的最小正周期；（Ⅱ）的最大值与最小值，以及相应的.。

简单的三角恒等变换三角恒等变换是数学中非常重要的基础知识，它能够帮助我们解决很多与三角函数相关的问题。

在学习三角恒等变换的过程中，我们需要掌握一些基本的变换公式，这样才能灵活地运用它们来解决实际问题。

首先，我们来看正弦函数的恒等变换。

对于任意实数x，有如下公式：sin(x) = sin(x + 2πk) = sin(-x + 2πk)其中k为任意整数。

这意味着，在正弦函数中，每隔2π，函数的值会重复出现。

此外，我们还可以通过对称性质，得到以下两个恒等式：sin(π + x) = -sin(x)sin(π - x) = sin(x)这两个恒等式告诉我们当x逐渐增大或减小，正弦函数的值也会相应地发生变化。

接下来，我们来看余弦函数的恒等变换。

对于任意实数x，有如下公式：cos(x) = cos(x + 2πk) = cos(-x + 2πk)其中k为任意整数。

这表明在余弦函数中也存在着每隔2π重复的特征。

此外，我们还可以得到以下两个恒等式：cos(π + x) = -cos(x)cos(π - x) = -cos(x)这两个恒等式告诉我们，当x逐渐增大或减小，余弦函数的值也会相应地发生变化，并与正弦函数产生相反的变化。

最后，我们来看正切函数的恒等变换。

对于任意实数x，有如下公式：tan(x) = tan(x + πk)其中k为任意整数且x不为(π/2 + πk)。

这意味着正切函数也存在2π周期性。

此外，我们还可以得到以下两个恒等式：tan(π + x) = tan(x)tan(π/2 - x) = 1/tan(x)这两个恒等式告诉我们，正切函数在π/2和π处会出现无穷大和无穷小的特征，并且在这两个点附近的图像非常陡峭。

总之，三角恒等变换是非常重要的数学基础知识，它能够帮助我们解决非常多与三角函数相关的问题。

在学习的过程中，我们需要认真掌握各种基本变换公式，并能够正确地运用它们来解决实际问题。

希望读者能够通过学习，更好地掌握这一知识点。

整体设计教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.推进新课新知探究 提出问题 ①α与2a有什么关系? ②如何建立cosα与sin 22a之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =aa cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?⑤证明(1)sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sinθ+sinφ=2sin 2cos2ϕθϕθ-+. 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin 22a ,将公式中的α用2a代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2a的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cosα=1-2sin 22a,所以sin 22a =2cos 1a-. ①在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a代替α,即得cosα=2cos 22a-1,所以cos 22a =2cos 1a+. ②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan 22a =aa cos 1cos 1+-. ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a =±a a cos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2a所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入(1)式即得(2)式.证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ, 即sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.① 设α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-.把α,β的值代入①, 即得sinθ+sinφ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-.教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y 的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.讨论结果：①α是2a的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -.③④⑤略(见活动）. 应用示例思路1例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简:sin50°(1+3tan10°).解:原式=sin50°10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+•=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中.解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练(2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________. 答案:257-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证.活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.证明一:∵1sin sin cos cos 2424=+BAB A , ∴cos 4A·sin 2B+sin 4A·cos 2B=sin 2B·cos+B. ∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B, 即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B. ∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B.∴=+A BA B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1. 证明二:令BAa B A sin sin ,cos cos cos 22==sinα,则cos 2A=cosBcosα,sin 2A=sinBsinα.两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1. ∴B-α=2kπ(k ∈Z ),即B=2kπ+α(k ∈Z ). ∴cosα=cosB,sinα=sinB.∴cos 2A=cosBcosα=cos 2B,sin 2A=sinBsinα=sin 2B.∴BBB B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 变式训练在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S<1. 证明:∵S=BA B A BA B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA·tanB>1.∴S<1.思路2例1 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2x).活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(4π+2x )=2sin2cos 2sin2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2x,得方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x xx x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β, ① 3sin2α-2sin2β=0⇒3sinαcosα=sin2β, ②①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sinα=31. ∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin 2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin 2α+cos 2α)=3×31=1. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=23sin2α=3sinαcosα,∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β =cosα·3sin 2α-sinα·3sinαcosα=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23sin2α=sin2β,两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tanα>0.∴tan(2π-2β)>0.又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π.结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π.∴由tanα=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π. 例2 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ==-=-=-a a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立. 证法二:右边=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -= =βββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+=βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左边.∴原式成立. 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练1.求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθθθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+.而上式左边θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右边.∴上式成立,即原等式得证. 2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm-+11tanα. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理. 证明:由sinβ=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m 0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα]⇒(1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·c os(α+β)sinα⇒tan(α+β)=mm-+11tanα. 知能训练1.若sinα=135,α在第二象限,则tan 2a的值为( ) B.-5 C.51 D.51-2.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( )A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a -- 3.已知sinθ=53-,3π<θ<27π,则tan 2θ_________________. 解答:课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段. 作业设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.第2课时导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开.思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能. 推进新课 新知探究 提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？ 活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1]. 函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x +φ），其中tanφ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题. 我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx ，y=cosx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1. ②—③(略)见活动. 应用示例思路1 例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系;(2)由得出的函数关系,求S 的最大值. 解:在Rt △OBC 中,BC =cosα,BC=sinα, 在Rt △OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα. 所以AB=OB-OA =cosα33-sinα. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63.由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63.因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63.点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠COP =α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点. 变式训练(2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+s in(ωx -6π)-2cos 22x ω,x ∈R (其中ω>0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间.解:(1)f(x)=23sinωx+21cosωx+23sinωx -21cosωx -(cosωx+1) =2(23sinωx -21cosωx)-1=2sin(ωx -6π)-1. 由-1≤sin(ωx -6π)≤1,得-3≤2sin(ωx -6π)-1≤1, 可知函数f(x)的值域为［-3,1］. (2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得ωπ2=π,即得ω=2. 于是有f(x)=2sin(2x-6π)-1,再由2kπ-2π≤2x -6π≤2kπ+2π(k ∈Z ),解得 kπ-6π≤x≤kπ+3π(k ∈Z ). 所以y=f(x)的单调增区间为［kπ-6π,kπ+3π］(k ∈Z ). 点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6π). 故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x ∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值. 解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π), 所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x ∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π]. 当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22,当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1. 所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2. 思路2例1 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值. 活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练. 解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx 对任意x 都成立.又ω>0,所以,得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x). 取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0. ∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0. 又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,…. ∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,…. 当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数. 所以,综合得ω=32或ω=2. 点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt △ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cosθ-si nθ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由.解:在Rt △BAD 中,m AB =cos 2B ,在Rt △BAC 中,a AB =sinC, ∴mcos 2B =asinC. 图2同理,ncos2C =asinB. ∴mncos 2B cos 2C =a 2sinBsinC. 而a 2=2mn,∴cos2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81. 积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2C B -)=-1, 若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1, ∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π, ∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在. 点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例2 已知tan(α-β)=21，tanβ=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21， ∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34. 从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=. 又∵tanα=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1. 且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π. 又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)， ∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等. 变式训练若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π. 证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ① 3sinαcosα=sin2β， ② ①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cosαcos2β-sinαsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π. ∴α+2β=2π. 知能训练课本本节练习4.解答:4.(1)y=21sin4x.最小正周期为2π,递增区间为[28,28ππππk k ++-](k ∈Z ),最大值为21; (2)y=cosx+2.最小正周期为2π,递增区间为[π+2kπ,2π+2kπ](k ∈Z ),最大值为3; (3)y=2sin(4x+3π).最小正周期为2π,递增区间为[224,2245ππππk k ++-](k ∈Z ),最大值为2. 课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.作业课本复习参考题A 组10、11、12.设计感想1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价.因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质.2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练.其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握.3.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点.对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大.应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点.。

简单的三角恒等变换三角恒等变换是指在三角函数中，通过一系列等价转换，将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式的过程。

掌握三角恒等变换的关键是熟悉三角函数的基本性质和一些常见的恒等关系。

一、基本恒等变换：1.正弦函数和余弦函数的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 12.余弦函数和正弦函数的关系：cos(x) = sin(x + π/2)sin(x) = cos(x - π/2)3.正切函数的定义：tan(x) = sin(x) / cos(x)4.正切函数和余切函数的关系：tan(x) = 1 / cot(x)cot(x) = 1 / tan(x)5.正弦函数和余切函数的关系：sin(x) = cos(x) / cot(x)cot(x) = cos(x) / sin(x)6.余弦函数和余切函数的关系：cos(x) = sin(x) / csc(x)csc(x) = sin(x) / cos(x)7.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))8.半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))二、和差角公式：1.正弦函数的和差角公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)2.余弦函数的和差角公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)3.正切函数的和差角公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))三、倍角公式与半角公式：1.正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)2.余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)3.正切函数的倍角公式：tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))4.正弦函数的半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)5.余弦函数的半角公式：cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)6.正切函数的半角公式：tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))四、和差化积公式：1.正弦函数的和差化积公式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2)sin(x) - sin(y) = 2cos((x + y)/2)sin((x - y)/2)2.余弦函数的和差化积公式：cos(x) + cos(y) = 2cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)cos(x) - cos(y) = -2sin((x + y)/2)sin((x - y)/2)3.正切函数的和差化积公式：tan(x) + tan(y) = sin(x + y) / (cos(x)cos(y))tan(x) - tan(y) = sin(x - y) / (cos(x)cos(y))以上是一些常见的三角恒等变换，通过熟练掌握和灵活运用这些公式，可以在解决三角函数相关问题时简化计算过程，提高解题效率。

三角恒等变换的综合运用突破三角恒等变换这一难点的主要办法有以下几个方面。

1、理解和记忆公式本部分内容公式众多，但各公式之间有着密切的内在联系和规律。

了解这些联系和规律对我们理解、记忆和运用这些公式至关重要。

其内在的联系以及推导的线索如下：2、实现三个转化在熟悉、掌握和运用公式时，必须紧紧抓住三角比中的三个转化，即“角的转化”、“三角比名称的转化”、“运算结构的转化”。

这样就可以发现差异，找出差异间的联系，运用相关的公式，促使差异的转化。

如化异名为同名，化异角为同角，化异次为同次，化和差为积，化积为和差；引进辅助角，妙用万能公式，切割化弦，化切法。

等等。

3、注意三个技巧（1）常值代换，特别是“1”的代换。

如60cos 30sin 21,45tan 1,cos sin 122===+=θθ，等。

（2）分拆与配凑。

如分拆项：ββαβαsin )sin (sin sin 2sin --=-，分拆因式：)cos (sin sin cos sin 23βααβα=；配凑角：22),()(2,)(ααβαβααββαα⋅=-++=-+=，等。

（3）降幂与升幂。

即倍角公式的变形——降幂公式：22cos 1sin 2θθ-=，22cos 1cos 2θθ+=；升幂公式：2sin 2cos 12θθ=-，2cos 2cos 12θθ=+。

下面给出一些三角比恒等变换的综合运用的例子，同学们再仔细体会一下。

例 1 已知θθπθπθθs i n c o s 2481c o s s i n -<<=⋅，则，且的值为 。

分析 联想θθs i n c o s±与θθcos sin 的关系式：θθθθcos sin 21)sin (cos 2±=±可知，欲求θθs i n co s -的值，不妨先求2)sin (cos θθ-的值，另外，应注意到，当πθπθθθθ420<<>-<时，，故sin cos cos sin 。

简单的三角恒等变换学习过程知识点1： 各个公式熟练掌握诱导公式，两角和差的正弦、余弦、正切公式。

知识点2 ：三角恒等变换主要包括：①角的变换——异角变同角②名的变换——异名化同名③式的变换——幂的升降等典型例题例题1、 求证αββαβαβα2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+．例题2、 已知：sin β＝ｍ·sin (2α＋β)，求证：tan (α＋β)＝m m -+11t anα例题3、 求tan 70°＋tan 50°－3tan 50°tan 70°的值.例题4、若A 、B 、C 是△ABC 的内角，cosB ＝12, sinC ＝35, 求cosA 的值.简单的三角恒等变换（基础训练）1． 若51124παπ<<，sin2α=－45，求tan 2α________________ 2． 已知sinθ=35-，73<<2ππθ，则tan 2θ的值为___________． 3． 已知3sin +cos = 225αα-，且5<<32παπ，则cot 4α的值为____________． 4．已知α为钝角、β为锐角且4sin 5α=，sinβ= 1213，则cos 2αβ-的值为____________． 5、设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________6．化简1+sin2cos 21+sin2cos 2θθθθ-+7、求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8、求sin15°，cos15°，tan15°的值简单的三角恒等变换（强化训练）1、①化简：sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝ ②化简：＝. 2、12sin 702sin170-︒︒的值等于３、3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665- ４、已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）A 47-B 47C 18D 18- ５、求证：2212sin cos 1tan cos sin 1tan a a a a a a -⋅-=-+６、设－3π＜α＜52π-，化简1cos()2a π--简单的三角恒等变换（提高训练）１、βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 ２、)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、725３、 函数44sin cos y x x =+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦４、求证：4sinθ·2cos 2θ=2sinθ+sin2θ．５、设25sin2x+sinx －24=0，x 是第二象限角，求cos 2x的值６、已知sinα=1213，sin （α+β）=45，α与β均为锐角，求cos 2β三角恒等变换测试题一、选择题1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 132a b c -=-==+则有（）A .a b c >>B .a b c <<C .a c b <<D .b c a <<2．函数221tan 21tan 2xy x -=+的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π3．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12- B ．12 C ．32- D ．324．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A .1925 B .1625 C .1425 D .7255．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos 2α=( ) A ．917 B ．179± C ．179-D ．317 6．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2π C ．π D ．2π 二、填空题1．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 ．2．计算：oo o oo o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 3．函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 ． 4．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ． 5．已知)sin()(ϕω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当 0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________．三、解答题1. 求值：（1）000078sin 66sin 42sin 6sin ； （2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++。

简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。

答案：B。

通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。

2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。

答案：C。

通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。

答案：B。

通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。

答案：B。

通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。

5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。

答案：D。

课时跟踪检测（四十三） 简单的三角恒等变换A 级——学考合格性考试达标练1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．－13B ．－23C ．13D ．23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝23.2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．－3C ．13D ．－13解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13. 3．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2等于( ) A ．－63B ．－66C ．66 D ．63解析：选B 由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以cos α＝－23.因为α2∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2＝cos α2＝－1＋cos α2＝－66.故选B. 4．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin α2的值为( )A ．－55 B ．55C ．±55D ．±15解析：选C 因为tan α＝43，所以sin αcos α＝43.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝35或⎩⎨⎧sin α＝－45，cos α＝－35.因为α为第一象限角，所以α2为第一、三象限角，且⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝35，所以sin α2＝±1－cos α2＝± 1－352＝±55. 5．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2(x ∈[0，π])的最小值为( )A ．1B ．－1C ．54D ．－54解析：选D 由题意，得f (x )＝cos 2x －2cos 2x2＝cos 2x －(1＋cos x )＝cos 2x －cos x －1，设t ＝cos x (x ∈[0，π])，y ＝f (x )，则t ∈[－1，1]，y ＝t 2－t －1＝⎝⎛⎭⎫t －122－54，所以当t ＝12，即x ＝π3时，y 取得最小值，为－54，所以函数f (x )的最小值为－54，故选D ． 6．若sin θ2＋2cos θ2＝0，则tan θ＝________．解析：由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ2＝－2，则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43. 答案：437．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝________．解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23.所以cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－α2＝1＋232＝56.答案：568．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤π，则sin ⎝⎛⎭⎫3π－θ2＝________. 解析：∵π2≤θ≤π，∴sin θ≥0，cos θ≤0，且π4≤θ2≤π2.又sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝125，∴2sin θcos θ＝－2425， ∴(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∴cos θ－sin θ＝－75②联立①②，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π－θ2＝sin θ2＝ 1－cos θ2＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝255. 答案：2559．已知tan θ＝13，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解：2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝⎝⎛⎭⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12，即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12.10．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1，因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16. B 级——面向全国卷高考高分练1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A.12 B ．12或不存在C ．2D ．2或不存在解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，得4sin α2cosα2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，则tan α2不存在；当cos α2≠0时，则tan α2＝12.2．函数f (x )＝12(1＋cos 2x )·sin 2x (x ∈R )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选D 因为f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，选D ．3．有四个关于三角函数的命题：①∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12；②∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0－y 0)＝sin x 0－sin y 0；③∀x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ；④sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中假命题的序号为( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③D ．②③解析：选A 因为sin 2x 2＋cos 2x 2＝1≠12，所以①为假命题；当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，所以②为真命题；因为1－cos 2x2＝ 1－（1－2sin 2x ）2＝|sin x |＝sin x ，x ∈[0，π]，所以③为真命题；当x ＝π2，y ＝2π时，sin x ＝cos y ，但x ＋y ≠π2，所以④为假命题．故选A.4.如图，以长为10的线段AB 为直径作半圆O ，则它的内接矩形MPQN 面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．50解析：选C 连接ON ，（图略）设∠AON ＝θ，则矩形面积S ＝ 5sin θ·2×5cos θ＝50sin θcos θ＝25sin 2θ， ∴当sin 2θ＝1时，S 取得最大值25，故S max ＝25.5．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________． 解析：因为3sin x －3cos x＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6. 答案：－π66．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．解析：sin 3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝cos 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案：－347．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )图象的对称轴方程、对称中心的坐标． 解：f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －22·1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x －2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－ 2.(1)函数f (x )的最小正周期为π. (2)令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝12k π＋π8(k ∈Z )，所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝12k π＋π8(k ∈Z )．令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝12k π－π8(k ∈Z )．所以函数f (x )图象的对称中心的坐标是⎝⎛⎭⎫12k π－π8，－2(k ∈Z )．8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－13，sin （α＋β）＝79.(1)求tan β2的值；(2)求sin α的值．解：(1)cos β＝cos 2β2－sin 2β2＝cos 2β2－sin 2β2cos 2β2＋sin 2β2＝1－tan 2β21＋tan 2β2＝－13，解得tan 2β2＝2，因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，从而tan β2>0，所以tan β2＝ 2.(2)因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－13，所以sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223， 又 α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，从而cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－ 1－⎝⎛⎭⎫792＝－429，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13. C 级——拓展探索性题目应用练如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0. (1)将十字形的面积表示为关于θ的函数；(2)当θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？解：(1)设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2(y >x >0)． 又圆O 的直径为1，则x ＝ cos θ，y ＝sin θ.因为0<x <y ，所以0<cos θ<sin θ，所以tan θ>1，从而θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，故S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝⎛⎭⎫π4<θ<π2.(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin 2θ－12 cos 2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12⎝⎛⎭⎫π4<θ<π2，其中tan φ＝12， φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大． 所以当θ＝π4＋φ2时，十字形的面积最大，最大值为5－12，其中tan φ＝12，φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.。

课时跟踪检测（四十三） 简单的三角恒等变换A 级——学考合格性考试达标练1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．－13B ．－23C ．13D ．23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝23.2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．－3C ．13D ．－13解析：选D 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13. 3．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2等于( ) A ．－63B ．－66C ．66 D ．63解析：选B 由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2， 所以cos α＝－23.因为α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－1＋cos α2＝－66.故选B.4．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin α2的值为( )A ．－55 B ．55C ．±55D ．±15解析：选C 因为tan α＝43，所以sin αcos α＝43.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝35或⎩⎨⎧sin α＝－45，cos α＝－35.因为α为第一象限角，所以α2为第一、三象限角，且⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝35，所以sin α2＝±1－cos α2＝± 1－352＝±55. 5．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2(x ∈[0，π])的最小值为( )A ．1B ．－1C ．54D ．－54解析：选D 由题意，得f (x )＝cos 2x －2cos 2x2＝cos 2x －(1＋cos x )＝cos 2x －cos x －1，设t ＝cos x (x ∈[0，π])，y ＝f (x )，则t ∈[－1，1]，y ＝t 2－t －1＝⎝⎛⎭⎫t －122－54，所以当t ＝12，即x ＝π3时，y 取得最小值，为－54，所以函数f (x )的最小值为－54，故选D ． 6．若sin θ2＋2cos θ2＝0，则tan θ＝________．解析：由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ2＝－2，则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43. 答案：437．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝________．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝23.所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2＝1＋232＝56.答案：568．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤π，则sin ⎝⎛⎭⎫3π－θ2＝________. 解析：∵π2≤θ≤π，∴sin θ≥0，cos θ≤0，且π4≤θ2≤π2.又sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∴cos θ－sin θ＝－75②联立①②，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π－θ2＝sin θ2＝1－cos θ2＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝255. 答案：2559．已知tan θ＝13，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解：2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12，即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12. 10．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.B 级——面向全国卷高考高分练1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A.12 B ．12或不存在C ．2D ．2或不存在解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，得4sin α2cosα2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，则tan α2不存在；当cos α2≠0时，则tan α2＝12. 2．函数f (x )＝12(1＋cos 2x )·sin 2x (x ∈R )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选D 因为f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，选D ．3．有四个关于三角函数的命题：①∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12；②∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0－y 0)＝sin x 0－sin y 0；③∀x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ；④sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中假命题的序号为( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③D ．②③解析：选A 因为sin 2x 2＋cos 2x 2＝1≠12，所以①为假命题；当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，所以②为真命题；因为1－cos 2x2＝ 1－（1－2sin 2x ）2＝|sin x |＝sin x ，x ∈[0，π]，所以③为真命题；当x ＝π2，y ＝2π时，sin x ＝cos y ，但x ＋y ≠π2，所以④为假命题．故选A.4.如图，以长为10的线段AB 为直径作半圆O ，则它的内接矩形MPQN 面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．50解析：选C 连接ON ，（图略）设∠AON ＝θ，则矩形面积S ＝ 5sin θ·2×5cos θ＝50sin θcos θ＝25sin 2θ， ∴当sin 2θ＝1时，S 取得最大值25，故S max ＝25.5．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________． 解析：因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.答案：－π66．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．解析：sin 3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝cos 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案：－347．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )图象的对称轴方程、对称中心的坐标． 解：f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －22·1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x －2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－ 2.(1)函数f (x )的最小正周期为π. (2)令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝12k π＋π8(k ∈Z )，所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝12k π＋π8(k ∈Z )．令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝12k π－π8(k ∈Z )．所以函数f (x )图象的对称中心的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π－π8，－2(k ∈Z )．8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－13，sin （α＋β）＝79.(1)求tan β2的值；(2)求sin α的值． 解：(1)cosβ＝cos 2β2－sin 2β2＝cos 2β2－sin 2β2cos 2β2＋sin 2β2＝1－tan 2β21＋tan 2β2＝－13，解得tan 2β2＝2，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，从而tan β2>0，所以tan β2＝ 2.(2)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－13，所以sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223， 又 α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，从而cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝⎛⎭⎫792＝－429，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13. C 级——拓展探索性题目应用练如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0. (1)将十字形的面积表示为关于θ的函数；(2)当θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？解：(1)设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2(y >x >0)． 又圆O 的直径为1，则x ＝ cos θ，y ＝sin θ.因为0<x <y ，所以0<cos θ<sin θ，所以tan θ>1，从而θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，故S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<θ<π2.(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin 2θ－12 cos 2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<θ<π2，其中tan φ＝12， φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．所以当θ＝π4＋φ2时，十字形的面积最大，最大值为5－12，其中tan φ＝12，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.。