课时跟踪检测 (四十六) 三角函数的应用

考向 5.9 三角函数在实际生活中的应用【知识要点】1、在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、如图1，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角3、 如图2，坡面与水平面的夹角叫做仰角 (或叫做坡比)。

用字母i 表示，即tan h i A l ==4、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

5、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角。

如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

7.测量物体高度的方法：（1）.利用全等三角形的知识 ；（2）利用相似三角形的对应边成比例 ；（3）.利用三角函数的知识例1、如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为153米． （1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D 都在同一平面内．参考数据：tan 7523︒=+，tan1523︒=-．计算结果保留根号）图4 图3图2 hi=h:l A BC图1解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ， ∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +153在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()2345x -， 即(()1532345x x +=-，解得：x =30，∴DH = 15330∴此时无人机的高度为()15330米；（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =15330（米），∴°30153===15tan 7523AG DG ++； ∵1533tan =453BC CAB AB ∠==， ∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DF A =∠CAB =30°，∴°30345tan 30GA GF ==+, ∴=30330DF GF DG -=+,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为30330=6365++（秒）； 所以经过()636+秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．一、单选题1．（2021·广东深圳·二模）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65︒（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）A．100sin65︒B．100cos65︒C．100tan65︒D．100 sin65︒2．（2021·浙江温州·一模）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60︒角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（）A．6.6 B．11.6 C．531.63+D．1.653+3．（2021·河北唐山·二模）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．4sinα米B．4sinα米C．4cosα米D．4cosα米4．（2021·广东云浮·一模）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高60mh=，迎水斜坡100mAB=，斜坡的坡角为a，则tan a的值为（）A．43B．34C．35D．455．（2021·重庆市永川区教育科学研究所一模）鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色．周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A观察到瞰胜楼楼底点C的仰角为12°，楼顶点D的仰角为13°，测得斜坡BC的坡面距离BC=510米，斜坡BC的坡度8:15i=．则瞰胜楼的高度CD是（）米．（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A．30 B．32 C．34 D．36 6．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．30海里B．203海里C．20海里D．302海里7．（2021·河北唐山·一模）如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），若∠CBA＝α，则拉线AC的长度可以表示为（）A ．sin m αB ．cos m αC ．m cosαD ．tan m α8．（2021·江苏无锡·一模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架32米长的梯子BC 斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处，此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（ ）A ．3米B ．3米C ．()32-米D ．()33-米 9．（2021·重庆一中三模）如图，小欢同学为了测量建筑物AB 的高度，从建筑物底端点B 出发，经过一段坡度1:2.4i =的斜坡，到达C 点，测得坡面BC 的长度为15.6米，再沿水平方向行走30米到达点D （A ，B ，C ，D 均在同一平面内）．在点D 处测得建筑物顶端A 的仰角为37︒，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）（ ）A ．27.3米B ．28.4米C ．33.3米D ．38.4米10．（2021·江苏南通·二模）如图，某大楼DE 楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD ，小江从楼底点E 向前行走30米到达点A ，在A 处测得宣传牌下端D 的仰角为60°．小江再沿斜坡AB 行走26米到达点B ，在点B 测得宣传牌的上端C 的仰角为43°，已知斜坡AB 的坡度i ＝1：2.4，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，CD ⊥AE ，宣传牌CD 的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，3）A ．8.3米B ．8.5米C ．8.7米D ．8.9米11．（2021·重庆八中二模）如图，一棵松树AB 挺立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为52米，坡度为i ＝12：5，小张从与点C 相距60米的点D 处向上爬12米到达观景台DE 的顶端点E ，在此测得松树顶端点A 的仰角为39°，则松树的高度AB 约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A ．16.8米B ．28.8米C ．40.8米D ．64.2米12．（2021·重庆·字水中学三模）白沙镇有一望夫塔，小明在与塔底中心的D 同一水平线的A 处，测得24AD =米，沿坡度0.75:1i =的斜坡AB 走到B 点，测得塔顶E 仰角为37°，再沿水平方向走22米到C 处，测得塔顶E 的仰角为22°，则塔高DE 为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈，）A ．18.3米B ．19.7米C ．20.7米D ．22.3米二、填空题 13．（2021·广东·深圳市南山区太子湾学校二模）如图，一楼房AB 后有一假山，其斜面坡度为i ＝13E 处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，则楼房AB 的高为_____米．14．（2021·广东·广州市第六十五中学一模）小颖家住在甲楼，她所居住的楼房前面有一座乙楼．冬天，阳光入射角是30°，两楼距离20米，小颖家的阳台距地面7米，乙楼高18米，那么影子的顶端距她家阳台还有_________米.（精确到0.1米）15．（2021·山东·郓城县教学研究室一模）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__km．16．（2021·吉林长春·二模）如图，在A处看建筑物CD的顶端C的仰角为α，且tanα＝0.8，向前行进3米到达B处，从B处看顶端C的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、D三点在同一条直线上，CD⊥AD，则建筑物CD的高度为_____米．17．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：3，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为_____．18．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC ＝32米，CD＝16米，则荷塘的宽BD为________米．19．（2021·山东·庆云县渤海中学一模）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．则大楼AB的高度_____．（结果保留根号）20．（2021·湖北咸宁·模拟预测）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B的仰角为45︒，则建筑物BC的高约为_____m（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈）︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33三、解答题21．（2021·贵州六盘水·模拟预测）位于我市的北盘江大桥是世界第一高桥，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如图1），桥长1341.4米，桥面至江面垂直距离565.4米．图2是从图1中抽象出的平面图，测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索DE 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BE 为55米，两拉索底端距离AD 为240米．(1)求DC EC的值；（结果保留根号） (2)求立柱BC 的长．（结果精确到0.1米，3≈1.732）22．（2021·贵州·仁怀市教育研究室一模）如图，两座建筑物AD 与BC ，其地面距离CD 为60m ，从AD 的顶点A 测得BC 顶部B 的仰角30α=︒，测得其底部C 的俯角45β=︒，求建筑物BC 的高（结果保留根号）．23．（2021·河南商丘·三模）在一次实弹演习中，我国参演红军需轰炸蓝军的一个桥梁，如图，红军飞行员驾驶战机飞到A 处时发现桥梁BC 并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知飞机、桥梁BC 与地面在同一水平面上，其桥梁BC 长度为800m ．请求出此时飞机离地面的高度．（结果保留整数．参考数据：sin35°≈712，c os35°≈56，tan35°≈710）一、单选题1．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A 、B两点间的距离为30米，A α∠=，则缆车从A 点到达B 点，上升的高度（BC 的长）为（ ）A ．30sin α米B ．30sin α米C ．30cos α米D ．30cos α米 2．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于（ ）A ．2kmB ．3kmC ．23kmD ．4km3．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米4．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，结果保留整数）（ ）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m5．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 6．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F 处，看建筑物顶端D 的仰角为32°，向前走了15米到达点E 即15EF =米，在点E 处看点D 的仰角为64°，则CD 的长用三角函数表示为（ ）A ．15sin32︒B ．15tan64︒C ．15sin64︒D ．15tan32︒ 7．（2021·山东日照·中考真题）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30，已知斜坡的斜面坡度i 1:3=，且点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是（ ）A ．()320mB ．()310mC ．203mD ．40m8．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ．其中//AD BC ，45ABC ∠=︒，30DCB ∠=︒，斜坡AB 长8m ．则斜坡CD 的长为（ ）A ．62mB ．82mC ．46mD ．3m9．（2021·湖北十堰·中考真题）如图，小明利用一个锐角是30的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）A ．3153m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．53mC ．153mD ．353m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 10．（2021·湖北随州·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米11．（2021·重庆·中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米12．（2021·山东泰安·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D 处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（）（参考数据：1:2.4≈）3 1.732A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米二、填空题13．（2021·广西百色·中考真题）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．14．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）15．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．16．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）17．（2021·贵州遵义·中考真题）小明用一块含有60°（∠DAE ＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB 为1.62m ，小明与树之间的水平距离BC 为4m ，则这棵树的高度约为 ___m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3≈1.73）18．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C 测一段水平雪道一端A 处的俯角为50°，另一端B 处的俯角为45°，若无人机镜头C 处的高度CD 为238米，点A ，D ，B 在同一直线上，则通道AB 的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈)19．（2021·广西来宾·中考真题）如图，从楼顶A 处看楼下荷塘C 处的俯角为45︒，看楼下荷塘D 处的俯角为60︒，已知楼高AB 为30米，则荷塘的宽CD 为__________米．（结果保留根号）20．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得5BC =米，4CD =米，150BCD ∠=︒，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为45︒，则电线杆AB 的高度约为______米．（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，结果按四舍五入保留一位小数）21．（2021·湖北荆州·中考真题）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B 转动，测量知8cm BC =，16cm AB =．当AB ，BC 转动到60=︒∠BAE ，50ABC ∠=︒时，点C 到AE 的距离为_____________cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin700.94︒≈，3 1.73≈）22．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 3 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．三、解答题23．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE 的长是20米，坡角为37︒，斜坡DE 底部D 与大楼底端C 的距离CD 为74米，与地面CD 垂直的路灯AE 的高度是3米，从楼顶B 测得路灯AE 项端A 处的俯角是42.6︒．试求大楼BC 的高度． （参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈，17sin 42.625︒≈，34cos 42.645︒≈，9tan 42.610︒≈）24．（2021·广西河池·中考真题）如图，小明同学在民族广场A 处放风筝，风筝位于B 处，风筝线AB 长为100m ，从A 处看风筝的仰角为30，小明的父母从C 处看风筝的仰角为50︒．（1）风筝离地面多少m ？（2）AC 相距多少m ？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin300.5︒=，cos300.8660︒＝，tan300.5774︒＝，sin500.7760︒＝，cos500.6428︒＝，tan50 1.1918︒＝）25．（2021·四川巴中·中考真题）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B 的位置如图所示，已知坡长AC ＝12m ，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C 处，且与地面的夹角为60°，A 、B 、C 、D 在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，3 1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．1．A【解析】【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，在Rt △ABC 中，sin B =AC AB， 则AC =AB •sin B =100sin65°（米），故选：A ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据题意可知 1.6BE CD ==米，60ABC ∠=︒．再利用特殊角的三角函数解直角三角形即可求出AC 长，从而求出AD 长．【详解】根据题意可知 1.6BE CD ==米，60ABC ∠=︒．∵60ABC ∠=︒，∴在Rt ABC 中，tan 6053AC BC =︒=米． ∴(53 1.6)AD AC CD =+=米．故选D ．【点拨】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．3．B【解析】【分析】过点A′作A′C ⊥AB 于点C ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：如答图，过点A′作A′C ⊥AB 于点C ．在Rt △OCA′，sinα＝A C A O ''，所以A′C ＝A′O·sinα．由题意得A′O ＝AO ＝4，所以A′C ＝4sinα，因此本题选B ．【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．4．B【解析】【分析】直接利用勾股定理得出BC ，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：过点A 作AC ⊥BD ，垂足为C ，∵坝高h =60m ，迎水斜坡AB =100m ，∴BC 222210060AB AC --=80（m ），则tanα=603804= ． 故选：B ．【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键． 5．D【解析】【分析】由斜坡BC 的坡度8:15i =，设8CE x =、15BE x =，由勾股定理可知17BC x =，BC =510，求得30x =，据此可知AE 、DE 的长，再根据DC DE CE =-可得答案．【详解】由斜坡BC 的坡度8:15i =，设8CE x =、15BE x =，在Rt BCE 中，2222(8)(15)17BC BE CE x x x =+=+=，由17510BC x ==求得30x =，∴240CE =米、450BE =米，在Rt ACE △中，2401200tan tan12CE AE CAE ===∠︒（米）， 在Rt ADE △中，tan 1200tan13276DE AE DAE =∠=⨯︒=（米），则27624036DC DE CE =-=-=（米）．故选：D ．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用能力，注意能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形是解决本题的关键．6．D【解析】【分析】根据时间、速度、距离之间的关系求出AC ，根据等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图：由题意得，AC ＝60×0.5＝30海里，∵CD ∥BF ，∴∠CBF ＝∠DCB ＝60°，又∠ABF ＝15°，∴∠ABC ＝45°，∵AE ∥BF ，∴∠EAB ＝∠FBA ＝15°，又∠EAC ＝75°，∴∠CAB ＝90°，∴2sin 45AC BC ︒=， ∴BC 2＝2故选：D ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据同角的余角相等得∠ACD ＝∠CBD ，由cos ∠ACD ＝CD AC ，即可求出AC 的长度．【详解】解：∵∠ACD +∠BCD ＝90°，∠CBD +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBD ，在Rt △ACD 中，∵cos ∠ACD ＝CD AC， ∴AC ＝cos cos CD m ACD α=∠． 故选：B ．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出E C 、EB ，根据正切的定义求出DE ，结合图形计算得到答案．【详解】解：在Rt EBC 中，45BCE ∠=︒，3EC EB ∴=（米)， 在Rt BDE △中，tan BE BDE DE ∠=，tan BE DE BDE ∴=∠)，(3CD EC DE ∴=-=米，故选：D ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．A【解析】【分析】延长AB 与DC 相交与点E ，由题意和三角函数可求得EC 的长度，根据37°角的三角函数求得AE 的长度，进而可求出建筑物AB 的高度．【详解】如图，延长AB 与DC 相交于点E ，∵15.6BC =，斜坡BC 的坡度i =1：2.4=512， ∴12cos 13BCE =∠，5sin 13BCE =∠， ∴12cos 15.6=14.413EC BC BCE =•=⨯∠，5sin 15.6613BE BC BCE =•=⨯=∠， ∴==14.430=44.4ED EC CD ++，又∵D ∠=37°，∴=tan37=44.40.75=33.3AE ED •︒⨯，∴33.3627.3AB AE BE =-=-=，故选：A ．【点拨】此题考查了三角函数应用题，仰角和坡度的概念，做出辅助线是解答本题的关键．10．A【解析】【分析】过B 分别作AE 、DE 的垂线，设垂足为F 、G ．分别在Rt △ABF 和Rt △ADE 中，通过解直角三角形求出BF 、AF 、DE 的长，再求出EF 即BG 的长；在Rt △CBG 中求出CG 的长，根据CD =CG +GE -DE 即可求出宣传牌的高度．【详解】解：过B 作BF ⊥AE ，交EA 的延长线于F ，作BG ⊥DE 于G ．Rt△ABF中，i=tan∠BAF=BFAF＝12.4，AB=26米，∴BF=10（米），AF=24（米），∴BG=AF+AE=54（米），Rt△BGC中，∠CBG=43°，∴CG=BG•tan43°≈54×0.93=50.22（米），Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，∴DE=3AE=303（米），∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-303≈8.3（米）．故选：A．【点拨】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．11．B【解析】【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．【详解】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝AF EF，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．B【解析】【分析】连接DE ，作BF ⊥DE 于F ，BG ⊥DA 于G ，设BG =3x m ，则AG =4x m ，BF =DG =24+4x （m ），CF =BF +BC =46+4x （m ），由三角函数定义得出EF =tan 37°（24+4x ），EF =tan 22°（46+4x ），得出0.75（24+4x ）=0.40（46+4x ），解得27x =，求出DF 、EF ，即可得出答案．【详解】解：连接DE ，作BF ⊥DE 于F ，BG ⊥DA 于G ，如图：则DF =BG ，BF =DG =AD +AG ，∵AB =斜坡AB 的坡度0.75BG i AG==， ∴设BG =3x m ，则AG =4x m ，BF =DG =24+4x （m ），CF =BF +BC =24+4x +22=46+4x （m ）， 由题意得：∠EBF =37°，∠ECF =22°，∵tan ∠BEF =244EF EF BF x =+，tan ∠ECF =464EF EF CF x=+， ∴EF =tan 37°（24+4x ），EF =tan 22°（46+4x ），∴0.75（24+4x ）=0.40（46+4x ）， 解得：27x =，∴DF =BG =3x =67（m ）， EF =0.40（46+4x ）=1327（m ）， ∴DE =DF +EF =613213819.7777+=≈； 故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角分概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（3【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，解直角三角形即可求解．【详解】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i＝EFCF3＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴EF＝12CE＝10米，CF＝3∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC+CF＝（3在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝（3∴AB＝AH+HB＝（3答：楼房AB的高为（3）米，故答案为：（3【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，涉及俯角及坡度的知识，构造直角三角形是解题的关键．14．0.6【解析】【分析】如图，解直角三角形ABC可以求得AB的长，求出乙楼的影子在甲楼上的高度CD，再求影子的顶端距她家阳台的距离.【详解】解：如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=20米，所以AB=BC•tan∠ACB＝20•tan30°＝20×3（米），CD=18-11.55=6.45（米），∴影子的顶端距她家阳台还有7-6.45≈0.6（米）．故答案为0.6.【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形，根据BC求出AB的值是解题的关键．15．3【解析】【分析】根据题意可证得△ABC为等腰三角形，即可求出BC的长，然后再解直角三角形CBD即可求得．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−30°=60°，∴∠ACB=∠CBD−∠CAD=60°-30°=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=2km，在Rt△CBD中，3sin6023CD BC=⋅︒==，3【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解决本题的关键是证出△ABC是等腰三角形．16．12【解析】【分析】根据∠DBC =45°可得BD CD =，根据tan α＝0.8，可得3810CD CD =+，进而即可求得CD 的长． 【详解】∵∠DBC =45°，∴BD =CD tan 45⨯︒=CD ， tanα=，3AD AB BD CD =+=+,则3810CD CD =+，解得CD =12．经检验：符合题意 故答案为12．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的意义是解题的关键．17．()633m + 【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于F ，作DG ⊥BF 于G ，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC 、CG 的长，根据正切的定义解答即可．【详解】解：如图，延长AD 交BC 的延长线于F ，作DG ⊥BF 于G ，∵∠ADE ＝30°，∴∠AFB ＝30°，∵CD ＝6m ，斜坡CD 的坡度i ＝13∴tan ∠DCG ＝DG CG 33 ∴∠DCG ＝30°，∴DG ＝3m ，CG ＝3，∴∠DFC ＝∠DCF ＝30°，∴DF ＝DC ，∵DG ⊥BF ，∴FG ＝CG ＝3，∴FC ＝3，∴FB ＝FC +BC ＝（）m ，∴AB ＝BF ×tan ∠AFB ＝（）m ． 故答案为：（m ．【点拨】本题主要考查了勾股定理，坡比和解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．16【解析】【分析】根据已知条件转化为直角三角形ABC 中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出BC ，根据BD =BC -CD 可得出答案．【详解】解：由题意知，∠ABC =30°，∠ACB =90°，AC =32米，tan tan 30,AC ABC BC ︒∠==tan 30AC BC ︒∴=== ∵CD =16米，∴BD =BC -CD=16米．故答案为：16．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形ABC 中的有关元素．19．（【解析】【分析】在直角三角形DCE 中，利用锐角三角函数定义求出DE 的长，过D 作DF 垂直于AB ，交AB 于点F ，可得出三角形BDF 为等腰直角三角形，设BF =DF =x (米)，表示出BC ，BD ，DC ，由题意得到三角形BCD 为直角三角形，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出AB 的长．【详解】解：在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE 12=DC ＝2(米)， 过D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠FBD ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝（x +2）米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°， ∴)324cos30333x B AB C +====︒（米）， BD 2=2=米，DC ＝4米，∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：22(24)2163x x +=+ ， 解得：x ＝3则AB ＝（3故答案为：（3【点拨】此题考查了解直角三角形的实际应用--仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键．20．24.2【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：,8m,53,45AC CD AB ADC BDC ⊥=∠=︒∠=︒，Rt BCD ∴是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，。

夷陵中学高一数学培优资料高一数学三角函数的综合应用测试例1． 已知α、β为锐角，且x (α+β－2π)＞0,试证不等式f (x )=)sin cos ()sin cos (αββα+x x＜2对一切非零实数都成立证明若x ＞0，则α+β＞2π∵α、β为锐角，∴0＜2π－α＜β＜2π;0＜2π－β＜2π,∴0＜sin(2π－α)＜sin β 0＜sin(2π－β)＜sin α，∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α, ∴0＜cos sin αβ＜1,0＜αβsin cos ＜1, ∴f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )＜f (0)=2若x ＜0,α+β＜2π,∵α、β为锐角， 0＜β＜2π－α＜2π,0＜α＜2π－β＜2π, 0＜sin β＜sin(2π－α), ∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin(2π－β),∴sin α＜cos β,∴cos sin αβ＞1, αβsin cos ＞1,∵f (x )在(－∞,0）上单调递增，∴f (x )＜f (0)=2,∴结论成立例2、已知函数f(x)=tan(3πsinx) （1）求f(x)的定义域值域；（2）在（－π，π）中，和求f(x)的单调区间； （3）判定方程f(x)=tan32π在区间（－π，π）上解的个数。

解：（1）∵－1≤sinx ≤1 ∴ －3π≤3πsinx ≤3π。

又函数y=tanx 在x=k π+2π(k ∈Z)处无定义， 且 （－2π，2π）[－3π,3π]（－π, π）， ∴令3πsinx=±2π，则sinx=±23解之得：x=k π±3π (k ∈Z)∴f(x)的定义域是A={x|x ∈R ，且x ≠k π±3π，k ∈Z}∵tanx 在（－2π，2π）内的值域为（－∞，+∞），而当x ∈A 时，函数y=13πsinx 的值域B 满足（－2π，2π） B ∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。

《三角函数的应用》习题精选一、选择题（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ． B ．C ．D ． （2）如果 为锐角，54cos =a ，则 等于（ ）A ．259 B ．54 C ．53 D ．2516 （3）在Rt 中， ，a 、b 、c 分别为 的对边，且，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．（4）已知 的顶点在原点，一条边在x 轴正半轴上，另一条边经过点，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．（5）某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高m ，要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么水平挡板AC 的宽度应为（ ） A ．1.8tan80°m B ．1.8cos80°m C ．︒80sin 8.1m D ．以上均不正确 二、填空题 （1）已知23cos =A ，则锐角 的度数为________．（2）在△ABC 中，如果∠C=90°，∠A=45°，那么=+B A sin tan ． （3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，2:1:=c a ，b=6 ，则c= ．（4）如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，且CD ⊥AB ，BD=2AD ，若34=CD ，33tan =∠BCD ，则BC 边上的高AE= ．（5）一竿的高为1.5米，影长为1米；同一时刻，若塔影长是20米，则塔高是_____米．（6）一段公路路面的坡度 ，这段公路的路面长100米，则这段公路升高_____米．（7）升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学的视线的仰角恰好为30°，若两眼离地面1.5米，则旗杆高度约为________米．（精确到0.1米， ）三、计算题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=6，BC=2，求sinA ．2．已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，BC=10 ，求它的腰长和底角． 3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，32,22==AB AC ，设∠BCD=α，求的值．4．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，21tan =B ，AE=7，求DE 的长．5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD=5，23=DA ，∠DAB=45°，∠ABC=60°，求梯形的面积． 四、应用题1．在一艘船上看海岸上高42米的灯塔顶部的仰角为33°，船离海岸多远？（精确到米）2．小明正在放一个线拉出长度为200米的风筝．风筝线与水平地面所成的角度为54°，他的风筝飞得有多高？（精确到米）3．一名森林管理员，受命测量他所管辖的一片平原林区的高大树木的高度．他用测角仪测得第一棵树的仰角约为69°，他从测量处步行72步才到树底．如果每步为0.5米，则该树有多高？（精确到米）4．一名航空运输调度员必须迅速计算一架飞来的喷气式飞机的高度．为此，他记录了这架飞机的仰角为6°．如果飞机信号表明它距控制塔的距离为44千米，请你帮这名调度员算出飞机的高度．（塔的高度可以忽略不计）5．从高出海平面55米的灯塔处收到一艘帆船的求救信号，且从灯塔顶部测得帆船的俯角为21°．则从帆船到灯塔的距离有多远？（精确到米）6．如图，有一位同学用一个有30°角的直角三角形估测他们学校的旗杆AB的高度，他将30°角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上．三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为15米．（1）试求旗杆AB的高；（2）请你设计出一种更简洁的估测方法．7．如图，在离地面高度为5米的C处引拉线固定电线杆，拉线与地面成角，求拉线的长度．8．倾斜的木板可以帮助货物由地面运送至货车，或由货车运送至地面．如图，货车的高度是2米，如果木板与地面所成的角是30°，求木板的长度．9．如图，某公园的飞船能两边摇动，两端点均与铅垂线成30°的角．问这船在最高位置时较最低位置时高出多少？10．如图，A、B间是一片沼泽地，某人在距城堡200米的A点处望城的顶端，仰角是60°，然后步行绕至B点处（B、A、C在同一条直线上），再望向城堡，仰角为30°，求A、B两地的距离．11．一艘船沿着一个灯塔的方向前进，值班船长观察到这个灯塔顶部的仰角为40°．在第二次观察时，这个灯塔顶部的仰角为70°，两次观察之间的航行距离为1800米．在第二次观察时，船与灯塔之间的距离为多少？（精确到米）12．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60米，已知在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为30°，顶部的仰角为45°，求铁塔高．13．一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°，于原地登高50米后，又测得塔顶的仰角为30°，求塔高和此人在地面时到塔底的距离．参考答案一、（1）A；（2）C；（3）B；（4）C；（5）D．二、（1）30°；（2）；（3）；（4）；（5）30；（6）（7）15.3．三、1．2．底角为70°，腰长为14.623．4．因为，设，则，所以．因为D是BC中点，所以，所以．因为，所以，所以．即．5．四、1．65米2．162米3．94米4．4.5993千米5．143米6．（1）；（2）利用（1）的方法，使用等腰直角三角形测量．估算更简洁．7．8．4米9．m10．在Rt中，．在Rt中，．所以（米）11．791米12．米．13．设此人在地面时到塔底的距离为x米，则有，解得，所以．所以塔高为75米，此人在地面时到塔高的距离为米．。

鲁教版九年级上册：2.5 三角函数的应用 同步课时训练知识点一 三角函数的应用——仰角、俯角问题1.如图所示，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A 处看乙楼楼顶B 处的仰角为30°，则甲楼高度为（ ）A.11米B.（36-153）米C.153米D.（36-103）米 2.如图所示，某校教学楼AC 与实验楼BD 的水平间距CD ＝30m ，在教学楼AC 的底部C点测实验楼顶部B 点的仰角为α，且sin α＝54，在实验楼顶部B 点测得教学楼顶部A 点的仰角是30°，则教学楼AC 的高度是__________m （结果保留根号）.3.如图所示，小华在楼上D 处观察楼前坡度i ＝1:2.4的山坡上警示牌CE 的底端C 的俯角为30°，已知BC ＝13米，AB ＝18米，求小华的观察点距地面的距离AD 的长.4.为了测量某山（如图所示）的高度.甲在山顶A 测得C 处的俯角为45°，D 处的俯角为30°，乙在山下测得C ，D 之间的距离为100米，已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB （结果保留根号）.5.如图所示，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6m，DE＝10m.求乙楼的高度AC的长.（参考数据:2≈1.41，3≈1.73，精确到0.1m）6.如图所示，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度.（精确到0.1米，参考数据:2≈1.41，3≈1.73）知识点二三角函数的应用——方向角问题7.如图所示，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离约为_________海里（结果保留整数）.（参考数据:sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，5≈2.24）8.如图所示，一艘货轮以182km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是___________km.9.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上.（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据:2≈1.414，3≈1.732）10.如图所示，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B，C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B，C处分别测得∠ABD＝45°，∠C＝37°.求轮船航行的距离AD.（参考数据:sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）知识点三 三角函数的应用——坡度、坡角问题11.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动如图所示，在一个坡度（或坡比）i ＝1:2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD.测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC ＝26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角∠AED ＝48°（古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 与直线AE 垂直），则古树CD 的高度约为（ ）（参考数据:sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米12.如图所示，某段路基横断面为梯形ABCD ，DC ∥AB.BC 长6米，坡角β为45°，AD 的坡角a 为30°，则AD 的长为__________米（结果保留根号）.13.如图所示，某兴趣小组为了测量大楼CD 的高度，先沿着斜坡AB 走了52米到达坡顶点B 处，然后在点B 处测得大楼顶点C 的仰角为53°，已知斜坡AB 的坡度i ＝1:2.4，点A 到大楼的距离AD 为72米，求大楼的高度CD.（参考数据:sin53°≈54，cos53°≈53，tan53°≈34）14.为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习.如图所示，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向距离A（30＋303）km处.学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）.15.如图所示，防洪大堤的横截面ABGH是梯形，背水坡AB的坡度i＝1:3（垂直高度AE与水平宽度BE的比），AB＝20米，BC＝30米，身高为1.7米的小明（AM＝1.7米）站在大堤A点（M，A，E三点在同一条直线上），测得电线杆顶端D的仰角∠a＝20°. （1）求∠ABC的度数；（2）求电线杆CD的高度.（结果精确到个位，参考数据sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，3≈1.7）16.如图所示，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°若斜面坡度为1:3，则斜坡AB的长是__________米.17.某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图所示，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度.18.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.（精确到1m.参考数据:sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°＝0.67，3≈1.73）19.如图所示，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，2≈1.4，3≈1.7数据信息，解答下列问题:（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25％，结果提前50天完成了施工任务求施工队原计划每天修建多少千米.20.下图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG ＝2米，货厢底面距地面的高度BH ＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC ）为2米，高（EF ）和宽都是1.6米.通过计算判断:当sina ＝53，木箱底部顶点C 与坡面底部点A 重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部？21.如图所示，在东西方向的海面线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船，两船同时收到渔船C 在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A ，B 的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A 和渔船C 相距120海里.（结果取整数，参考数据:2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）（1）求巡逻船B 与渔船C 间的距离；（2）已知在A ，B 两艘巡逻船间有一观测点D （A ，B ，D 在直线MN 上），测得渔船C 在观测点D 的北偏东15°方向，观测点D 的45海里范围内有暗礁.若巡逻船B 沿BC 方向去营救渔船C ，问有没有触礁的危险？并说明理由.参考答案1.D2.（103+40）3.解析 如图，延长EC 交AB 于点H ，过点C 作CF ⊥AD 于F.∵BC 的坡度为1:2.4，∴设CH ＝x （x ＞0）米，则HB ＝2.4x 米， 由勾股定理，得CH 2＋HB 2＝BC 2,即x 2＋（2.4x ）2＝132，解得x ＝5. ∴CH ＝AF ＝5米，HB ＝12米,∴CF ＝HB ＋AB ＝12＋18＝30米. 在Rt △DCF 中，DF ＝CF·tan ∠DCF ＝30×tan30°＝103米. ∴AD ＝AF ＋DF ＝（5＋103）米.∴小华的观察点距地面的距离AD 的长为（5＋103）米.4.解析 根据题意，知AB ⊥BD ，∠CAB ＝∠ACB ＝45°，∠D ＝∠EAD ＝30°，CD ＝100米，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在Rt △ABD 中，BD ＝BC ＋CD ＝AB ＋100， tanD ＝tan30°＝BD AB ，即10033+=AB AB.解得AB ＝50（3＋1）米. 答:山高AB 为50（3＋1）米.5.解析 过点E 作EF ⊥AC 于F ，则四边形CDEF 为矩形. ∴EF ＝CD ，CF ＝DE ＝10m.易知∠EBF ＝60°，∠DAC ＝45°， 设AC ＝xm ，则CD ＝EF ＝xm ，BF ＝（x-16）m ， 在Rt △BEF 中，∠EBF ＝60°，tan ∠EBF ＝BFEF， ∴316=-x x。

三角函数的应用专项训练姓名：__________班级：__________评价：__________一、单选题（共8小题）1. 已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cos等于( )A. －B. －C.D.2. 已知α∈，sinα＝，则tanα等于( )A. －B. 2C.D. －23. 若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝，则sinα－cosα的值为( )A. B. － C. D. －4. 函数f(x)＝(0<x<π)的大致图象是( )A. B. C. D.5. 为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度6. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )A. f(x)＝|cos 2x|B. f(x)＝|sin 2x|C. f(x)＝cos|x|D. f(x)＝sin|x|7. 已知函数f(x)＝cosωx＋sinωx，ω>0，x∈R.若曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为，则y＝f(x)的最小正周期为( )A. B. π C. 2π D. 3π8. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)的图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 5二、多选题（共5小题）9. 函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. ω＝B. ω＝C. φ＝D. A＝510. 已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )A. 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称B. 函数y＝f(x)的图象关于点对称C. 函数y＝f(x)在上单调递减D. 该图象对应的函数解析式为f(x)＝2sin11. 将曲线y＝sin2x－sin(π－x)sin上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(x)的图象关于直线x＝对称B. g(x)在[0，π]上的值域为C. g(x)的图象关于点对称D. g(x)的图象可由y＝cos x＋的图象向右平移个单位长度得到12. 函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则下列结论中正确的是( )A. f(x)的一个周期为－2πB. y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称C. x＝是f(x)的一个零点D. f(x)在上单调递减13. 对于函数f(x)＝给出下列四个命题，其中为真命题的是( )A. 该函数是以π为最小正周期的周期函数B. 当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1C. 该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称D. 当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤三、填空题（共4小题）14. y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为，若－<θ<，则θ＝________.15. 设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.16. 要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向________平移________个单位长度．17. 在如图所示的矩形ABCD中，点E，P分别在边AB，BC上，以PE为折痕将△PEB翻折为△PEB′，点B′恰好落在边AD上，若sin∠EPB＝，AB＝2，则折痕PE的长为________．四、解答题（共4小题）18. 已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．19. 已知f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若θ∈，f＝，求sin的值．20. 如图为电流强度I与时间t的关系式I＝A sin(ωt＋φ)的图象．(1)试根据图象写出I＝A sin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝A sin(ωx＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么正整数ω的最小值是多少？21. 如图，某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园，已知AB＝200米，BC＝400米，点E，N分别在AD，BC上，梯形DENC为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，M在AB上，且点B，E关于MN对称．现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开．设∠BNM＝θ，两道栅栏的总长度L(θ)＝ME＋MN.(1)求L(θ)的函数表达式，并求出函数L(θ)的定义域；(2)求L(θ)的最小值及此时θ的值．1. 【答案】A【解析】∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋2＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去)．∵α是第四象限角，∴sinα＝－，∴cos＝cos＝－cos＝sinα＝－.2. 【答案】A【解析】因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－1-sin2α＝－＝－，所以tanα＝＝－.3. 【答案】C【解析】由诱导公式得sin(π－α)＋cosα＝sinα＋cosα＝，平方得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，则2sinαcosα＝－<0，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，又因为α∈(0，π)，所以sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝.4. 【答案】B【解析】因为f(x)＝，＝＝＝＝|cos x|，所以，其在(0，π)上的大致图象为B选项中的图象.5. 【答案】B【解析】将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin 的图象．6. 【答案】A【解析】选项A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故选项A正确；选项B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故选项B不正确；选项C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故选项C不正确；选项D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故选项D不正确．7. 【答案】D【解析】将函数f(x)＝cosωx＋sinωx，ω>0，x∈R化简，可得f(x)＝sin.曲线y＝f(x)与直线y＝1相交，令f(x)＝1，则ωx＋＝＋2kπ或ωx＋＝＋2kπ，k∈Z.设距离最小的相邻交点的横坐标分别为x1，x2，∴－＝ω(x2－x1)，∴x2－x1＝＝，解得ω＝，∴y＝f(x)的最小正周期T＝＝3π.8. 【答案】B【解析】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.9. 【答案】ACD【解析】由函数的图象可得A＝5，周期T＝＝11－(－1)＝12，∴ω＝.再由“五点法”作图可得×(－1)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z，∵0≤φ≤2π，∴φ＝.故选ACD.10. 【答案】ABC【解析】由函数的图象可得A＝2，由·＝－，得ω＝2.再由最值得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，得φ＝，得函数f(x)＝2sin，故选项D正确；当x＝－时，f(x)＝0，不是最值，故选项A错误；当x＝－时，f(x)＝－2，不等于零，故选项B错误；由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故选项C错误.11. 【答案】ABD【解析】y＝sin2x－sin(π－x)sin＝＋sin x cos x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，∴g(x)＝sin＋，对于选项A，当x＝时，x－＝，∴g(x)关于直线x＝对称，故选项A正确；对于选项B，当x∈[0，π]时，x－∈，∴sin∈，∴g(x)∈，故选项B正确；对于选项C，当x＝时，x－＝0，g＝，∴g(x)关于点对称，故选项C错误；对于选项D，y＝cos x＋的图象向右平移个单位长度得到y＝cos＋＝cos ＋＝sin＋＝g(x)的图象，故选项D正确．12. 【答案】ABC【解析】∵函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，∴f(x)＝sin＝sin，∴f(x)的一个周期为－2π，故选项A正确；∵y＝f(x)＝sin，∴y＝f(x)的图象的对称轴方程满足2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴当k＝－2时，y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故选项B正确；由f(x)＝sin＝0，得2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，∴x＝是f(x)的一个零点，故选项C正确；当x∈时，2x－∈，∴f(x)在上单调递增，故选项D错误．13. 【答案】CD【解析】由题意知函数f(x)＝画出f(x)在x∈[0，2π]上的图象，如图所示，由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，故A选项错误；在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故B选项错误；由图象知，函数图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称，故C选项正确；在2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤，故D选项正确.14. 【答案】－或【解析】函数y＝tan x图象的对称中心是，其中k∈Z，则令2x＋θ＝，k∈Z，其中x＝，即θ＝－，k∈Z.又－<θ<，所以当k＝1时，θ＝－.当k＝2时，θ＝，所以θ＝－或.15. 【答案】3＋【解析】由图可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，所以ω＝1.再根据f＝2得sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为－<φ<，所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋.16. 【答案】左【解析】方法一：y＝sin＝cos＝cos＝cos.因此要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．方法二：y＝cos 2x＝sin＝－sin＝－sin2，y＝sin＝－sin2.因此要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．17. 【答案】【解析】根据题意，设BE＝m，由sin∠EPB＝，得PE＝3m，cos∠PEB＝，从而得到cos∠B′EA＝cos(π－2∠PEB)＝－cos 2∠PEB＝1－2cos2∠PEB＝，由翻折特点可得B′E＝BE＝m.又AE＝2－m，在Rt△B′AE中，cos∠B′EA＝＝，解得m＝，所以PE＝3m＝.18. 【答案】解(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝232cosx+12sinx＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝2π.(2)由已知得g(x)＝f＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴sin∈，∴g(x)＝2sin∈[－1,2]，∴函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.19. 【答案】解(1)f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x＝(1＋2sin x cos x)－cos2x＝sin 2x－＋＝sin＋.所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z,得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由(1)得f＝sin＋＝sin＋＝cosθ＋＝，所以cosθ＝，因为θ∈，所以sinθ＝－√1−cos2θ1-cos2θ＝－，所以sin 2θ＝2sinθcosθ＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝－.20. 【答案】解(1)由题图知，A＝300，T＝－＝，∴ω＝＝100π.∵－＝－，∴φ＝＝，∴I＝300sin(t≥0)．(2)问题等价于T≤，即≤，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.21. 【答案】解(1)在矩形ABCD中，∵B，E关于MN对称，∠BNM＝θ，∴∠AME ＝2θ，∠MEN＝，且BM＝ME.在Rt△AEM中，AM＝ME cos 2θ＝BM cos 2θ.又∵AM＋BM＝200(米)，∴BM cos 2θ＋BM＝200，∴BM＝ME＝＝，∴Rt△EMN中，MN＝＝.∴L(θ)＝ME＋MN＝＋在Rt△BMN中，BN＝MN cosθ＝，∵0<BM<200,0<BN<400，∴函数L(θ)的定义域为.(2)L(θ)＝ME＋MN＝＋＝＝.令t＝sinθ，∵θ∈，∴t∈，令φ(t)＝－t2＋t＝－2＋，当t＝时，φ(t)取最大值，最大值为，此时θ＝，L(θ)取最小值．∴L(θ)的最小值为400 米，此时θ＝.第11页共11页。

北师大版数学九年级下册第一章第二节30°45°60°角的三角函数值课时练习一、单选题（共15题）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB＝35，则sinB的值是（）A．45B．35C．34D．43答案：A解析：解答：∵sin2B+cos2B=1，cosB＝35∴sin2B=1-（35）2=1625，∵∠B为锐角，∴sinB=45，故选A．分析: 根据sin2B+cos2B=1和cosB＝35即可求出答案．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，则tanA的值为（）A．1213B．512C．1312D．125答案：B解析：解答: ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513 BCAB=，∴设BC=5k，则AB=13k，根据勾股定理可以得到：AC=2212AB BC k-=∴tanA=551212 BC kAC k==．故选B．分析: 本题考查了三角函数的定义，正确理解三角函数可以转化成直角三角形的边的比值，是解题的关键．3.若α为锐角，且sinα=45，则tanα为（）A．925B．35C．34D．43答案：D解析：解答: 由α为锐角，且sinα=45，得cosα=22431sin1()55a-=-=，tanα=4sin453cos35aa==，故选：D．分析: 根据同角三角函数的关系，可得α余弦，根据正弦、余弦、正切的关系，可得答案4.在直角坐标系中，P是第一象限内的点，OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43，则cosα的值是（）A．45B．54C．35D．43答案:C解析：解答:过点P作PE⊥x轴于点E，∵tanα=43 PEOE=，∴设PE=4x，OE=3x，在Rt△OPE中，由勾股定理得OP=225PE OE x+=∴cosα=35 OE OP=故选：C.分析: 本题考查了勾股定理及同角的三角函数关系，解答本题的关键是表示出OP的长度5.如果α是锐角，且sinα＝35，那么cos（90°-α）的值为（）A．45B．54C．35D．43答案:C解析：解答: ∵α为锐角，sinα＝35∴cos（90°-α）=sinα=35．故选C．分析: 根据互为余角三角函数关系，解答即可．6.在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=725，则sinA的值为（）A．2425B．724C．725D．2524答案:A解析：解答: ∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∴∠A 是锐角，∵cosA=725AC AB=， ∴设AB=25x ，AC=7x ，由勾股定理得：BC=24x ，∴sinA=2425BC AB = ， 故选A分析: 先根据特殊角的三角函数值求出∠A 的值，再求出sinA 的值即可．7.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=23，则tanB=（ ） A ．53B ．53C ．255D ．52 答案:D解析：解答：【解答】解：由在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=23，得cosB=sinA=23． 由同角三角函数，得 sinB=251cos 3B -=, tanB=sin 5cos 2B B = 故选：D ．分析: 本题考查了互为余角三角函数的关系，利用了互余两角三角函数的关系，同角三角函数关系．8. 计算：cos 245°+sin 245°=（ ） A ．12 B. 1 C ．14 D ． 22答案:D解析：解答: ：∵cos45°=sin45°=22 ∴222222cos 45sin 45()()122+=+= 故选：B分析: 首先根据cos45°=sin45°=22，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可.9.已知α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，那么α与β之间满足的关系是（）A.α=βB．α+β=90°C．α-β=90°D．β-α=90°答案:B解析：解答: ∵α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，sinα=cos（90°-α）=cosβ，∴α+β=90°，故选：B．分析: 直接根据余弦的定义即可得到答案．10.已知：sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（）A．32°B．58°C．68° D．以上结论都不对答案:A解析：解答: ∵sin2α+cos2α=1，α是锐角，∴α=32°．故选A．分析: 逆用同角三角函数关系式解答即可11. 已知锐角α，且sinα=cos37°，则α等于（）A．37°B．63°C．53°D．45°答案:C解析：解答: ∵sinα=cos37°，∴α=90°-37°=53°．故选C．分析: 根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值即可求解．12.在△ABC中，∠C=90°，cosA=12，则tanB的值为（）A．1 B．3C．33D．12答案:C解析：解答: 由△ABC中，∠C=90°，cosA=12，得sinB=12．由B是锐角，得∠B=30°，tanB=tan30°=33，故选：C．分析: 根据互为余角两角的关系，可得sinB，根据特殊角三角函数值，可得答案．13. cos45°的值等于（）A．12B．22C．32D．3答案:B解析：解答：cos45°=2 2故选B．分析: 将特殊角的三角函数值代入求解．14. sin60°=（）A．12B．22C．32D．3答案: C解析：解答：sin60°=3 2故选C分析: 原式利用特殊角的三角函数值解得即可得到结果15. tan45°的值为（）A．12B．1 C．22D．2答案:B解析：解答：当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B．分析: 根据45°角这个特殊角的三角函数值，可得tan45°=1，据此解答即可二、填空题（共5题）16.2cos30°=____________答案: 3解析：解答: 原式=3故答案为：3．分析:此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是理解一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆17. 如果锐角α满足2cosα=2，那么α=_______________.答案: 45°解析：解答: ∵2cosα=2，∴cosα=22，则α=45°．故答案为：45°分析：先求出cosα的值，然后根据特殊角的三角函数值求出α的度数18.tan60°-cos30°=_________答案:3 2解析：解答:原式=33 322 -=故答案为：3 2分析: 直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可19.计算：2sin60°+tan45°=________答案：31+解析：解答：原式=2×3131 2+=+，故答案为：31+分析: 根据特殊三角函数值，可得答案20.在Rt△ABC中，∠C=90°，2a=3c则∠A=_________ 答案：60°解析：解答：由题意，得：32 ac=∴sinA=32ac=∴∠A=60°．故答案为：60°分析: 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值三、解答题（共5题）21.已知α、β均为锐角，且满足|sin α-12|+ (tan β−1)2 =0，求α+β的值 答案：75°解析：解答: ∵|sin α-12|+ (tan β−1)2 =0， ∴sin α=12，tan β=1， ∴α=30°，β=45°，则α+β=30°+45°=75°．故答案为：75°．分析: 根据非负数的性质求出sin α、tan β的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数． 22.计算：|−3|-（-4）-1+(32π- )0-2cos30°答案:54解析：解答：原式=135312424++-⨯= 分析：本题需注意的知识点是：负数的绝对值是正数．任何不等于0的数的0次幂是1． 23.计算：(3−2)0−27+3tan60°答案：1解析：解答：原式=1-3333+=1分析: 根据0指数幂，数的开方和三角函数的特殊值计算24.在△ABC 中，∠C=90°，tanA=3，求cosB ．答案：32解析： 解答：∵tanA=3∴∠A=60°．∵∠A+∠B=90°，∴∠B=90°-60°=30°．∴cosB=3 225.计算：sin266°-tan54°tan36°+sin224°答案：0解析：解答：sin266°-tan54°tan36°+sin224°=（sin266°+sin224°）-1=1-1=0．分析: 根据互余两角的三角函数的关系作答。

课时跟踪检测两角和与差的正弦余弦正切公式在学习三角函数时，我们已经了解了正弦、余弦和正切函数。

在本次课时跟踪检测中，我们将学习两个角度的和与差的正弦、余弦和正切公式。

通过这些公式，我们可以计算两个角度相加或相减的正弦、余弦和正切值。

首先，我们来看两角和的公式。

1.两角和的正弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正弦之和可以表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB2.两角和的余弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的余弦之和可以表示为：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB3.两角和的正切公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正切之和可以表示为：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)接下来，我们来看两角差的公式。

1.两角差的正弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正弦之差可以表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB2.两角差的余弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的余弦之差可以表示为：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB3.两角差的正切公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正切之差可以表示为：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式可以帮助我们在计算角度和或差的正弦、余弦和正切值时，避免重复计算。

通过将已知的角度的正弦、余弦和正切值带入公式，我们可以求解未知角度的正弦、余弦和正切值。

例如，如果我们知道sinA和cosA的值，我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来计算任意角B的正弦和余弦值。

同样，如果我们知道tanA和tanB的值，我们可以使用两角和的正切公式计算角度(A + B)的正切值。

理解和掌握这些公式对于解决与三角函数相关的问题非常重要。

专题08《三角函数的实际应用》题型一、利用仰角和俯视解决问题【例1】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．【变式1-1】小明在楼高AB＝15米的楼顶A处测得一电视塔底部C的俯角为31°，测得塔顶D的仰角为52°，求楼顶A到塔顶D的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.80，sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）【变式1-2】如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【变式1-3】如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB 和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】【例2】如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE ＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）【变式2-1】为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A 的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得FD＝2.4米．求旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【变式2-2】如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）【变式2-3】某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）题型二、方位角的应用【例1】钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A 、B ，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C ，求此时船C 与船B 的距离是多少．（结果保留根号）【变式1-1】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32︒方向．已知120CD m =，80BD m =，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）．（参考数据：17sin 3232︒≈，17cos3220︒≈，5tan 328︒≈，27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【变式1-2】如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68︒方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30︒且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin 680.90︒≈，cos680.36︒≈，tan 68 2.50︒≈，1.7)≈【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A 地出发，组织学生利用导航到B 、C 两个地区进行研学考察活动，出发时，发现C 地恰好在A 地正北方向，且距离A 地15.3千米．但是导航显示路线应沿北偏东45°方同走到B 地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离（精确到1千米）．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.7）【变式2-1】某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【变式2-2】码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．（1）求点P到河岸线l的距离；（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要多长时间才能到达码头B？（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）【变式2-3】海岛A 的周围8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东67︒，航行12n mlie 到达C 点，又测得小岛A 在北偏东45︒方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒，12tan 67)5︒≈题型三、综合类【例1】如图，马路的两边CF ，DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A ，B 两点分别表示车站和超市．CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，∠A ＝67°，∠B ＝37°．（1）求CD 与AB 之间的距离；（2）某人从车站A 出发，沿折线A →D →C →B 去超市B ．求他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【变式1-1】如图，某学校教学楼AB的后面有一建筑物CD，在距离CD正后方28米的观测点P处，以22︒的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A，而在建筑物CD 上距离地面2米高的E处，测的教学楼的顶端A的仰角为45︒，求教学楼AB的高度（结果保留整数，2 tan22)5︒≈．【变式1-2】如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【变式1-3】在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）【变式1-4】如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【变式1-5】2018年2月17日上午10点34分，我国自主研制的第二架C919大型客机在上海浦东国际机场进行首次飞行，这意味着C919大型客机逐步拉开全面试验试飞的新征程．这大大激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【变式1-6】如图，在一条河流的两岸分别有A，B，C，D四棵景观树，已知AB∥CD，某数学活动小组测得∠DAB＝45°，∠CBE＝73°，AB＝10m，CD＝30m，请计算这条河的宽度．（参考数据：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈）【课堂练习】1、如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）3、若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）4、共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）。

三角函数的应用题及解答三角函数是数学中一个非常重要的分支，其应用广泛且深入。

本文将列举几个三角函数的应用题，并给出详细的解答过程。

1. 问题描述：某建筑物高度为100米，离该建筑物水平面的观察角为30°，求观察点到建筑物底部的距离。

解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示观察点到建筑物底部的距离与建筑物高度之间的关系。

设观察点到建筑物底部的距离为x，则有tan(30°) = 100/x。

解以上方程，可得观察点到建筑物底部的距离x = 100/tan(30°) = 100/√3。

因此，观察点到建筑物底部的距离约为57.74米。

2. 问题描述：一辆汽车以40km/h的速度直线行驶，车头的倾斜角度为15°，求车头离直线道路的垂直距离。

解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示车头离直线道路的垂直距离与车速和倾斜角度之间的关系。

设车头离直线道路的垂直距离为y，则有tan(15°) = y/40。

解以上方程，可得车头离直线道路的垂直距离y = 40*tan(15°)。

因此，车头离直线道路的垂直距离约为10.93米。

3. 问题描述：一个航天器发射到外太空，离地球表面的垂直高度为500公里，航天器的视线与地球表面的夹角为60°，求航天器的真实高度。

解答过程：根据三角函数的定义，正弦函数可以表示真实高度与垂直高度之间的关系。

设航天器的真实高度为h，则有sin(60°) = h/500。

解以上方程，可得航天器的真实高度h = 500*sin(60°)。

因此，航天器的真实高度约为433.01公里。

通过以上例题，我们可以看到三角函数在实际问题中的应用。

无论是建筑物的观察角、汽车的倾斜角度还是航天器的视线角度，三角函数都能提供准确的数学描述和解答。

总结起来，三角函数是数学中一项重要而实用的工具，通过对角度和长度之间的关系的研究和运用，我们可以解决各种实际问题。

第五章 三角函数第7节 三角函数的应用一、基础巩固1．（2020·浙江高一课时练习）已知某人的血压满足函数解析式()24sin160115f t t π=+，其中()f t 为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）A ．60B ．70C ．80D ．90 【答案】C 【解析】解：由题意得函数的周期为2116080T ππ==， 所以频率180f T==，所以此人每分钟心跳的次数为80． 2．（2020·湖南月考）某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤ ⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）A ．1万B ．9千C ．8千D ．7千 【答案】B【解析】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin 576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 3．（2020·湖北襄阳·高一期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．已知大正方形边长为10，小正方形边长为2.设较小直角边a 所对的角为α，则tan α的值为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．35【答案】B【解析】由题意可得2b a =+，所以()22222100a b a a +=++=，解得6a =或8-（舍去），故8b =，所以63tan 84α==，故选：B 4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的弧长()s cm 与时间()t s 的函数关系式为π6sin 26s t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）A ．2 s πB ． s πC ．0.5 sD ．1s【答案】D 【解析】单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为6sin 26s t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期212T ππ==， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s ，故选D. 5．（2020·全国高一课时练习）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈()()sin 0,0,2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定()f x 的解析式为( )A ．()()*2sin 71124,4f x x x x ππ⎛⎫-+≤≤∈ ⎪⎝⎭N ＝B ．()()*9sin 11244,f x x x x ππ⎛⎫-≤≤∈ ⎪⎝⎭N ＝ C ．()()22sin7112,4f x x x x π*+≤≤∈N ＝ D ．()()*2sin 71124,4f x x x x ππ⎛⎫-+≤≤∈⎪⎝⎭N ＝ 【答案】A 【解析】因为3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，所以半周期42T =， 故8T =，所以4πω=，又95A c A c +=⎧⎨-+=⎩，所以27A c =⎧⎨=⎩， 所以()2sin 74f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当3x =时，3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2πϕ<，4πϕ∴=-. ()()2sin 7112,44f x x x x ππ*⎛⎫∴=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭N ，故选A. 6．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（文））水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(2,2)M -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点(),N x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+，π0,0,||2t ωϕ⎛⎫≥>< ⎪⎝⎭，则函数()f t 的解析式为（ ）A ．()2sin 304f t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 304f t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()2sin 604f t t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()2sin 306f t t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】A 【解析】易知()()22222R =+-=，因旋转一周用时60秒，即260T πω==， 30πω∴=又由题意知(0)2f =-∴2sin()2ϕ-=-，又π||2ϕ< ∴4πϕ=-∴ ()2sin()304f t t ππ=- 7．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）如图，在热气球C 正前方有一高为m 的建筑物AB ，在建筑物底部A 测得C 的仰角为60°，同时在C 处测得建筑物顶部B 的俯角为30°，则此时热气球的高度CD 为（ ）A 2mB 3C ．332mD ．32m 【答案】D 【解析】由题意，∠BCA=∠BAC=30°，∠AB=BC=m ，3m ，∠ADC 中，CD=ACsin60°=32m 8．（2020·浙江高一课时练习）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y ).若初始位置为P 031,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y与时间t 的函数关系式为（ ）A ．y ＝sin 306t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．y ＝sin 606t ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．y ＝sin 306t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D ．y ＝sin 303t ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】由题意可得，初始位置为P 03122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，不妨设初相为ϕ， 故可得1sin 2ϕ=，3cos 2ϕ=，则6πϕ=.排除B 、D. 又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2||πω＝60， 所以|ω|＝30π，即ω＝－30π.故满足题意的函数解析式为：ππsin t 306y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 9．（2020·浙江高一课时练习）一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m(即OM 长)，巨轮的半径长为30m ，AM ＝BP ＝2m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h (t )m ，则h (t )等于（ ）A ．30sin 122t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋30B ．30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋30 C ．30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋32 D ．30sin 62t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】过点O 作地面的平行线作为x 轴，过点O 作x 轴的垂线作为y 轴，过点B 作x 轴的垂线BN 交x 轴于N 点，如图，点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是2126ππ=，所以t 分钟转过的弧度数为6πt .设θ＝6πt ，当θ>2π时，∠BON ＝θ－2π， h ＝OA ＋BN ＝30＋30sin 2πθ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当0<θ<2π时，上述关系式也适合. 故h ＝30＋30sin 2πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋30. 10．（2018·韶关市第一中学高一期末）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】如图：过M 作MD OP ⊥于D ，则由题意可得：sin PM x =，cos OM x =，在Rt OMP △中，12OMP S MD OP OM PM =⋅=⋅， 所以cos sin 1cos sin sin 212x x OM PM MD x x x OP ====， ∴1()sin 2(0)2f x x x π=≤≤. 11．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校高一期中）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择,C D 两观测点，且在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45,30并测得120BCD ∠=，,C D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是（ ）A ．300mB ．600mC ．3003mD ．6003m【答案】B 【解析】解:设AB x =,由图利用直角三角形的性质可得:,3BC AB x BD x =＝＝.在BCD ∆中,由余弦定理可得:22236002600120x x xcos +⨯＝﹣化为:23001800000x x ﹣﹣＝,解得600x ＝. 12．（2020·四川高三其他（文））为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）A ．4002mB ． 24002mC ．6002mD ．8002m【答案】D 【解析】如图连接OD ，设COD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 202sin CD OD θθ==，cos 202OC OD θθ==所以22202202800sin 2ABCD S OC CD θθθ=⋅=⨯⨯=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,θπ∈，所以(]sin 20,1θ∈，所以(]0,800ABCD S ∈，当4πθ∈时()max 800ABCD S =13．（2020·安徽肥东·高三月考（理））如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A ．505B ．507C ．5011D ．5019【答案】B 【解析】设该扇形的半径为r 米，连接CO ．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在∠CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅=，即，2221501002150100cos60r +-⋅=，解得507r =（米）．14．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考（文））如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为50米，最高点距离地面120米，开启后按逆时针方向旋转，旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y 轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为0t =，则此人距离地面的高度()f t 与摩天轮运行时间t （单位：分钟）的函数关系式为（ ）A ．()50sin 20(0)9f t t t π=+ B ．()50sin 70(0)92f t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．()50sin 20(0)92f t t t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ D ．()50sin 70(0)9f t t t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】由已知()sin()(0,0)f t A t B A ωϕω=++>>，205012070A B A A B B ⎧-+==⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩， 18T =，2189ππω==， 当0t =时，sin 1ϕ=-，2πϕ=-，()50sin 70(0)92f t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 15．（2020·九龙坡·重庆市育才中学高三开学考试（理））第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么πcos(θ)2=πsin(θ-)2+（ ）A ．34-B ．43-C ．43D ．34【答案】D【解析】根据几何关系可知，图中直角三角形的两条直角边长相差为1，故可设直角三角形的两直角边长为,1a a +，由勾股定理可得：()22125a a ++=，解得3a=.故可得3 tan4θ=，πcos()sin32=tanπcos4sin()2θθθθθ+-==--16．（2020·河南焦作·高一期中）如图为一直径为6m的水轮,水轮圆心O距水面2m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P到水面的距离y（m）与时间x（s）满足关系sin()2,0,0,0y A x A yωϕω=++>><是表示P表示在水面下,则有（）A．,315Aπω==B．2,315Aπω==C．,615Aπω==D．2,615Aπω==【答案】A【解析】由题意可知A为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为()60302T s==,所以215Tππω==.17．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数sin()(0)y A x Bωϕϕπ=++<<，则下列说法正确的是（）A．该函数的周期是16B ．该函数图象的一条对称轴是直线14x =C ．该函数的解析式是310sin 20(614)84y x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D ．这一天的函数关系式也适用于第二天E.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃【答案】ABE【解析】由题意以及函数的图象可知，30A B +=，10A B -+=，∴10A =，20B =.∵1462T =-，∴16T =，A 正确；∵2T πω=，∴8πω=， ∴10sin 208y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，∵图象经过点(14,30)， ∴3010sin 14208πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，∴sin 1418πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴ϕ可以取34π，∴310sin 20(024)84y x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，B 正确，C 错；这一天的函效关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D 错；当12x =时，3210sin 122010202784y ππ⎛⎫=⨯++=⨯+≈ ⎪⎝⎭，故E 正确.综上，ABE 正确. 18．（多选题）（2020·福建高三月考（理））如图，一个水轮的半径为6m ，水轮轴心O 距离水面的高度为3m ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点P )开始计时，记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数，则下列结论正确的是( )A ．()39f =B ．()()71f =C ．若()6f t ≥，则[]212,512 N ()t k k k ∈++∈D ．不论t 为何值，()()()4?8f t f t f t ++++是定值【答案】BD【解析】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得OP 在()t s 内所转过的角度为t ，则66POx t ππ∠=-. 则点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数()6sin 366f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；()36sin 333326f ππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，选项A 错误；()16sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()776sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()()17f f =，选项B 正确；由()6f t ≥得，1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭解得[]()212,612t k k k N ∈++∈，选项C 错误；由()()()37486sin()36sin 36sin 3666666f t f t f t t t t ππππππ⎛⎫⎛⎫++++=-+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开整理得()()()489f t f t f t ++++=为定值，选项D 正确；19．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A ．该质点的运动周期为0.7sB ．该质点的振幅为5C ．该质点在0.1s 和0.5s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8sE.该质点在0.3s 和0.7s 时运动速度为零【答案】BCD【解析】由题图可知，振动周期为2(0.70.3)0.8s ⨯-=，故A 错，D 正确；该质点的振幅为5，B 正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s 和0.7s 时运动速度最大，在0.1s 和0.5s 时运动速度为零，故C 正确，E 错.综上，BCD 正确.20．（多选题）（2020·江苏苏州·高三开学考试）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点()3,33A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0>ω，π2ϕ<），则下列叙述正确的是（ ）.A ．π3ϕ=- B ．当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增 C ．当(]0,60t ∈时，()f t 的最大值为33D ．当100t =时，6PA =.【答案】AD【解析】解：由题意，223(33)6R +-=，120T =，所以260T ππω==；又点(3,33)A -代入()f x 可得336sin ϕ-=，解得3sin 2ϕ=-； 又||2ϕπ<，所以3πϕ=-．A 正确； 所以()6sin()603f t t ππ=-，当[0t ∈，60]时，[6036t πππ-∈-，2]3π，所以函数()f x 先增后减，B 错误； [0t ∈，60]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6，C 错误；当100t =时，46033t πππ-=，P 的纵坐标为33y =-，横坐标为3x =-，所以||6PA =，D 正确． 二、拓展提升1．如图，,P Q 是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 (1,0)A 出发，沿逆时针方向作匀角速度运动,其角速度分别为 ,36ππ（单位：弧度/秒），M 为线段 PQ 的中点，记经过x 秒后(其中06x ≤≤)，()f x OM =(I)求()y f x =的函数解析式；(II)将()f x 图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到 ()y g x =的图象，求函数 ()g g x =的单调递减区间．【解析】解：（Ⅰ）依题意可知∠POA 3π=x ，∠QOA 6π=x ．∵|OP |＝|OQ |＝1，∴|OM |＝|OQ |•cos ∠MOQ ＝cos ∠MOQ ，∴∠MOQ36212x x πππ-==x ，∴f （x ）＝|OM |＝cos 12πx （0≤x ≤6）， 即 f （x ）＝cos 12πx ，（0≤x ≤6）． （Ⅱ）依题意可知g （x ）＝cos 12π（x ﹣2）＝cos （12πx 6π-）（2≤x ≤8），由2k π12π≤x 6π-≤2k π+π，得 24k +2≤x ≤24k +14，故函数y ＝g （x ）在[2，8]上的单调递减区间为[2，8]．2．（2020·全国课时练习）一条河的两岸平行，河的宽度500d m =，一般船从河岸边的A 处出发到河对岸.已知船在静水中的速度1v 的大小为110/v km h =，水流速度2v 的大小为22/v km h =.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.【解析】解：设1v 与2v 的夹角为θ，船行驶的时间为t ,5000.5d m km ==.（1）当θ为钝角时，110.50.05sin()10sin sin d t h v πθθθ===-； （2）当θ为锐角时，210.50.05sin 10sin sin dt h v θθθ===； （3）当θ为直角时，310.50.0510d t h v ===； 当θ为钝角时，130sin 1,0.05t h t θ<<>=，当θ为锐角时，230sin 1,0.05t h t θ<<>=.所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.3．（如右图）半径为1，圆心角为0120的扇形，点P 是扇形AB 弧上的动点，设POA x ∠=． （1）用x 表示平行四边形ODPC 的面积()S f x =；（2）求平行四边形ODPC 面积的最大值．【解析】由题意得：在OPC 中，设OC a =，由正弦定理得sin sin CO OP CPO OCP=∠∠ 1sin(120)sin 6032a x ︒︒==-)3a x ︒=- 所以)sin 3ODPC S x x ︒-=，()0,120x ︒︒∈ 31sin sin 23x x x ⎤=+⎥⎦ 2cos sin 3x x x =+ 31cos 223x x ⎤-=+⎥⎦ 311sin 2cos 223x x ⎡⎤=-⋅+⎥⎦ ()1sin 23023x ︒⎤=-+⎥⎦ 当23090x ︒︒-=时达最大值29030120x ︒︒︒=+=即，当60(0,120)x ︒︒︒=∈平行四边形面积达到最大值32． 4．（2020·上海市川沙中学高一期末）某轮船以V 海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60度．轮船从A 处向北航行30分钟后到达B 处，测得油井P 在南偏东15度，且106BP =海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C 点．（1）求轮船的速度V ；（2）求P C 、两点的距离（精确到l 海里）．【解析】（1）由正弦定理得11062sin sin sin(6015)V AB PB APB PAB =∴=∠∠-, 40V ∴=海里/小时；（2）由余弦定理得2222cos PC PB BC PB BC PBC =+-⋅⋅⋅∠22(106)40210640cos(1801545)22004006=+-⋅⋅⋅--=+56PC ∴≈海里5．（2020·辽宁高一期中）下图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径 4.8m OB =，巨轮上最低点A 与地面之间的距离为0.8m ，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动()02πθθ≤<角到OB ，设点B 与地面之间的距离为h ．（1）求()h f θ=的解析式；（2）若当4π3θ=时对应巨轮边沿上一点M ，求点M 到地面的距离． 【解析】（1）如图，过点B 作BD 垂直于地面于点D ，过点O 作OC BD ⊥于点C ，由于BOA θ∠=，则π2BOC θ∠=-， 根据三角函数的定义， 可得πsin 4.8sin 4.8cos 2BC OB BOC θθ⎛⎫=∠=-=- ⎪⎝⎭， 而 4.80.8 5.6CD =+=，于是()()5.6 4.8cos 02πh f CD BC θθθ==+=-≤<．（2）由（1）知()()5.6 4.8cos 02πh fθθθ==-≤<， 易得4π4π5.6 4.8cos 833f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 即点M 到地面的距离是8m ．。

高一数学必修一《三角函数的应用》同步练习一、选择题：1、已知某人的血压满足函数关系式f （t ）=24sin160πt+110，其中f （t ）为血压（mmHg ），t 为时间（min ），则此人每分钟心跳次数为（ ） A. 80 B. 100 C. 90 D. 752、如图所示，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度ππ40sin 5062h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（单位：m ），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续( )min ．A. 4B. 10C. 9D. 63、已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( ) A ．()()222πf x xx=-B ．()cos πf x x x =+C ．()sin f x x x =D ．()2cos 1f x x x =+-4、某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为( )A ．75米B ．85米C ．100米D ．110米5、如图所示，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d 米(在水面下则d 为负数)，则d(米)与时间t(秒)之间满足关系式：d ＝Asin(ωt＋φ)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，－π2<φ<π2.当P 点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k ＝5.则其中正确是（ ）A. ①②④B. ①③④C. ①②③D.①②③④6、已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y （米）可看作是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f （t ），经长期观测，y=f （t ）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b 的图象，下表是某日各时的浪高数据：t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米232132232322则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( ) A ．y=1πcos 26t+1B ．y=1πcos 26t+32C ．y=2cos π6t+32D ．y=12cos6πt+32二、填空题：7、设偶函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωφωφ=+>><<的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，1KL =，则16f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 .8、如图所示，一个半径为10 m 的摩天轮，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针方向转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处（∠POA=30°）时开始计时． 在摩天轮转动一圈内，约有 时间此人相对于地面的高度不小于17m ．9、如图，一个大风车的半径为8m ，每12min 旋转一周，最低点离地面2m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离()h m 与()min t 时间之间的函数关系式是 .10、如图，某公园摩天轮的半径为40 m ，点O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处．已知在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度f （t ）=Asin （ωt+φ）+h ，则2022 min 时点P 距离地面的高度为 m.11、已知点P 是单位圆上的一个质点，它从初始位置P 0（12，）开始，按逆时针方向以角速度1rad/s 做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于运动时间t （单位：s ）的函数关系式为 .12、某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f （x ）=Asin （ωx+ϕ）+B π(00)2A ωϕ>><，，的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f （x ）的解析式为 . 三、解答题：13、如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为2°(若β很小时，可取sin β≈β)，试估算该气球的高BC 的值约为多大。

三角函数模型的简单应用[学习目标] 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.实际问题抽象为三角函数模型．知识点一利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．思考1三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝2π|ω|；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝2π|ω|；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝π|ω|.思考2如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx＋φ)＋b.根据图象可知，一天中的温差是；这段曲线的函数解析式是y＝答案 20℃ 10sin(π8x ＋3π4)＋20，x ∈[6,14]知识点二 三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．题型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝⎛⎭⎫1180＋1900＝175. ∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫150πt ＋π6. (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是：S ＝6sin(2πt ＋π6)．(1)画出它的图象； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)周期T ＝2π2π＝1(s)．列表：(2)①小球开始摆动(t ＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)． 题型二 三角函数模型在生活中的应用例2 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13， ∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，得水深y ≥4.5＋7， 即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．跟踪训练2 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h . (1)求h 与θ之间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2.故B 点坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))．∴h ＝5.6＋4.8sin(θ－π2)，θ∈[0，＋∞)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin(π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin(π30t －π2)＝1.得π30t －π2＝π2，∴t ＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．利用三角函数线证明三角不等式例3 心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值，设某人的血压满足方程式P (t )＝115＋25sin(160πt )，其中P (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数P (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数P (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较分析 (1)利用周期公式可以求出函数P (t )的周期；(2)每分钟心跳的次数即频率；(3)用“五点法”作出函数的简图；(4)此人的收缩压、舒张分别是函数P (t )的最大值和最小值，故可求出此人的血压在血压计上的计数．解 (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2πω，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数P (t )的周期为180min.(2)函数P (t )的频率f ＝1T ＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg 相比较，此人血压偏高．1．函数y ＝|sin 12x ＋13|的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4π D.π22．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝ cm.3．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(100πt ＋π6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin(100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A3.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．5 3 安D ．10安5．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )二、填空题6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是 ．7.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为 ．8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝ ，其中t ∈[0,60]．9．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝ . 三、解答题10.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．11.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？12．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y＝A cos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？当堂检测答案1．答案 A 2．答案g 4π2解析 T ＝2πg l＝1，∴ g l ＝2π，∴l ＝g 4π2. 3．答案 20.5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)， 当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎫－12＝20.5. 4．解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sinπ15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.课时精练答案一、选择题2．答案 B解析 当t ＝1200时，I ＝5sin(π2＋π3)＝5cos π3＝2.5.3.答案 C解析 d ＝f (l )＝2sin l2.4．答案 A解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6，∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．5．答案 C解析 ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4，按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin(t －π4)，∴d ＝2|sin(t －π4)|.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.6．答案 26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ， ∴m ＝26,27,28.7.答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34.8．答案 10sinπt60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10， 可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.9．答案143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin(π4·ω＋π3)＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )．∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143.三、解答题10.解 (1)最大用电量为50万kW·h ， 最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8， ∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式， 又∵0<φ<π2，∴解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．11.解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角． OP 每秒钟内所转过的角为 5×2π60＝π6. 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6， 得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 12．解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。

13. 三角函数的综合运用知识考点:本课时主要是解直角三角形的应用,涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。

要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。

熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念,常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。

精典例题:【例１】如图，塔ＡＢ和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和6０0,试求塔高与楼高（精确到0.０1米）。

(参考数据：2＝1。

41４2１…，3=１。

73205…）分析：此题可先通过解Ｒt △ＡBD 求出塔高A Ｂ，再利用ＣＥ=BD ＝80米,解Ｒt △AEC 求出AE ，最后求出ＣD=BE ＝A Ｂ－AE 。

解：在R ｔ△ABD 中,BD ＝8０米，∠BAD ＝6０0∴A Ｂ＝56.13838060tan 0≈=⋅BD （米） 在Ｒt △A ＥＣ中，ＥC=BD ＝8０米，∠ACE ＝450∴AE ＝ＣE=80米∴CD=BE=AB —A Ｅ=56.5880380≈-(米)答：塔ＡB 的高约为138. 56米，楼C Ｄ的高约为５8. 56米。

【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=４５0米，且A 、B 、O 三点在一条直线上,测得大桥两端的俯角分别为030=α，045=β，求大桥A Ｂ的长（精确到1米，选用数据:2=1.41，3＝1。

73)分析:要求ＡB ，只须求出ＯA 即可。

可通过解Rt △ＰＯA 达到目的。

解:在Ｒt △PAO 中，∠PA Ｏ=030=α∴ＯA ＝345030cot 450cot 0==∠⋅PAO PO （米） 在Rt △ＰBO 中,∠P ＢO=045=β ∴O Ｂ＝ＯP ＝450（米）∴ＡＢ＝OA-OB=3294503450≈-(米)答：这座大桥的长度约为329米. 评注：例１和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念,合理选择关系式,按要求正确地取近似值。

三角函数的实际应用例1、如图，在小山的东侧 A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35米的速度沿着与水平方向成 75。

角的方向飞行，40分钟时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30。

，又在A庄测得山顶P的仰角为45。

，求A庄与B庄的距离及山高.变式训练：1、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角a是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1 : ，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据: 冒鼻 1.41, 〜1.73, 〜2.45) A . 30.6 B . 32.1\ED第1题图第2题图2、如图，要在宽为22米的济宁大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长为2米，且与灯柱BC成120 °角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳•此时，路灯的灯柱BC高度该设计为（）A、UM）米B、卜米c、「诵米D、米3、南海是我国的南大门，如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°0.2588 , sin75 °0.9659 ,tan75 ° 3.732，& 1.7 32，电1.414 ）4、小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭 A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道I上某一观测点 M处，测得亭A在点M的北偏东30°,亭B在点M的北偏东60°，当小明由点M沿小道I向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走 30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A、B之间的距离.5、芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索 AB与水平桥面的夹角是 30°, 拉索CD与水平桥面的夹角是 60°,两拉索顶端的距离 BC为2米，两拉索底端距离 AD为20米，请求出立柱 BH的长.（结果精确到 0.1米，疋1.732 ）甲乙。

第一章 1.2 1．2.2 同角三角函数的基本关系课时跟踪检测一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝1213，则cos α等于( ) A.513 B ．－513C ．－125D.125答案：B2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125C.512D ．－512解析：∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512.答案：D3．已知tan θ＝2，则3sin θ＋4cos θsin θ＋cos θ＝( )A ．－13B.310 C ．－3D.103 解析：3sin θ＋4cos θsin θ＋cos θ＝3tan θ＋4tan θ＋1＝103.答案：D4．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.23B ．－23 C.13 D ．－13解析：由sin θ＋cos θ＝43，得1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－23. 答案：B5．若α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：∵sin α＋cos α＝23，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49，∴1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59＜0.又0＜α＜π，∴sin α＞0，∴cos α＜0， ∴α是钝角． 答案：A6．(2017·福建省福州一中测试)若θ是第二象限角，且cos θ2－sin θ2＝1－2sin θ2cos θ2，那么θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：∵π2＋2k π＜θ＜π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π＜θ2＜π2＋k π，k ∈Z . ∵cos θ2－sin θ2＝sin 2θ2＋cos 2θ2－2sin θ2cos θ2＝⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22，∴cos θ2≥sin θ2，∴5π4＋2k π＜θ2＜3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴θ2是第三象限角． 答案：C 二、填空题7．已知tan α＝3，π<α<32π，则cos α－sin α＝________.解析：∵π<α<32π，∴sin α<0，cos α<0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝3，得⎩⎨⎧sin α＝－32，cos α＝－12，∴cos α－sin α＝3－12. 答案：3－128．已知sin αcos α＝60169，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin α＋cos α＝______. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α＞0，cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝ 1＋2×60169＝1713.答案：17139．(2017·南京外国语学校高一期中)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α＝________.解析：由sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2，解得tan α＝3，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310. 答案：310三、解答题10．已知sin α＝－45，求cos α，tan α的值．解：∵sin α＝－45，∴α是第三或第四象限角．①若α是第三象限角，则cos α＝－1－sin 2α＝－35，tan α＝sin αcos α＝43；②若α是第四象限角，则cos α＝1－sin 2α＝35，tan α＝sin αcos α＝－43.11．已知tan α是关于x 的方程2x 2－x －1＝0的一个实根，且α是第三象限角． (1)求2sin α－cos αsin α＋cos α的值；(2)求3sin 2α－sin αcos α＋2cos 2α的值．解：由2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12或x ＝1，又tan α为方程2x 2－x －1＝0的一个实根，且α为第三象限角，∴tan α＝1.(1)2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝12. (2)3sin 2α－sin αcos α＋2cos 2α＝2＋sin 2α－sin αcos α＝2＋tan 2α－tan αtan 2α＋1＝2.12．(1)已知sin α－cos α＝1713，α∈(0，π)，求sin αcos α的值；(2)已知(sin α＋1)(1＋cos α)＝0，求sin α＋cos α，sin α·cos α的值． 解：(1)由sin α－cos α＝1713，得1－2sin αcos α＝289169，∴sin αcos α＝－60169.(2)由(sin α＋1)(1＋cos α)＝0，得sin α＋cos α＋sin αcos α＋ 1＝0.设sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，∴原式可化为t ＋t 2－12＋1＝0，即t 2＋2t ＋1＝0，∴t ＝－1，即sin α＋cos α＝－1，sin αcos α＝1－12＝0.考题过关13．(2017·浙江省金华市曙光学校高一测试)化简下列各式： (1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin α·tan α＜0.解：(1)原式＝(sin10°－cos10°)2sin10°－cos 210°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1.(2)∵sin α·tan α＝sin α·sin αcos α＝sin 2αcos α＜0，∴cos α＜0， ∴原式＝(1－sin α)21－sin 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α＝(1－sin α)2cos 2α＋(1＋sin α)2cos 2α＝1－sin α－cos α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.。

三角函数中的实际应用问题【典例1】【2021·江苏连云港一中高三模拟测试】如图，直线l 为经过市中心O 的一条道路，B 、C 是位于道路l 上的两个市场，在市中心O 正西方向的道路较远处分布着一些村庄，为方便村民生活，市政府决定从村庄附近的点A 处修建两条道路AB 、AC ，l 与OA 的夹角为3π（OA ＞3km ，∠OAC 为锐角）．已知以23km /h的速度从O 点到达B 、C 的时间分别为t ，(13)t +.（1）当t ＝1时：①设计AB 的长为33km ，求此时OA 的长；②修建道路AB ，AC 的费用均为a 元/km ，现需要使工程耗费最少，直接写出所需总费用的最小值． （2）若点A 与市中心O 相距643km +，铺设时测量出道路AC ，AB 的夹角为6π，求时间t 的值．【典例2】【2021·浙江丽水中学高三期末】由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB ∠=，且在该区域内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界PA 、PB 的距离分别为4m RS =，6m RT =，(m 为长度单位).陈某准备过点R 修建一条长椅MN （点M ，N 分别落在PA ，PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（1）求点P 到点R 的距离；（2）为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值.【典例3】【2021·长春市第八中学高三期末】 长春某日气温()C y ︒是时间t (024t ≤≤，单位：小时)的函数，下面是某天不同时间的气温预报数据： t (时)3 6 9 12 15 18 21 24 ()C y ︒ 15.714.015.720.024.226.024.220.015.7根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成余弦型函数cos()y A t b ωϕ=++的图象.（1）根据以上数据，试求cos()y A t b ωϕ=++(0A >，0>ω，0ϕπ<<)的表达式； （2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23C ︒.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？(忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下哦，奥力给!)【典例4】【河北省邢台市2019-2020学年高三上学期第二次月考】某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆O 的直径为300米，A 为直径延长线上的点，300OA =米，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等腰直角ABC ，其中BC 为斜边．()1若23AOB π∠=；，求四边形OACB 的面积； ()2现决定对四边形OACB 区域地块进行开发，将ABC 区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将OAB 区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当AOB ∠为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？【典例5】【广东省汕头市金山中学2018-2019学年高三上学期期末】汕头市有一块如图所示的海岸，OA ，OB 为岸边，岸边形成120︒角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l ：在岸边OA ，OB 上分别取点E ，F ，用长度为1km 的围网依托岸边围成三角形EOF （EF 为围网）.方案2：在AOB ∠的平分线上取一点P ，再从岸边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使得MPO NPO θ∠=∠=，用长度为1km 的围网依托岸边围成四边形PMON （PM ，PN 为围网）.记三角形EOF 的面积为1S ，四边形PMON 的面积为2S . 请分别计算1S ，2S 的最大值，并比较哪个方案好.【典例6】【2021·江苏南通市一模数学试题】“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m），游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑之间的距离AB为12（单位：10m），游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为θ.θ=︒，求建筑BC的高度；（1）当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角30（2）当游客在乘坐舱P看建筑BC的视角θ为45︒时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC的最低高度.（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m）【思路点拨】（1）先求解三角形BCD的内角，利用正弦定理可求建筑BC的高度；∆的外接圆的方程，结合两圆的位置关系可求. （2）先建立坐标系，求解PBC【典例7】【2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三月考】如图所示，某海滨城市位于海岸A 处，在城市A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，现测得与B 处相距31海里的C 处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A 直线航行，30分钟后到达D 处，此时测得B 、D 间的距离为21海里.（Ⅰ）求sin BDC ∠的值；（Ⅱ）试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市A ？【思路点拨】（Ⅰ）由题意可先求得DC ,在BDC ∆中应用余弦定理求得cos BDC ∠,再由同角三角函数关系式即可求得sin BDC ∠的值;（Ⅱ）由题意可得BAD ∠的度数,进而由()sin sin 60ABD BDC ∠=∠-︒可利用正弦的差角公式求得sin ABD ∠.结合正弦定理求得AD ,即可求得游轮到达城市A 时所需时间.【针对训练】1. 【2021·临澧县第一中学高三月考】如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60的公路,AB AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内修建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米），记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？【思路点拨】（1）根据正弦定理，得到()sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MN AN AM，进而可求出结果；（2）由余弦定理，得到2222cos =+-⋅⋅∠AP AM MP AM MP AMP ，结合题中数据，得到()22016sin 215033θ︒=-+AP ， 2AP 取最大值时，噪声对居民影响最小，即可得出结果.2. 【2021·江西南昌市·南昌二中高三期末】如图所示，莱蒙都会小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD 是函数(0)y x k =>的图像的一部分，后一段DBC 是函数sin()y A x ωϕ=+，（0A >，0>ω，||2ϕπ<，[4,8]x ∈）的图像，图像的最高点为835,3B ⎛ ⎝⎭，且DF OC ⊥，垂足为点F .（1）求函数sin()y A x ωϕ=+，（0A >，0>ω，||2ϕπ<，[4,8]x ∈）的解析式； （2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE (阴影部分)，点P 在曲线OD 上，其横坐标为43，点E 在OC 上，求儿童乐园的面积． 【思路点拨】（1）根据图象，结合三角函数的性质，得到A 和ω的值，再由最大值点，得出结果；（2）根据题意，得到曲线OD 的方程2(04)y x x =≤≤，求出P 的坐标，进而可求出四边形的面积.3. 如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?4. 【2021·江苏连云港市·高三期中】如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .设AOB θ∠=.（1）当56πθ=，求四边形OACB 的面积； （2）当θ为何值时，线段OC 最长并求最长值.【思路点拨】（1）利用余弦定理求出AB ，分别求出OAB ABC ∆∆，的面积即可；（2）根据余弦定理，正弦定理用θ表示出,sin ,cos AB OAB OAB ，利用余弦定理得出OC 关于θ的函数，根据三角恒等变换求出最值.5. 【2021·上海浦东新区·高三二模】某地计划在一处海滩建造一个养殖场.（1）如图1，射线OA ，OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ △的养殖场，问如何选取点P ，Q ，才能使养殖场POQ △的面积最大，并求其最大面积.（2）如图2，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点A ，B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点D ，E 在直线l 上，C 是优弧所在圆的圆心且23DCE π∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好.【思路点拨】（1）设,OP a =OQ b =，则222212cos3a b ab π=+-，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出.（2）方案一：设OA x =(01)x <<，则1OB x =-.则11(1)sin 2S x x AOB =-∠，利用基本不等式的性质即可得出最大值. 方案二：设半径r (01)r <<，则2213r π⨯=.解得34r π=. 可得22223132sin 34243S ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可比较出1S 与2S 的大小关系.6. 在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h ，低潮时水的深度为8.4m ，高潮时为16m ，一次高潮发生在10月10日4:00，每天涨潮落潮时，水的深度()d m 与时间t(h)近似满足关系式()sin 0,0,2d A t h A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭. （1）若从10月10日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深()d m 和时间t(h)之间的函数关系.（2）10月10日17:00该港口水深约为多少？（精确到0.1m ） （3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m ？思路点拨：（1）设()d Asin t h ωϕ=++，利用低潮时入口处水的深度为8.4m ，高潮时为16m ，求出,h A ，利用两次高潮发生的时间间隔12h ，求出周期，从而求出ω，再求出ϕ，即可得到这个港口的水深()d m 和时间()t h 之间的函数关系；（2） 10 月10 日17:00,17t =，代入解析式即可求出水的深度；（3）解不等式3.812.210.366d sin t ππ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭， 即可求出10 月10 日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m .7. 【2021·江苏省清浦中学高三月考】如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形ABCD 内种植了两种花卉，其中ABD △区域内种植兰花，BCD △区域内种植丁香花，对角线BD 是一条观赏小道．测量可知边界60m AB =，20m BC =， 40m AD CD ==．（1）求观赏小道BD 的长及种植区域ABCD 的面积；（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC ，CD 不能变更，而边界AB ，AD 可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD 上设计一点P ，使得种植区域改造后的新区域（四边形PBCD ）的面积最大，并求出这个面积的最大值．【思路点拨】（1）设m BD xc =，利用余弦定理和圆的内接四边形对角互补，建立方程求解即可；（2）利用同弧所对的圆周角相等，得60P A ∠=∠=︒，设cm PD m =，()cm ,0PB n m n =>，则13sin 2BDPSmn P =⋅=，接着利用余弦定理和基本不等式可求最大值.8.【2019届四川省成都市高三第一次诊断性检测】某大型企业一天中不同时刻的用电量（单位：万千瓦时）关于时间（，单位：小时）的函数近似地满足，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量与时间的大致图象．（Ⅰ）根据图象，求，，，的值；（Ⅱ）若某日的供电量（万千瓦时）与时间（小时）近似满足函数关系式（）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）.参考数据:（时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 （万千瓦时）2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 （万千瓦时） 5 3.5 2 2.75 3. 125 2.375 2.563 2.469思路点拨：（Ⅰ）利用图形语言，可以逐一求得，，，的值；（Ⅱ）即是求f（t）与g （t）的交点横坐标，利用二分法求零点的策略，可以逐步缩小交点横坐标的范围，达到0.1的精确度即可.参考答案【典例1】【2021·江苏连云港一中高三模拟测试】如图，直线l 为经过市中心O 的一条道路，B 、C 是位于道路l 上的两个市场，在市中心O 正西方向的道路较远处分布着一些村庄，为方便村民生活，市政府决定从村庄附近的点A 处修建两条道路AB 、AC ，l 与OA 的夹角为3π（OA ＞3km ，∠OAC 为锐角）．已知以23km /h的速度从O 点到达B 、C 的时间分别为t ，(13)t +.（1）当t ＝1时：①设计AB 的长为33km ，求此时OA 的长；②修建道路AB ，AC 的费用均为a 元/km ，现需要使工程耗费最少，直接写出所需总费用的最小值． （2）若点A 与市中心O 相距643km +，铺设时测量出道路AC ，AB 的夹角为6π，求时间t 的值．【思路点拨】（1）本小题根据余弦定理先求OA ，再根据OA 求AC ，最后求修建道路AB ，AC 的费用的最小值即可.（2）本小题先根据正弦定理建立方程求出tanθ＝2-3.【解析】（1）①当t ＝1时，OB ＝3∵AB ＝3∠AOC ＝3π，OC ＝33＝3，由余弦定理可得AB 2＝OA 2+OB 2﹣2OA •OB cos3π，即27＝OA 2+12﹣2OA 312，解得OA ＝， AC 2＝OA 2+OC 2﹣2OA •OC cos 3π＝（2+（）2﹣2（（）•12＝AC∴修建道路AB ，ACa 元．（2）设∠BAO ＝θ，在△ABO 中，由正弦定理可得：sin3ABπ＝sin BO θ＝sin AOABO ∠． 同理在△ABC 中，BC sin 6π＝sin AB ACO ∠，且BC，∠ACO ＝2π﹣θ．∴BOsin3sin πθ＝BCsin 2sin6πθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴2sin θ2sinθcosθ＝14，θ∈0,3π⎛⎫⎪⎝⎭，tanθ∈（0，sinθ，cosθ≠0． ∴22sin cos sin cos θθθθ+＝2tan tan 1θθ+＝14，解得tanθ＝2- 在△ABO 中，BO ＝sin sin AO ABO θ∠＝sin sin 3AO θπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 3cos 3tan AO ππθ+＝∴t1h ． 【典例2】【2021·浙江丽水中学高三期末】由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB ∠=，且在该区域内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界PA 、PB 的距离分别为4m RS =，6m RT =，(m 为长度单位).陈某准备过点R 修建一条长椅MN （点M ，N 分别落在PA ，PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（1）求点P 到点R 的距离；（2）为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值.【思路点拨】（1）连接ST ，PR ，在RST 中，利用余弦定理求出ST ，可求出cos STR ∠，可得出sin PTS ∠的值，在PST 中，利用正弦定理求出SP 的值，进而利用勾股定理可求得PR ；（2）利用三角形的面积公式可得出3234PM PN PM PN ⋅=+，利用基本不等式可求得PM PN ⋅的最小值，进而可求得PMN 面积的最小值及其对应的PM 的值.【解析】（1）连接ST 、PR ，在RST 中，60SRT ∠=，由余弦定理可得：22246246cos6028ST =+-⨯⨯⨯=，27ST ∴=在RST 中，由余弦定理可得，22227cos 27ST RT SR STR ST RT +-∠==⋅.在PST 中，sin cos 7PTS STR ∠=∠=，由正弦定理可得：sin sin120SP ST PTS =∠，解得：sin sin1203ST PTS SP ∠==.在直角SPR △中，22222112433PR RS SP ⎛=+=+= ⎝⎭，3PR ∴=； （2）13sin1202PMN S PM PN PN =⋅⋅=⋅△， 11462322PMN PRM PRN S S S PM PN PM PN =+=⨯+⨯=+△△△.23PN PM PN ⋅=+≥.128PM PN ∴⋅≥，当且仅当23128PM PNPM PN =⎧⎨⋅=⎩时，即当PM =因此，4PMN S PM PN =⋅≥△【典例3】【2021·长春市第八中学高三期末】 长春某日气温()C y ︒是时间t (024t ≤≤，单位：小时)的函数，下面是某天不同时间的气温预报数据：根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成余弦型函数cos()y A t b ωϕ=++的图象.（1）根据以上数据，试求cos()y A t b ωϕ=++(0A >，0>ω，0ϕπ<<)的表达式； （2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23C ︒.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？(忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下哦，奥力给!) 【思路点拨】（1）由表中数据列方程求出b 、A 的值，再求出T 、ω和ϕ的值即可； （2）令23y ，利用余弦函数的性质求出t 的取值范围，即可得出结论． 【解析】（1）根据以上数据知，2614A b A b +=⎧⎨-+=⎩，解得20b =，6A =；由153122T=-=，解得24T =，所以212T ππω==； 由3x =时14y =，即36cos()201412πϕ++=，解得cos()14πϕ+=-，即24k πϕππ+=+，k Z ∈；所以324k πϕπ=+，k Z ∈； 由0ϕπ<<，解得34πϕ=；所以36cos()20124y t ππ=++，[0t ∈，24]；（2）令36cos()2023124y t ππ=++，得31cos()1242t ππ+，即32231243k t k ππππππ-+++，k Z ∈；解得1324524k t k -+-+，k Z ∈； 当1k =时，1124t ，所以一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在[11t ∈，19]时间段将该种商品放在室外销售，且单日室外销售时间最长不能超过19118-=（小时）． 【典例4】【河北省邢台市2019-2020学年高三上学期第二次月考】某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆O 的直径为300米，A 为直径延长线上的点，300OA =米，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等腰直角ABC ，其中BC 为斜边．()1若23AOB π∠=；，求四边形OACB 的面积； ()2现决定对四边形OACB 区域地块进行开发，将ABC 区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将OAB 区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当AOB ∠为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？ 【思路点拨】()1计算23AOB π∠=时AOB 和ABC 的面积，求和得出四边形OABC 的面积； ()2设AOB α∠=，求出AOB 和ABC 的面积和，得出目标函数的解析式，再求该函数取得最大值时对应α的值．解：() 1当23AOB π∠=时， 113300*********(22AOBSOA OB AOB =⋅⋅∠=⨯⨯=平方米)； 在OAB 中，由余弦定理得，2222157500AB OA OB OA OBcos AOB =+-⋅∠=；2178750(2ABCSAB ∴==平方米)， ∴四边形OABC 的面积为11250378750(AOBABCOACB S SS=+=四边形平方米)；()2设AOB α∠=，则()0,απ∈，所以113001502250022AOBSOA OBsin AOB sin sin αα=⋅∠=⨯⨯⨯=， 在OAB 中，由余弦定理得，222211250090000AB OA OB OA OBcos AOB cos α=+-⋅∠=-；2156250150002ABCSAB cos α∴==-， 不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y 元， 则有2010AOBABCy SS=+；化简得450000562504500004500002sin 5625004y sin cos πααα⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭；因为()0,απ∈，所以当34πα=时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大． 【典例5】【广东省汕头市金山中学2018-2019学年高三上学期期末】汕头市有一块如图所示的海岸，OA ，OB 为岸边，岸边形成120︒角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l ：在岸边OA ，OB 上分别取点E ，F ，用长度为1km 的围网依托岸边围成三角形EOF （EF 为围网）.方案2：在AOB ∠的平分线上取一点P ，再从岸边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使得MPO NPO θ∠=∠=，用长度为1km 的围网依托岸边围成四边形PMON （PM ，PN 为围网）.记三角形EOF 的面积为1S ，四边形PMON 的面积为2S . 请分别计算1S ，2S 的最大值，并比较哪个方案好.【思路点拨】方案1中，利用余弦定理和基本不等式求出面积最值，方案2中，利用正弦定理和三角函数的性质求出面积最值，然后比较大小，即可得哪种方案好. 解： 方案1：设OE a km =，OF b km =，在EOF ∆中，由余弦定理得：2222cos EF OE OF OE OF EOF =+-⋅⋅∠，即222212cos3a b a b π=+-⋅⋅， ∴22123a b a b ab ab ab =++⋅≥+=（当且仅当a b ==时等号成立）∴11211sin 2323212S ab π=≤⨯⨯=（当且仅当3a b ==时等号成立） ∴1S2. 方案2： 在MPO ∆中，由正弦定理得：sin PO PMPMO sin POM=∠∠即()12sin 120sin 60POθ=︒-︒，∴()120PO θ=︒-，∴()2sin 120sin S PM PO θθθ=⋅⋅=︒-⋅211sin sin cos sin 22θθθθθθ⎫⎫=+⋅=⋅+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2122cos 21222122224θθθθ⎫⎫-=+=-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭21262412248πθ⎛⎫=-+≤+=⎪⎝⎭ （当且仅当3πθ=时等号成立）∴2S2<，∴方案2好. 【典例6】【2021·江苏南通市一模数学试题】“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ.（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度；（2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45︒时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC 的最低高度.（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ） 【思路点拨】（1）先求解三角形BCD 的内角，利用正弦定理可求建筑BC 的高度； （2）先建立坐标系，求解PBC ∆的外接圆的方程，结合两圆的位置关系可求.【解析】（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，30BDC θ∠==︒，此时12AD AB ==，即45ABD ∠=︒，所以105BCD ∠=︒. 在等腰三角形ABD 中，122BD =.由正弦定理得sin105sin 30BD BC =︒︒，所以12212312622BC ==-+⨯. 所以建筑BC 的高度为12312-（单位：10m ）.（2）设建筑BC 的高度为h （单位：10m ），建立如图所示的直角坐标系，圆22:(6)36M x y +-=，由正弦定理可知2sin 45hR =︒，所以2R h =，即PBC ∆的外接圆的半径为2R h =.由图可知PBC ∆的外接圆的圆心坐标为12,22h h ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以点P 在圆222:12,12222h h h N x y x ⎛⎫⎛⎫-++-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上， 而点P 又在圆22:(6)36M x y +-=上，所以22226126622h h h h ⎛⎫⎛⎫-≤-+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24(32)24(32)h -+≤≤. 答：建筑BC 的最低高度为24(32)-（单位：10m ）时，可以拍摄到效果最好的照片.【典例7】【2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三月考】如图所示，某海滨城市位于海岸A 处，在城市A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，现测得与B 处相距31海里的C 处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A 直线航行，30分钟后到达D 处，此时测得B 、D 间的距离为21海里.（Ⅰ）求sin BDC ∠的值；（Ⅱ）试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市A ？【思路点拨】（Ⅰ）由题意可先求得DC ,在BDC ∆中应用余弦定理求得cos BDC ∠,再由同角三角函数关系式即可求得sin BDC ∠的值;（Ⅱ）由题意可得BAD ∠的度数,进而由()sin sin 60ABD BDC ∠=∠-︒可利用正弦的差角公式求得sin ABD ∠.结合正弦定理求得AD ,即可求得游轮到达城市A 时所需时间. 【解析】（Ⅰ）由已知,140202CD =⨯=. 在BCD ∆中,据余弦定理,有2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯.所以由同角三角函数关系式可得2143sin 17BDC ⎛⎫∠=--=⎪⎝⎭. （Ⅱ）由已知可得,204060BAD ∠=︒+︒=︒, 所以()sin sin 60ABD BDC ∠=∠-︒4311353727214⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭. 在ABD ∆中,根据正弦定理,有sin sin AD BD ABD BAD=∠∠,又21BD =,则sin sin BD ABDAD BAD⨯∠=∠532114153⨯==.所以156022.540t =⨯=（分钟）.【针对训练】1. 【2021·临澧县第一中学高三月考】如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60的公路,AB AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内修建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米），记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？【思路点拨】（1）根据正弦定理，得到()sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MN AN AM，进而可求出结果；（2）由余弦定理，得到2222cos =+-⋅⋅∠AP AM MP AM MP AMP ，结合题中数据，得到()22016sin 215033θ︒=-+AP ， 2AP 取最大值时，噪声对居民影响最小，即可得出结果. 【解析】（1）因为AMN θ∠=，在AMN ∆中，由正弦定理可得：()sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MN AN AM，所以43sin θ=AN ，()43sin 120θ︒=-AM ； （2）由题意60θ︒∠=+AMP ，由余弦定理可得： ()()()2222161632cos sin 1204sin 120cos 603θθθ︒︒=+-⋅⋅∠=-+--+AP AM MP AM MP AMP ()()()()()216163883sin 604sin 60cos 601cos 21204sin 212033θθθθθ︒︒︒︒⎡⎤=++-++=-++-+⎣⎦()()()82020163sin 2120cos 2120sin 21503333θθθ︒︒︒⎡⎤=-++++=-+⎣⎦， 又由（1）可得0120θ︒︒<<，所以()2150150,390θ︒︒︒+∈，当且仅当2150270θ︒︒+=，即60θ︒=时，2AP 取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时2==AN AM .2. 【2021·江西南昌市·南昌二中高三期末】如图所示，莱蒙都会小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD 是函数(0)y k x k =>的图像的一部分，后一段DBC 是函数sin()y A x ωϕ=+，（0A >，0>ω，||2ϕπ<，[4,8]x ∈）的图像，图像的最高点为835,B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且DF OC ⊥，垂足为点F .（1）求函数sin()y A x ωϕ=+，（0A >，0>ω，||2ϕπ<，[4,8]x ∈）的解析式； （2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE (阴影部分)，点P 在曲线OD 上，其横坐标为43，点E 在OC 上，求儿童乐园的面积． 【思路点拨】（1）根据图象，结合三角函数的性质，得到A 和ω的值，再由最大值点，得出结果；（2）根据题意，得到曲线OD 的方程2(04)y x x =≤≤，求出P 的坐标，进而可求出四边形的面积.【解析】（1）由图象，可知833A =，224(85)6T πππω===⨯-， 将835,B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入83sin 6y x πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中， 得52()62k k ππϕπ+=-∈Z ，即2()3k k Z πϕπ=-∈. ∵2πϕ<，∴3πϕ=，故83sin ,[4,8]63y x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭； （2）在83sin 363y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，令4x =，得(4,4)D ， 从而得曲线OD 的方程为2(04)y x x =≤≤，则443,3P ⎛⎫⎪⎪⎝⎭， ∴矩形PMFE 的面积为44332343S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，即儿童乐园的面积为323. 3. 如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米? 【解析】（1）由题设可知50A =，60b =,又23T πω==，所以23ωπ=,从而，再由题设知0t =时10y =，代入，得， 从而,因此；（2）要使点P 距离地面超过85米， 则有， 即,,, 解得即:，所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85米的时间有1分钟.4. 【2021·江苏连云港市·高三期中】如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .设AOB θ∠=.（1）当56πθ=，求四边形OACB 的面积； （2）当θ为何值时，线段OC 最长并求最长值.【思路点拨】（1）利用余弦定理求出AB ，分别求出OAB ABC ∆∆，的面积即可；（2）根据余弦定理，正弦定理用θ表示出,sin ,cos AB OAB OAB ，利用余弦定理得出OC 关于θ的函数，根据三角恒等变换求出最值.【解析】（1）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅514212cos6π=+-⨯⨯523=+ 于是四边形OACB 的面积为213sin 2AOB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ 1153612224+=⨯⨯⨯+5384+=（2）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅14212cos 54cos θθ=+-⨯⨯⨯=-，∴54cos AB θ=-，∴54cos AC θ=-， 在OAB ∆中，由正弦定理得sin sin AB OBOABθ=∠， 即sin sin 54cos OB OAB AB θθ∠==-， 又OB OA <，所以OAB ∠为锐角，∴2cos 1sin 54cos OAB OAB θ∠=-∠=-，∴cos cos cos cos sin sin 333OAC OAB OAB OAB πππ⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭ 3sin 254cos 254cos θθθ=---， 在OAC ∆中，由余弦定理得：2222cos OC OA AC OA CA OAC =+-⋅∠3sin 454cos 2254cos 254cos 254cos θθθθθ⎛⎫=+--⨯⨯-⨯-⎪--⎝⎭523sin 2cos 54sin 6πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭.∵(0,)θπ∈，∴当23πθ=时，OC 的最大值为3. 5. 【2021·上海浦东新区·高三二模】某地计划在一处海滩建造一个养殖场.（1）如图1，射线OA ，OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ △的养殖场，问如何选取点P ，Q ，才能使养殖场POQ △的面积最大，并求其最大面积.（2）如图2，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点A ，B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点D ，E 在直线l 上，C 是优弧所在圆的圆心且23DCE π∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好.【思路点拨】（1）设,OP a =OQ b =，则222212cos3a b ab π=+-，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出.（2）方案一：设OA x =(01)x <<，则1OB x =-.则11(1)sin 2S x x AOB =-∠，利用基本不等式的性质即可得出最大值. 方案二：设半径r (01)r <<，则2213r π⨯=.解得34r π=. 可得22223132sin 34243S ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可比较出1S 与2S 的大小关系. 【解析】（1）设,OP a =OQ b =， 则222212cos23a b ab ab ab π=+-≥+，可得13ab ≤，当且仅当OP OQ ==.1211sin 2323S ab π=≤⨯=∴当且仅当3OP OQ ==时，养殖场POQ △的面积最大，max 12S =（平方千米） （2）方案一：设OA x =(01)x <<，则1OB x =-.则21111(1)sin 222x x S x x AOB +-⎛⎫=-∠≤⨯ ⎪⎝⎭18=，当且仅当12x =时取等号.max 118S ∴=（平方千米）， 方案二：设半径r (01)r <<，则22r 13π⨯=.解得34r π=. 22223132S sin 34243ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.144≈（平方千米） 12S S ∴<，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好.6. 在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h ，低潮时水的深度为8.4m ，高潮时为16m ，一次高潮发生在10月10日4:00，每天涨潮落潮时，水的深度()d m 与时间t(h)近似满足关系式()sin 0,0,2d A t h A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭. （1）若从10月10日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深()d m 和时间t(h)之间的函数关系.（2）10月10日17:00该港口水深约为多少？（精确到0.1m ） （3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m ？思路点拨：（1）设()d Asin t h ωϕ=++，利用低潮时入口处水的深度为8.4m ，高潮时为16m ，求出,h A ，利用两次高潮发生的时间间隔12h ，求出周期，从而求出ω，再求出ϕ，即可得到这个港口的水深()d m 和时间()t h 之间的函数关系；（2） 10 月10 日17:00,17t =，代入解析式即可求出水的深度；（3）解不等式3.812.210.366d sin t ππ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭， 即可求出10 月10 日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m . 解析：(1)依题意知T ＝＝12，故ω＝，h ＝＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin ＋12.2.又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin＝1，所以φ＝－，所以d ＝3.8sin＋。