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习题课 基本初等函数(Ⅰ)学习目标 1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )A ．0.76<60.7<log 0.76 B ．0.76<log 0.76<60.7C ．log 0.76<60.7<0.76 D ．log 0.76<0.76<60.7解析 由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1,0<0.76<1，log 0.76<0，∴log 0.76<0.76<60.7，故选D ．答案 D2．已知0<a <1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( )A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限解析 因为0<a <1，所以函数y ＝a x 的图象过(0,1)，且过第一、二象限，又－1<b <0，所以函数y ＝a x ＋b 的图象可认为是由y ＝a x 的图象向下平移|b |个单位得到的，所以函数y ＝a x ＋b 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案 C 3．lg 32－lg ＋lg ＝________.124385解析 原式＝lg 25－lg 2＋lg 5＝lg 2－2lg 2＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)124332125212121212＝lg 10＝.1212答案 124．函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋7)的值域是________．解析 ∵－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8≤8，∴log 2(－x 2＋2x ＋7)≤log 28＝3，故f (x )的值域是(－∞，3]．答案 (－∞，3]类型一 指数与对数的运算【例1】 计算：(1)2log 32－log 3＋log 38－5log 53；329(2)0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01.13(－78)4312解 (1)原式＝log 3－3＝2－3＝－1.22×8329(2)原式＝0.43×－1＋2－4＋24×＋0.1＝－1＋＋＋＝.521161811014380规律方法 指数、对数的运算应遵循的原则(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．【训练1】 计算：(1)－0＋0.25×－4；3(－4)3(12)12(－12)(2)log 3＋2log 510＋log 50.25＋71－log 72.4273解 (1)原式＝－4－1＋×()4＝－3.122(2)原式＝log 3＋log 5(100×0.25)＋7÷7log 72＝log 33－＋log 552＋＝－＋2＋＝.14721472214类型二 指数、对数型函数的定义域、值域【例2】 (1)求函数y ＝x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域；(12)(2)已知－3≤x ≤－，求函数f (x )＝log 2·log 2的最大值和最小值．log1232x 2x4解 (1)令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝t .又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,0≤x ≤3，∴当x ＝1时，(12)t min ＝1；当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，∴5≤y ≤1，故所求函数的值域为.(12)(12)[132，12](2)∵－3≤x ≤－，∴≤log 2x ≤3，log123232∴f (x )＝log 2·log 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝2－.x2x4(log2x －32)14当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝时，32f (x )min ＝－.14规律方法 函数值域(最值)的求法(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围．(2)配方法：适合二次函数．(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝中，由x 2＝≥0可求y 的范围，可得值1－x 21＋x 21－y1＋y 域．(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围．(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．【训练2】 (1)函数f (x )＝＋的定义域是________．3x 21－x lg (3x ＋1)(2)函数f (x )＝Error!的值域为________．解析 (1)由题意可得Error!解得0≤x <1，则f (x )的定义域是[0,1)．(2)当x ≥1时，x ≤1＝0，当x <1时，0<2x <21＝2，log12log12所以f (x )的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．答案 (1)[0,1) (2)(－∞，2)类型三 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题【例3】 (1)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝a x ＋1的图象大致是( )(2)当0<x ≤时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )12A ． B ． C ．(1，)D ．(，2)(0，22)(22，1)22解析 (1)由log a 2<0(a >0，且a ≠1)，可得0<a <1，函数f(x )＝a x ＋1＝a ·a x ，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A ．(2)∵0<x ≤时，1<4x ≤2，要使4x <log a x ，由对数函数的性质可得0<a <1，数形结合可知12只需2<log a x ，∴Error!即Error!对0<x ≤时恒成立，12∴Error!解得<a <1，故选B ．22答案 (1)A (2)B规律方法 函数图象及应用(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．【训练3】 (1)函数y ＝Error!的图象大致是( )(2)已知a >0且a ≠1，函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则a 的取值范围是________．解析 (1)当x <0时，y ＝x 2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C 和D ；当x ≥0时，y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向下平移一个单位得到，故排除A ，选B ．(2)当a >1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，因为a >1，所以3a >3，故两函数图象只有一个交点．当0<a <1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，若使二者有两个交点，则0<3a <2，即0<a <，23综上所述，a 的取值范围是.(0，23)答案 (1)B (2)(0，23)类型四 比较大小问题【例4】 比较下列各组中两个值的大小：(1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8；(2)log 53，log 63，log 73.解 (1)∵1.10.9>1.10＝1，log 1.10.9<log 1.11＝0,0＝log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7＝1，∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.(2)∵0<log 35<log 36<log 37，∴log 53>log 63>log 73.规律方法 数(式)的大小比较常用的方法及技巧(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法．(2)常用的技巧：①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．【训练4】 (1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >c B ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >a(2)设a ＝2，b ＝3，c ＝0.3，则( )log13log12(13)A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析 (1)∵a ＝log 20.3<log 21＝0，b ＝20.3>20＝1,0<c ＝0.30.2<0.30＝1，∴b >c >a .故选C ．(2)∵a ＝2<0，b ＝3<0，3<2<2，c ＝0.3>0.∴b <a <c .故选D ．log13log12log12log12log13(13)答案 (1)C (2)D类型五 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用【例5】 已知函数f (x )＝lg 在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范1＋2x ＋a ·4x3围．解 因为f (x )＝lg在x ∈(－∞，1]上有意义，1＋2x ＋a ·4x3所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立．因为4x >0，所以a >－在(－∞，1]上恒成立．[(14)x ＋(12)x ]令g (x )＝－，x ∈(－∞，1]．[(14)x ＋(12)x ]由y ＝－x 与y ＝－x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数，(14)(12)所以g (x )max ＝g (1)＝－＝－.(14＋12)34因为a >－在(－∞，1]上恒成立，[(14)x ＋(12)x ]所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－.34故所求a 的取值范围为.(－34，＋∞)规律方法 函数性质的综合应用指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究．【训练5】 函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解 (1)要使函数有意义，则有Error!解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]．∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4.∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝4－＝.12121．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。
1．1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1集合的含义阅读教材P2～P3“思考”以上部分，完成下列问题．1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．2．集合中元素的特性集合中元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性．3．集合的相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)由－1,1,1组成的集合中有3个元素．()【解析】(1)×.因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．(2)√.根据集合相等的定义知，两个集合相等．(3)×.因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1,1,1组成的集合有2个元素－1,1.【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2元素与集合的关系阅读教材P3“思考”以下至“列举法”以上的内容，完成下列问题．1．元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.3．常用数集及符号表示数集非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R用“∈”或“∉”填空：12____N；－3____Z；2____Q；0____N*；5____R.【解析】因为12不是自然数，所以12∉N；－3是整数，所以－3∈Z；因为2不是有理数，所以2∉Q；0不是非零自然数，所以0∉N*；因为5是实数，所以5∈R.【答案】∉∈∉∉∈[小组合作型]集合的含义【导学号：97030000】①所有的正三角形；②比较接近1的数的全体；③某校高一年级所有16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员；⑥2的近似值的全体．【精彩点拨】判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有确定性．【自主解答】①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“2的近似值”未明确精确到什么程度，因此不能断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．【答案】①③④判断给定的对象能不能构成集合就看所给的对象是不是具有确定性，同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性.[再练一题]1．下列各组对象中不能构成集合的是()A．佛岗中学高一班的全体男生B．佛岗中学全校学生家长的全体C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友【解析】A中，佛岗中学高一班的全体男生，满足集合元素的确定性，故可以构成集合；B中，佛岗中学全校学生家长的全体，满足集合元素的确定性，故可以构成集合；C中，李明的所有家人，满足集合元素的确定性，故可以构成集合；D中，王明的所有好朋友，不满足集合元素的确定性，故不可以构成集合．故选D.【答案】 D元素与集合的关系给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Q，③0∉N，④4∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.其中正确命题的个数为()A．4B．3C．2D．1【精彩点拨】首先明确字母R，Q，N，Z表示的数集的意义，再判断所给的数与数集的关系是否正确．【自主解答】R，Q，N，Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，3，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．【答案】 C1．在求解时常因混淆数集Q，N，R及Z的含义致误．2．判断一个元素是不是某个集合中的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性．[再练一题]2．用符号“∈”或“∉”填空．若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)______A，(－1,1)______A.【解析】第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1) ∉A.【答案】∈∈∉[探究共研型]集合中元素的特性及简单应用探究1米的楼”能否组成一个集合？【提示】“北京市的高楼”不能组成一个集合，因为“高楼”没有明确的标准，而“北京市高于100米的楼”能组成一个集合，因为标准是确定的．探究2“小于4的自然数”构成的集合中有哪些元素？甲同学的答案是0,1,2,3；乙同学的答案是3,2,1,0，他们的回答都正确吗？由此说明什么？【提示】两个同学的回答都是正确的．由此说明集合中的元素是没有先后顺序的，这就是集合中元素的无序性．探究2若a和a2都是集合A中的元素，则实数a的取值范围是什么？【提示】因为a和a2都是集合A中的元素，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．【精彩点拨】按a＝1或a＝a2分两类分别求解实数a的值，注意验证集合A中元素的互异性．【自主解答】由题意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2＝1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.1．本题按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4为标准分类，从而做到“不重不漏”；在解含字母的问题中，常常采用分类讨论的思想，注意分类标准的统一和明确．2．本题在求解的过程中，常因忽视检验集合中元素的互异性，导致产生增解－1.[再练一题]3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为() 【导学号：97030001】A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可【解析】由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．【答案】B1．下列对象不能构成集合的是()①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．A．①②B．②③C．①②③D．①③【解析】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.【答案】 D2．下列三个关系式：①5∈R；②14∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．0【解析】①正确；②因为14∈Q，错误；③0∈Z，正确．【答案】 B3．已知集合A中只有一个元素1，若|b|∈A，则b等于()【导学号：97030002】A．1 B．－1C．±1 D．0【解析】由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.【答案】 C4．a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()A．矩形B．平行四边形C．菱形D．梯形【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.【答案】 D5．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．【解】∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.。
高中数学专题讲义:三角形中的范围问题你处理好了吗考纲要求:1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====. 2.与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解.3.三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围. 基础知识回顾: 1、正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如:（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-=（2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理:2222cos a b c bc A =+-变式:()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式:（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高）（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和:A B C π++=，从而可得到:（1）正余弦关系式:()()sin sin sin A B C B C π=-+=+⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos cos A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式:()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=±()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=6、辅助角公式:()22sin cos sin a A b B a b A ϕ+=++，其中tan baϕ= 应用举例:类型一、与边长有关的范围问题【例1】【海南省海南中学高三第五次月考】设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,（Ⅰ）求B 的大小; （Ⅱ）若,求的取值范围. 【答案】（1）（2）即:即:又的取值范围为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题．【例2】【黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)】在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）)若角是钝角，且，求的取值范围.【答案】(1) .(2) .∴，①∵，∴，∴，②由①②得的范围是.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步:定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步:求结果.类型二、与周长有关的范围问题【例3】【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知函数.（1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求周长的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为，，对称中心为，（2）由，∴，∴的对称中心为，（2）∵，∴，∴，∴，得:，，∴又，∴，∴点睛:第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得:解:∵，∴，∵，∴∴，∴由正弦定理得:∴，∴∵，∴∴的周长范围为【例4】【四川省2015级高三全国Ⅲ卷冲刺演练（一）】在中，，.（1）若，求的长及边上的高；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.∴∴.∵∴.由等面积法可得，则.（2）设.∵∴角必为锐角.∵为锐角三角形∴角，均为锐角，则，，于是，解得.故的周长的取值范围为.点睛:本题考查余弦定理及三角形面积的应用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是:第一步:定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步:定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步:求结果.类型三、与面积有关的范围问题【例5】【5月高三第三次全国大联考（新课标Ⅲ卷）】在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，求的面积的取值范围．【答案】（1）；（2）由正弦定理可得，即，∵，∴，∴，∵，∴，即.又，可得.【例6】【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，为的内角的对边，且满足．（1）证明:；（2）若，设，，，求四边形面积的最大值．【答案】（1）见解析;（2）.方法、规律归纳:1、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系:sin sin cos cos>⇔>⇔>⇒<a b A B A B A B其中由cos cos>⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin>⇔>仅在一个三角A B A BA B A B形内有效.2、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数:通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（2）利用均值不等式求得最值实战演练:1．【山东省济南省高三第二次模拟考试】在中, ,.(1)求的长;(2)设是平面内一动点,且满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).（2）设，则.在中，由余弦定理知:.，又，，的取值范围为.点睛:（1）本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出的表达式，再结合的范围求函数的值域.2．【辽宁省大连市高三第二次模拟考试】在中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）（Ⅱ）在△ABC中由正弦定理得.的周长为 .点睛:（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的思想，先求，再求函数的定义域,再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.3．【云南省昆明市高三5月适应性检测】在中，内角所对的边分别是，已知（Ⅰ）求；（Ⅱ）当时，求的取值范围．【答案】(1)；(2).，，所以，因为，所以（Ⅱ）由正弦定理:得:，所以，因为，，所以.点睛:（1）知的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；（2）求的取值范围，应将角的个数转化为一个，如，然后用辅助角公式化成一个角的三角函数，用三角函数的性质求取值范围.4．【湖南省岳阳市第一中学高三第一次模拟考试】已知，，设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角所对的边分别为，且成等比数列，求的取值范围.【答案】(1), ;(2).令，则，，所以函数的单调递增区间为，.（2）由可知，（当且仅当时取等号），所以，，，综上，的取值范围为.点睛:此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.5．【重庆市綦江区高三5月预测调研考试】已知，，函数.（Ⅰ）求函数零点；（Ⅱ）若锐角的三内角、、的对边分别是、、，且,求的取值范围.【答案】（1）（2）所以函数零点满足,由，解得,．6．【四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析:（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.详解:(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.综上所述，.点睛:本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.7．【四川省资阳市高三4月模拟考试（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-． （1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围． 【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.（2）根据余弦定理， 2222cos3a b c bc π=+-，所以222216162b c b c bc ++=+≤+，则有2232b c +≤，又221616b c bc +=+>， 所以22b c +的取值范围是(]16,32．【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.8．【衡水金卷 普通高校招生全国卷 I A 信息卷】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos a C c A =.（1）求角A 的大小； （2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 2,31⎡⎤+⎣⎦.9．【江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值； （2）若4Bπ=， S 为ABC ∆的面积，求82cos cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b = (2) ()8,82（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin 4S bc A A C A C π==⋅⋅=()382cos 82cos 82cos 24S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由3040{202A A C A Cπππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭， 32cos 2,142A π⎛⎫⎛⎫∴-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(82cos 8,82S AcosC ∴+∈.10．【吉林省吉林市高三第三次调研考试】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin 3cos ba cB C ac A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b ca+的取值范围. 【答案】（1）3π（2）32b c a+<≤ 试题解析:（1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+， ∴()()2cos sin 3cos ac B B C ac A C -+=+ ， ∴()()2cos sin 3,B A B ππ--=- ∴2cos sin 3cos B A B -=， 又ABC ∆是锐角三角形， ∴cos 0B ≠， ∴3sin A = ∴锐角3A π=．（2）由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==， ∴sin sin ,sin sin a B a Cb c A A==∴233sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B Cππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+< ∴3sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．∴32b ca+<≤． 故代数式b ca+的取值范围(3,2⎤⎦．11．【甘肃省西北师范大学附属中学高三冲刺诊断考试】已知函数（1）求函数的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合； （2）已知中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2, .(2) a ∈[1,2).【解析】分析:（1）由三角恒等变换的公式，化简得,利用三角函数的图象与性质，即可得到结果． (2)由，求得，再由余弦定理和基本不等式，即可求解边的取值范围．详解:（1）,，可得f (x )递增区间为, 函数f (x )最大值为2，当且仅当，即，即取到∴.12．【衡水金卷信息卷 全国卷 I A 】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n . （1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为23，求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6【解析】试题分析:（1）由//m n ，得62)0c cosA acosB -+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围. 试题解析:（1）由//m n ，得62)0c cosA acosB -+=（. 由正弦定理，得2sin sin cos 0sinBcosA CcosA A B -+=， 即()2sin CcosA sin A B sinC =+=. 在ABC ∆中，由0sinC >， 得1cos 2A =. 又()0,A π∈，所以3A π=.13．【天津市部分区高三质量调查（二）】已知函数（）的图象上相邻的最高点的距离是. （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，内角满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).（2）由得，即∴，又，∴∵是锐角三角形，∴，∴，∴∴点睛:本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．14．【普通高校招生全国卷 一（A ） 衡水金卷】三信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若3a =ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π=(2) (33,33⎤+⎦ 【解析】试题分析:（1）将所给的三角恒等式整理变形可得28210cos A cosA --=，结合△ABC 为锐角三角形可得12cosA =， 3A π=. （2）设ABC ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理可得1r =.则()2b c r sinB sinC +=+236sin B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用△ABC 为锐角三角形可求得62B ππ<<，则3,162sin B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ABC ∆周长的取值范围是(33,33⎤+⎦.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r ， 则3223ar sinA===，∴ 1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 236sin B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意02{2032B B πππ<<<-<，∴62B ππ<<，∴2363B πππ<+<，∴3,16sin B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ∴(3,23b c ⎤+∈⎦，∴ABC ∆周长的取值范围是(33,33⎤+⎦.15．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）】在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．【答案】(1) . (2).（2）由向量， ，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．。
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课程在保证知识广度的同时，也注重难度的平衡，既满足学生应对高考的需求，又能够激发学生的学习兴趣。
在各章节知识点详解方面，课程采用了丰富的教学手段，包括视频讲解、习题解析、课堂互动等，帮助学生深入理解数学概念，熟练掌握解题技巧。
三、教学方法胡源教育拥有一支专业的教师团队，他们具有丰富的教学经验和扎实的数学功底，能够准确地把握教学重点和难点。
在课堂互动中，教师鼓励学生提问、发表观点，积极参与课堂讨论，使课堂教学更加生动有趣。
此外，课程还注重个性化教学与辅导。
教师根据学生的学习进度和需求，提供针对性的学习建议，帮助学生查漏补缺，提高学习效率。
四、课程优势与成果通过参加高一数学有道精品课的学习，学生不仅能够系统地掌握高中数学知识，还能够提高自己的数学素养。
课程助力学生在高考中取得优异成绩，实现自己的升学梦想。
从学生评价和反馈来看，有道精品课得到了广泛的好评。
1.两条异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围（0，错误!][0，π]求法cos θ＝错误!cos β＝错误!2。
直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝｜cos β|＝错误!.3.求二面角的大小（1）如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈错误!，错误!〉.（2）如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α,β的法向量，则二面角的大小θ满足｜cos θ｜＝|cos<n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)。
【知识拓展】利用空间向量求距离（供选用）(1）两点间的距离设点A(x1，y1，z1),点B（x2，y2，z2）,则AB＝｜错误!｜＝错误!。
(2）点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|错误!|＝错误!.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(×)（2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角。
（×)（3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角。
(×)(4)两异面直线夹角的范围是(0,错误!］，直线与平面所成角的范围是［0,错误!］，二面角的范围是［0，π］.(√)（5）直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°,则l和α所成角为30°.(√)（6）若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ,则二面角α－a－β的大小是π－θ。
（×)1.（2016·南通模拟)已知两平面的法向量分别为m＝（0，1,0)，n＝(0,1,1），则两平面所成的二面角为________.答案45°或135°解析cos<m，n>＝错误!＝错误!＝错误!，即〈m，n>＝45°.∴两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°。
