《抛物线及其标准方程》课件

y2 2 px
p 0
y2 2 px
p 0
x2 2 py
p 0
数形共同点: (1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴; (3)焦点到准线的距离均为P；
(4) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。 口诀:
对称轴要看一次项,符号确定开口方向; （看x的一次项系数,正时向右,负向左;
看y的一次项系数,正时向上,负向下.）
(0，p ) y p
2
2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
四种抛物线的对比
P的意义:抛物 线的焦点到准 线的距离
方程的特点: (1)左边是二次 式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置. (3)焦点坐标中 横（纵）坐标 的值是一次项 系数的1/4，准 线方程中的数 值是一次项系 数的 -1/4.
解（直接法）：设 M(x，y)，则由已知，得
|MF|+1=|x+5|
l
y
.M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
o
.
Fx
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：
y2 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
【讲授新课】
标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离
焦点坐标是 ( p , 0) , 2

抛物线与圆的 焦点与准线： 对于抛物线， 焦点在准线上； 对于圆，焦点
在圆外
抛物线与圆的 离心率：对于 抛物线，离心 率恒为1；对 于圆，离心率
恒为0
抛物线的应用与拓展
第七章
抛物线在几何中的应用
● 定义与性质：抛物线是一种特殊的二次曲线，具有对称性和准线等性质。 ● 方程与标准形式：抛物线的方程有多种形式，其中最常用的是标准方程y^2=4px。 ● 焦点与准线：抛物线的焦点位于其对称轴上，准线则是垂直于对称轴的直线。 ● 离心率：抛物线的离心率始终为1，这是其与椭圆和双曲线的重要区别。 ● 焦半径公式：对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离PF等于到准线L的距离PL。 ● 焦点弦长公式：对于抛物线上的任意两点AB，其到焦点的距离之和AF+BF等于到准线的距离之和AL+BL。 ● 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点的射影垂直，且切线斜率等于该点横坐标的平方根。 ● 切线方程：抛物线上任意一点的切线方程可以表示为y=kx^2，其中k为切线斜率。 ● 切线与准线的关系：抛物线上任意一点的切线与准线平行，且切线与准线的距离等于该点到焦点的距离。 ● 切线与直线的交点：抛物线上任意一点的切线与过该点的直线交于一点，该点坐标为(x0,y0)。
抛物线及其标准方 程
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 抛物线的定义与性质 03 抛物线的标准方程 04 抛物线的几何意义与图像特征 05 抛物线与直线的关系
06 抛物线与圆的关系
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第一章
抛物线的定义与性质

7
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p

p

,m ，
2



因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6

m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p

3
p
p


( )2 m2 6

2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是

形状和性质
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法

求它的焦点坐标和准线方程.
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)焦点坐标是(0,4);
(2)准线方程是y=-4; (3)经过点A(-3,2);
(4)焦点在直线4x-3y-12=0上; (5)焦点为椭圆x2+4y2=4的顶点.
3、抛物线x2=4y上一点M的纵
坐标为4,则点M与抛物线焦点
的距离为
.
探究 观察动画 ，总结抛物线定义
把平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点
F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线
y
Ｈ
M
思 求抛物线方程如何建 考 立直角坐标系呢？
KO l
Fx
解：如图，以过点F且垂直于l的直线FK为x轴，线段FK的
中垂线为y轴，建立直角坐标系。设|KF|=p,则F(P/2,0)，
y
F
M
O
x
Ｈ
设M(x,y)是双曲线上任意一点，则：
|MF|=|MH|
ＨyM来自即：(x p )2 y2 x p
2
2
两端平方化简得：y2 2px(p 0)
K O Fx
所求双曲线的方程为：y2 2px(p 0) l
探 若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你 究 能根据上述办法求出它的标准方程吗？
各组分别求解开口不同时双曲线的方程。
图形
标准方程
Ｈ
y
M
y2=2px
O F x (p>0)
y
M
Ｈ
FO
x
yM
F
O
x
Ｈ
y
Ｈ
O
F
x
M
y2=-2px (p>0)

l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24

4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的 点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有
2＋
p 2
＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝
16.∴m＝±4.
答案：±4
题型一 求抛物线的标准方程 探究 1 直接法求抛物线方程 例 1 (1)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离 等于 3 的抛物线的标准方程是( ) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y
3.3.1抛物线及其标准方程
[知识要点]
要点一 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的 点的轨迹叫做__抛__物__线__．点 F 叫做抛物线的__焦__点____，直线 l 叫做 抛物线的_准__线___．
【方法技巧】(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一 个动点，设为 M；一个定点 F 叫做抛物线的焦点；一条定直线 l 叫 做抛物线的准线；一个定值，即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离之比等于 1.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距 离．( √ ) (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是 抛物线．( × ) (3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物 线才具有标准形式．( √ ) (4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写 成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( √ )
受二次函数的影响，误以为 y 根据抛物线方程求准线方程时，应

(2)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准 方程为 y2＝2px (p>0)或 x2＝－2p1y (p1>0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
即 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
(3)列式：由|MF|＝|MH| 得 x－p2(p>0)① 就是抛物线的标准方程．
(5)从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足 方程①，以方程①的解(x、y)为坐标的点到抛物线焦点的距 离与到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在 抛物线上，这样，把方程①叫做抛物线的标准方程．
小结 求抛物线方程的主要步骤都是先定位，即根据题中 条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的 p 值，从而求出方程． 常用方法有两种： (1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义， 进而求出方程． (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件， 确定参数值．
问题 4 在抛物线定义中，条件“l 不经过点 F”去掉是否 可以？ 答案 在抛物线的定义中，定点 F 不能在直线 l 上，否 则，动点 M 的轨迹就不是抛物线，而是过点 F 垂直于 直线 l 的一条直线．如到点 F(1,0)与到直线 l：x＋y－1 ＝0 的距离相等的点的轨迹方程为 x－y－1＝0，轨迹为 过点 F 且与直线 l 垂直的一条直线．
__y_2_＝__2_p_x__ ___(_p_>_0_)___
__(_p2_，__0_) _
_x_＝__－__p2__
_y_2_＝__－__2_p_x_ ___(p_>__0_) ___

[一点通] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到 焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时， 首先要注意抛物线定义的转化应用;其次是注意平面几何 知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不 等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．
[例3] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已 知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩 高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不 超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米， 且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装 150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下 深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该 桥孔？为什么？
[精解详析] (1)准线方程为 2y＋4＝0，即 y＝－2，故抛 物线焦点在 y 轴的正半轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0).又p2＝ 2，所以 2p＝8，故抛物线的标准方程为 x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)或 x2＝ －2p1y(p1>0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，得 (－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 焦点，直线l叫做抛物线的 准线 .
平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1， 0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1， l4：y＝1.
3.抛物线标准方程中的参数 p 的几何意义是焦点到准 线的距离．

即 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的方程可设为 y2＝ax 或 x2＝by. 把点(3，－4)分别代入，可得 a＝136，b＝－94， ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15.
所以 m2＝24，所以 m＝±2 6，
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6.
题型三 抛物线定义的应用
例3 抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9， 求点P的坐标．
解析：点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x＝－2 的距离， 得 xp＝7，yp＝±2 14，点 P 的坐标为(7，±2 14)．
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点
到准线的距离等于到焦点的距离，由图可知，点 P，
点(0,2)，和抛物线的焦点12，0三点共线时距离
之和最小，所以最小距离 d＝
（0－12）2＋ （2－
）2＝
17 2.
变式 训练
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6. 方法二 设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标 F－p2，0，准线方程 x＝p2. 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5，
即点 M 到准线的距离等于 5，
则
p
3＋2＝5，所以
p＝4，所以抛物线方程为
y2＝－8x.
又点 M(－3，m)在抛物线上，
C．双曲线 D．抛物线
基础 梳理
2．如下图所示，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合， 得抛物线的标准方程为 y2＝2px，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是p2，0，它的准线方程是 x＝－p2.