2020年等量异种和等量同种点电荷连线上和中垂线上电场强度的变化规律可知.pdf

对等量异种点电荷和等量同种点电荷电场中电场强度变化情况的研究[摘要]：本文用点电荷电场强度的计算公式以及场强的叠加原理，讨论了等量异种点电荷和等量同种点电荷电场中电场强度变化的情况。

[关键词]：电场强度，等量异种，等量同种，点电荷，叠加原理[正文]等量异种点电荷和等量同种点电荷形成的电场的电场线如图1所示。

图1根据电场线的疏密程度，我们可以知道电场中两点间的电场强度关系。

在实际处理问题时，最常见的又是两点电荷连线上的场强变化情况以及连线的中垂线上电场强度的变化情况，我们将就此展开讨论。

一、等量异种点电荷的电场1．二者连线上电场强度的变化情况如图2所示，设两点电荷电荷量的绝对值都是q ，二者间的距离为2a ，我们讨论与连线中点O 的距离为x （a x <<0）的A 点的电场强度。

如图所示，由点电荷的场强公式及电场的叠加原理知，A 点的电场强度为： ()()22a x kq a x kq E ++-= 可见E 是x 的函数，对x 求导，有：图2()()()()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-+---=-3323112212'x a x a kq x a x a kq E 由于，所以0'>E ，所以在a x <<0上，E 是增函数。

这说明x 的数值越大，即A 点离两点电荷连线的中点O 越远，场强越大。

由对称性可知，当A 位于O 点右边时，有同样的结果。

总之，从连线中点沿连线向两电荷移动时，电场强度逐渐增大，二者连线上中点位置的场强最小。

2．二者连线的中垂线上电场强度的变化情况如图3所示，我们研究二者连线的中垂线上与垂足O 相距x 的点A 的电场强度。

由对称性知，两点电荷在此处产生的场强的大小相等，方向如图所示。

由点电荷的场强公式和场的叠加原理知： θcos 222⋅+⋅=x a kq E 而 22cos x a a+=θ由上面两式可得：()23222x a kqaE +=从上式可以看出，当x 增大时，E 减小。

章末检测(时间：90分钟满分：100分)一、单项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分)1.最早提出用电场线描述电场的物理学家是()A.牛顿B.伽利略C.法拉第D.阿基米德答案 C解析牛顿发觉万有引力定律，提出了牛顿三定律；伽利略争辩了下落物体运动的特点，并设计了抱负斜面试验；法拉第最早提出用电场线描述电场，发觉电磁感应现象；阿基米德争辩了浮力问题等.综上所述，选项C正确.2.如图1所示，AB是某点电荷电场中的一条电场线，在电场线上P处自由释放一个负摸索电荷时，它沿直线向B点运动，对此现象下列推断正确的是(不计电荷重力)()图1A.电荷向B做匀加速运动B.电荷向B做加速度越来越小的运动C.电荷向B做加速度越来越大的运动D.电荷向B做加速运动，加速度的变化状况不能确定答案 D解析因负摸索电荷只受电场力状况下，向B点运动，故电场力向右，场强方向由B→A，电荷向B做加速运动，因只有一条电场线，不知电场的分布状况，故不能确定加速度变化状况.3.如图2所示，实线是一簇未标明方向的由点电荷Q产生的电场线，若带电粒子q(|Q|≫|q|)由a运动到b，电场力做正功，已知在a、b两点粒子所受电场力分别为F a、F b，则下列推断正确的是()图2A.若Q为正电荷，则q带正电，F a>F bB.若Q为正电荷，则q带正电，F a<F bC.若Q为负电荷，则q带正电，F a>F bD.若Q为负电荷，则q带正电，F a<F b 答案 A解析若Q为正电荷，q由a运动到b电场力做正功，故q带正电.由电场线疏密程度可知E a>E b，故F a>F b，A对，B错.同理，若Q为负电荷，则q带负电荷，乃有F a>F b，C、D均错.4.如图所示，正电荷q在电场中由P向Q做加速运动，而且加速度越来越大，那么可以断定，它所在的电场是图中的()答案 D解析由已知可知由P→Q电场应越来越强，电场线应越来越密，故只有D正确.5.如图3所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q (q>0)的固定点电荷.已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)()图3A.k3qR2 B.k10q9R2 C.kQ＋qR2 D.k9Q＋q9R2答案 B解析由于b点处的场强为零，依据电场叠加原理知，带电圆盘和a点处点电荷在b处产生的场强大小相等、方向相反.在d点处带电圆盘和a点处点电荷产生的场强方向相同，所以E＝k q(3R)2＋k qR2＝k10q9R2，所以B选项正确.6.如图4所示，以O为圆心的圆周上有六个等分点a、b、c、d、e、f，带相同电荷量的正、负点电荷分别放置在a、d两点时，圆心O处的电场强度大小为E.现转变a点处点电荷的位置，使O点处的电场强度转变，下列叙述正确的是()图4A.移到c点，O点处的电场强度大小不变，方向由O指向eB.移至b点，O点处的电场强度大小减半，方向由O指向dC.移至e点，O点处的电场强度大小减半，方向由O指向cD.移至f 点，O 点处的电场强度大小不变，方向由O 指向e 答案 C解析 当带相同电荷量的正、负点电荷分别放置在a 、d 两点时，依据点电荷产生的电场特点可知，在O 点处产生的合场强是各自产生的场强大小的2倍，可知每个点电荷在O 点处产生的场强大小均是E2，方向由a指向d ，当a 点处点电荷移到c 点处时，依据数学学问和矢量的运算法则可得，在O 点处产生的合场强大小减半，方向由O 指向e ，A 错误；同理，可推断B 、D 错误，C 正确.二、多项选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分，把正确选项前的字母填在题后的括号内，全部选对得6分，选对部分但不全的得3分，错选得0分)7.如图5所示，两个等量异种点电荷在其连线的中垂线上有与连线中点O 等距离的两点a 、b ，在连线上有距中点O 等距离的两点c 、d ，则下列场强大小关系式正确的是( )图5A.E a ＝E bB.E a ＝E O ＝E bC.E c ＝E dD.E c >E O >E d答案 AC解析 由电场的叠加原理可知：等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同，所以A 、C 正确，D 错误；由点电荷的场强计算公式和电场叠加原理可知，O 点和a 、b 点或c 、d 点的电场强度大小不相等，故B 错.8.两个带有同种电荷的小球A 、B ，放在光滑绝缘水平面上，其中小球A 固定，小球B 只在库仑力作用下由静止开头沿水平面运动，在运动过程中，小球B 的加速度a 和速度v 的变化是( ) A.a 始终在增大 B.a 始终在减小 C.v 始终在增大D.v 始终在减小答案 BC解析 B 在A 的静电斥力的作用下，向远离A 的方向做加速运动，A 、B 间隔越来越远，由牛顿其次定律得k q A q Br2＝m B a B ，r 渐渐变大，则a B 渐渐减小，但B 的速度始终在增大，故正确选项为B 、C. 9.如图6所示，两根细线挂着两个质量相同的小球A 、B ，原来两球不带电时，上、下两根细线的拉力分别为F A 、F B ，现在两球都带上同号电荷，上、下两根细线的拉力分别为F A ′、F B ′，则( )图6A.F A ＝F A ′B.F A ＞F A ′C.F B ＞F B ′D.F B ＜F B ′答案 AD解析 选取A 、B 整体为争辩对象，在两种状况下有F A ＝(m A ＋m B )g ，F A ′＝(m A ＋m B )g ，所以F A ＝F A ′；选取B 为争辩对象，当A 、B 不带电时，F B ＝m B g ；当A 、B 带上同种电荷时，F B ′＝m B g ＋F ，所以F B ＜F B ′.10.两个带等量正电荷的点电荷，O 点为两电荷连线的中点，a 点在中垂线上，若在a 点由静止释放一个电子，如图7所示，关于电子的运动，下列说法正确的是( )图7A.电子在从a 向O 运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大B.电子在从a 向O 运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大C.电子运动到O 时，加速度为零，速度最大D.电子通过O 后，速度越来越小，直到为零；加速度可能先增大后减小 答案 CD解析 带等量正电荷的两点电荷连线的中垂线上，中点O 处的场强为零，向中垂线的两边先变大，达到一个最大值后，再渐渐减小到零.但a 点与最大场强点的位置关系不能确定，当a 点在最大场强点的上方时，电子在从a 点向O 点运动的过程中，加速度先增大后减小；当a 点在最大场强点的下方时，电子的加速度则始终减小，故A 、B 错误；但不论a 点的位置如何，电子在向O 点运动的过程中，都在做加速运动，所以电子的速度始终增加，当达到O 点时，加速度为零，速度达到最大值，C 正确；通过O 点后，电子的运动方向与场强的方向相同，故电子做减速运动，当电子运动到a 点关于O 点对称的b 点时，电子的速度为零.同样因b 点与最大场强的位置关系不能确定，故加速度大小的变化可能先变大后减小，D 正确. 三、填空题(本题共2小题，共12分)11.(6分)如图8所示，a 、b 是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，绳与竖直方向的夹角分别为α、β，且α＜β.若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电荷量不变，两球质量为m a 、m b ，两球落地时间为t a 、t b ，落地时水平位移为x a 、x b ，则m a ________m b ，t a ________t b ，x a ________x b .(填＞，＜或＝)图8答案 ＞ ＝ ＜解析 两球带同种电荷，所以两球在水平方向受到相互作用的电场力大小相等、方向相反.对两小球分别进行受力分析有：m a g ＝F tan α，m b g ＝Ftan β.由于α＜β，所以tan α＜tan β，m a g ＞m b g ，m a ＞m b ；剪断细线水平方向上，a 的加速度小于b 的加速度.竖直方向上两球均做自由落体运动，因此两球同时落地：t a ＝t b ；由于a 的加速度小于b 的加速度，因此a 球水平飞行的距离比b 球小：x a ＜x b .12.(6分)如图9所示，空间中A 、B 、C 三点的连线恰构成始终角三角形，且∠C ＝30°，AB ＝L ，在B 、C 两点分别放置一点电荷，它们的电荷量分别是＋Q 与－Q (静电力常量为k ).求斜边AC 的中点D 处的电场强度大小________，方向________.图9 答案3kQL 2水平向右 解析 连接BD ，三角形ABD 为等边三角形，可得BD ＝CD ＝AB ＝L .点电荷＋Q 与－Q 在D 处产生的场强大小均为E 1＝k QL 2，方向如图所示，二者之间夹角大小为60°.据电场的叠加原理可知，D 处的电场强度为这两个场强的矢量和，可解得E ＝2E 1cos30°＝2×kQ L 2×32＝3kQL2，方向水平向右.四、计算题(本题共4小题，共40分，计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位) 13.(8分)如图10所示，E 为某匀强电场，将质量为2×10－3kg 的小球从A 点由静止释放，小球恰能沿直线AB 向右下方运动，且AB 与竖直方向成45°角.已知小球的带电量为2×10－4C.求匀强电场强度大小.(g ＝10m/s 2)图10 答案 100N/C解析 小球受力状况如图所示，F ＝Eq ＝mgE ＝F q ＝mg q ＝2×10－3×10N 2×10－4C＝100N/C.14.(8分)如图11所示，带电小球A 和B 放在光滑绝缘水平面上，质量分别为m A ＝2g ，m B ＝1g ；所带电荷量值q A ＝q B ＝10－7C ，A 带正电，B 带负电，现有水平向右的恒力F 作用于A 球，可使A 、B 一起向右运动，且保持间距d ＝0.1m 不变，试问F 多大？图11答案 2.7×10－2N解析 两球相互吸引的库仑力F 电＝k q A q Bd 2＝9×10－3NA 球和B 球加速度相同，隔离B 球，由牛顿其次定律得：F 电＝m B a ①把A 球和B 球看成整体，水平恒力F 即为其合外力，由牛顿其次定律得：F ＝(m A ＋m B )a ② 代入数据，由①式得a ＝9m/s 2，由②式得F ＝2.7×10－2N.15.(12分)如图12所示，把一个倾角为θ的绝缘斜面固定在匀强电场中，电场方向水平向右，电场强度大小为E ，有一质量为m 、电荷量为＋q 的物体以初速度v 0，从A 端滑上斜面恰好能沿斜面匀速运动，求物体与斜面间的动摩擦因数.图12答案 qE cos θ－mg sin θqE sin θ＋mg cos θ解析 选物体为争辩对象，受力分析如图所示，由平衡条件得：qE cos θ＝f ＋mg sin θ① N ＝qE sin θ＋mg cos θ② f ＝μN ③由①②③式联立解得 μ＝qE cos θ－mg sin θqE sin θ＋mg cos θ16.(12分)如图13所示，一长为L 的绝缘细线下端系质量为m 的金属小球，并带有－q 的电荷量，在细线的悬点O 处放一电荷量为＋q 的点电荷.要使金属球能在竖直平面内做完整的圆周运动，求：图13(1)金属球在最高点受到的库仑力多大； (2)金属球在最高点的速度至少多大；(3)假如金属球在最高点的速度为v ，则它通过最低点时的速度多大. 答案 (1)k q 2L2 (2)gL ＋kq 2mL(3)4gL ＋v 2解析 (1)依据库仑定律得金属球在最高点受到的库仑力：F ＝k q 2L 2(2)当小球在最高点绳子拉力为零时速度最小，最小速度为v 1 依据牛顿其次定律得：mg ＋k q 2L 2＝m v 21Lv 1＝gL ＋kq 2mL(3)小球从最高点到最低点的过程中，电场力做功为零，假如金属球在最高点的速度为v ，设金属球在最低点的速度为v 2，据动能定理有：mg ·2L ＝12m v 22－12m v 2解得v 2＝4gL ＋v 2。

第2节 电场能的性质一、电势能和电势1．电势能(1)电场力做功的特点：电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。

[注1](2)电势能①定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。

[注2] ②电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即W AB ＝E p A －E p B ＝－ΔE p 。

[注3]2．电势(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的电势能与它的电荷量的比值。

(2)定义式：φ＝E p q 。

(3)矢标性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。

(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。

3．等势面(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面。

(2)四个特点 ①等势面一定与电场线垂直。

②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。

③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。

[注4] ④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。

二、电势差1．定义：电荷在电场中由一点A 移到另一点B 时，电场力做功与移动电荷的电荷量的比值。

2．定义式：U AB ＝W AB q。

[注5] 3．电势差与电势的关系：U AB ＝φA －φB ，U AB ＝－U BA 。

三、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积。

即U ＝Ed ，也可以写作E ＝U d。

2．公式U ＝Ed 的适用范围：匀强电场。

【注解释疑】[注1] 电场力做功的特点与重力做功的特点类似。

[注2] 零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。

[注3] 电势能的变化特点与重力势能的变化特点类似。

[注4] 沿着电场线的方向，电势降低最快。

[注5] 推导过程为W AB＝E p A－E p B＝qφA－qφB＝q(φA－φB)＝qU AB[深化理解]1．在应用描述电势、电势能、电势差的公式时，q、W、U、E p、φ都直接代入正负号进行运算，而应用描述电场力、电场强度的公式运算时可以不代入正负号。

第1讲库仑定律电场强度课标要求考情分析3.1.1通过实验，了解静电现象。

能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象。

3.1.2 知道点电荷模型。

知道两个点电荷间相互作用的规律。

体会探究库仑定律过程中的科学思想和方法。

3.1.3 知道电场是一种物质。

了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法。

会用电场线描述电场。

3.1.4 了解生产生活中关于静电的利用与防护。

3.1.5 知道静电场中的电荷具有电势能。

了解电势能、电势和电势差的含义。

知道匀强电场中电势差与电场强度的关系。

能分析带电粒子在电场中的运动情况，能解释相关的物理现象。

3.1.6 观察常见的电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象。

能举例说明电容器的应用。

1．新高考例证2020年某某高考卷第10题，考查同种电荷电场线的分布情况，比较圆周上各点电势高低及引入带负电的试探电荷后比较电势能的大小。

2．新高考预测(1)以选择题的形式考查电场力的性质、电场能的性质及电容器的基本特点和规律。

(2)在计算题中把电场力的性质和能的性质与牛顿运动定律、功能关系结合起来，以带电粒子在电场中运动为模型进行综合考查。

知识体系一、电荷及电荷守恒定律1．元电荷、点电荷(1)元电荷：e×10－19 C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍。

(2)点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。

点电荷是一种理想化模型。

2．电荷守恒定律(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移的过程中，电荷的总量保持不变。

(2)三种起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。

(3)带电实质：电子的转移。

思考辨析1．近代物理实验发现，在一定条件下，带电粒子可以产生和湮灭，故在一定条件下，电荷守恒定律不成立。

两等量同种（异种）电荷场强分布特点等量同种（异种）点电荷在空间的场强分布比较复杂，但在两条线（点电荷连线及其中垂线）上仍有其规律性，为研究方便，设它们带电量为Q ，两电荷连线AB 长度为L,中点为O.一、 等量异种电荷1、 两电荷连线上如图1所示，在两电荷连线上任取一点G ，设AG 长度为x ，则G 点场强E G 为两点电荷分别在该点的场强E A 、E B荷指向负电荷一侧），由点电荷场强公式知：E G = E A + E B =()[]()[]22222)(xL x xx L L kQ x L kQ x kQ ---=-+∵x+(L-x)等于定值L ，∴当x=(L-x)，即x=2L时，x 与 (L-x)乘积最大， E G 有最小值，即在两电荷连线中点O 处场强最小，从O 点向两侧逐渐增大，数值关于O 点对称。

2、 中垂线上如图2所示，在中垂线上，任取一点H ，设OH=x ，根据对称性知：E H 沿水平方向向右，即在中垂线上各点场强水平向右（垂直于中垂线指向负电荷一侧），沿中垂线移动电荷，电场力不做功，由电势差定义知：中垂线为一等势线，与无限远处等势，即各点电势为零。

H 点的场强E H =232222222222222cos 22⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛x L kQL x L L x L kQ x L kQ θ，∴在O 点，即x=0处，E H 最大，x 越大，即距O 点越远E H 越小，两侧电场强度数值关于O 点对称。

图1G O B图2H二、 等量同种电荷1、 电荷连线上如图3所示，在两电荷连线上任取一点N ，设AN 长度为x ，则N 点场强E N 为两点电荷在该点的场强E A 、E B 的矢量和，方向沿AB 连线，O 点左侧从A 指向B ，右侧从B 指向A （沿两电荷连线指向较远一侧电荷，若两电荷为等量负电荷则反之），N 点电场强度大小知：E N =22)(x L kQx kQ --， ∴当x=2L时，E N =0，，即在两电荷连线中点O 处场强最小， 从O 点向两侧逐渐增大，数值关于O 点对称，方向相反。

课时分层作业(三) 电场 电场强度(时间：40分钟 分值：100分)[合格基础练]一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分) 1．关于电场强度，下列说法正确的是( )A ．在以点电荷为球心、r 为半径的球面上，各点的电场强度都相同B ．正电荷周围的电场强度一定比负电荷周围的电场强度大C ．若放入正电荷时，电场中某点的电场强度方向向右，则放入负电荷时，该点的电场强度方向仍向右D ．电荷所受到的静电力很大，说明该点的电场强度很大C [电场强度是矢量，在以点电荷为球心、r 为半径的球面上，各点的电场强度的大小是相同的，但是方向不同，所以不能说电场强度相同，选项A 错误；判定场强大小的方法是在该处放置一试探电荷，根据E ＝F q来比较，与产生电场的场源电荷的正负没有关系，选项B 错误；电场强度的方向与试探电荷无关，选项C 正确；虽然电场强度的大小可以用E ＝F q来计算，但E ＝F q并不是电场强度的决定式，电场中某点的电场强度大小是一个定值，与所放入的试探电荷及电荷的受力情况无关，选项D 错误。

]2．用电场线能直观、方便地比较电场中各点的场强大小与方向。

如图是静电除尘集尘板与放电极间的电场线，A 、B 是电场中的两点，则( )A ．E A ＜EB ，方向不同 B ．E A ＜E B ，方向相同C ．E A ＞E B ，方向不同D ．E A ＞E B ，方向相同C [根据电场线的疏密表示电场强度的大小，知E A ＞E B 。

电场强度的方向为电场线上该点的切线方向，可知，A 、B 两点的场强方向不同，故选项C 正确，A 、B 、D 均错误。

]3.(多选)如图所示是一簇未标明方向、由单一点电荷产生的电场线，虚线是一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a 、b 是轨迹上的两点。

若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可判断出该带电粒子( )A ．电性与场源电荷的电性相同B ．在a 、b 两点所受电场力大小F a >F bC ．在a 、b 两点的速度大小v a >v bD ．在a 、b 两点的动能E k a <E k bBC [根据带电粒子的运动轨迹可知，带电粒子所受电场力的方向跟电场线共线，指向运动轨迹曲线弯曲的内侧，由此可知，带电粒子与场源电荷电性相反，选项A 错误；a 点电场线比b 点密，所以a 点场强较大，带电粒子在a 点所受电场力较大，选项B 正确；假设带电粒子由a 点运动到b 点，所受电场力方向与速度方向之间的夹角大于90°，电场力做负功，带电粒子的动能减少，速度减小，即E k a >E k b ，v a >v b ，同理可分析带电粒子由b 点运动到a 点时也有E k a >E kb ，v a >v b ，故选项C 正确，D 错误。

压轴题06电场力的性质和电场能的性质考向一/选择题：电场中的一线一面一轨迹问题考向二/选择题：电场中的三类图像考向三/选择题：电场中带电体的各类运动考向一：电场中的一线一面一轨迹问题1.两种等量点电荷的电场强度及电场线的比较比较等量异种点电荷等量同种点电荷电场线分布图电荷连线上的电场强度沿连线先变小后变大O 点最小,但不为零O 点为零中垂线上的电场强度O 点最大,向外逐渐减小O 点最小,向外先变大后变小关于O 点对称位置的电场强度A 与A'、B 与B'、C 与C'等大同向等大反向2.“电场线+运动轨迹”组合模型模型特点:当带电粒子在电场中的运动轨迹是一条与电场线不重合的曲线时,这种现象简称为“拐弯现象”,其实质为“运动与力”的关系。

运用牛顿运动定律的知识分析:(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置电场线的切线方向且指向轨迹的凹侧),从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动的情况。

(2)“三不知时要假设”——电荷的正负、电场的方向、电荷运动的方向,是题目中相互制约的三个方面。

若已知其中一个,可分析判定各待求量;若三个都不知(三不知),则要用“假设法”进行分析。

3．几种典型电场的等势面电场等势面重要描述匀强电场垂直于电场线的一簇平面点电荷的电场以点电荷为球心的一簇球面等量异种点电荷的电场连线的中垂线上电势处处为零等量同种(正)点电荷的电场两点电荷连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高4．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。

(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。

(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。

考向二：电场中的三类图像（一）φ-x 图像1.电场强度的大小等于φ-x 图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x 图线存在极值,其切线的斜率为零。

第2课时电场线匀强电场[学习目标] 1.知道什么是电场线并掌握电场线的特点.2.知道孤立正负点电荷、等量同种(异种)点电荷电场线的分布特点.掌握两个等量同种(异种)点电荷连线及中垂线上的电场变化规律.3.知道什么是匀强电场及其特点.一、电场线匀强电场1.英国物理学家法拉第首先用电场线描述电场.2.电场线是画在电场中的一条条有方向的曲线，曲线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向.3.电场线的特点(1)电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷.(2)电场线在电场中不相交.(3)在同一电场中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏.二、匀强电场1.概念：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场就叫作匀强电场.2.特点：(1)电场方向处处相同，电场线是平行直线.(2)场强大小处处相等，电场线疏密程度相同.判断下列说法的正误.(1)电场线不仅能在空间相交，也能相切.(×)(2)在电场中，凡是电场线通过的点的电场强度不为零，不画电场线区域内的点的电场强度为零.(×)(3)同一试探电荷在电场线密集的地方所受静电力大.(√)(4)电场线是人们假设出来的，用以形象表示电场的强弱和方向，客观上并不存在.(√)(5)匀强电场的电场线可以是间距相等的曲线.(×)一、电场线匀强电场导学探究(1)电荷周围存在着电场，法拉第采用了什么简洁方法来描述电场？(2)在实验室，可以用实验模拟电场线；头发屑在蓖麻油中排列显示了电场线的形状，这能否说明电场线是实际存在的线？答案(1)法拉第采用了画电场线的方法描述电场.(2)不能，电场线实际不存在，但可以用实验模拟.知识深化1.电场线的特点(1)电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷.(2)电场线在电场中不相交.(3)在同一电场中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏.2.点电荷的电场线(1)点电荷形成的电场中，不存在电场强度相同的点，离场源电荷越近，电场线越密集，电场强度越强.(2)正点电荷的场强方向背离点电荷，负点电荷的场强方向指向点电荷.(3)若以点电荷为球心作一个球面，电场线处处与球面垂直.在此球面上电场强度大小处处相等，方向各不相同.3.匀强电场的电场线匀强电场的电场线是间隔相等的平行线，场中各点场强大小相等、方向相同.如图1所示是电场中某区域的电场线分布，a、b是电场中的两点，则()图1A.a点的电场强度较大B.同一点电荷放在a点受到的静电力比放在b点时受到的静电力小C.正电荷在a点由静止释放，它在静电力作用下运动的轨迹与电场线一致D.电荷在a点受到的静电力方向必定与该点场强方向一致答案 A解析a点处的电场线比b点处的密，因此a点的电场强度比b点的大，同一点电荷在a点受到的静电力也大，故A正确，B错误；正电荷在a点由静止释放时，静电力方向始终沿电场方向，而速度方向则在不断变化，因此其运动的轨迹不沿电场线，故C错误；若是负电荷，则在a点所受静电力方向和电场方向相反，因此电荷在a点受到的静电力方向不一定和电场方向相同，故D错误.图中画了四个电场的电场线，其中图A和图C中小圆圈表示一个点电荷，图A中虚线是一个圆，图B中几条直线间距相等且互相平行，则在选项图A、B、C、D中M、N两处电场强度相同的是()答案 B解析电场强度为矢量，M、N两处电场强度相同，则电场强度方向、大小都要相同.图A中M、N两点的电场强度大小相同，方向不同.图B是匀强电场，M、N两点的电场强度大小、方向都相同.图C中M、N两点的电场强度方向相同、大小不同.图D中M、N两点的电场强度大小、方向都不相同，故选项B正确.二、两等量点电荷的电场导学探究1.等量异种点电荷(1)在图2中画出等量异种点电荷周围的电场线.图2(2)完成下列填空：①两点电荷连线之间的场强大小变化情况是：从左向右场强大小变化情况为________；在O 点左侧场强方向________，在O点右侧场强方向________.②从两点电荷连线中点O沿中垂线到无限远，场强大小变化情况是________；在O点上方场强方向________，在O点下方场强方向________.③连线或中垂线上关于O点对称的两点场强大小________(填“相等”或“不相等”)，方向________(填“相同”或“相反”).答案(1)(2)①先变小后变大向右向右②逐渐减小向右向右③相等相同2.等量同种点电荷(1)在图3中画出等量正点电荷周围的电场线.图3(2)完成下列填空①两点电荷连线之间的场强大小变化情况是从左向右场强大小变化情况是________；在O点左侧场强方向________，在O点右侧场强方向________.②从两点电荷连线中点O沿中垂线到无限远，场强大小变化情况是________；在O点上方场强方向________，在O点下方场强方向________.③连线或中垂线上关于O点对称的两点场强大小________(填“相等”或“不相等”)，方向________(填“相同”或“相反”).答案(1)(2)①先变小后变大向右向左②先变大后变小向上向下③相等相反(2021·沭阳县修远中学高一月考)在M、N两点放置等量的异种点电荷如图4所示，MN是两电荷的连线，HG是两电荷连线的中垂线，O是垂足.下列说法正确的是()图4A.OM中点的电场强度大于ON中点的电场强度B.O点的电场强度大小与MN上各点相比是最小的C.O点的电场强度大小与HG上各点相比是最小的D.将试探电荷沿HG由H移送到G，试探电荷所受静电力先减小后增大答案 B解析等量异种点电荷电场线分布如图所示，电场线的疏密表示电场的强弱，由对称性可知OM中点的电场强度等于ON中点的电场强度；O点的电场强度大小与MN上各点相比是最小的；O点的电场强度大小与HG上各点相比是最大的，故A、C错误，B正确；因电场线的疏密表示电场的强弱，沿HG由H到G电场强度先变大再减小，由F＝qE可知，将试探电荷沿HG由H移送到G，试探电荷所受静电力先增大后减小，故D错误.针对训练如图5所示，一电子沿等量异种点电荷连线的中垂线由A→O→B匀速运动，电子重力不计，则电子除受静电力外，所受的另一个力的大小和方向变化情况是()图5A.先变大后变小，方向水平向左B.先变大后变小，方向水平向右C.先变小后变大，方向水平向左D.先变小后变大，方向水平向右答案 B(多选)(2020·宝鸡渭滨区期末)两个带等量正电荷的点电荷，O点为两电荷连线的中点，a点在连线的中垂线上，若在a点由静止释放一个电子，如图6所示，仅在静电力作用下，关于电子的运动，下列说法正确的是()图6A.电子在从a点向O点运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大B.电子在从a点向O点运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大C.电子运动到O点时，加速度为零，速度最大D.电子通过O点后，速度越来越小，一直到速度为零答案CD解析在两等量正点电荷连线中垂线上的电场强度方向O→a，电子从a点到O点运动的过程中，静电力方向a→O，故加速度方向向下，与速度同向，故速度越来越大；但电场线的疏密情况不确定，O点上方的电场强度最大点位置不确定，故电场强度大小变化情况不确定，则电子所受静电力大小变化情况不确定，加速度变化情况无法判断，故A、B错误；越过O 点后，电子做减速运动，则电子运动到O点时速度最大，静电力为零，加速度为零，故C正确；根据电场线的对称性可知，通过O点后，电子做减速运动，速度越来越小，一直到速度为零，故D正确.考点一电场线匀强电场1.(多选)以下关于电场和电场线的说法正确的是()A.电场线就是电荷在电场中的运动轨迹B.在电场中，凡是有电场线通过的点，场强不为零，不画电场线的区域内的点，场强为零C.在同一电场中，同一试探电荷在电场线密集的地方所受静电力大D.电场线是人们假想的，用以形象表示电场强度的大小和方向，客观上并不存在答案CD解析电场线是为了方便描述电场强度的大小及方向而引入的假想线，它不一定与电荷的运动轨迹重合，没画电场线的区域也有电场，场强不为零，A、B错误，D正确；在同一电场中，电场强度较大的地方电场线较密，同一电荷受到的静电力也较大，C正确.2.如图1所示是点电荷Q周围的电场线，图中A到Q的距离小于B到Q的距离.以下判断正确的是()图1A.Q是正电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度B.Q是正电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度C.Q是负电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度D.Q是负电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度答案 A解析正电荷的电场线向外辐射，电场线密的地方电场强度大，所以A正确.3.如图2所示为电场中的一条电场线，在该电场线上有a、b两点，分别用E a、E b表示两处电场强度的大小，则()图2A.a、b两点的电场强度方向相同B.因为电场线由a指向b，所以E a>E bC.因为电场线是直线，所以E a＝E bD.a、b两点的电场强度方向可能不相同答案 A解析a、b两点所在的电场线是直线，所以a、b两点电场强度方向必定相同，故A正确，D错误；电场线的疏密表示电场强度的相对大小，题中只有一条电场线，无法判断电场线的疏密，也就无法判断a、b两点电场强度的大小，故B、C错误.4.(2020·启东市期中)如图3为金属球放入匀强电场后电场线的分布情况.设该电场中A、B两点的电场强度大小分别为E A、E B，则A、B两点()图3A.E A＝E B，电场方向相同B.E A<E B，电场方向相同C.E A>E B，电场方向不同D.E A<E B，电场方向不同答案 D解析电场线的疏密表示电场强弱，由题图可知，B点电场线密集，A点电场线稀疏，故E A<E B，又电场中某点的电场方向为电场线在该点的切线方向，则由题图可知，A、B两点的电场方向不同，故A、B、C错误，D正确.5.正电荷q只在静电力作用下由P向Q做加速运动，而且加速度越来越大，那么可以断定，它所在的电场是下列图中的哪一个()答案 D解析在同一电场中，电场线越密，电场强度越大，电荷受到的静电力越大，加速度越大，故A、B、C错误，D正确.6.某电场的电场线分布如图4所示，下列说法正确的是()图4A.c点的电场强度大于b点的电场强度B.若将一试探电荷＋q由a点静止释放，它将沿电场线运动到b点C.b点的电场强度大于d点的电场强度D.a点和b点的电场强度的方向相同答案 C解析电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知E d＞E c，E b＞E d，故选项C正确，A 错误；由于电场线是曲线，由a点静止释放的正电荷不可能沿电场线运动，故选项B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不在同一条直线上，即a点和b 点的电场强度的方向不同，故选项D错误.考点二两等量点电荷周围的电场7.(多选)如图5所示，在等量异种点电荷形成的电场中，O是两点电荷连线的中点，E、F是两点电荷连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O点对称，则()图5A.B、C两点场强大小和方向都相同B.A、D两点场强大小相等，方向相反C.E、O、F三点比较，O点场强最大D.B、O、C三点比较，O点场强最大答案AC解析由对称性可知，B、C两点场强大小和方向均相同，A正确；A、D两点场强大小相等、方向相同，B错误；在两点电荷连线的中垂线上，O点场强最大，在两点电荷连线上，O点场强最小，C正确，D错误.8.如图6为真空中两点电荷A、B形成的电场中的一簇电场线，已知该电场线关于虚线对称，O点为A、B电荷连线的中点，a、b为其连线的中垂线上对称的两点，则下列说法正确的是()图6A.A、B可能带等量异号的正、负电荷B.A、B可能带不等量的正电荷C.a、b两点处无电场线，故其电场强度可能为零D.同一试探电荷在a、b两点处所受静电力大小相等，方向相反答案 D解析根据电场线的方向及对称性，可知该电场为等量正点电荷形成的电场，A、B错误；a、b两点虽没有画电场线，但两点的电场强度都不为零，C错误；根据等量正点电荷的电场特点可知，同一试探电荷在a、b两点所受静电力等大反向，D正确.9.如图7所示，a、b两点处分别固定有等量异种点电荷＋Q和－Q，c是线段ab的中点，d 是ac的中点，e是ab的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在d、c、e点，它所受的静电力分别为F d、F c、F e，则下列说法中正确的是()图7A.F d、F c、F e的方向都是水平向右B.F d、F c的方向水平向右，F e的方向竖直向上C.F d、F e的方向水平向右，F c＝0D.F d、F c、F e的大小都相等答案 A解析根据场强叠加原理，d、c、e三点场强方向都是水平向右，正点电荷在各点所受静电力方向与场强方向相同，故A正确，B、C错误；两点电荷连线上场强由a到b先减小后增大，中垂线上由c到无穷远处逐渐减小，因此c点场强是两点电荷连线上最小的(但不为0)，是中垂线上最大的，故F d>F c>F e，故D错误.10.真空中有两个等量异种点电荷，以两点电荷连线中点O为坐标原点，以它们连线的中垂线为x轴，图中能正确表示x轴上电场强度变化情况的是()答案 A解析两等量异种点电荷电场的电场线如图所示，在它们连线的中垂线上，从连线上的中点O到无穷远处的电场强度逐渐减小，故选A.11.(多选)如图8所示，两个带等量正电荷的小球A、B(可视为点电荷)，被固定在光滑绝缘水平面上.P、N是小球A、B连线的垂直平分线上的点，且PO＝ON.现将一个电荷量很小的带负电的小球C(可视为质点)，由P点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，关于小球C 的速度－时间图像中，可能正确的是()图8答案 AB解析 在AB 的垂直平分线上，从无穷远处到O 点电场强度先变大后变小，到O 点变为零，带负电的小球受力方向沿垂直平分线，如果P 、N 与O 之间的距离足够远，小球从P 点运动到O 点，加速度先变大后变小，速度不断增大，在O 点加速度变为零，速度达到最大，v －t 图线的斜率先变大后变小；由O 点到N 点，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性，B 正确；同理，如果P 、N 与O 之间的距离很近，A 正确.12.如图9所示，在场强为E 的匀强电场中，取O 点为圆心，r 为半径作一圆周，在O 点固定一电荷量为＋Q 的点电荷，a 、b 、c 、d 为相互垂直且过圆心的两条直线和圆周的交点.当把一试探电荷＋q 放在d 点恰好平衡时(不计重力，静电力常量为k )：图9(1)匀强电场场强E 的大小、方向如何？(2)试探电荷＋q 放在点c 时，受力F c 的大小、方向如何？(3)试探电荷＋q 放在点b 时，受力F b 的大小、方向如何？答案 (1)k Q r 2 方向沿db 方向 (2)2k Qq r 2 方向与ac 方向成45°角斜向下 (3)2k Qq r 2 方向沿db 方向 解析 (1)对试探电荷进行受力分析如图所示，由题意可知，试探电荷放在d 点：F 1＝k Qq r 2，F 2＝qE 由平衡条件知F 1＝F 2，所以qE ＝k Qq r 2，E ＝k Q r2， 正电荷所受静电力方向与场强方向相同，故匀强电场方向沿db 方向.(2)试探电荷放在c 点：E 1＝kQ r 2＝E ， E c ＝E 21＋E 2＝2E ＝2k Q r2 所以F c ＝qE c ＝2k Qq r2， 方向与ac 方向成45°角斜向下.(3)试探电荷放在b 点：E 2＝kQ r 2＝E ，E b ＝E 2＋E ＝2E ＝2k Q r2 所以F b ＝qE b ＝2k Qq r2，方向沿db 方向.13.(多选)如图10，P 、Q 是矩形ABCD 的AD 边和BC 边的中点，E 、F 是AB 边和CD 边的中点，M 、N 是PQ 连线上的两点且MP ＝QN ，M 点和N 点有等量异种点电荷.关于图中八个点的场强关系，下列说法正确的是( )图10A.A 与B 点场强不同，A 与C 点场强不同B.A 与D 点场强不同，B 与D 点场强相同C.B 与C 点场强不同，E 与F 点场强不同D.C与D点场强不同，P与Q点场强相同答案BD解析等量异种点电荷的电场线分布情况如图所示.根据电场线的对称性可知，A、B、C、D四点的电场线的疏密程度相同，即电场强度大小相等，并且A与C点、B与D点场强方向相同，A与B点、A与D点场强方向不同，A错误，B正确；E与F点电场线的疏密程度相同，即场强大小相等，并且方向相同，C错误；P与Q点场强大小相等，方向相同，D正确.。

两等量点电荷产生的场强变化规律垫江中学 张 雄 408300关于静电场中等量点电荷产生的场强的变化规律是我们中学阶段要求大家能够灵活应用其解决问题，现将其变化规律小结如下：一、两等量同种点电荷的场强规律（以正电荷为例） 设点电荷A 、B 的电量均为Q ，且点电荷A 、B 的距离为L ，其连线上任取一点P ,设其到A 、B 得距离分别为1r 、2r1、两等量同种点电荷连线上的场强变化规律221222121212221211()(+)()P A B kQ kQ E E E r r kQ r r r r r r kQ r r =-=-=--=由上式可以得到当12r r =时，即P 点移到O 点时，0P O E E ==。

故连线上的场强变化情况为：两端强，中间弱（最小值为零）。

由图2中的电场线分布也可得出此结论。

2、两等量同种点电荷连线的中垂线上的场强变化规律如图1所示，在中垂线上任取一点M ，则A 、B 在M 点处产生的场强为224cos ==A B kQ E E L θ''根据平行四边形定则得到M 点的合场强为228sin sin cos sin M AB kQE E E Lθθθθ''=+= 令2cos sin y θθ=，则242222322231cos sin 2sin cos cos 212sin cos cos 23124 2327y θθθθθθθθ==⨯⋅⋅⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭ 当222sin cos θθ=时，即sin 2tan cos 2θθθ==时，2y 取得最大值427A ++B PMO2r 图11r A E BE AE 'BE 'ME θ图2 等量正电荷的电场线分布图即239y ≤且239max y =，所以2281639M kQ kQE y L L =≤ 即当sin 2tan cos 2θθθ==时，M 点的场强取得最大值，且21639M max kQ E L= 根据上述的求解可得两等量同种点电荷连线的中垂线上的场强变化规律：由O 点等于零向外逐渐增大到21639kQ L （此时2arctan 2θ=），然后又逐渐减小直到无穷远处趋近于零。

两等量同种（异种）电荷场强分布特点等量同种（异种）点电荷在空间的场强分布比较复杂，但在两条线（点电荷连线及其中垂线）上仍有其规律性，为研究方便，设它们带电量为Q ，两电荷连线AB 长度为L,中点为O.一、 等量异种电荷1、 两电荷连线上如图1所示，在两电荷连线上任取一点G ，设AG 长度为x ，则G 点场强E G 为两点电荷分别在该点的场强E A 、E B荷指向负电荷一侧），由点电荷场强公式知：E G = E A + E B =()[]()[]22222)(xL x xx L L kQ x L kQ x kQ ---=-+∵x+(L-x)等于定值L ，∴当x=(L-x)，即x=2L时，x 与 (L-x)乘积最大， E G 有最小值，即在两电荷连线中点O 处场强最小，从O 点向两侧逐渐增大，数值关于O 点对称。

2、 中垂线上如图2所示，在中垂线上，任取一点H ，设OH=x ，根据对称性知：E H 沿水平方向向右，即在中垂线上各点场强水平向右（垂直于中垂线指向负电荷一侧），沿中垂线移动电荷，电场力不做功，由电势差定义知：中垂线为一等势线，与无限远处等势，即各点电势为零。

H 点的场强E H =232222222222222cos 22⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛x L kQL x L L x L kQ x L kQ θ，∴在O 点，即x=0处，E H 最大，x 越大，即距O 点越远E H 越小，两侧电场强度数值关于O 点对称。

图1G O B图2H二、 等量同种电荷1、 电荷连线上如图3所示，在两电荷连线上任取一点N ，设AN 长度为x ，则N 点场强E N 为两点电荷在该点的场强E A 、E B 的矢量和，方向沿AB 连线，O 点左侧从A 指向B ，右侧从B 指向A （沿两电荷连线指向较远一侧电荷，若两电荷为等量负电荷则反之），N 点电场强度大小知：E N =22)(x L kQx kQ --， ∴当x=2L时，E N =0，，即在两电荷连线中点O 处场强最小， 从O 点向两侧逐渐增大，数值关于O 点对称，方向相反。

等量双电荷连线及中垂线上场强与电势的变化规律作者：司德平来源：《中学物理·高中》2014年第03期(郑州外国语学校河南郑州450001)真空中两个等量异(同)种点电荷的连线及中垂线上场强或电势的变化规律是历年高考考查的热点.这类“双电荷”问题体现了叠加、对称与极限思维，学生看起来似曾熟悉，但往往较难做出正确解答，究其原因，主要是没有真正理解这类“双电荷”电场的特点与规律.本文就来探讨真空中等量双电荷连线及中垂线上场强与电势的变化规律.1等量异种双电荷的连线及中垂线上场强与电势的变化规律1.1场强的变化规律(1)中垂线上场强的变化规律如图1所示，真空中两个等量异种点电荷的电量分别为+Q和-Q，连线为线段AB，MN为AB的中垂线，垂足为O.在中垂线MN上任取一点C，令OC=y,AB=L，在Rt△AOC和Rt△BOC中，有AC=BC=(L2)2+y2,cosθ=L2(L2)2+y2.+Q和-Q分别在C点处产生场强的大小为EA=EB=kQ(L2)2+y2.由平行四边形定则可知，C点处的合场强EC平行于连线AB指向-Q一侧，且EC=2EAcosθ=kQL［(L2)2+y2］3/2(1)(1)式中k、Q、L是常量，由(1)式可知，当y=0时，EC有最大值，且ECmax=8kQL2，即中垂线上垂足O处的场强最大；当y变大时，上式分母［(L2)2+y2］3/2逐渐变大，则EC的值因单调递减而逐渐变小；当y→∞时，EC→0，即中垂线上距O点无穷远处几乎不存在电场，场强为零.可见，真空中两个等量异种点电荷的连线中垂线上，垂足处的场强最大，沿中垂线向两侧、关于垂足对称场强逐渐减小，无穷远处场强为零，场强的方向始终垂直于中垂线指向负场源点电荷一侧.如图2所示.(2)连线上场强的变化规律如图1所示，在连线AB上任取一点D，令AD=x,AB=L，则BD=L-x.+Q在D点产生的场强为EA′=kQx2,-Q在D点产生的场强为EB′=kQ(L-x)2,由场强矢量的叠加原理可知，D点的合场强为ED=EA′+EB′=kQ［1x2+1(L-x)2］(2)外接法、电流表内接法几种形式，如图3所示，构成“A-a、A-b、B-a、B-b”4种组合方式.对于同一个基本原理，也可能有多种实验处理的方法和替换方式，以伏安法测电阻(外接法)为例，如图4所示，其中(1)和(2)分别是改装了电流表和电压表，这两种情景是在基本伏安法的基础上进行了电表改装的拓展，本质与原设计是一致的；如果总电压恒定不变，可以变图(1)为图(3)，变图(2)为图(4)或(5)，引导学生进行归类能够将头脑中的电学实验有机的融合到一块.物理实验教学培养学生创新能力的重要途径，无论是演示实验还是学生分组实验，学生是主体，我们教师要充分发挥主导性作用，对教材中的实验内容和实验装置进行必要的改进和重组，提高物理实验的探究性和思考性，激发学生的正向思维，引导学生在思考、设计、探究的一系列过程中实现知识的累积和方法的沉淀，同时自身的创新意识和创新能力得到提高.为了讨论ED随x的变化规律，对(2)式求导可得ED′=kQ［-2x-3+2(L-x)-3］=2kQ［1(L-x)3-1x3］(3)由(3)式可知，当x＜L2时，ED′＜0，则原函数ED在(0，L2］上为递减函数，即线段AO 上，沿AO方向各点的合场强具有随x增大而减小的变化规律；当x＞L2时，ED′＞0，则原函数ED在［L2，L)上为递增函数，即线段OB上，沿OB方向各点的合场强具有随x增大而增大的变化规律；当x=L2时，ED′=0，则原函数ED有最小值，即EDmin=8kQL2.场强的变化规律如图3所示.可见，在真空中两个等量异种点电荷的连线上，两端点处的场强最大，中点O处场强最小(但不等于零)，连线上其他各点场强的大小总是沿连线从中点O向两场源电荷场强逐渐增大，其中关于中点O对称点的场强大小相等,方向相同，沿连线指向负场源点电荷一侧.此规律也可利用分子动理论中分子力随距离变化的规律进行类比.另外，也可根据两个等量异种点电荷的连线周围电场线的疏密变化，定性知道场强沿连线先变小后变大.1.2电势的变化规律真空中两个等量异种点电荷的连线位于一条由正场源点电荷指向负场源点电荷的电场线上，沿着电场线电势逐渐降低，其中连线的中垂线正场源点电荷一侧的电势大于零，连线的中垂线负场源点电荷一侧的电势小于零，连线与中垂线的交点(垂足)处的电势等于零，如图4所示；因为连线的中垂线上的场强方向始终垂直于中垂线指向负场源点电荷一侧，因此，沿中垂线移动电荷至无穷远时，电场力不做功，即中垂线为一条等势线.若取无穷远处电势为零，则中垂线上各点的电势均为零.2等量同种双电荷的连线及中垂线上场强与电势的变化规律2.1场强的变化规律(1)中垂线上场强的变化规律如图5所示，真空中两个等量同种点电荷的带电量均为+Q，连线AB的长度为L，连线与中垂线的交点(垂足)为O.在中垂线上任取一点C，设∠CAB=θ.两场源正点电荷分别在C点产生的场强为E1=E2=kQ(L2cosθ)2=4kQcos2θL2,由平行四边形定则可知，C点处的合场强E沿中垂线背离O点，且E=2E1sinθ=8kQL2cos2θsinθ(4)在(4)式中，令y=sinθcos2θ，对y求导得y′=cosθ-3sin2θcosθ=cosθ(1-3sinθ)·(1+3sinθ),则当sinθ=±33时，y′=0，即当θ=arcsin33=35.26°时，ymax=239，而θ=arcsin(-33)体现了中垂线上关于O点两侧电场的对称性.则中垂线上C点处合场强的最大值为Emax=8kQL2ymax=163kQ9L2.由(4)式可知，当θ=0°时，即在O点，场强E=0；当θ=90°时，即无穷远处，场强E=0；当θ=arcsin33=35.26°时，场强E有最大值Emax=163kQ9L2.可见，在真空中两个带电量均为+Q的等量同种点电荷连线的中垂线上，场强关于连线的中点O对称，先逐渐增大，后逐渐减小，场强的方向相反，始终沿中垂线背离O点.而在真空中两个带电量均为-Q的等量同种点电荷连线的中垂线上，只是相反的场强方向始终沿中垂线指向O点，其它则与上述结论相同.即等量同种点电荷连线的中垂线上的场强E随x变化的规律如图6所示.(2)连线上场强的变化规律与真空中两个等量异种点电荷连线上场强的变化规律类似，真空中两个等量同种点电荷连线中点O处的场强最小，且为零，沿连线从中点O向两场源电荷场强逐渐增大，两端点处的场强最大，且关于中点O对称点的场强大小相等,方向相反.场强大小的变化规律如图7所示.2.2电势的变化规律真空中两等量正电荷的连线上，场强的方向沿连线背离场源电荷，沿场强方向电势逐渐降低，因此，连线中点O处的电势最低，沿连线从中点O向两场源电荷电势逐渐升高，两端点处的电势最高，且电势大小关于中点O对称，如图8所示；真空中两等量正电荷的中垂线上，场强的方向始终沿中垂线背离O点，沿场强方向电势逐渐降低，因此O点处的电势最高，沿中垂线背离O点电势逐渐降低，无穷远处电势降为零，且电势大小关于O点对称.而真空中两等量负电荷恰好相反，连线中点O处的电势最高，沿连线从中点O向两场源电荷电势逐渐降低，两端点处的电势最低，且电势大小关于中点O对称；中垂线上O点处的电势最低，沿中垂线指向O点电势逐渐降低，且电势大小关于O点对称.2.3规律拓展如果真空中两同种点电荷的带电量不相等，则在两点电荷的连线上一定存在一点O′，在O′处的合场强为零，两点电荷连线上过O′点的垂线上的场强与电势的分布规律与上述结论类似，也存在一个极值点.由n个固定在一条直线上的同种点电荷产生的电场中，垂足处场强为零的这一直线的垂线上的场强与电势的分布规律也与上述结论类似.。

高一物理《电势能和电势》练习题一、单选题1．下列关于做功与能量变化的说法，不正确的是（）A．重力做功改变重力势能B．电场力做功改变电势能C．弹力做功改变弹性势能D．合力做功改变机械能【答案】D【解析】A．重力做功改变重力势能，故A正确，不满足题意要求；B．电场力做功改变电势能，故B正确，不满足题意要求；C．弹力做功改变弹性势能，故C正确，不满足题意要求；D．合力做功改变动能，不是改变机械能，故D错误，满足题意要求。

故选D。

2．静电透镜被广泛应用于电子器件中，如图所示，阴极射线示波管的聚焦电场由四个电极构成，其中实线为电场线，虚线为等势线，任意两条相邻等势线间电势差相等，z轴为该、、为其轨迹上的三点。

已知P点电场的中心轴线，一电子从其左侧进入聚焦电场，P Q R所在等势线的电势为零，电子仅在电场力作用下从P点运动到R点的过程中，电场力做功为30eV。

下列说法正确的是（）A．Q点的电势高于10VB．从P至R的运动过程中，电子的动能先减小后增大C．电子在Q点的加速度小于在R点的加速度D．电子在P点处的电势能大于在Q点处的电势能【答案】D【解析】A．设相邻等差等势线电压为U，由公式=W Uq可得，电子从P点运动到R点的过程中，电场力做功为()=-=-U e U30eV6,5V所以Q点电势大于5V小于10V，A错误；B．根据能量守恒，电子从P至R的运动过程中，电势能减小，动能增大，故B错误；C．由图，根据电场线越密电场强度越大可知，Q点的电场强度大于R点的电场强度，由牛顿第二定律可知，电子在Q 点的加速度大于在R 点的加速度，故C 错误；D ．从P 到R 电势逐渐升高，电子带负电，电势能减小，因此电子在P 点处的电势能大于在Q 点处的电势能，D 正确。

故选D 。

3．在x 轴上放置两个电荷量不相等的同种电荷12q q 、，位置坐标分别为02r -和0r ，在x 轴上两电荷之间区域内的电势ϕ随位置坐标x 变化的图线如图所示，图线与ϕ轴交点的切线与x 轴平行，交点处的纵坐标为0ϕ，取无限远处电势为零，下列说法正确的是（ ）A ．12q q 、均带负电B ．两电荷的电荷量之比1241q q = C ．在x 轴上04r 处，电势为0ϕD ．在x 轴上04r 处，电场强度为0【答案】B【解析】A ．由图像可知0x =处，电势最低，则12q q 、均带正电，A 错误；B ．图线与ϕ轴交点的切线与x 轴平行，说明0x =处电场强度为0，根据()()1222002kq kq r r =解得 1241q q = B 正确；C ．电势是标量，在x 轴上04r 处，由于两电荷的电势都比0x =点处的低，故电势小于0ϕ，C 错误；D ．在x 轴上04r 处，点电荷产生的电场方向相同，电场强度不为0，D 错误。

对两个等量点电荷连线及中垂线上电场强度的讨论作者：胡方银来源：《中学教学参考·理科版》2010年第12期由于图像能直观、形象地表达物理规律，反映物理量之间的相互关系及变化趋势，因此图像在中学物理教学中有着广泛的应用，以图像及其运用为背景的问题也成为历届高考的热点。

本文利用图像分析两个等量电荷连线及中垂线上电场强度的分布情况，供大家参考。

一、两个等量的同种电荷题设：真空中有两个点电荷、，且，与之间的距离为2a。

1.中垂线上图1如图1所示，取连线中点为坐标原点O，向上为x轴正方向，建立一维坐标系，设x轴上的P点到O点为x，则在P点的场强：（a2+x2），方向：由指向P。

在P点的场强：，方向：由指向P。

因为，所以P点的合场强大小：,方向：沿x轴正方向。

为了直观地表示出电场强度E随x的变化规律，可以用几何画板作出函数f（x）的图像，从而可以定性地画出中垂线上电场强度E随位置x变化的图像，如图2所示。

图2、之间如图3所示，取、连线的中点为坐标原点O，向右方向为x轴的正方向，设P 点到O点的距离为x则:在P点的场强：方向：沿x轴正方向;在P点的场强：-x)2,方向：沿x轴负方向;则P点的合场强：E=kQ(a-x)2-kQ(a+x)2(0＜x＜a),方向：沿x轴负方向。

图3讨论：1.当x=0时,P点合场强E=0;2.当-a＜x＜0时,场强大小对称，但方向沿x轴正方向。

图4所以利用几何画板作函数f（x）=-（1(2-x)2-1(2+x)2）的图像，然后就可以确定连线间电场强度E随位置x的变化规律如图4所示。

二、两个等量的异种电荷题设：真空中有两个点电荷、-，且，与之间的距离为2a。

1.中垂线上图5如图5所示，取连线中点为坐标原点O，向上为x轴正方向，建立一维坐标系，设x轴上的P点距O点为x则：在P点的场强：方向：由指向P;在P点的场强：),方向：由P指向。

因为，所以P点的合场强大小：方向：水平向右。

利用几何画板作出函数f（x）的图像，便可画出中垂线上场强E随位置x的变化规律如图6所示：图6之间如图7所示，取、连线的中点为坐标原点O，向右方向为x轴的正方向，设P 点到O点的距离为x则：在P点的场强：方向：沿x轴正方向;在P点的场强：-x)2,方向：沿x轴正方向;则P点的合场强：E=kQ(a-x)2+kQ(a+x)2(0≤x＜a),方向：沿x轴正方向，在-a＜x＜0上对称。

等量异种电荷中垂线上场强变化
垂线上等量异种电荷的场强变化可以通过考虑两个电荷之间的相互作用来分析。

假设垂线上有两个电荷，一个正电荷和一个负电荷。

当距离正负电荷较远时，由于电荷之间的相互作用很小，可以近似认为电场是由单个电荷产生的。

在离质点较远的地方，电场强度不会有很大变化，因此垂线上的场强变化较小。

然而，当距离正负电荷较近时，由于电荷之间的相互作用增大，场强会出现较大的变化。

两个异种电荷之间的相互作用会导致电场线收束，从而增大电场强度。

具体来说，负电荷附近的电场强度会增大，正电荷附近的电场强度会减小。

因此，等量异种电荷中垂线上的场强变化主要由电荷之间的相互作用引起。

当两个电荷之间距离较近时，场强变化较大；当两个电荷之间距离较远时，场强变化较小。

等量同种电荷中垂线场强变化电荷分布在空间中构成了电场，是许多重要的物理现象的基础。

电荷的分布方式决定了电场的形式，其中最常见的是等量同种电荷的电场。

等量同种电荷的电场的特征是垂线的，即随着电荷间距的增加，电场强度也随之减小。

如果想了解电荷分布在空间中构成的电场强度如何变化，可以从等量同种电荷中垂线场强变化这一概念入手。

等量同种电荷垂线场强变化指的是，当两个等量同种电荷之间的距离变化时，电场强度也会相应地发生变化。

电场强度变化主要依赖于两个因素：一是电荷之间的距离；另一个是正负电荷之间的属性差异。

一般来说，当电荷间的距离变化时，电场的变化会存在指数衰减趋势。

另外，当正负电荷属性差异越大时，则电场强度也会变化得更明显。

在等量同种电荷中，电荷分布几何形状有很大的影响。

比如，当电荷排成线时，它们之间的距离是固定的，这样在垂线场强变化的规律是最为简单的，只有一个系数的影响；如果电荷形成平面，则它们之间的距离是不同的，这样则需要考虑距离的变化，此时的场强变化规律也比较复杂。

同样，如果电荷的分布是空间的，电场强度的变化还会受到距离的倒数的影响，而且要考虑向量的叠加，电场强度变化规律会非常复杂。

等量同种电荷垂线场强变化不仅受到电荷本身特性的影响，而且还受到其他力的影响，比如电子旋转等。

在实际应用中，电子可以在不同的力场中旋转，这样会使得电子受到另一个力的影响，同步导致电场强度的变化。

等量同种电荷垂线场强变化的概念，由来已久，可以说是电动力学的基础理论之一。

这一理论在实际工程应用中占有很重要的地位，特别是在电磁学方面，它可以被用来计算电荷之间的电场强度，帮助我们理解和掌握空间电场的分布状况，从而更有效地利用电荷在空间中的变化。

总之，等量同种电荷中垂线场强变化是一个重要的理论概念，由它可以帮助我们更好地了解电荷在空间中分布的变化，进而更好地利用电荷的变化，为我们的实际应用打下坚实的基础。

等量异种和等量同种点电荷连线上和中垂线上电场强度的变化规律可知，等量异种点电荷连线上以中点场强最小，中垂线上以中点场强最大；等量同种点电荷连线上以中点场强最小，等于零。

请老师详细解析这是为什么
解：在A 放一＋Q 电荷，在B 放一－Q 电荷，可画出其电场线，那么由电场线的疏密程度可反映场强的强弱，故AB 连线上，中点O 的场强最小，在AB 的中垂线MN 上，O 点场强最大。

在A 、B 两点分别放上两个等量同种电荷，O 为它们的中点，A 、B 间距为l ，
则E A ＝2242l Q k l Q k ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛，E B ＝2242l Q k l Q k ＝⎪⎭
⎫ ⎝⎛， 它们方向相反，故O 点合场强E O ＝E A －E B ＝0。

等量同种点电荷连线的中垂线上场强的变化问题研究
叶玉琴;杨纯
【期刊名称】《中学物理（高中版）》
【年(卷),期】2011(029)012
【摘要】在高中物理教学中,点电荷的场强及叠加是一个非常重要的知识点,尤其等量同种点电荷、等量异种点电荷的电场场强的分布特点,常常是首当其冲的考查点.为了引导学生思考和探究此类问题,教学中教师常常围绕如下例题进行探讨:
【总页数】2页(P64,封3)
【作者】叶玉琴;杨纯
【作者单位】安庆市第二中学安徽安庆 246000;安庆市第二中学安徽安庆246000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.对两个等量点电荷连线及中垂线上电场强度的讨论
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3.等量同种点电荷连线的垂直平分线上场强分布的数学处理
4.也谈等量同种电荷连线中垂线上的电场强度
5.等量同种电荷连线中垂线上的电场强度何处最大?
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