高中数学选修2-2基础精品讲义

定积分的概念【学习目标】1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．【要点梳理】要点一、定积分的定义 定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式： 11()()nnn i i ii b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx=ò，定积分的相关名称：——叫做积分号，()f x ——叫做被积函数， ()d f x x ——叫做被积表达式，x ——叫做积分变量，a ——叫做积分下限，b ——叫做积分上限，[a ，b]——叫做积分区间。

要点诠释： （1）定积分()baf x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ??时）记为()baf x dxò，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bb baaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰L （称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同。

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c ='y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= (3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a =(4)x y e ='x y e =(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =(6)ln y x = 1'y x=(7)sin y x = 'cos y x =(8)cos y x = 'sin y x =-6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰F(a)--F(b)（其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()b bbaaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bb aakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解 由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析 结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析 因为函数f (x )为偶函数， 且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积， 即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析 由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解 由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。

1．4.2 微积分基本定理已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ， 问题1：f (x ) 和F ′(x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛02(2x ＋1)d x 的值． 提示：⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝6. 问题3：求F (2)－F (0)的值． 提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6.问题4：⎠⎛02(2x ＋1)d x 与F (2)－F (0)有什么关系？ 提示：⎠⎛02f (x )d x ＝F (2)－F (0)．1．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数，由于[F (x )＋c ]′＝f (x )，F (x )＋c也是f (x )的原函数，其中c 为常数．2．微积分基本定理的表示形式一般地，原函数在[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a )简记作F (x )|b a ，因此，微积分基本定理可以写成形式：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．1．微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．3．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x ；[对应学生用书P28](3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．[例1] 求下列定积分：(1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ； (2)⎠⎛-π0 (cos x －e x )d x ；(3)⎠⎛2πsin 2x 2d x .[思路点拨] (1)(2)先求被积函数的原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)则需先对被积函数变形，再计算．[精解详析] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33|21＋x 2|21＋3x |21＝253. (2)⎠⎛-π0(cos x －e x )d x ＝⎠⎛-π0cos x d x －⎠⎛-π0e x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1e π－1.(3)sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， ∴⎠⎛02πsin 2x 2d x ＝⎠⎛02π⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x 02π＝π4－12＝π－24. [一点通]由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下．[对应学生用书P28]第一步：求被积函数f (x )的一个函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )．1.⎠⎛241x d x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝(ln x )|42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D2．计算下列定积分：(1)⎠⎛01(x 3－2x )d x ；(2)⎠⎛02π(x ＋cos x )d x ；(3)⎠⎛121x (x ＋1)d x .解：(1)⎠⎛01(x 3－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2|10＝－34. (2)⎠⎛02π(x ＋cos x )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x 02π＝π28＋1. (3)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln (x ＋1)＝ln xx ＋1， 则F ′(x )＝1x －1x ＋1，所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝lnx x ＋1|21＝ln 43.3．计算定积分⎠⎛03|x 2－1|d x .解：⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |31＝223.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π.求定积分⎠⎛0πf (x )d x .解：⎠⎛0πf (x )d x ＝⎠⎛02πf (x )d x ＋⎠⎛2ππf (x )d x ， 又(2x 2－2πx )′＝4x －2π，(sin x )′＝cos x ，所以⎠⎛02π(4x －2π)d x ＋⎠⎛2ππcos x d x ＝(2x 2－2πx )2π＋sin x2ππ＝π22－π2－0＋0－1＝－π22－1. ∴⎠⎛0πf (x )d x ＝－π22－1.[例2] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积． [思路点拨] 结合图形，先求出两曲线的交点坐标．思路一：选x 为积分变量，将所求面积转化为两个积分的和求解； 思路二：选y 作积分变量，将所求面积转化为一个积分的计算求解．[精解详析] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图1)，则面积为 S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝423x 32|20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x 32－12x 2＋4x |82 ＝18.图1 图2法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图2所求的面积为 S ＝⎠⎛-42⎝⎛⎭⎫4－y －y 22d y ＝⎝⎛⎭⎫4y －12y 2－16y 3|2－4 ＝18.[一点通] 利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤： (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．5．求曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e －x ，解得交点为(0,1)， 所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x＋e －x )|10＝e ＋1e－2. 6．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92.[例3] (12分)已知f (x )是二次函数，其图像过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠0f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．[精解详析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.①(2分) ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(0)＝b ＝2.②(4分)∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx |10 ＝13a ＋12b ＋c ＝0.③(6分) 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，(10分)∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.(12分)[一点通]含有参数的定积分问题的处理办法(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．7．(湖南高考)若⎠⎛0Tx 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵⎠⎛0Tx 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T ＝3. 答案：38．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 解析：设f (x )＝kx ＋b ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx |10＝⎝⎛⎭⎫k 2＋b －0＝k 2＋b ， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(kx 2＋bx )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 3x 3＋b 2x 2|10 ＝k 3＋b 2. ∴⎩⎨⎧k2＋b ＝5，k 3＋b 2＝176，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.答案：f (x )＝4x ＋39．已知f (x )＝⎠⎛-a x(12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．解：∵f (x )＝⎠⎛-a x(12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x－a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2) ＝6x 2＋4ax －2a 2，∴F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|1＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1， ∴当a ＝－1时，F (a )最小值＝1.1．求定积分的一些常用技巧： (1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．2．在利用定积分求平面图形的面积时，要注意f (x )≥0的条件．当恒有f (x )＜0时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 为负值，从而曲边梯形的面积为⎠⎛a bf (x )d x 的相反数．1．(陕西高考)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C.答案：C2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x ＜0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛－11x 2d x B.⎠⎛－112xd x C.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d x D.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x 解析：⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x .答案：D3．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.[对应课时跟踪训练(十一)]答案：D4．若⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．2解析：⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a1＝(a 2＋ln a )－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，a ＞1，a ＝2，∴a ＝2.答案：D5．(江西高考)计算定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－cos x |1－1＝23. 答案：236．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.解析：图形如图所示：S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x ＝⎠⎛0134x 2d x ＝14x 3|10＝14. 答案：147．计算下列定积分：(1)⎠⎛－2－1(2＋x 2)2d x ；(2)3ππ⎰cos ⎝⎛⎭⎫x －π6d x ；(3)⎠⎛－4 0|x ＋3|d x .解：(1)因为(2＋x 2)2＝4＋4x 2＋x 4， 又⎝⎛⎭⎫4x ＋43x 3＋15x 5′＝4＋4x 2＋x 4， 所以⎠⎛－2－1(2＋x 2)2d x ＝⎠⎛－2－1(4＋4x 2＋x 4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x ＋43x 3＋15x 5|－1－2 ＝⎝⎛⎭⎫－4－43－15－⎝⎛⎭⎫－8－323－325 ＝29315. (2)因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝32cos x ＋12sin x ， 所以3ππ⎰cos ⎝⎛⎭⎫x －π6d x ＝3ππ⎰⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x d x ＝323ππ⎰cos x d x ＋123ππ⎰sin x d x ＝32sin x 3ππ－12cos x 3ππ＝－32sin π3－12⎝⎛⎭⎫cos π－cos π3 ＝－34＋12＋14＝0.(3)因为f (x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|d x ＝⎠⎜⎛－4－3(－x －3)d x ＋⎠⎛－30(x ＋3) d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x －－34＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.8．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.求切点A 的坐标以及切线方程．解：由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫x 02，0.画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如图所示．故S ＝S 1＋S 2 ＝020x ⎰x 2d x ＋[02x x ⎰x 2d x －02x x ⎰ (2x 0x －x 20)d x ]高中数学课程11 ＝13x 3020x ＋13x 3002x x －(x 0x 2－x 20x ) 002x x＝x 3012＝112， 解得x 0＝1，所以切点坐标为A (1,1)， 所求切线方程为y ＝2x －1.。

目录目录 (1)考点一数学归纳法 (2)考点二用数学归纳法证明不等式 (4)课后综合巩固练习 (5)考点一 数学归纳法1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n=n 0时命题成立；（2）假设当n=k （k∈N +，且k≥n 0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．1．（2019春•诸暨市期末）用数学归纳法证明：“(1)(2)1(12)(123)(123)6n n n n ++++++++Λ++++⋯⋯+=”，由n k =到1n k =+时，等式左边需要添加的项是( ) A ．(1)2k k + B ．(1)12k k ++ C ．(1)(1)(2)[1][]22k k k k +++++⋯⋯+ D ．(1)(2)2k k ++【分析】写出n k =时，左边最后一项，1n k =+时，左边最后一项，由此即可得到结论 解：n k =时，左边最后一项为时，左边最后一项为1k =+，等式左边需要添加的项为一项为故选：D ．【点评】本题考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 2．（2019春•嘉定区期末）已知()2462n f n =+++⋯⋯+，则()f n l +比()f n 多了几项( ) A ．1B ．nC ．1n +D ．21n -【分析】由题意()f n ，写出()f n l +，然后推出()f n l +比()f n 多了几项． 【解答】解：由题意()2462nf n =+++⋯⋯+，*()n N ∈，1(1)2462(22)2n n n f n ++=+++⋯⋯++++⋯+，那么：1(1)()(22)(24)2n n n f n f n ++-=++++⋯+．则()f n l +比()f n 多了几项2 1n -．故选：D ．【点评】本题考查了对函数()f x 的理解和带值计算问题．属于基础题． 3．（2019春•广东期末）利用数学归纳法证明不等式1111()(22321n f n n +++⋯⋯+<-，*)n N ∈的过程，由n k =到1n k =+时左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项变到1n k =+时，左边增加的项数．∴由n k =变到1n k =+时，左边增加了121(21)2k k k +---=故选：D ．【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 4．（2019春•长宁区期末）用数学归纳法证明11113(2)12224n n n n ++⋯+>++的过程中，设111()122k f k k k =++⋯+++，从n k =递推到1n k =+时，不等式左边为( ) A ．11()2k f k ++ B ．111()212k k f k ++++ C ．1111()2121k k f k k +++⋯+-++ D ．111()21k f k k ++-+ 【分析】当n k =时，写出左端，并当1n k =+时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．故选：C ．【点评】本题是基础题，考查数学归纳法的证明方法，就是n k =到1n k =+时的证明方法，找出规律解答．考点二 用数学归纳法证明不等式2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n 0+1，n 0+2，…，是否正确．在第二步中，n=k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少） ②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1．（2016秋•杨浦区校级期中）用数学归纳法证明：*222111112(2)()23(21)21n n n n N +++⋯+<-∈--时第一步需要证明( ) A ．11221<--B ．221112221+<--C ．222111122321++<--D ．222211111223421+++<-- 【分析】直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到2)n ， 故选：C ．【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证1n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误． 2．（2019春•鲤城区校级期末）用数学归纳法证明不等式1111127124264n -+++⋯+>成立，起始值至少应取为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10故选：B ．【点评】本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解轭关键是发现左边的规律，从而解决问题．课后综合巩固练习1．（2019春•绍兴期末）用数学归纳法证明“111111111(*)234212122n N n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+∈-++”，第一步应验证的等式是 11122-= ，从“n k =”到“n k l =+”左边需增加的代数式是 【分析】直接利用数学归纳法写出1n =时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到【解答】解：用数学归纳法证明从n k =到1n k =+时， 左边需增加的代数式是：【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证1n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误． 2．（2019春•淮安期中）用数学归纳法证明“*1111()1231n N n n n ++⋯+>∈+++，第一步，左边是111234++ 【分析】由不等式的特点，左边第一项的分母为1n +，最后一项分母为31n +，可得1n =的左边．【点评】本题考查数学归纳法的步骤，考查分析能力，属于基础题． 3．（2019春•广陵区校级月考）用数学归纳法证明不等式1111(,2)1231n N n n n n ++⋯∈+++从n k =到1n k =+时，左边的项数增加了 2 项．【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．故从n k =到1n k =+时，左边的项数增加了2项， 故答案为：2．【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．4．（2019春•徐州期中）用数学归纳法证明1111(2321n n n N ++++⋯+<∈-，1)n >时，第一步应验证的不等式是 111223++< ． 【分析】直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证0n n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．5．（2019春•常州期中）用数学归纳法证明等式：633123(*)2n n n n N ++++⋯+=∈，则从n k =到1n k =+时左边应添加的项为 333(1)(2)..(1)k k k ++++++ ．【分析】由数学归纳法可知n k =时，左端为1232k +++⋯+，到1n k =+时，左端左端为1232(21)(22)k k k +++⋯+++++，从而可得答案．解：用数学归纳法证明等式当1n =左边所得的项是1；假设n k =时，命题成立，左端为3123k +++⋯+，则当1n k =+时，左端为333123(1)(1)k k k +++⋯++++⋯++，∴由n k =到1n k =+时需增添的项是333(1)(2)..(1)k k k ++++++故答案为：333(1)(2)..(1)k k k ++++++．【点评】本题考查数学归纳法，着重考查理解与观察能力，考查推理证明的能力，属于中档题．6．（2019春•平遥县校级月考）用数学归纳法证明某个命题时，左边为12342345(1)(2)(3)n n n n ++⋯++++，从n k =到1n k =+左边需增加的代数式为(1)(2)(3)(4)k k k k ++++ ．【分析】从n k =到1n k =+时，左边需增加的代数式是22[2(1)1](21)k k +---，即可得出． 【解答】解：用数学归纳法证明左边为12342345(1)(2)(3)n n n n ++⋯++++的过程中， 从n k =到1n k =+时，左边需增加的代数式是(1)(2)(3)(4)k k k k ++++， 故答案为：(1)(2)(3)(4)k k k k ++++．【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．（2019春•叶集区校级月考）用数学归纳法证明“2222111(1)1n n a a a a a a++-+++⋯+=≠-”，在验证1n =时，左端计算所得项为 231a a a +++ ．【分析】当1n =时，左端的a 的次数由0次依次递增，最高次数为(21)n +次，从而可知1n =时，左端计算所得项．解：等式“左端和式中a 的次数由0次依次递增，当n k =时，最高次数为(21)k +次，在验证1n =时，左端计算所得项为231a a a +++， 故答案为：231a a a +++．【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、分析与推理能力，属于基本知识的考查．。

目录目录 (1)考点一数学归纳法 (2)考点二用数学归纳法证明不等式 (4)课后综合巩固练习 (5)考点一 数学归纳法1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n=n 0时命题成立；（2）假设当n=k （k∈N +，且k≥n 0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．1．（2019春•诸暨市期末）用数学归纳法证明：“1+（1+2）+（1+2+3）+Λ+（1+2+3+……+n ）=n(n+1)(n+2)6”，由n ＝k 到n ＝k +1时，等式左边需要添加的项是（ ）A ．k(k+1)2 B ．k(k+1)2+1 C ．[k(k+1)2+1]+……+[(k+1)(k+2)2]D ．(k+1)(k+2)2【分析】写出n ＝k 时，左边最后一项，n ＝k +1时，左边最后一项，由此即可得到结论 【解答】解：∵n ＝k 时，左边最后一项为1+2+3+……+k =k(k+1)2， n ＝k +1时，左边最后一项为1+2+3+……+（k +1）=(k+1)(k+2)2， ∴从n ＝k 到n ＝k +1，等式左边需要添加的项为一项为(k+1)(k+2)2，故选：D ．【点评】本题考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 2．（2019春•宁德期中）用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n ＝n （2n +1）时，从n ＝k 推证n ＝k +1时，左边增加的代数式是（ ） A ．4k +3B ．4k +2C ．2k +2D ．2k +1【分析】用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n ＝n （2n +1）时，从n ＝k 推证n ＝k +1时，左边增加的代数式＝（k+1）[2（k+1）+1]﹣k（2k+1）．【解答】解：用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n＝n（2n+1）时，从n＝k推证n＝k+1时，左边增加的代数式＝（k+1）[2（k+1）+1]﹣k（2k+1）＝4k+3．故选：A．【点评】本题考查了数学归纳法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2019春•莲都区校级月考）利用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n−1＜n(n∈N∗，n＞1)”的过程中，由假设“n＝k”成立，推导“n＝k+1”也成立时，左边应增加的项数是（）A．k B．k+1C．2k D．2k+1【分析】分别写出n＝k时的不等式，以及n＝k+1时，要证的不等式的左边与n＝k时，不等式左边的关系，可得所求结论．【解答】解：n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，即有1+12+13+⋯+12k−1＜k，当n＝k+1时，即证1+12+13+⋯+12k−1+12k+12k+1+⋯+12k+1−1＜k+1，由此可得左边与n＝k时的不等式左边增加了12k +12k+1+⋯+12k+1−1，共2k+1﹣1﹣2k+1＝2k项，故选：C．【点评】本题考查数学归纳法的运用，注意由n＝k命题成立，推得n＝k+1，命题也成立时，必须运用假设，注意区别，考查推理能力，属于基础题．4．（2019春•东安区校级期中）用数学归纳法证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n ﹣1）2（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需增加的代数式是（）A．3k﹣1B．9k C．3k+1D．8k【分析】从n＝k到n＝k+1时，左边需增加的代数式是[2（k+1）﹣1]2﹣（2k﹣1）2，即可得出．【解答】解：用数学归纳法证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需增加的代数式是[2（k+1）﹣1]2﹣（2k﹣1）2＝8k，故选：D ．【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．考点二 用数学归纳法证明不等式2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n 0+1，n 0+2，…，是否正确．在第二步中，n=k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少） ②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．5．（2019春•鲤城区校级期末）用数学归纳法证明不等式1+12+14+⋯+12n−1＞12764成立，起始值至少应取为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】先求左边的和1−12n1−12=2−21−n ，再进行验证，从而可解．【解答】解：左边的和为1−12n1−12=2−21−n ，当n ＝8时，和为2−2−7＞12764，故选：B ．【点评】本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解轭关键是发现左边的规律，从而解决问题．6．（2016秋•杨浦区校级期中）用数学归纳法证明：1+122+132+⋯+1(2n −1)2＜2−1n(n ≥2)（n ∈N *）时第一步需要证明（ ） A ．1＜2−12−1B ．1+122＜2−122−1C ．1+122+132＜2−122−1 D ．1+122+132+142＜2−122−1【分析】直接利用数学归纳法写出n ＝2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到1(22−1)2，不要漏掉项． 【解答】解：用数学归纳法证明1+122+132+⋯+1(2n −1)2＜2−12n −1(n ≥2)， 第一步应验证不等式为：1+122+132＜2−122−1； 故选：C ．【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证n ＝1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．课后综合巩固练习7．（2019春•慈溪市期中）用数学归纳法证明：“1+12+13+⋯+12n−1＜n(n ∈N ∗，n ＞1)”由n ＝k （k ∈N *，k ＞1）不等式成立，推理n ＝k +1时，不等式左边应增加的项数为 2k ． 【分析】分别计算当n ＝k 和n ＝k +1时左侧最后一项的分母即左侧的项数即可得出答案． 【解答】解：当n ＝k 时，不等式左侧为1+12+13+⋯+12k−1，当n ＝k +1时，不等式左侧为1+12+13+⋯+12k−1+12k +12k+1+⋯+12k+1−1不等式左边增加的项数是（2k +1﹣1）﹣（2k ﹣1）＝2k ． 故答案为：2k ．【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．8．（2019春•徐汇区校级期末）用数学归纳法证明（n +1）（n +2）（n +3）…（n +n ）＝2n •1•3•5…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从n ＝k 到n ＝k +1时左边需增乘的代数式是 4k +2 ． 【分析】从n ＝k 到n ＝k +1时左边需增乘的代数式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1，化简即可得出．【解答】解：用数学归纳法证明（n +1）（n +2）（n +3）…（n +n ）＝2n •1•3•5…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从n ＝k 到n ＝k +1时左边需增乘的代数式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1=2（2k +1）．故答案为：4k +2．【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．（2018春•商丘期末）用数学归纳法证明：（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n ×1×3×…×（2n ﹣1）时，从“k 到k +1”左边需增加的代数式是 （k +1）（k +2）…（k +k ）（4k +1） ． 【分析】从“k 到k +1”左边需增加的代数式是：（k +2）（k +3）•…•（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1）﹣（k +1）（k +2）•…•（k +k ）．【解答】解：从“k 到k +1”左边需增加的代数式是：（k +2）（k +3）•…•（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1）﹣（k +1）（k +2）•…•（k +k ）＝（k +2）（k +3）•…•（k +k ）[（k +1+k ）（k +1+k +1）﹣（k +1）]＝（k +1）（k +2）•…•（k +k ）（4k +1）， 故答案为：（k +1）（k +2）•…•（k +k ）（4k +1）．【点评】本题考查了数学归纳法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（2018春•濮阳期末）用数学归纳法证明12+22+⋯+(n −1)2+n 2+(n −1)2+⋯+22+12=n(2n 2+1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k +1时，等式左边应添加的式子是 （k +1）2+k 2 ．【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n ＝k 与n ＝k +1时的结论，即可得到答案．【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减 由于n ＝k ，左边＝12+22+…+（k ﹣1）2+k 2+（k ﹣1）2+…+22+12n ＝k +1时，左边＝12+22+…+（k ﹣1）2+k 2+（k +1）2+k 2+（k ﹣1）2+…+22+12 比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k +1）2+k 2 故答案为（k +1）2+k 2【点评】本题的考点是数学归纳法，主要考查由n ＝k 的假设到证明n ＝k +1时，等式左边应添加的式子，关键是理清等式左边的特点． 11．（2017春•西城区校级期末）若不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n＞a(n ∈N ∗)恒成立，则a 的范围 （﹣∞，12） ．【分析】构造函数f （n ）=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n，判断函数的单调性，根据函数的单调性求出f （n ）的最小值，即可求出a 的范围． 【解答】解：设f （n ）=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n ， 则f （n +1）=1n+2+1n+3+⋯+12n +12n+1+12(n+1)，则f （n +1）﹣f （n ）=12n+1+12(n+1)−1n+1=12n+1−12n+2＞0， ∴数列f （n ）是关于n （n ∈N *）的递增数列， ∴f （n ）≥f （1）=12， ∵不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n＞a(n ∈N ∗)恒成立，∴a ＜12故答案为：（﹣∞，12）【点评】本题考查了数列和函数的关系，以及不等式恒成立的问题，属于中档题．。