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杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能力，指的是什么？答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
(2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
(3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。
应力的单位为Pa。
1 Pa=1 N／m2工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应力和内力的关系是什么？答：内力在一点处的集度称为应力。
4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。
5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l∆=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
（2）横向应变拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为aaa-=∆1横向应变ε/为a a∆=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
（3）横向变形系数或泊松比试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之比为一常数。
此比值称为横向变形系数或泊松比，用μ表示。
第六节 杆件的强度计算由内力图可直观地判断出等直杆内力最大值所发生的截面，称为危险截面，危险截面上应力值最大的点称为危险点。
为了保证构件有足够的强度，其危险点的有关应力需满足对应的强度条件。
一、正应力与切应力强度条件轴向拉（压）杆中的任一点均处于单向应力状态。
塑性及脆性材料的极限应力u σ分别为屈服极限s σ（或2.0σ）和强度极限b σ，则材料在单向应力状态下的破坏条件为u σσ= 材料的许用拉（压）应力[]nuσσ=，则单向应力状态下的正应力强度条件为[]σσ≤ （6-24）同理可得，材料在纯剪切应力状态下的切应力强度条件[]ττ≤ （6-25）二、正应力强度计算由式（6-1）和(6-25)得，拉（压）杆的正应力强度条件为[]σσ≤=AN maxmax （6-26） 由式（6-1）和(6-25)得，梁弯曲的正应力强度条件为[]σσ≤=zW M maxmax （6-27） 应用强度条件可进行强度校核、设计截面、确定许可载荷等三方面的强度计算。
例6-7 如图6-29(a)所示托架，AB 为圆钢杆2.3=d cm ，BC 为正方形木杆a=14cm 。
杆端均用铰链连接。
在结点B 作用一载荷P=60kN 。
已知钢的许用应力[]σ=140MPa 。
木材的许用拉、压应力分别为[]t σ=8MPa ，[]5.3=c σMpa ，试求：（1）校核托架能否正常工作。
（2）为保证托架安全工作，最大许可载荷为多大；（3）如果要求载荷P=60kN 不变，应如何修改钢杆和木杆的截面尺寸。
解 （1）校核托架强度 如图6-29(b)。
图6-29由 0=∑Y ，0sin 1=-P P α解得 100c s c 1==αP P kN 由 0=∑X ，0cos 21=+-P P α 解得 80cos 12==αP P kN杆AB 、BC 的轴力分别为10011==P N kN, 8022-=-=P N kN ，即杆BC 受压、轴力负号不参与运算。
直杆的内力、应力、变形和位移计算式及强度与刚度条件
应变横截面位移和变形量轴向拉伸与压缩
拉伸压缩
A——横截面面积
F 圆截面直杆的扭转
(非圆截面直杆扭转的应力和变形计算见表常用非圆截面直杆自由扭转时的切应力及变形计算式)
作用于一些横截面上绕轴线的外力偶
拉伸(或压缩)与弯曲的组合变形
当拉与正弯组合时
圆截面直杆的位伸(或压缩)与扭转组合变形危险点在周边第三强度理论
平面弯曲
υ——横截面挠度(垂直位移
)
，向上为正，向下为负
θ——横截面转角，
反时针转为正，反之为负
ρ——挠曲线(弯曲变形后的轴线)任一处的曲率半径
m i ——指截面一侧第i 个力(或力偶)对计算截面中性轴之矩
正负规定
1)弯曲正应力
(沿宽度方向均布，沿高度方向
线性分布)
2)弯曲切应力(对矩形及开口
薄壁截面)
(沿厚度方向均布)
I z ——对截面对中性轴惯性矩
b ——所求点厚度
积分常数C 、D 由边界条件
和光滑连续条件确定
(某些受载梁的挠度和转角见表单跨直梁的切力、弯矩和挠度及转角的计算公式)
υmax ≤υp θmax ≤θp
外力P i (或m i )作用线(或作用面)通过弯曲中心且与形心主惯性平面平行或重合(常用截面的弯曲中心位置见表常用截面弯曲中心的位置)
圆截面直杆弯曲与扭转的组合变形
此外还有弯曲切应力(略)
危险点在周边弯曲应力最大点
第三强度理论
第四强度理论。
第七章 杆类构件的应力分析与强度计算习 题7.1 图示阶梯形圆截面杆AC ，承受轴向载荷1200 kN F =与2100 kN F =, AB 段的直径mm 401=d 。
如欲使BC 与AB 段的正应力相同，试求BC 段的直径。
题7.1图解：如图所示：物体仅受轴力的作用，在有两个作用力的情况下经分析受力情况有：AB 段受力：1NAB F F = BC 段受力：12NBC F F F =+AB 段正应力：1221440.04NAB NAB AB AB F F F A d σππ⨯===⨯ BC 段正应力：()12222244NBC NBC BCBC F F F F A d d σππ+⨯===⨯ 而BC 与AB 段的正应力相同 即，BC AB σσ=解出：249d mm ==7.2 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积2500 mm A =，载荷50 kN F =。
试求图示斜截面()o30=α m-m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。
mm题7.2图解：拉杆横截面上的正应力605000010050010N F F Pa MPa A A σ︒-====⨯ 应用斜截面上的正应力和剪应力公式：2300cos σσα︒︒= 030sin 22στα︒︒=有图示斜截面m-m 上的正应力与切应力为：3075MPa σ︒= 3043.3MPa τ︒=当0=α时，正应力达到最大，其值为max 0100MPa σσ︒== 即：拉压杆的最大正应力发生在横截面上，其值为100MPa 。
当45=α时，切应力最大，其值为0max 502MPa στ︒==即拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45的斜截面上，其值为50MPa 。
7.3图示结构中AC 为钢杆，横截面面积21200 mm A =，许用应力[]1160 Mpa σ=;BC 为铜杆，横截面面积22300 mm A =，许用应力[]2100 Mpa σ=。
试求许可用载荷[]F 。
题7.3图解： （1）分析受力，受力图如图7.7b 所示。
0=∑x F 030sin 45sin N N =+-BC AC F F 0=∑y F 030cos 45cos N N =-+F F F BCAC 解得：F F BC 732.0N = F F AC 5175.0N =（2）计算各杆的许可载荷。
对BC 杆，根据强度条件[]N 2BCBC F Aσσ=≤ []220.732100FMPa A σ⨯≤= 解得：[]()66222(10010 Pa)30010m40.98 kN 0.7320.732A F σ-⨯⨯⨯≤==对AC 杆，根据强度条件[]N 11ACAC F A σσ=≤ []110.5175160FMPa A σ⨯≤=解得：[]()()6621116010 Pa 20010 m 61.84 kN 0.51750.5175A F σ-⨯⨯⨯≤==所以取40.98MAX F KN =，即[]40.98F KN =7.4 图示简易起重设备中，BC 为一刚性杆，AC 为钢质圆截面杆，已知AC 杆的直径为40 mm d =，许用拉应力为[]170 MPa σ=，外力60 kN F =，试校核AC 杆的强度。
F题7.4图解：C 铰链的受力图如图所示，平衡条件为0,XF =∑ c o s 0N B N A F F α-= 0,YF=∑ s i n0NA F F α-= 解上面两式有53NA F F ==100KN ， 43NB FF ==80KN AC 杆所受的拉应力为2479.580.04NAAC F MPa σπ⨯==⨯ 所以有[]170ACMPa σσ=AC 所受载荷在许可范围内。
7.5 图示结构，AB 为刚性杆，1,2两杆为钢杆，横截面面积分别为21300 mm A =22200 mm A =，材料的许用应力[]160 MPa σ=。
试求结构许可载荷[]F 。
题7.5图解：AB 杆受力图如图所示，其平衡条件为：,AMo =∑ 20.520N F F -= 20.25N F F = 0,YF=∑ 12N N F F F += 10.75N F F =由NF Aσ=可得111N F A σ==60.7530010F -⨯[]160MPa σ≤= 解得 64F KN ≤[]22620.2516020010N F F MPa A σσ-==≤=⨯ 解得 128F KN ≤取两者中较小的值：有[]64F KN =7.6 图示结构中AB 为刚性杆。
杆1和杆2由同一材料制成，已知40 kN F =，200 GPa E =，[]160 MPa σ=，求两杆所需要的面积。
题7.6图解：AB 杆受力图如图所示，其平衡条件为：,AMo =∑ 0.420NB F F -= 0.28NB F F KN ==0,YF=∑ N A N BF F F += 10.832N F F KN == 由NF Aσ=可得11NA F A σ==132000A []160MPa σ≤= 解得 21200A mm ≥[]2228000160NB F MPa A A σσ==≤= 解得 2250A mm ≥7.7 在图示结构中，所有各杆都是钢制的，横截面面积均等于32310 m -⨯，外力100 kN F =。
试求各杆的应力。
题7.7图解：B 铰链的受力图如图（a ）所示，平衡条件为F NACF F（a ） （b ）0,XF =∑ c o s0NC F F α-= 0,YF=∑ s i n0N A N C F F α-= 解上面两式有34NA F F ==75KN （拉力）， 54NC F F ==125KN （压力） C 铰链的受力图如图（b ）所示，平衡条件为0,XF =∑ c o s0N A C N C F F α-= 0,YF=∑ s i nN C N DF F α-=解上面两式有NAC F F ==100KN （拉力）， 34ND FF ==75KN （压力） 解出各杆的轴力后，就可求各杆的应力37500025310 NA AB F Pa MPa A σ-===⨯ 312500041.67310 NC BC F Pa MPa A σ-===⨯ 310000033.33310 NAC ACF Pa MPa A σ-===⨯37500025310ND CDF Pa MPa A σ-===⨯7.8 图示横截面为75 mm×75 mm 的正方形木柱，承受轴向压缩，欲使木柱任意横截面上的正应力不超过2.4 MPa ，切应力不超过0.77 MPa ，试求其最大载荷F=？题7.8图解：木柱横截面上正应力达到最大，其值为F A =267510F-⨯ 即：拉压杆的最大正应力发生在横截面上。
267510F-⨯[] 2.4MPa σ≤= （1）拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45的斜截面上切应力最大，其值为max 262227510F F A στ-===⨯⨯[]0.77MPa τ≤= （2） 由（1）式得F ≤13.5KN 由（2）式得F ≤8.66KN 所以其最大载荷F =8.66KN7.9 一阶梯轴其计算简图如图所示，已知许用切应力[]60 MPa τ=，122 mm D =，218 mm D =，求许可的最大外力偶矩e M 。
题7.9图解：用截面法求得AB ，BC 段的扭矩，并得到AB 段扭矩 12e T M = BC 段扭矩 2e T M =由此可见AB 段的扭矩比BC 段的扭矩大，但两段的直径不同，因此需分别求出两段的切应力AB 段 511,max 3129.5710[]60(0.022)16e e p M T M MPa W m ττπ===⨯≤= 解得有 62.70e M N m = BC 段 522,max 328.7310[]60(0.018)16e e p M T M MPa W m ττπ===⨯≤= 解得有 73.77e M N m =两值去较小值，即许可的最大外力偶矩e M 62.70N m =7.10 图示空心圆轴外径100 mm D =，内径80 m d =,已知扭矩6 k N T =⋅,80 Gpa G =，试求:(1) 横截面上A 点(45 mm ρ=)的切应力和切应变; (2)横截面上最大和最小的切应力;(3) 画出横截面上切应力沿直径的分布图。
题7.10图解： （1）计算横截面上A 点(45 mm ρ=)的切应力和切应变空心圆轴的极惯性矩为44440.10.08(1)[1()]32320.1p D I ππα=-=- A 点的切应力4460000.04546.580.10.08[1()]320.1A p T MPa I ρτπ⨯===- A 点切应变63946.58100.58108010AG τγ-⨯===⨯⨯ （2）横截面上最大和最小的切应力 横截面上最大的切应力在其最外缘处max 4460000.0551.760.10.082[1()]320.1p TD MPa I τπ⨯===-横截面上最小的切应力在其内径边缘min 4460000.0441.410.10.082[1()]320.1p Td MPa I τπ⨯===- (3) 横截面上切应力沿直径的分布图如图（a ）所示7.11 截面为空心和实心的两根受扭圆轴，材料、长度和受力情况均相同，空心轴外径为D ，内径为d ，且8.0/=D d 。
试求当两轴具有相同强度 ([][]max max 空实ττ=) 时的重量比。
解：令实心轴的半径为0d 实心轴和空心轴的扭转截面系数分别为30116p d W π=334432(1)(10.8)0.03691616p D D W D ππαπ=-=-=当受力情况向同，实心轴和空心轴内的最大切应力相等时，有：12p p T TW W =所以可得 12p p W W =即3300.036916d D ππ=所以01.1929D d ==设实心轴和空心轴的长度均为l ，材料密度为ρ，则空心轴与实心轴的重量比2222222100()l g(10.8)4l g 4D d PD P d d πρπρ--==222(1.192)(10.8)d d -=0.512=7.12一电机的传动轴直径mm 40=d ，轴传递的功率kW 30=P ，转速1400 r/min n =。
材料的许用切应力[]40 MPa τ=，试校核此轴的强度。
解：传动轴的外力偶矩为 309550204.641400e M N m N m == 轴内最大切应力 33204.641616.28[]400.0416e p M T Pa MPa MPa W d ττππ⨯====≤=⨯所以安全7.13 一传动轴，主动轮A 输入功率为36.8 kW A P =，从动轮B 、C 、D 的输出功率分别为11.0 kW B C P P ==，14.8 kW D P =，轴的转速为300 r/min n =。
