课时跟踪检测(四十三) 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课时跟踪检测（四十二） 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级——学考合格性考试达标练1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为( ) A ．－43B ．43C ．－34D ．－2 解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2 α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A. 3．化简cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝( )A ．1B ．2C ．12D ．－1解析：选B cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°12cos 10°＝2.故选B.4．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2＝( )A ．－233B ．233 C ．43D ．－33解析：选A ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43.又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sin α2＋cos α2＝－233.5．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α＝( )A ．－35B ．35C ．－45D ．45解析：选D 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D ．6.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为________．解析：原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.答案：327．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是________．解析：因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.答案：－cos α28．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.答案：－569．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．解：原式＝22（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos 2α ＝2（sin α＋cos α）4cos α（sin α＋cos α）.因为α为第二象限角，且 sin α＝154， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，所以原式＝24cos α＝－ 2.10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255， ∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4.B 级——面向全国卷高考高分练1．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.2．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A ．43B ．－43C ．34D ．－34解析：选C tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34.3．已知角α是第一象限角，且cos α＝35，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )A ．25B ．75C ．145D ．－25解析：选C 因为cos α＝35且α在第一象限，所以sin α＝45.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 4．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由sin B sin C ＝cos 2A2得sin B sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B sin C ＝1＋cos A ，∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]＝1－cos(B ＋C )， ∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1. 又∵－180°<B －C <180°，∴B －C ＝0°， ∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰三角形．5．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 答案：4596．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin 2θ＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12.答案：－127．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值．解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 所以f (2α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2αsin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425. 8．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）＝cos 2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ）＝cos 2x －sin 2x⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan xtan x＝24. C 级——拓展探索性题目应用练已知点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过点P 作切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，则当α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？解：如图所示．∵AB 为半圆的直径，∴∠APB ＝π2，又AB ＝1，∴PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切半圆于P 点，∴∠TPB ＝∠PAB ＝α， ∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋14(1－cos 2α)＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14.∵0<α<π2，∴－π4<2α－π4<3π4，∴当2α－π4＝π2，即α＝3π8时，S 四边形ABTP 取得最大值24＋14。

课时跟踪检测（四十二） 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级——学考合格性考试达标练1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cosα＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13. 2．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为( ) A ．－43B ．43C ．－34D ．－2解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2 α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A. 3．化简cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝( )A ．1B ．2C ．12D ．－1解析：选B cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°12cos 10°＝2.故选B.4．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2＝( )A ．－233B ．233 C ．43D ．－33解析：选A ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43.又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sinα2＋cos α2＝－233. 5．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α＝( )A ．－35B ．35C ．－45D ．45解析：选D 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D ．6.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为________．解析：原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.答案：327．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是________．解析：因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 答案：－cos α28．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－569．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．解：原式＝22（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos 2α＝2（sin α＋cos α）4cos α（sin α＋cos α）.因为α为第二象限角，且 sin α＝154， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，所以原式＝24cos α＝－ 2.10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255， ∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4.B 级——面向全国卷高考高分练1．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sinα＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.2．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A ．43B ．－43C ．34D ．－34解析：选C tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34.3．已知角α是第一象限角，且cos α＝35，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )A ．25B ．75C ．145D ．－25解析：选C 因为cos α＝35且α在第一象限，所以sin α＝45.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 4．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由sin B sin C ＝cos 2A2得sin B sin C ＝1＋cos A 2，∴2sin B sin C ＝1＋cos A ，∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]＝1－cos(B ＋C )， ∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1. 又∵－180°<B －C <180°，∴B －C ＝0°， ∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰三角形．5．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 答案：4596．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin 2θ＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ， 因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12.答案：－127．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值．解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35.又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725.所以f (2α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2αsin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425.8．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）＝cos 2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x （－sin x ）＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan xtan x＝24. C 级——拓展探索性题目应用练已知点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过点P 作切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，则当α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？解：如图所示．∵AB 为半圆的直径，∴∠APB ＝π2，又AB ＝1， ∴PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切半圆于P 点，∴∠TPB ＝∠PAB ＝α， ∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋14(1－cos 2α)＝24sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋14.∵0<α<π2，∴－π4<2α－π4<3π4，∴当2α－π4＝π2，即α＝3π8时，S四边形ABTP取得最大值24＋14.。

3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79 C ．－79D ．－89考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角的余弦值 答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A.3．(2018·辽宁师范大学附属中学高三期末)化简：cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°等于( )A ．1B ．2 C.12 D ．－1考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 B解析 cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°12cos 10°＝2.故选B.4．(2018·天津和平区高三期末)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α等于( ) A ．－35 B.35 C ．－45 D.45考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角余弦值 答案 D解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13， 则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D.5.1＋cos 100°－1－cos 100°等于( ) A ．－2cos 5° B ．2cos 5° C ．－2sin 5°D ．2sin 5°考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 C解析 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝⎛⎭⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.6．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D.112考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5. 7．(2018·北京东城区高三期末)若cos α＋sin α＝23，则2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值为( )A.59 B ．0 C ．－518 D ．－59考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 答案 D解析 ∵cos α＋sin α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α＝2×22(sin 2α－cos 2α)＋11＋tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－59.二、填空题8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案116解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.9．(2018·广东茂名高三第一次综合测试)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为 ．考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 －74解析 ∵sin α＋cos α＝12，∴1＋2sin αcos α＝14，∴sin αcos α＝－38.又∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，∴sin α－cos α＝72，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－74. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 4α的值为 ． 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 －429解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则2α∈(π，2π)， 所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223， 故sin 4α＝2sin 2α·cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－223×13＝－429.11．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝ .考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案17250解析 ∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，∴sin(θ＋15°)＝45.∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425. cos(2θ＋30°)＝2cos 2(θ＋15°)－1＝2×925－1＝－725.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°) ＝cos(2θ＋30°)cos 45°＋sin(2θ＋30°)sin 45° ＝－725×22＋2425×22＝17250.三、解答题12．已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠π2＋k π，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝2tan α.考点 利用二倍角公式化简求值题点 利用二倍角公式化简三角函数式证明 因为sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α； sin(2α＋β)＝sin [(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. 又α≠π2＋k π，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α， 得tan(α＋β)＝2tan α.13．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪cos α2.因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cos α2<0，所以原式＝cos α.14．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ . 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值 答案 －247解析 由sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210， 即sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247. 15．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin 2αsin α－cos α的值．考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 解 (1)因为m 与n 为共线向量， 所以⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， 所以(sin α－cos α)2＝2－29＝169.又因为α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， 所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin 2αsin α－cos α＝712.。

二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。

在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。

接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。

具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。

2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。

具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。

3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。

具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。

使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。

此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。

需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。

当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。

另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。

总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。

3.1.3 二倍角的的正弦、余弦、正切公式(1)—B 班回顾 两角差的余弦公式 =-)cos(βα_____________________________ 两角和的余弦公式 =+)c o s (βα_____________________________ 两角差的正弦公式 =-)s i n (βα______________________________两角和的正弦公式 =+)s i n (βα______________________________ 两角差的正弦公式 tan()αβ+=______________________________两角差的正弦公式 tan()αβ-=______________________________问题1：已知sin15a ︒=，试用 a 表示sin30︒.探究：二倍角的正弦公式sin 2α= 2S α问题2：根据二倍角的正弦公式探究过程，试写出二倍角的余弦、正切公式cos2α= 2C αtan 2α= 2T α问题3：2S α，2C α，2T α中角α有何要求？例1、求值：（1）22sin cos 1212ππ- （2）sin75cos75︒︒（3）2tan151tan 15︒-︒ （4）224sin 1533-︒总结：cos2α=22cos sin αα-= =例2、（1）已知1sin cos 3αα=，则cos4α=_______________ （2）已知1sin(),43x π-=-则sin 2x =_______________（3）cos20cos40cos80︒︒︒=____________________变式：（1）sin10sin50sin70︒︒︒=____________（2）sin6sin 42sin66sin78︒︒︒︒=_____________思考：1c o s c o sc o sc o s 242n αααα-=__________ 例3、求证：21sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan θθθθθθ+-++=-当堂检测 1.已知sin2α=53，cos 2α=－54，则角α是 （ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角2．=α-α2sin 2cos 44____________________; 3．=α+-α-tan 11tan 11___________________; 4．=θ-θ+2cos cos 212______________________. 5．已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

课时跟踪检测两角和与差的正弦余弦正切公式在学习三角函数时，我们已经了解了正弦、余弦和正切函数。

在本次课时跟踪检测中，我们将学习两个角度的和与差的正弦、余弦和正切公式。

通过这些公式，我们可以计算两个角度相加或相减的正弦、余弦和正切值。

首先，我们来看两角和的公式。

1.两角和的正弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正弦之和可以表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB2.两角和的余弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的余弦之和可以表示为：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB3.两角和的正切公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正切之和可以表示为：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)接下来，我们来看两角差的公式。

1.两角差的正弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正弦之差可以表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB2.两角差的余弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的余弦之差可以表示为：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB3.两角差的正切公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正切之差可以表示为：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式可以帮助我们在计算角度和或差的正弦、余弦和正切值时，避免重复计算。

通过将已知的角度的正弦、余弦和正切值带入公式，我们可以求解未知角度的正弦、余弦和正切值。

例如，如果我们知道sinA和cosA的值，我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来计算任意角B的正弦和余弦值。

同样，如果我们知道tanA和tanB的值，我们可以使用两角和的正切公式计算角度(A + B)的正切值。

理解和掌握这些公式对于解决与三角函数相关的问题非常重要。

二倍角的正弦余弦和正切公式二倍角公式是用来求解二倍角的三角函数的公式，以正弦、余弦和正切为例，其公式分别为：1.正弦的二倍角公式：正弦的二倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ该公式说明了一个角的正弦的两倍可以通过该角的正弦和余弦相乘来得到。

2.余弦的二倍角公式：余弦的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ该公式说明了一个角的余弦的两倍可以通过该角的余弦平方与正弦平方的差来得到。

3.正切的二倍角公式：正切的二倍角公式可以表示为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)该公式说明了一个角的正切的两倍可以通过该角的正切的两倍与1减去该角的正切的平方的商来得到。

这些二倍角公式可用于简化复杂的三角函数表达式，以便更轻松地计算和求解。

下面将更详细地解释这些公式的推导和应用。

根据三角函数的定义，正弦函数可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：sinΦ = 对边 / 斜边那么对边到底边的距离可以通过利用余弦函数来表示为：sinΦ = cos(Φ - 90°)将Φ代入，并展开cosine函数的定义：sin2θ = cos(2θ - 90°)根据余弦的差积公式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ将(2θ-90°)分解为(2θ)与(90°)：cos(2θ - 90°) = cos2θcos90° + sin2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：cos(2θ - 90°) = sin2θ因此，可得到正弦的二倍角公式：sin2θ = cos(2θ - 90°)由于cos(2θ - 90°) = sin2θ，所以可以进一步化简为：sin(2θ) = 2sinθcosθ根据三角函数的定义，余弦函数可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：cosΦ = 邻边 / 斜边那么邻边到底边的距离可以通过利用正弦函数来表示为：cosΦ = sin(Φ + 90°)将Φ代入，并展开sine函数的定义：cos2θ = sin(2θ + 90°)根据正弦的和积公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ将(2θ+90°)分解为(2θ)与(90°)：sin(2θ + 90°) = sin2θcos90° + cos2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：sin(2θ + 90°) = cos2θ因此cos2θ = sin(2θ + 90°)由于sin(2θ + 90°) = cos2θ，所以可以进一步化简为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ根据三角函数的定义，正切函数可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边令角度Φ等于2θ，则有：tanΦ = 对边 / 邻边可以利用正弦和余弦的定义来表示对边和邻边：tanΦ = sinΦ / cosΦ将Φ代入，根据正弦和余弦的二倍角公式：tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)通过之前推导的正弦和余弦的二倍角公式代入，即可得到正切的二倍角公式：tan(2θ) = (2sinθcosθ) / (cos^2θ - sin^2θ)由于正弦的倒数是余弦，所以可以进一步化简为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)综上所述，正弦、余弦和正切的二倍角公式可以帮助我们计算和求解二倍角的三角函数。