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天体运动与人造卫星一、宇宙速度 1．环绕速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． (3)第一宇宙速度是人造卫星最小的发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度． 2．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s. 3．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G MmR 2＝m v 12R，得v 1＝GMR＝7.9×103 m/s. 方法二：由mg ＝m v 12R，得v 1＝gR ＝7.9×103 m/s.第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min＝2πRg＝84.6 min. 2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动．(2)7.9 km/s ＜v 发＜11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km /s≤v 发＜16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．例I1．[三种宇宙速度] (多选)下列关于三种宇宙速度的说法正确的是( )A ．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，第二宇宙速度v 2＝11.2 km/s ，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v 1，小于v 2B ．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度C ．第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度D ．第一宇宙速度7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 答案：CD2．[第一宇宙速度的计算] (2019·山东潍坊高三统考)已知地球半径约为火星半径的2倍，地球密度约为火星密度的1.5倍，则地球第一宇宙速度与火星第一宇宙速度的比值为( )A.6B.32C.23D.16答案：A 二、地球卫星1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星． (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道． 所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 2．地球同步卫星相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．同步卫星有以下特点： (1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面． (2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24__h. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得，r ＝3GMT 24π2＝4.23×104km ，卫星离地面高度h ＝r －R ≈5.6R (为恒量)． (5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致． 3．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.1．卫星的运行轨道(如图所示)注意：轨道平面一定通过地球的球心． 2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律规律⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧G Mm r 2＝(r ＝R 地＋h )⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m v 2r→v ＝ GM r →v ∝1rmω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3m 4π2T 2r →T ＝ 4π2r 3GM→T ∝r 3ma →a ＝GM r 2→a ∝1r2越高越慢mg ＝GMm R地2(近地时)→GM ＝gR 地23．同步卫星的六个“一定”例II2017年10月24日，在地球观测组织(GEO)全会期间举办的“中国日”活动上，我国正式向国际社会免费开放共享我国新一代地球同步静止轨道气象卫星“风云四号”(如图所示)和全球第一颗二氧化碳监测科学实验卫星(简称“碳卫星”)的数据．“碳卫星”是绕地球极地运行的卫星，在离地球表面700公里的圆轨道对地球进行扫描，汇集约140天的数据可制作一张无缝隙全球覆盖的二氧化碳监测图．有关这两颗卫星的说法正确的是( )A ．“风云四号”卫星的向心加速度大于“碳卫星”的向心加速度B ．“风云四号”卫星的线速度小于“碳卫星”的线速度C ．“碳卫星”的运行轨道理论上可以和地球某一条经线重合D ．“风云四号”卫星的线速度大于第一宇宙速度 [答案] B[方法技巧]利用万有引力定律解决卫星运动的技巧(1)一个模型：天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． (2)两组公式①G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝ma .②mg ＝GMmR2(g 为星体表面处的重力加速度)．(3)a 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较．例III1．[卫星运行参数的比较] (2018·高考江苏卷)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高，今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km ，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km ，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )A ．周期B ．角速度C ．线速度D ．向心加速度答案：A2．[同步卫星的特点] 我国自主研发的“北斗”卫星导航系统中含有地球同步卫星．关于地球同步卫星，下列说法正确的是( )A ．同步卫星处于平衡状态B ．同步卫星的速度是不变的C ．同步卫星的高度是一定的D ．同步卫星的线速度应大于第二宇宙速度 答案：C3．[同步卫星与其他卫星运行参数的比较] (多选)地球同步卫星离地心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，地球的第一宇宙速度为v 2，半径为R ，则下列比例关系中正确的是( )A.a 1a 2＝r RB.a 1a 2＝(r R )2C.v 1v 2＝r RD.v 1v 2＝R r答案：AD■判一判 记一记(1)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．( )(2)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心．( ) (3)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．( )(4)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( ) (5)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.( )(6)不同的同步卫星的质量不同，但离地面的高度是相同的．( ) (7)地球同步卫星的运行速度一定小于地球的第一宇宙速度．( )(8)若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行．( )卫星变轨与追及问题1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道．如图所示，发射卫星的过程大致有以下几个步骤：(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上． (2)在A 处点火加速，由于速度变大，进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B 处(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．卫星变轨的实质例IV1．[变轨问题中运行参数分析](2016·高考北京卷)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量答案：B2．[卫星运动的追及问题](多选)(2019·辽宁鞍山一中等六校联考)如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近．已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω，万有引力常量为G，则()A．发射卫星b时速度要大于11.2 km/sB．若要卫星a与b实现对接，可调节卫星a，使其在b的后下方加速C．若要卫星c与b实现对接，可让卫星c直接在原轨道加速D．卫星a和b下次相距最近还需经过t＝2πGM8R3－ω答案：BD3．[变轨问题中能量分析](多选)我国计划于2019年在海南文昌发射场将“嫦娥五号”送上38万公里外的月球，采回月壤，实现航天工程绕、落、回的收关阶段．到时着陆器将自动从月面取样后从月表起飞，并在近月轨道实现自动交会对接后和返回舱一起返回地面，供科学家分析．了解这则新闻后物理兴趣小组进行了热烈讨论，绘制出了“嫦娥五号”奔向月球和返回地球的示意图，图中对接为取样后的对接点，实线圆为绕行器在半径为r 的圆轨道绕月等待着陆器返回的轨道，设着陆器取样并返回到绕行器的时间t 内绕行器飞行N 圈，全过程不考虑空气阻力的影响．已知引力常量为G ，月球的半径为R ，则兴趣小组提出了下列有关结论，其中表示正确的是( )A ．从地表发射后的“嫦娥五号”需要进行多次变轨，当其速度达到第二宇宙速度时才能飞抵月球B ．“嫦娥五号”沿椭圆轨道向38万公里外的月球飞行时，只有月球也运动到椭圆轨道的远地点附近时才能将“嫦娥五号”捕获，否则还要沿椭圆轨道返回C ．结合题中信息可知月球的质量为4π2r 3N 2Gt 2，二者在对接过程中有一定的机械能损失D ．绕行器携带样品沿椭圆轨道返回地球时，虽然引力做功，动能增大，但系统的机械能不变 答案：BC1．某行星的同步卫星下方的行星表面上有一观察者，行星的自转周期为T ，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，发现日落的T 2时间内有T6的时间看不见此卫星，不考虑大气对光的折射，则该行星的密度为( )A.24πGT 2 B.3πGT 2 C.8πGT2 D.16πGT2 [解析] 设行星质量为M ，半径为R ，密度为ρ，卫星质量为m ，如图所示，发现日落的T 2时间内有T6的时间看不见同步卫星，则θ＝360°6＝60°，故φ＝60°，r ＝R cos φ＝2R ，根据G Mm (2R )2＝m (2πT )2·2R ，M ＝ρ·43πR 3，解得ρ＝24πGT 2.选项A 正确．[答案] A2．(2016·高考全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h解析：万有引力提供向心力，对同步卫星有：GMm r 2＝mr 4π2T 2，整理得GM ＝4π2r 3T 2 当r ＝6.6R 地时，T ＝24 h若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R 地 三颗同步卫星A 、B 、C 如图所示分布则有4π2(6.6R 地)3T 2＝4π2(2R 地)3T ′2解得T ′≈T6＝4 h ，选项B 正确．答案：B3．(2019·湖南五校高三联考)每年的某段时间内太阳光会直射地球赤道，如图所示，一颗卫星在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，运动方向与地球自转方向相同，每绕地球一周，黑夜与白天的时间比为1∶5.设地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，地球自转角速度为ω.忽略大气及太阳照射偏移的影响，则赤道上某定点能够直接持续观测到此卫星的最长时间为( )A.2π3( g8R ＋ω) B.π3( g8R －ω) C.2π3(g8R－ω) D.π3(g8R＋ω) 解析：如图a ，当卫星处于地球的阴影中时，卫星处于“黑夜”，设阴影的边缘与地球球心的连线之间的夹角为α，由于转动的角度与经历的时间成正比，可得α360°－α＝t 1t 2＝15所以α＝60°由几何关系可得sin α2＝Rr可得r ＝2R设轨道半径为R 的卫星周期为T 1，该卫星的周期为T 2，则有mg ＝mR 4π2T 12，T 12T 22＝R 3(2R )3，联立解得T 2＝2πg 8R ＝2πω2，则ω2＝g8R.设人在B 2位置刚好看见卫星出现在A 2位置，最后在B 1位置刚好看见卫星消失在A 1位置，如图b.由几何关系可知，在地球上能够直接观测到该卫星的角度为120°，即能够直接观测到该卫星的时间为该卫星相对地球运动120°的时间，卫星相对地球赤道上某点运动一周所用时间为t ＝2πg8R－ω，则赤道上某定点可直接持续观测到此卫星的最长时间为t ′＝t3＝2π3(g8R－ω)，选项C 正确． 答案：C4．(2019·山东济宁模拟)如图所示，人造卫星P (可视为质点)绕地球做匀速圆周运动．在卫星运动轨道平面内，过卫星P 作地球的两条切线，两条切线的夹角为θ，设卫星P 绕地球运动的周期为T ，线速度为v ，引力常量为G .下列说法正确的是( )A ．θ越大，T 越大B ．θ越小，v 越大C ．若测得T 和θ，则地球的平均密度为ρ＝3πGT 2(tan θ2)3 D ．若测得T 和θ，则地球的平均密度为ρ＝3πGT 2(sin θ2)3 解析：由G Mm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T2r ，得v ＝GMr，T ＝4π2r 3GM ，由几何关系得R r ＝sin θ2，因地球半径不变，夹角θ越大，卫星的轨道半径越小，则T 就越小，A 错误；夹角θ越小，卫星的轨道半径越大，v 就越小，B 错误；若测得T 和θ，由万有引力充当向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，求得地球的质量M ＝4π2r 3GT 2，地球的体积V ＝43πR 3，由几何关系得R r ＝sin θ2，联立解得ρ＝3πGT 2(sin θ2)3，C 错误，D 正确．答案：D。
