立方根和开立方ppt

19
2
3 1 - = _____3_____;
27
( 2 ) ( x - 1)3 = 27 , 求 x ; x 求 x ;
x=-5 4
( 4 ) 若 a + 8 + (b - 27)2 = 0 , 求 3 a - 3 b 的值. -5
课堂小结
1.什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数a的立方根？
立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性， 即一个数的立方根是唯一的.
注意： ①求立方根用到立方运算； ②负数的立方根注意符号.
探究新知
( 1 ) 3 5 表示 5的立方根，由立方根定义我们知道，x3 = a , x 是 a 的立方根， 那么（ 3 5 ）3 = 5 .
再如（： 3 -2 ）3 = ___-_2____. 类推得到（ 3 a )3 = ___a_____. ( 2 ) 因为a 是 a3的立方根 ，所以 3 a3 = ____a_____.
如：1 000的立方根是10，0的立方根是0．
探究新知
做一做 （1）2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立 方也是8？ （2）-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的 立方也是-27？ 议一议 （1）正数有几个立方根？是正是负？为什么？ （2）是否任何负数都有立方根？若有，有几个？ 是正是负？ （3）0的立方根是什么？
即（： 3 a )3 = a ,
3 a3 = a .
探究新知
例２ 求下列各式的值:
( 1 ) 3 27; ( 2 ) 3 -64;
27
(3) 3-
.
1 000
解：（1）3 27 = 3
（2） 3 -64 = -4
（3）3 - 27 = - 3 1 000 10

3
x 5
知识总结
平方根与立方根的区别和联系
平方根
正数 两个，互为相反数
性
0
0
质
没有平方根
负数
表示方法
被开方数
的范围
± a
非负数
立方根
一个，为正数
0
一个，为负数
3
a
可以为任何数
典例精讲
教材第12页
例1 求下列各数的立方根：
8
(1) 1000； (2) ； (3) -0.001； (4) 0.
3
3
3
3
100 （精确到 0.001），并利用你发现的规律求
3
3
0.1 ， 0.0001， 100000 的近似值.
3
0.000216 = 0.06
3
216 = 6
3
3
0.216 = 0.6
216000 = 60
总结
被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时立方根的
小数点就相应的向左或向右移动 n 位 (n 为正整数).
解：依次按键：
3
2ndF
显示：7，所以
依次按键： 2ndF
3
3
4
3
=
343 = 7.
3
显示：-1.1，所以
(-)
3
1
.
3
1.331 = 1.1.
3
1
=
例3 用计算器求
3
2 的近似值（精确到 0.001）.
解 ： 依次按键： 2ndF
显示：1.259 921 05
所以， 2 1.260.
3
A )
A.
B.－

负数 a 的算术平方根而非 a的立方根 .
◆任何数都可以开立方，即在
任意数 .

a 中， a可以是
知1－讲
2. 开立方： 求一个数的立方根的运算，叫作开立方 .
特别解读：立方 根与开立方的关系：立方 根是一个数，是
开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算 .
知1－练
例1 [母题 教材 P113 例 1 ]求下列各数的立方根：
∴4a－6b＋3＝－4＋3＝－1.
感悟新知
知识点 3 用计算器求一个数的立方根
知3－讲
用计算器可Байду номын сангаас求一个数的立方 根或它的近似值，按键顺序为
先按
2ndF
键，再按数字键，最后按 = 键，根据显
示结果写出立方根或它的近似值 .
知3－讲
特别说明
不同型号的计算器按键可能不同，使用计算器
时，一定要按说明书操作 .
x=6，
联立方程组，得ቊ
解得ቊ
y=10.
x － y+4 =0，
∴ x+y=16. ∴ x+y 的算术平方根是 4.
知2－练
感悟新知
知2－练
4-1.已知 3 2a+1和3 1－3b互为相反数，求4a － 6b ＋ 3 的值．
解：依题意得2a＋1＋1－3b＝0，
∴2a－3b＝－2.
∴4a－6b＝－4.
(2)

(－15) 3 =－

1－0.973 ；

1－0.973 =


15 3 = － 15.
0.027 =

0.33 =0.3.
知2－练
1
(3) － －8 ÷ 2 + (－1) 100.

宫妇左右莫不私王 朝廷之臣莫不畏王
四境之内莫不有 求于王
“ ——
《 古 文 观 止 》
语 破 之 ， 快 哉 ！ ”
关 头 ， 从 闺 房 小
臣 谄 君 蔽 ， 兴 亡
参 出 微 理 。 千 古
详 勘 。 正 欲 于 此
徐 公 之 美 ， 细 细
邹 忌 将 己 之 美 、
思考问题：
从文中看，齐威王最终能使 齐国“战胜于朝廷”，达到 “大治”的原因是什么？这给 我们带来什么启示？请结合你 的生活体验，简要谈谈你的看 法。
( )
四：小结 1：为什么要学习数的开方？ 2：开方与什么互为逆运算？ 3：平方根，算术平方根，立方根的概念和性质
五：作 业 练习册
导入新课
“以铜为镜，可以正衣冠； 以史为镜，可以知兴亡； 以人为镜，可以明得失。”
唐·魏征
《战国策》是一部重要的历史著作，也 是一部重要的散文集。作者已不可考， 最初有《国策》、《国事》、《短长》 等名称，经过汉代刘向整理编辑，始定 为《战国策》。全书共33篇，分国别编 辑。
2.君子之过，如日月之食也。过也， 人皆见之，及其更也，人皆仰之。 （《论语》）
3.良药苦口利于病，忠言逆耳利于行。 （孔子家语）
4.信言不美，美言不信。（老子）
解释下列蓝色的词 词类活用
1、吾妻之美我 认为……美，形容词意动用 者，私我也。 法 偏爱，形容词作动词。
2、能面刺寡人 之过者
3、受上赏
《战国策》的内容，主要记载战国时期 各国谋臣策士游说诸侯或进行谋议论辩 时的政治主张和纵横捭阖、尔虞我诈的 故事，也记叙了一些义士豪侠不畏强暴、 勇于斗争的行为。
《战国策》长于议论和叙事，文笔流畅， 生动活泼，在我国散文史上具有重要的 地位。

开立方——求一个数的立方根的运算． 3的立方是___, 27的立方根是___.
3
27 3
3
( 27) 27
3 3
3
注意：(1) 开立方与立方互为逆运算．
(2)
( a) a
例题 求下列各数的立方根
（1）64
8 （2） 125
（3）9
小结一:
(1)立方运算与开立方运算互为逆运算,故熟记一些 常用的立方数对开立方运算是十分有益的; (2)
3
a中
当a为某个有理数的立方时,a的开立方结果不带三 次根号; 当a不是某个有理数的立方时, a的开立方结果带三 次根号; (3)学习了立方根的表示方法后,解题中用符号表示 比用语言叙述简便得多.
例二: 求下列各式的值
“平方根”与“立方根”的比 较
知识延伸：
１． ２．
3
+2,-2 的平方根是＿＿＿. 64
64
2 的立方根是＿＿＿＿＿.
３．平方根等于它本身的数的个数为ａ， 立方根等于它本身的数的个数为ｂ，算 术平方根等于它本身的数的个数为ｃ， 则ａ＋ｂ＋ｃ的立方根是＿＿． 3 6
这节课的收获是……பைடு நூலகம்
问题与思考:
某种植物细胞可近似看作是 棱长是1 的正方体，它的体积增大一倍时，这个正 方体的棱长多少？ 棱长为1时，正方体的体积是多少？
设棱长为x,根据题意，得 X3 =2
X 为多少呢?
2.4 立 方 根
定义 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a, 那么这个数x就叫做a的立方根. (也叫做三次方根) . 比如: 23 =8， 所以2叫做8的立方根;
(-２)3＝-８，所以-２叫做-8的立方根; ０3＝０， 表示方法

归纳：
被开方数扩大（缩小）1000倍时，它 的立方根扩大（缩小）10倍.
4.考一考：已球 3
体积的比为1 ：8，则甲、乙两球的半径比
为 1 ：2 .
r
R
甲
乙
27.生活是公平的，哪怕吃了很多苦，只要你坚持下去，一定会有收获，即使最后失败了，你也获得了别人不具备的经历。 41.胜利者往往是从坚持最后五分钟的时间中得来成功。——牛顿 30.我以神的姿态，闪耀在这美的瞬间。 45.一个人最大的破产是绝望，最大的资产是希望。 54.你得先感动自己，才能感动别人。 82.忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，终能收获别人收获不到的收获。 83.并非神仙才能烧陶器，有志的人总可以学得精手艺。 80.人生的胜者决不会在挫折面前失去勇气。 89.世界上最遥远的距离不是生和死的距离，而是我刚联机的那一秒，你却脱机了。 52.人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的潜力，只要立志发挥它，就一定能渡过难关。 61.在一个崇高的目的支持下，不停地工作，即使慢、也一定会获得成功。 20.外在压力增加时，就应增强内在的动力。 34.请你用慈悲心和温和的态度，把你的不满与委屈说出来，别人就容易接受。 81.付出才会杰出。 9.只有不断找寻机会的人才会及时把握机会。 12.果断的放弃是面对人生面对生活的一种清醒的选择。 51.眼泪的存在，是为了证明悲伤不是一场幻觉。 2.真正的快乐来源于宽容和帮助。
立方根
学习目标
1、掌握公式 3 a 3 a
2、理解被开立方数扩大（或缩小）与它 的立方根扩大（或缩小）的规律.
探究
因为 3 8 = -2 ， 3 8 = -2 所以 3 8 = 3 8
因为 3 2 7 =

（如图），那么它的棱长应取多长？
已知 一个数的立方 ， 求 这个数 .
哪个数的立方等于-64？
(4)3 64
把4叫做64的立方根，把-4叫做-64的立方根.
x 8
3
x 125
3
x 27
3
你能归纳出立方根的概念吗？
立方根和开立方的概念：
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的
3 3
(3) 6000
3
(4) 0.006.
3
18.17120593
0.181712059
被开方数的小数点向左（右）移动3位， 练习 它的立方根的小数点向左（右）移动1位。
填写下表，并回答问题
a
3
…… 20.000001 ……
20.001
11
21000
21000000 ……
a
0.01
0.1
3
8 2 27 3
(3) 0.001
3
(4)0
3
0 0
0.001 0.1
立方根的特征:
1.正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负 数，零的立方等于零.
2.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一
个负数，零的立方根是零. 3.任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根.
立方根与平方根的特征有什么不同？
3 3
3
6
(3) 10 ;
3
6
10-2
-5
例3 用计算器，求值（近似值保留四位小数）
(1) 24;
2.8845
3
(2) 17576 ;
26
3
(3) 3.96;
3
1.5821

6.2立方根（第1课时）教学目标：知识与技能:1．通过立方根概念的学习，会用根号表示一个数的立方根，会求一个数的立方根.2．了解开立方与立方互为逆运算的关系．3．通过探究能分析、归纳立方根的性质，并理解立方根与平方根的异同．过程与方法:1．经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略．2．在学习了平方根的基础上，学生经历用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想方法．3．通过对立方根性质的探究，在探究中培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识．情感与态度:1．在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，让学生树立联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．2．学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．重点:引导学生类比平方根，学习立方根的概念和求法.难点:立方根的求法；立方根与平方根的联系及区别．教学过程:一、复习回顾问题1：定义平方根的定义？它的符号怎么表示？问题2：上节课我们还学习了一种新的运算，是什么运算呢？它是怎么定义的？问题3：那么平方根有什么样的性质呢？二、设计情境导入新课64m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？情境1：要制作一种容积为3你是怎么知道的？问题4：本题是已知一个数x的立方，求这个数的值，而平方根是已知一个数的平方，求这个数.对比平方根的定义，你能归纳出立方根的定义是什么吗？43=，所以4是64的立方根.因此，在上面问题中，因为64类似开平方的运算，我们也可以定义出开立方运算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.三、创设问题，探究新知探究一：根据立方根的意义填空，你能发现如何求一个数的立方根吗？因为823=，所以8的立方根是（）；因为（3）=0.064，所以0.064的立方根是（）；因为（3）=0，所以0的立方根是（）；因为（3）=–8，所以–8的立方根是（）；因为（ 3）=278-，所以278-的立方根是（ ）. 探究二：认真算一算，你有什么样的猜想？___,___,___;___,___,____;======Q Q 例题 求下列各数的值 (1)364; (2)381-; (3)36427- 四、巩固练习1.下列计算错误的是（ ）2.一个数的立方根是它本身，则这个数是（ ）A.1B.0或1C.-1或1D.0或1± 3.81的平方根与-8的立方根之和为（ ）A.-5B.7C.-5或1D.7或-114.若033=+y x ，则x 与y 的关系是互为相反数。

8 ___
=
3
3

27
27 ___
=
.
典例解析
人教版数学七年级下册
例1.求下列各式的值：
(1)
3
64 ；
解：(1)
3
(2)
3
125 ；
64 = 4； (2) 125 =-5；
3
(3)
3
27

64 .
3
27
(3)
=- .
4
64
3
针对练习
人教版数学七年级下册
求下列各式的值：
(1) 3 1000 ；
3
6.137=1.8308，
.
613.7=_________，②若
3
=0.18308，
达标检测
人教版数学七年级下册
11.已知 − 5的平方根是±4，2 − 1的立方是−27，求 − 4的算
术平方根．
解：∵ − 5的平方根是±4，
∴ − 5 = ±4
2
= 16，
解得 = 21，
人教版数学七年级下册
例5.对于结论：当 + = 0时．3 + 3 = 0也成立．若将a看成
3 的立方根，b看成 3 的立方根．由此得出结论：“如果两数的立
方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
(1)举一个具体的例子进行验证；
(2)若 3 7 − 和 3 2 − 5互为相反数，且 − 3的平方根是它本身，求 + 的
3
46.42
100000≈_______.
典例解析
人教版数学七年级下册
例2.比较下列各组数的大小.
（1） 9 与2.5;

朱德给老师让座的故事
• 1959年初春的一天，朱德同志在云南政治学校礼 堂和大家一起看戏。开演前，朱德同志正和观众 谈笑，突然一位年逾古稀的老人由服务员引了进 来。朱德一眼便认出那位老人原是自己早年在云 南陆军讲武堂学习时的教官叶成林，急忙起身向 前，立正敬礼，礼毕又紧紧握住老人的双手，亲 切地呼唤：“叶老师”。然后请老人入座，待老 人坐定后，他自己才坐下。
1928年，朱德同志带领一支队 伍到井冈山跟毛泽东同志会师。
红军在山上，山下不远处就是 敌人。
红军在山上，山下不远处就是 敌人。
井冈山的风光。 井冈山旧居。
井冈山会师 朱毛会师
zhū zhì gāng shǒu
朱志冈 守
（姓朱）（志气）（井冈山）（看守）
gōng
攻守 进攻 攻破
shǒu
有感情地读 读这段话。
他穿着草鞋， 戴着斗笠，挑着满 满的一担粮食，跟 大家一块儿爬山。
读一读，从“满满”这个词中， 你体会到了什么？
你认为朱德同志是一个怎样的人？
朱德做事不怕困难。 我觉得朱德带头挑粮，非常负 责。 朱德很爱战士们，很爱部队，很 乐意为部队做事。
苦难压不弯脊梁——新中国元帅朱德 的成长故事
27
3
27 3
(4)解：（ 0.2)3 0.008 0.008的立方根是 0.2，即3 0.008 0.2
(5)解 03 0 0的立方根是0，即3 0 0
思考：
1.正数有立方根吗？负数呢？零呢？
立方根的性质: 一个正数有一个正的立方根 一个负数有一个负的立方根 零的立方根是零。
5.计算：（1）3 (3) Nhomakorabea (2)2 (3 23 )
a 思考： 3 a

第二讲立方根和开立方【要点梳理】一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.三、立方根的性质=a=3a=要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660. 五、n次方根如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根.当n 为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根.求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数.要点诠释：实数a的奇次方根有且只有一个，正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n0=.【典型例题】例1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．12-是16-的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1D=例2、我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求1﹣的值．例3、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯（3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷--例4、计算：（1=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 例5、求下列各式中x 的值：（1）3（x ﹣1）3=24． （2）（x+1）3=﹣64．例6、求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______；（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．例7、将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。