课时跟踪检测(四十三) 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课时跟踪检测（四十三） 二倍角的正弦、余弦、正切公式

A 级——学考水平达标练

1．已知sin α＝

5

5

，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－3

5

B ．－15

C ．15

D ．35

解析：选D cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝3

5

.

2．化简sin 235°－

1

2

sin 20°等于( )

A ．12

B ．－1

2

C ．－1

D ．1

解析：选B 原式＝1－cos 70°2－1

2sin 20°＝－cos 70°2sin 20°＝－sin 20°2sin 20°＝－1

2.

3．已知sin θ＝4

5，sin θcos θ＜0，则sin 2θ＝( )

A ．－

2425

B ．－

1225

C ．－45

D ．2425

解析：选A ∵sin θ＝45＞0，sin θcos θ＜0，∴cos θ＜0.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－3

5.

∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－24

25

.

4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π

4＝2，则cos 2α＝( ) A ．－3

5

B ．35

C ．－45

D ．45

解析：选D 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α

1＋tan 2α

＝1－

1

91＋19

＝45.故选D.

5．计算：sin 65°cos 25°＋cos 65°sin 25°－tan 222.5°

2tan 22.5°＝( )

A ．12

B ．1

C ． 3

D ．2

解析：选B 原式＝sin 90°－tan 222.5°2tan 22.5°＝1－tan 222.5°2tan 22.5°＝1

tan 45°＝1.

6．已知sin 2θ＝3

4

，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π

4＝1＋cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π42

＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π22＝1＋sin 2θ2，∵sin 2θ＝3

4，

∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π

4＝1＋3

42＝78. 答案：7

8

7．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝

⎛⎭⎫2θ＋π3＝________. 解析：1sin θ＋1

cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ

＝2sin 22θ，因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－1

2，所以sin θ＋cos θ＜0，所以θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π

3＋sin π3

·cos 2θ＝⎝⎛⎭⎫－12×12＋32×32＝12. 答案：1

2

8．若1＋tan α1－tan α＝2 019，则1cos 2α＋tan 2α＝________.

解析：

1cos 2α＋tan 2α＝1

cos 2α＋sin 2αcos 2α

＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2

cos 2α－sin 2α

＝cos α＋sin α

cos α－sin α

＝

1＋tan α

1－tan α

＝2 019.

答案：2 019

9．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°

cos 80°1－cos 20°.

解：∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°

＝sin 50°·2sin 40°

cos 10°

＝1，

cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴

sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°

cos 80°1－cos 20°

＝

1－cos 20°

2sin 210°

＝ 2.

10．(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π

2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值； (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π

4，求α. 解：(1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π

4.

∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π

4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭

⎫α＋π

4 ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫352

＝－45

.

∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×3

5 ＝－2425

，

sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4