课时跟踪检测(四十三) 简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换xx年xx月xx日•三角函数基本概念•三角恒等变换的基本法则•三角恒等变换的应用目录•常见三角恒等变换技巧•三角恒等变换的注意事项•练习题与解答01三角函数基本概念$\sin x = \frac{y}{r}$正弦函数$\cos x = \frac{x}{r}$余弦函数$\tan x = \frac{y}{x}$正切函数三角函数的定义周期性$2k\pi, k\in Z$振幅$|\sin x| \leq 1, |\cos x| \leq 1$相位$\sin(x+2k\pi) = \sin x$；$\cos(x+2k\pi) = \cos x$；$\tan(x+k\pi) = \tan x$正弦函数$y=|\sin x|$，波动曲线余弦函数$y=|\cos x|$，波动曲线正切函数$y=\tan x$，曲线不连续，无界01020302三角恒等变换的基本法则和差角公式公式二$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$应用用于解决角度和的问题，如求两角和的正弦、余弦等。

公式一$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$\sin x\cosy=\frac{1}{2}(\sin(x+y)+\sin(x-y))$积化和差公式公式一$\cos x\siny=\frac{1}{2}(\sin(x+y)-\sin(x-y))$公式二用于将两角和的正弦与余弦变换成和差角的形式，方便后续计算。

应用公式一$\sin\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\s qrt{2}}(\cos x+1)^{1/2}$公式二$\cos\frac{x}{2}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos x-1)^{1/2}$应用用于计算半角的角度，适用于解三角形等问题。

半角公式03三角恒等变换的应用利用三角函数解直角三角形，得到直角三角形的三个边长。

简单的三角恒等变换公式
三角恒等变换是一种数学操作，用于在不改变一个三角形的形状的情况下改变它的位置或方向。

下面是几个常用的三角恒等变换公式：旋转：如果要将三角形旋转角度θ，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = x * cosθ - y * sinθ
y' = x * sinθ + y * cosθ
平移：如果要将三角形平移到新的位置 (x',y')，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = x + x0
y' = y + y0
缩放：如果要将三角形缩放比例为k，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = k * x
y' = k * y
这些公式都可以使用单位矩阵来表示，例如旋转变换的单位矩阵如下：
[cosθ -sinθ]
[sinθ cosθ]。

§4.3简单的三角恒等变换一.选择题 1.已知3cos 5α=-，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则()cos βα-的值是（ ） A.3365-B.6365C.5665D.1665- 2.已知α和β都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是 （ ） A.3365 B.1665 C.5665 D.63653.已知3π2ππ,2π44x k k ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，且π3cos 45x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2x 的值是 （ ） A.725-B.2425-C.2425D.7254.设()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+=，且y 是第四象限角，则tan 2y的值是（ ） A.23±B.32±C.32-D.23- 5.函数()ππsincos 22f x x x =+的最小正周期是 （ ） A.π B.2π C.1 D.26.某物体受到恒力是(1,3F =，产生的位移为()sin ,cos s t t =-，则恒力物体所做的功是 （ ）1 B.2 C.7.已知向量()2cos ,2sin a ϕϕ=，()90,180ϕ∈，()1,1b =，则向量a 与b 的夹角为 （ ）A.ϕB.45ϕ- C.135ϕ- D.45ϕ+ 8.已知π12ππsin 41342x x ⎛⎫⎛⎫+=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则式子cos 2πcos 4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A.1013-B.2413C.513D.1213-9.函数sin22x xy =的图像的一条对称轴方程是 （ ） A.x =11π3 B.x =5π3 C.5π3x =- D.π3x =-10.已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则sin x 的值为 （ ）A.45 B.45- C.35-D.5-11.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,πβ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是 （ ） A.5π6-B.2π3-C. 7π12-D.3π4- 12.已知不等式()2cos 0444x x x f x m =+--≤对于任意的5ππ66x -≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A.m ≥B.m ≤C.m ≤D.m ≤≤ 二.填空题 13.已知1sin 3x =，()sin 1x y +=，则()sin 2y x +=14.函数πsin 234y x x ⎛⎫=+++⎪⎝⎭的最小值是 15.函数1cos sin xy x-=图像的对称中心是（写出通式）16.关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①.若存在1x ，2x 有12πx x -=时，()()12f x f x =成立； ②.()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③.函数()f x 的图像关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④.将函数()f x 的图像向左平移5π12个单位后将与2sin 2y x =的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 三.解答题 17. 已知π02α<<，15tan 22tan 2αα+=，试求πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18. 已知()3sin ,cos a x x ωω=-，()cos ,cos b x x ωω=()0ω>，令函数()f x a b =，且()f x 的最小正周期为π． （1） 求ω的值；（2） 求()f x 的单调区间．19. 已知π1tan 42α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，试求式子2sin 22cos 1tan ααα--的值．20.已知R x ∈，()211sin tan cos 2222tan 2x f x x x x ⎛⎫⎪=-+ ⎪ ⎪⎝⎭．（1） 若02x π<<，求()f x 的单调的递减区间；（2） 若()2f x =，求x 的值．21.已知函数()f x 满足下列关系式：（i ）对于任意的,R x y ∈，恒有()()ππ222f x f y f x y f x y ⎛⎫⎛⎫=-+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （ii ）π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 求证：（1）()00f =； （2）()f x 为奇函数；（3）()f x 是以2π为周期的周期函数．22..将函数()2f x =+的图像按向量π,26a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，得到函数()g x 的图像．（1） 化简()f x 的表达式，并求出函数()g x 的表示式；（2） 指出函数()g x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； （3） 已知32,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，92,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，问在()y g x =的图像上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥．参考答案一.选择题 1.A【解析】∵3cos 5α=-，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4sin 5α=，又12sin 13β=-，β∈Ⅲ，∴5cos 13β=-，∴()cos βα-531243313513565⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.C【解析】依题意，∵5sin 13α=，∴12cos 13α=，又()4cos 5αβ+=-，∴ππ2αβ<+<，∴()3sin 5αβ+=，∵()sin sin[]βαβα=+-，因此有，3124556sin 51351365β⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭3.B【解析】∵3π2ππ,2π44x k k ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，∴cos sin 0x x ->，即)πsin cos sin 042x x x ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭， ∴π4sin 45x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，又∵πππcos2sin 22sin cos 244x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴4324cos 225525x ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ 4.D【解析】由()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+=得()12sin sin 13x x y y -+=-=⎡⎤⎣⎦， 又∵y 是第四象限角，∴5cos 13y =，∵22sin 1cos 2tan 2sin 2sin cos 22y y y y y y-== 5121312313-==--5.C【解析】因为()()()ππ1sin1cos 122f x x x +=+++ππππsin cos 2222x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππcos sin 22x x f x =+-=，∴最小正周期是1T =6.B【解析】∵功πsin 2sin 3w F s t t t ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，∴2w ≤ 7.B【解析】∵()2cos 2sin 45a b ϕϕϕ=+=+，2a =，2b =，因此，()()()cos ,sin 45cos 9045cos 45a b a b a bϕϕϕ⎡⎤==+=-+=-⎣⎦，∴,45a b ϕ=- 8.A 【解析】∵ππ42x <<，∴ππ5π244x <+<，则π5cos 413x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则式为πππsin 22sin cos π2442sin ππ4cos cos 44x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2cos 4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 9.C【解析】∵sin22x x y =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππππ2π2323x k x k +=+⇒=+()Z k ∈，当1k =-时，5π3x =-10.B【解析】∵()()222sin 2sin cos1cos sin 222tan 1cos sin 22cos 2sin cos 222x x x x x x x x xx x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭==+++2=-， ∴22tan42sin 51tan 2xx x ==-+ 11.D【解析】∵()11127tan tan 113127ααββ-=-+==⎡⎤⎣⎦⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭，∴()()tan 2tan αβαβα-=-+⎡⎤⎣⎦1132111132+==-⨯，又∵()0,βπ∈，1tan 7β=-，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π20αβ-<-<，∴2αβ-3π4=- 12.A【解析】∵()π26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0m -≤对于5ππ66x -≤≤恒成立，即()max m f x ≥=二.填空题 13.13【解析】∵()sin 1x y +=，∴π2π2x y k +=+， ∴π2π2y k x =+-， ∴()πsin 2sin (2π)2y x k y ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦πsin cos 2y y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πcos 2π2k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos sin 23x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭14.2-【解析】令πcos 4t x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴cos 2324y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2225215222t ⎛⎫⎛=--+≥---+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭15. ()()π,0Z k k ∈【解析】∵1cos tan sin 2x xy x -==∴对称中心为()()π,0Z k k ∈16. ①③【解析】∵()π5π5π2sin 22sin 22sin 26612f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴周期πT =，①正确；∵递减区间是π5π3π2262x ≤+≤，解之为ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②错误；∵对称中心的横坐标5ππ5π2π6212k x k x +=⇒=-，当1k =时，得③正确；应该是向右平移，④不正确． 三.解答题 17. 解：由15tan22tan2αα+=，得1cos 1cos 54sin sin sin 25ααααα-++=⇒=，又π02α<<，∴3cos 5α=，所以π4134sin 3525210α-⎛⎫-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 18. 解（1）∵()f x a b =，∴()2cos cosf x x x x ωωω=+()11cos 2222x x ωω=+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 即()5πsin 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭12+，∴2π2π21πT ωω==⇒=； （2）令π5ππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，解之()f x 在2πππ,π36k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()Z k ∈上递增；同理可求递减区间为πππ,π63k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()Z k ∈．19. 解2sin 22cos 1tan ααα--()222cos tan 1π2cos tan 1tan 4ααααα-⎛⎫==- ⎪+⎝⎭ππcos 1cos2242ππ2sin 24ααα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()11cos222cos2πtan 4ααα=-+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π4tan π422sin 22π21tan 4ααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭2142225112⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭20.解 ()211cos 1cos sin 22sin sin 2x x f x x x x x +-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212cos 1sin 2sin 2cos 22sin 222x x x x x x =+=+ πsin 23x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）∵π02x <<，∴ππ4π2233x ≤+<，即ππ122x ≤<时，()f x 为减函数， 故()f x 的递减区间为ππ,122⎡⎫⎪⎢⎣⎭； （2）∵πsin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()πZ x k k =∈， 或()ππZ 6x k k =+∈． 21. 解（1）令0x y ==，()()2ππ2000022ff f f ⎛⎫⎛⎫=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）令π2x =，R y ∈，()()()π22f f y f y f y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()f y f y =--，故()f x 为奇函数；（3）令π2y =，R x ∈，有()()()21f x f x f x π=---，即()()f x f x π-=……①，再令π2x =-，y x =有()()()()21ππf x f x f x -=+--()()πf x f x +-，即()()()ππf x f x f x +=-=-，令πx t -=，则π2πx t +=+，所以()()2f t f t π=+，即()f x 是以2π为周期的周期函数．22.解 （1）()ππ4cos cos sin sin 2x x f x ⎛⎫- ⎪=π4cos 62ππ62cos cos2sin sin 233x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭π2cos 62π3cos 23x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∵,26a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()π26g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∴()22cos cos 3cos 2cos 1x x g x x x ==++； （2）∵π02g ⎛⎫±= ⎪⎝⎭，当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()11cos cos g x x x =+， （i ）当π,02x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，21cos cos x x +∞⎛⎫+↓ ⎪⎝⎭，∴()120g x ↑，∴()g x 为增函数； （ii ）当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，21cos cos x x +∞⎛⎫+↑ ⎪⎝⎭，∴()120g x ↓，∴()g x 为减函数． （3）在()y g x =图像上存在点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得AP BP ⊥，因为()12g x ≤，且()102g =，所以圆()222532x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭与()y g x =图像有唯一交点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

简单的三角恒等变换三角恒等变换是数学中非常重要的基础知识，它能够帮助我们解决很多与三角函数相关的问题。

在学习三角恒等变换的过程中，我们需要掌握一些基本的变换公式，这样才能灵活地运用它们来解决实际问题。

首先，我们来看正弦函数的恒等变换。

对于任意实数x，有如下公式：sin(x) = sin(x + 2πk) = sin(-x + 2πk)其中k为任意整数。

这意味着，在正弦函数中，每隔2π，函数的值会重复出现。

此外，我们还可以通过对称性质，得到以下两个恒等式：sin(π + x) = -sin(x)sin(π - x) = sin(x)这两个恒等式告诉我们当x逐渐增大或减小，正弦函数的值也会相应地发生变化。

接下来，我们来看余弦函数的恒等变换。

对于任意实数x，有如下公式：cos(x) = cos(x + 2πk) = cos(-x + 2πk)其中k为任意整数。

这表明在余弦函数中也存在着每隔2π重复的特征。

此外，我们还可以得到以下两个恒等式：cos(π + x) = -cos(x)cos(π - x) = -cos(x)这两个恒等式告诉我们，当x逐渐增大或减小，余弦函数的值也会相应地发生变化，并与正弦函数产生相反的变化。

最后，我们来看正切函数的恒等变换。

对于任意实数x，有如下公式：tan(x) = tan(x + πk)其中k为任意整数且x不为(π/2 + πk)。

这意味着正切函数也存在2π周期性。

此外，我们还可以得到以下两个恒等式：tan(π + x) = tan(x)tan(π/2 - x) = 1/tan(x)这两个恒等式告诉我们，正切函数在π/2和π处会出现无穷大和无穷小的特征，并且在这两个点附近的图像非常陡峭。

总之，三角恒等变换是非常重要的数学基础知识，它能够帮助我们解决非常多与三角函数相关的问题。

在学习的过程中，我们需要认真掌握各种基本变换公式，并能够正确地运用它们来解决实际问题。

希望读者能够通过学习，更好地掌握这一知识点。

§4.3简单的三角恒等变换一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋7π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－22 B ．－12 C.12 D.722．已知sin 2α＝35⎝⎛⎭⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( ) A ．－2B ．－1C ．－211 D.2113．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4的值为( ) A ．－7210B.7210 C ．－210 D.2104．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x 2－sin x －1sin x ＋cos x＝________. 5.tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________． 二保高考，全练题型做到高考达标 1．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( ) A.3B ．－3 C.33 D ．－332．已知锐角α满足 cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12B ．－12 C.22 D ．－223.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D.24．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B.π3C.π2 D.3π45．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π46．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．7．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.8.3tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝________.9．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．10．已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝( ) A ．－18B ．－116 C.116 D.182．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域．参考答案一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．C【解析】由已知得22cos sin 2(sin cos )2αααα--＝(cos sin )(cos sin )2(sin cos )2αααααα+--＝－22， 整理得sin α＋cos α＝12. 2．A【解析】由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34， tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan α－β1＋tan 2αtan α－β＝－2. 3．D【解析】 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55， 所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35， 所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫45－35＝210. 4．－3【解析】由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2，故2cos 2x 2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan x tan x ＋1＝－3. 5. 1【解析】原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 二保高考，全练题型做到高考达标1．A【解析】 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 2．A 【解析】 ∵cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，∴cos 2α－sin 2α＝cos π4cos α＋sin π4sin α. ∵α为锐角，∴cos α－sin α＝22， ∴sin 2α＝12. 3.C【解析】 原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝ 2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 4．A【解析】 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ， 在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ， 即tan A ＝1，所以A ＝π4. 5．A【解析】 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π， 又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 故cos 2α＝－255. 又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4， 故cos(β－α)＝－31010. 所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. 6．13 【解析】因为cos(α＋β)＝16， 所以cos αcos β－sin αsin β＝16.① 因为cos(α－β)＝13， 所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.② ①＋②得cos αcos β＝14. ②－①得sin αsin β＝112. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13. 7．π3【解析】因为(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，所以1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即3(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β＝3(1－tan αtan β)， 即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3. 又∵α，β为锐角，∴α＋β＝π3. 8. －43【解析】原式＝3· sin 12°cos 12°－322cos 212°－1sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin －48°2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 9． 解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π2<α＋β<3π2， ∴α＋β＝5π4. 10． 解：(1)因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017， 得sin α＝1517，又α∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以cos α＝817. 由f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫β－π6＋π6 ＝2cos β＝85， 得cos β＝45，又β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以sin β＝35， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．A【解析】 cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9 ＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18. 2． 解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， ∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。

整体设计教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.推进新课新知探究 提出问题 ①α与2a有什么关系? ②如何建立cosα与sin 22a之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =aa cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?⑤证明(1)sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sinθ+sinφ=2sin 2cos2ϕθϕθ-+. 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin 22a ,将公式中的α用2a代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2a的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cosα=1-2sin 22a,所以sin 22a =2cos 1a-. ①在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a代替α,即得cosα=2cos 22a-1,所以cos 22a =2cos 1a+. ②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan 22a =aa cos 1cos 1+-. ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a =±a a cos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2a所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入(1)式即得(2)式.证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ, 即sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.① 设α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-.把α,β的值代入①, 即得sinθ+sinφ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-.教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y 的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.讨论结果：①α是2a的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -.③④⑤略(见活动）. 应用示例思路1例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简:sin50°(1+3tan10°).解:原式=sin50°10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+•=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中.解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练(2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________. 答案:257-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证.活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.证明一:∵1sin sin cos cos 2424=+BAB A , ∴cos 4A·sin 2B+sin 4A·cos 2B=sin 2B·cos+B. ∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B, 即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B. ∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B.∴=+A BA B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1. 证明二:令BAa B A sin sin ,cos cos cos 22==sinα,则cos 2A=cosBcosα,sin 2A=sinBsinα.两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1. ∴B-α=2kπ(k ∈Z ),即B=2kπ+α(k ∈Z ). ∴cosα=cosB,sinα=sinB.∴cos 2A=cosBcosα=cos 2B,sin 2A=sinBsinα=sin 2B.∴BBB B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 变式训练在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S<1. 证明:∵S=BA B A BA B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA·tanB>1.∴S<1.思路2例1 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2x).活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(4π+2x )=2sin2cos 2sin2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2x,得方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x xx x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β, ① 3sin2α-2sin2β=0⇒3sinαcosα=sin2β, ②①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sinα=31. ∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin 2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin 2α+cos 2α)=3×31=1. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=23sin2α=3sinαcosα,∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β =cosα·3sin 2α-sinα·3sinαcosα=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23sin2α=sin2β,两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tanα>0.∴tan(2π-2β)>0.又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π.结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π.∴由tanα=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π. 例2 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ==-=-=-a a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立. 证法二:右边=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -= =βββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+=βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左边.∴原式成立. 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练1.求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθθθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+.而上式左边θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右边.∴上式成立,即原等式得证. 2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm-+11tanα. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理. 证明:由sinβ=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m 0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα]⇒(1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·c os(α+β)sinα⇒tan(α+β)=mm-+11tanα. 知能训练1.若sinα=135,α在第二象限,则tan 2a的值为( ) B.-5 C.51 D.51-2.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( )A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a -- 3.已知sinθ=53-,3π<θ<27π,则tan 2θ_________________. 解答:课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段. 作业设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.第2课时导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开.思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能. 推进新课 新知探究 提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？ 活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k ∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1]. 函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x +φ），其中tanφ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题. 我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx ，y=cosx 的周期是2kπ（k ∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1. ②—③(略)见活动. 应用示例思路1 例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系;(2)由得出的函数关系,求S 的最大值. 解:在Rt △OBC 中,BC =cosα,BC=sinα, 在Rt △OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα. 所以AB=OB-OA =cosα33-sinα. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63.由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63.因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63.点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠COP =α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点. 变式训练(2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+s in(ωx -6π)-2cos 22x ω,x ∈R (其中ω>0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间.解:(1)f(x)=23sinωx+21cosωx+23sinωx -21cosωx -(cosωx+1) =2(23sinωx -21cosωx)-1=2sin(ωx -6π)-1. 由-1≤sin(ωx -6π)≤1,得-3≤2sin(ωx -6π)-1≤1, 可知函数f(x)的值域为［-3,1］. (2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得ωπ2=π,即得ω=2. 于是有f(x)=2sin(2x-6π)-1,再由2kπ-2π≤2x -6π≤2kπ+2π(k ∈Z ),解得 kπ-6π≤x≤kπ+3π(k ∈Z ). 所以y=f(x)的单调增区间为［kπ-6π,kπ+3π］(k ∈Z ). 点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6π). 故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x ∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值. 解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π), 所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x ∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π]. 当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22,当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1. 所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2. 思路2例1 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值. 活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练. 解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx 对任意x 都成立.又ω>0,所以,得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x). 取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0. ∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0. 又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,…. ∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,…. 当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数. 所以,综合得ω=32或ω=2. 点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt △ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cosθ-si nθ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由.解:在Rt △BAD 中,m AB =cos 2B ,在Rt △BAC 中,a AB =sinC, ∴mcos 2B =asinC. 图2同理,ncos2C =asinB. ∴mncos 2B cos 2C =a 2sinBsinC. 而a 2=2mn,∴cos2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81. 积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2C B -)=-1, 若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1, ∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π, ∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在. 点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例2 已知tan(α-β)=21，tanβ=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21， ∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34. 从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=. 又∵tanα=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1. 且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π. 又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)， ∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等. 变式训练若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π. 证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ① 3sinαcosα=sin2β， ② ①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cosαcos2β-sinαsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π. ∴α+2β=2π. 知能训练课本本节练习4.解答:4.(1)y=21sin4x.最小正周期为2π,递增区间为[28,28ππππk k ++-](k ∈Z ),最大值为21; (2)y=cosx+2.最小正周期为2π,递增区间为[π+2kπ,2π+2kπ](k ∈Z ),最大值为3; (3)y=2sin(4x+3π).最小正周期为2π,递增区间为[224,2245ππππk k ++-](k ∈Z ),最大值为2. 课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.作业课本复习参考题A 组10、11、12.设计感想1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价.因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质.2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练.其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握.3.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点.对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大.应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点.。

第四章 三角函数、解三角形第三节 简单的三角恒等变换第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届贵阳模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4解析：选C 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14， 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C ．2．(2020届贵阳摸底)在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( )A ．5665 B ．－3365C ．5665或－1665D ．－1665解析：选D 因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为sin A ＝513，所以cos A ＝±1213.因为sin B ＝45>sinA ＝513，所以B>A ，所以角A 为锐角，所以cos A ＝1213.则cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B ＝513×45－1213×35＝－1665.故选D ．3．(2019届山东三校联考)已知sin 2α＝13，则cos 2α－π4＝( )A ．13 B ．16 C ．23D ．89解析：选C sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝23，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.故选C ． 4．(2019届福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15B ．－15C ．725D ．－725解析：选C 解法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，因为cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法三：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cos α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，即sin 2α＝725.故选C ．5．(2019届河北六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A ．25－35B ．5－35C ．5＋35D ．25＋35解析：选B ∵α∈(0，π)，tan α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，∴α在第一象限，且cos α＝15.∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，故选B ．6．(2019届佛山模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A ．π3B ．π3或－23πC ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得，tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 所以－π<α＋β<0.又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.7．(2019届牛栏山中学模拟)已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin (α＋β)sin (α－β)等于( ) A ．－a 2B ．a 2C ．－aD ．a解析：选C sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos α·sin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a.故选C ．8．(2019年全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，cos α>0，所以2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝55(负值舍去)．故选B ． 9．(2020届大同调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝________． 解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，得θ－π6＝π6，所以θ＝π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝1. 答案：110．已知tan (α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．解析：易知tan (2α－β)＝tan [2(α－β)＋β]． 因为tan (α－β)＝12，所以tan 2(α－β)＝2tan （α－β）1－tan 2（α－β）＝43， 故tan (2α－β)＝tan 2（α－β）＋tan β1－tan 2（α－β）tan β＝1.由tan β＝－17∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，知5π6<β<π，由tan α＝tan [(α－β)＋β]＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，知0<α<π6，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，故2α－β＝－3π4.答案：－3π411．(2019届宜昌联考)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x∈R，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ的值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝Asin 2π3＝32A ＝32，可得A ＝ 3.(2)因为f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32，即⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ＝32，所以cos θ＝64. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 12．(2018年江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos (α＋β)＝－55， 所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，所以tan (α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.B 级·素养提升 |练能力|13.在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos Bcos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的大小为( ) A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4解析：选A ∵在斜△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝－2cos Bcos C ，两边同时除以cos Bcos C ，可得tan B ＋tan C ＝－ 2.又∵tan Btan C ＝1－2，∴tan(B ＋C)＝tan B ＋tan C1－tan Btan C ＝－1.又∵B＋C∈(0，π)， ∴B ＋C ＝34π，∴A ＝π4.14.(2019届湖北武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos (α－β)的值为( )A ．59B ．49C ．23D ．0解析：选A 由题可设大、小正方形边长分别为3，2， 可得cos α－sin α＝23，① sin β－cos β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得，49＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin 2β＋cos 2β－cos (α－β)＝1－cos (α－β)，解得cos (α－β)＝59.故选A ．15．(2019届唐山市高三摸底考试)已知函数f(x)＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：选C f(x)＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x)－sin(2x ＋x)＝－2cos 2xsin x ，令f(x)＝0，可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得，2x ＝π2或2x ＝3π2或2x＝5π2或2x ＝7π2，∴x＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∴π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π，故选C ． 16．(2019届广东六校第一次联考)已知A 是函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 026解析：选B f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f(x)max ＝2，f(x)的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，所以f(x 2)＝f(x)max ，f(x 1)＝f(x)min ，故A|x 1－x 2|的最小值为A×12T ＝π1 009，故选B ．17．(2019届湖南重点高中联考)已知向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(cos θ，－1)，若a⊥b，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析：由已知得a·b＝2cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝12cos 2θ＝12(cos 2 θ－sin 2θ)＝12×cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝12×1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－310. 答案：－310第四章 三角函数、解三角形第三节 简单的三角恒等变换 第二课时 简单的三角恒等变换A 级·基础过关 |固根基|1.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12解析：选D 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.2．(2019届成都模拟)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意知，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，∴m＝－6或1，故选A ．3．已知2tan αsin α＝3，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B ．22C ．1D ．12解析：选A 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2<α<0，∴α＝－π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0. 4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A ．3π4B ．π4或3π4C ．π4D ．2k π＋π4(k∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010， 故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.5．(2019届福州市高三期末)若2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C ．79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1， 所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.故选C ．6．若α是第二象限角，且sin α＝35，则1－2sin π＋α2·sin π－α2＝( )A ．－65B ．－45C ．45D ．65解析：选C 因为1－2sin π＋α2sin π－α2＝1－2cos 2α2＝－cos α，又sin α＝35，且α是第二象限角，所以cos α＝－45，所以1－2sin π＋α2sin π－α2＝45.故选C ．7．(2019届兰州模拟)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.8．设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解析：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.答案：439．(2019届三湘名校联考)函数f(x)＝sin 2x ＋2cos x 在区间[0，π]上的值域为____________．解析：f′(x)＝2cos 2x －2sin x ＝－2(2sin 2x ＋sin x －1)＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π时，f′(x)>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6时，f′(x)<0，∴x ＝π6是f(x)的极大值点，x ＝5π6是f(x)的极小值点．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝332，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－332，f(0)＝2，f(π)＝－2，∴f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 10．(2019届四省八校联考)f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)的最小正周期为________． 解析：f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)＝sin 2x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin x cos x ＝2sin xcos x sin x ×cos x ＋3sin x cos x ＝2(cos x ＋3sin x)＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f(x)的最小正周期T ＝2π. 答案：2π11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域． 解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2，1]． 12．(2019届河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝43cos 2ωx ＋2sin 2ωx －3(ω>0)的部分图象如图所示，H 为图象的最高点，E ，F 是图象与直线y ＝3的交点，且EH →·EF →＝EH →2.(1)求ω的值及函数的值域；(2)若f(x 0)＝335，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，求f(x 0＋2)－3的值．解：(1)函数化简得f(x)＝23cos 2ωx ＋2sin 2ωx ＋3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋ 3.由题意可知|EF|＝T2.因为EH →·EF →＝EH →2，所以EH →·(EH →＋HF →)＝EH →2，所以EH →·HF →＝0，所以HF⊥HE，所以△EFH 是等腰直角三角形．又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以|EF|＝8，所以函数f(x)的周期T ＝16.所以2ω＝2π16，即ω＝π16，函数f(x)的值域是[－4＋3，4＋ 3 ]．(2)由(1)，知f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π3＋3，因为f(x 0)＝335，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝－310. 因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，所以π8x 0＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝9710，所以f(x 0＋2)－3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π4＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3cos π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3sin π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－310×22＋4×9710×22＝194－65.B 级·素养提升|练能力|13.(2019届长春市高三第一次质量监测)函数f(x)＝3sin x ＋3cos x 的最大值为() A ． 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选C 由题意，可知f(x)＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数的最大值为23，故选C ．14．函数f(x)＝12(1＋cos 2x)sin 2x (x∈R)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 解析：选 D ∵f(x)＝14(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝14(1－cos 22x)＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x)，∴f(－x)＝18[1－cos (－4x)]＝18(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，故选D ． 15．已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f(x)≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35解析：选A 由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，∴tan α＝－3，∴sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A ． 16．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 解析：∵a＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2×1＝13. 答案：13。

简单的三角恒等变换三角恒等变换是指在三角函数中，通过一系列等价转换，将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式的过程。

掌握三角恒等变换的关键是熟悉三角函数的基本性质和一些常见的恒等关系。

一、基本恒等变换：1.正弦函数和余弦函数的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 12.余弦函数和正弦函数的关系：cos(x) = sin(x + π/2)sin(x) = cos(x - π/2)3.正切函数的定义：tan(x) = sin(x) / cos(x)4.正切函数和余切函数的关系：tan(x) = 1 / cot(x)cot(x) = 1 / tan(x)5.正弦函数和余切函数的关系：sin(x) = cos(x) / cot(x)cot(x) = cos(x) / sin(x)6.余弦函数和余切函数的关系：cos(x) = sin(x) / csc(x)csc(x) = sin(x) / cos(x)7.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))8.半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))二、和差角公式：1.正弦函数的和差角公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)2.余弦函数的和差角公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)3.正切函数的和差角公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))三、倍角公式与半角公式：1.正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)2.余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)3.正切函数的倍角公式：tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))4.正弦函数的半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)5.余弦函数的半角公式：cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)6.正切函数的半角公式：tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))四、和差化积公式：1.正弦函数的和差化积公式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2)sin(x) - sin(y) = 2cos((x + y)/2)sin((x - y)/2)2.余弦函数的和差化积公式：cos(x) + cos(y) = 2cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)cos(x) - cos(y) = -2sin((x + y)/2)sin((x - y)/2)3.正切函数的和差化积公式：tan(x) + tan(y) = sin(x + y) / (cos(x)cos(y))tan(x) - tan(y) = sin(x - y) / (cos(x)cos(y))以上是一些常见的三角恒等变换，通过熟练掌握和灵活运用这些公式，可以在解决三角函数相关问题时简化计算过程，提高解题效率。

第2课时 简单的三角恒等变换三角函数式的化简1.化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________. 答案 12cos 2x 解析 原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 2.当π<α<2π时，化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α＝________. 答案 cos α解析 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos 2α2 ＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2. ∵π<α<2π，∴π2<α2<π.∴cos α2<0. ∴原式＝－cos α2cos α－cos α2＝cos α.3.化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________. 答案 12解析 方法一(从“角”入手，化复角为单角)原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 方法二(从“名”入手，化异名为同名)原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2β⎝⎛⎭⎫sin 2α＋12cos 2α ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12. 4.化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β). 解 原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α ＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α ＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.三角函数的求值命题点1 给角求值例1 (1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝________. 答案 －18解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9 ＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18. (2)sin 10°1－3tan 10°＝________. 答案 14解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10° ＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14. 命题点2 给值求值例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 答案 4－3310解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45， 即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35， 由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. (2)若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，1712π<x <74π，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝________. 答案 －2875解析 ∵17π12<x <7π4， ∴5π3<π4＋x <2π. 又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45， ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝－210. ∴sin x ＝－7210，tan x ＝7. ∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝2×⎝⎛⎭⎫－7210×⎝⎛⎭⎫－210＋2×⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875.命题点3 给值求角例3 已知α，β为锐角，cos α＝277，sin β＝3143，则cos 2α＝________，2α－β＝________. 答案 17 π3解析 因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. 又因为α，β为锐角，sin β＝3143， 所以sin α＝217，cos β＝1314， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437， 所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<π2， 又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2， 又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法.(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角.跟踪训练 (1)cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )A.62B.32C.54D.1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54. (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝________. 答案 268 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.1.计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( ) A.22 B.12 C.32 D.－22答案 A解析 1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－(1－2sin 210°) ＝sin 210°2sin 210°＝22. 2.若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于( ) A.－78 B.－14 C.14 D.78答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78. 3.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则cos 2α等于( ) A.1B.－1C.12D.0答案 D解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 可得sin α＝－cos α，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0.4.4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3D.22－1 答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40° ＝2sin 80°－sin 40°cos 40° ＝2sin 100°－sin 40°cos 40° ＝2sin (60°＋40°)－sin 40°cos 40°＝2×32cos 40°＋2×12sin 40°－sin 40°cos 40°＝ 3.故选C. 5.计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.－2B.2C.－1D.1 答案 D解析 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 6.设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2答案 B解析 因为tan α＝1＋sin βcos β，所以sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，又α，β均为锐角，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2，故选B. 7.计算：3－sin 70°2－cos 210°＝____________. 答案 2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2. 8.若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于__________. 答案 34解析 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18. 又因为cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，sin θ＝34. 9.化简：⎝⎛⎭⎫3cos 10°－1sin 170°·cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝_________. 答案 －4 3解析 原式＝3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°·1＋tan 15°1－tan 15°＝2sin (10°－30°)12sin 20°·tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15° ＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.10.(2019·淄博模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝________.答案 －45解析 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12， sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 11.已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值.解 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以π2<α＋β<3π2， 所以α＋β＝5π4. 12.已知0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值. 解 (1)方法一 因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13， 所以cos β＋sin β＝23，所以1＋sin 2β＝29，所以sin 2β＝－79.方法二 sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2.所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0，因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35.所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.13.(2019·福建省百校联考)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan α2等于() A.32 B.34C.233 D.433答案 A解析 由已知得cos α＝1－32sin α.代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋⎝⎛⎭⎫1－32sin α2＝1，整理得74sin 2α－3sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝437.因为α∈(0，π)，所以sin α＝437，故cos α＝1－32×437＝17. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝4371＋17＝32. 14.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________. 答案 π3解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 又cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 又0<β<π2，故β＝π3.15.(2019·湖北省冲刺卷)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝12，sin(α＋β)＝12，则sin(3α－β)等于( )A.－12B.12C.－32D.32答案 B解析 因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0，所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，所以sin(α－β)＝－32，cos(α＋β)＝－32， 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝－32×⎝⎛⎭⎫－32＋12×12＝1. 因为α为锐角，所以2α＝π2，所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝12. 16.(2019·江苏泰州中学模拟)已知0<α<π2<β<π，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12. (1)求cos α的值；(2)证明：sin β>513. (1)解 ∵tan α2＝12， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，解得cos α＝35. (2)证明 由已知得π2<α＋β<3π2. ∵sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－1213. 由(1)可得sin α＝45， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×45＝6365>513.。

简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。

答案：B。

通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。

2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。

答案：C。

通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。

答案：B。

通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。

答案：B。

通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。

5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。

答案：D。

§4.3简单的三角恒等变换一、选择题1．cos 2π8 －12 的值为 （ ）A.1B. 12C.22D.242．tan π8 －cot π8 等于（ ）A.－2B.－1C.2D.03．若sin θ2 ＝35 ，cos θ2 ＝－45 ，则θ在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．cos 25π12 ＋cos 2π12 ＋cos 5π12 cos π12 的值等于（ ）A.62B. 32C. 54D.1＋345．已知π＜α＜3π2 ，且sin(3π2 ＋α)＝45 ，则tan α2 等于（ ）A.3B.2C.－2D.－36．若tan θ＋cot θ＝m ，则sin2θ等于（ ） A. 1mB. 2mC.2mD.1m 27．下面式子中不正确的是（ ）A.cos(－π12 )＝cos π4 cos π3 ＋64B.cos 7π12 ＝cos π4 ·cos π3 －22sin π3C.sin(π4 ＋π3 )＝sin π4 ·cos π3 ＋32cos π4D.cos π12 ＝cos π3 －cos π48．如果tan α2 ＝13 ，那么cos α的值是（ ）A. 35B. 45C.－35D.－459．化简cos （π4 ＋x ）－sin （π4＋x ）cos （π4 ＋x ）＋sin （π4 ＋x ）的值是（ ）A.tan x2B.tan2xC.－tan xD.cot x10．若sin α＝513 ，α在第二象限，则tan α2的值为（ ）A.5B.－5C. 15D.－1511．设5π＜θ＜6π，cos θ2 ＝a ，则sin θ4 等于（ ）A.－1＋a2B.－1－a2C.－1＋a2D.－1－a212．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2 ，则此三角形为（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题13．若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝_____.14．已知sin α＝13 ，2π＜α＜3π，那么sin α2 ＋cos α2 ＝_____.15．cos 5π8 cos π8＝_____.16．已知π＜θ＜3π2 ，cos θ＝－45 ，则cos θ2 ＝_____.17．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.18．若cos(α＋β)＝45 ，cos(α－β)＝－45 ，且π2 ＜α－β＜π，3π2＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____. 三、解答题19．已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝0，求cos2α＋cos2β的值. 20．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2 )，求sin α、tan α.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14 ，求cos4x 的值.22．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1).参考答案一、选择题二、填空题 1355 14 －233 15 －24 16 －1010 17 1 18 －725－1 三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分) 19． 120．解：∵sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1 ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0即：cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0⇒cos 2α(sin α＋1)(2sin α－1)＝0 又α∈(0，π2 )，∴cos 2α>0，sin α＋1>0.故sin α＝12 ，α＝π6 ，tan α＝33.21．解：由sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14⇒12 ［sin(2x －π)＋sin(－π2 )］＝－14 ⇒sin2x ＝－12 ⇒cos4x ＝1－2sin 22x ＝12 .22．证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcos α－sin2αsin α ＝(2cos 2α－1)cos α－2sin 2αcos α ＝2cos 3α－cos α－2sin 2αcos α ＝2cos 3α－cos α－2(1－cos 2α)cos α ＝4cos 3α－3cos α＝右边.23．解：由条件知tan α、tan β是方程 x 2－4px －2＝1的两根.∴⎩⎨⎧tan α＋tan β＝4ptan αtan β＝－3∴tan(α＋β)＝4p1－（－3）＝p .∴原式＝2cos2αcos2β＋tan(α＋β)sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β)＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋2sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2。

简单的三角恒等变换(二)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.设sin=,则sin2θ=()A.-B.-C.D.2.已知sin=,则cos2的值为()A. B. C. D.3.函数f(x)=sin x-cos的值域为()A.[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.4.函数y=cos+sin具有性质()A.最大值为,图象关于对称B.最大值为1,图象关于对称C.最大值为,图象关于直线x=-对称D.最大值为1,图象关于直线x=-对称5.已知角α在第一象限,且cosα=,则等于()A. B. C. D.-6.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若m·n=1+cos(A+B),则C=()A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共10分)7.函数y=的最小正周期为________.8.已知函数f(x)=(1+tan x)cos x,则函数f(x)图象的一条对称轴是直线________.三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f=0,其中a ∈R,θ∈(0,π).若f=-,α∈,求sin的值.【补偿训练】若cos xcos y+sin xsin y=,sin2x+sin2y=,则sin(x+y)=________.10.已知函数f(x)=cos2-sin cos-.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.(2)若f(α)=,求sin2α的值.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()A. B. C.- D.-2.设α∈,β∈,且tanα=,则下列结论中正确的是()A.2α-β=B.2α+β=C.α-β=D.α+β=【补偿训练】化简+2sin2得()A.2+sinαB.2+sinC.2D.2+sin3.函数f(x)=sin+cos的最大值为()A. B. C.1 D.4.使f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在区间上是减函数的θ的一个值是()A.-B.C.πD.π【补偿训练】将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后,得到一个偶函数的图象,则|φ|的最小值为()A. B. C. D.5.若sin=-,0≤α≤π,则tanα的值()A.-B.0C.-或0D.无法确定二、填空题(每小题5分,共20分)6.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cosθ=________.7.(2016·全国卷Ⅲ)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到.8.关于函数f(x)=sin2x-cos2x有下列命题:①函数y=f(x)的周期为π;②直线x=是y=f(x)的图象的一条对称轴;③点是y=f(x)的图象的一个对称中心;④将y=f(x)的图象向左平移个单位,可得到y=sin2x的图象.其中真命题的序号是________.9.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=________来截.三、解答题(每小题15分,共30分)10.已知函数f(x)=sin xcos x+cos2x+a.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.(2)若f(x)在区间上的最大值与最小值的和为1,求a的值.11.已知函数f(x)=sin2x-2sin2x.(1)若点P(1,-)在角α的终边上,求f(α)的值.(2)若x∈,求f(x)的值域.。

高中数学 3.2简单的三角恒等变换课时跟踪检测1．已知cos α2＝13，540°<α<720°，则sin α4等于( )A.33 B.63 C ．－33D ．－63解析：∵540°<α<720°，∴270°<α2<360°，135°<α4<180°.∴sin α4＝1－cosα22＝33. 答案：A2．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2等于( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在解析：由2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，则tanα2不存在，若cos α2≠0，则tan α2＝12.答案：B3．已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45 B ．－45C ．－35D.35解析：cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2＝1－321＋32＝－45.答案：B4．已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________．解析：∵f (x )＝a ＋1sin[(1－a )x ＋φ]， 由已知得a ＋1＝2，∴a ＝3.∴f (x )＝2sin(－2x ＋φ)．∴T ＝2π|－2|＝π.答案：π5．若tan x ＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝______.解析：原式＝cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1－tan x 1＋tan x ＝1－21＋2＝－22－1＝22－3. 答案：22－36．化简12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan x2－tan x 2＋32cos 2x . 解：原式＝12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2sin x 2－sin x2cos x 2＋32cos 2x ＝12sin 2 x ·cos 2x2－sin2x2sin x 2cosx 2＋32cos 2x ＝sin 2x ·cos x sin x ＋32cos 2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.7．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值是( ) A ．1＋ 2 B.2－1 C. 2D ．2解析：y ＝2sin 2x ＋2sin x ·cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，y max ＝1＋ 2.答案：A8．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A9．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝________.解析：原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝tan x2. 答案：tan x210．设θ∈[0,2π]，OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(3－cos θ，4－sin θ)．则P 1、P 2两点间距离的取值范围是______．解析：∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(3－2cos θ，4－2sin θ),∴|P 1P 2→|2＝(3－2cos θ)2＋(4－2sin θ)2＝29－12cos θ－16sin θ＝29－20cos(θ＋α)． ∴3≤|P 1P 2→|≤7. 答案：[3,7]11．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 证明：原式等价于1＋sin 4θ－cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)． 即1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)．(*) 而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ ＝sin 4θ＋1－cos 4θ ＝左边．所以(*)式成立，原式得证．12．如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．解：过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ， OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ，∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2 θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3.由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3，∴当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.。

§4.3简单的三角恒等变换A 组一、选择题1．已知角A 是△ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝713，则tan A 等于( )A ．－125B.712C ．－712D.1252．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( ) A.3π4B ．－3π4C.π4D.π23．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为24．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>1，|φ|<π2，且其图象相邻的两条对称轴为 x 1＝0，x 2＝π2，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数 二、填空题5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x cos ⎝⎛⎭⎫π6－x 的最大值为________． 6．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称中心为________． 7．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.三、解答题8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的相交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．B 组一、选择题1．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π12对称，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．82．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2π，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－π B.⎣⎡⎦⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎡⎦⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤3π4，π D.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z ) 3．同时具有下列性质：“①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数”的函数可以是 ( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 二、填空题4．若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π，则ω的值为________． 5．已知函数f (x )＝2sin x ，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ，直线x ＝m 与f (x )，g (x )的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．6．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求f (x )的值域和单调递增区间． 参考答案A 组一、选择题 1． A【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋cos A ＝713，sin 2A ＋cos 2A ＝1，得⎩⎨⎧sin A ＝1213，cos A ＝－513或⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝1213(舍去)，∴tan A ＝－125.2． A【解析】 ∵y ＝cos x ＋2的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，∴x ＋φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π－φ(k ∈Z )，令π4＝k π－φ(k ∈Z )得φ＝k π－π4(k ∈Z )，在四个选项中，只有3π4满足题意．3． B【解析】 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x ，是周期为π的奇函数，其最大值为1，在⎝⎛⎭⎫π4，π2上递减． 4． B【解析】 由已知条件得f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π3， 由题意得T 2＝π2，∴T ＝π.∴T ＝2πω，∴ω＝2.又∵f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π3，x ＝0为f (x )的对称轴， ∴f (0)＝2或－2，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，此时f (x )＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数，故选B. 二、填空题 5．2＋34【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos x ⎝⎛⎭⎫cos π6·cos x ＋sin π6·sin x ＝cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝32cos 2x ＋12sin x ·cos x＝32·1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＝34＋34cos 2x ＋14sin 2x ＝34＋12⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝34＋12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2＋34. 6． ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π4，0(k ∈Z ) 【解析】 ∵y ＝tan x (x ≠π2＋k π，k ∈Z )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )， ∴可令2x ＋π6＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝－π12＋k π4(k ∈Z )．因此，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π4，0(k ∈Z )． 7． 23【解析】 由图象，可知所求函数的最小正周期为2π3，故ω＝3.从函数图象可以看出这个函数的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π12，0中心对称， 也就是函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫7π12－x ＝－f ⎝⎛⎭⎫7π12＋x ， 当x ＝π12时，得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f (0)， 故得f (0)＝23.三、解答题8． 解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1.因为0<A <23π，所以2A －π3＝π2，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csin π4⇒c ＝ 2.又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.9． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在函数f (x )的图象上， 得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1. 故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6， 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6. 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故函数f (x )的值域为[－1,2]．B 组一、选择题 1． A【解析】 由题意知ω·π12＋φ＝k 1π，ω·π3＋φ＝k 2π＋π2，其中k 1，k 2∈Z ，两式相减可得ω＝4(k 2－k 1)＋2， 又ω>0，易知ω的最小值为2.故选A.2． A【解析】 根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )， ∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2π，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－π. 故选A.3． B【解析】 依题意，知满足条件的函数的一个周期是π， 以x ＝π3为对称轴，且在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数． 对于A ，其周期为4π，因此不正确；对于C ，f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 不正确； 对于D ，f ⎝⎛⎭⎫π3≠±1，因此D 不正确． 二、填空题 4． 1【解析】 由于f (x )＝cos ωx cos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx ＝12sin 2ωx 所以T ＝2π2ω＝π⇒ω＝1.5． 22【解析】 构造函数F (x )＝2sin x －2cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故最大值为2 2. 6． π【解析】 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π2＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x ，|P 2P 4|恰为一个周期的长度π. 三、解答题7． 解 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x＝－3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π. ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3递减时，f (x )递增， 令2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，又x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴π12≤x ≤π3. 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12，π3.。