高考物理一轮：4.6《天体运动与人造卫星》教学案(含答案)

第2讲 人造卫星 宇宙速度目标要求 1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系.2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小.3.会分析天体的“追及”问题．考点一 卫星运行参量的分析1．基本公式(1)线速度：由G Mmr 2＝m v 2r 得v ＝GMr . (2)角速度：由G Mmr 2＝mω2r 得ω＝GMr 3. (3)周期：由G Mm r 2＝m (2πT)2r 得T ＝2πr 3GM. (4)向心加速度：由G Mm r 2＝ma 得a ＝GMr2.结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r 越大，v 、ω、a 越小，T 越大，即越高越慢． 2．“黄金代换式”的应用忽略中心天体自转影响，则有mg ＝G MmR 2，整理可得GM ＝gR 2.在引力常量G 和中心天体质量M 未知时，可用gR 2替换GM . 3．人造卫星卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． (2)同步卫星①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.③高度固定不变，h＝3.6×107 m.④运行速率约为v＝3.1 km/s.(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．1．同一中心天体的两颗行星，公转半径越大，向心加速度越大．(×)2．同一中心天体质量不同的两颗行星，若轨道半径相同，速率不一定相等．(×)3．近地卫星的周期最小．(√)4．极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．(×)5．不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的．(√)1．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R ＋h.2．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．考向1卫星运行参量与轨道半径的关系例1(2022·广东卷·2)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是() A．火星公转的线速度比地球的大B．火星公转的角速度比地球的大C．火星公转的半径比地球的小D．火星公转的加速度比地球的小答案 D解析由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据G Mmr2＝m4π2T2r，可得T＝2πr 3GM ，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C 错误；根据G Mmr 2＝m v 2r ，可得v ＝GMr，结合C 选项解析，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A 错误；根据ω＝2πT 可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B 错误；根据G Mmr 2＝ma ，可得a ＝GMr2，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D 正确．例2 (2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )A ．轨道周长之比为2∶3B ．线速度大小之比为3∶ 2C ．角速度大小之比为22∶3 3D ．向心加速度大小之比为9∶4 答案 C解析 轨道周长C ＝2πr ，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A 错误；根据万有引力提供向心力有GMmr 2＝m v 2r ，得v ＝GMr ，则v 火v 地＝r 地r 火＝23，故B 错误；由万有引力提供向心力有GMmr2＝mω2r ，得ω＝GM r 3，则ω火ω地＝r 地3r 火3＝2233，故C 正确；由GMm r 2＝ma ，得a ＝GMr 2，则a 火a 地＝r 地2r 火2＝49，故D 错误．考向2 同步卫星例3 关于地球同步卫星，下列说法错误的是( ) A ．它的周期与地球自转周期相同 B ．它的周期、高度、速度大小都是一定的 C ．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空D ．我国发射的同步通信卫星必须定点在赤道上空 答案 C解析 地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，选项A 正确；根据G Mm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r 可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，选项B 正确；同步卫星必须定点在赤道上空，不可以定点在北京上空，选项C 错误，D 正确．例4 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A ．1 h B ．4 h C ．8 h D ．16 h 答案 B解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由几何关系可作出卫星间的位置关系如图所示．卫星的轨道半径为r ＝Rsin 30°＝2R由r 13T 12＝r 23T 22得(6.6R )3(24 h )2＝(2R )3T 22，解得T 2≈4 h ，故选B.考向3 同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较例5 (多选)如图所示，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则下列比值正确的是( )A.a 1a 2＝r RB.a 1a 2＝(R r)2C.v 1v 2＝r RD.v 1v 2＝R r答案 AD解析 根据万有引力提供向心力，有G Mmr 2＝m v 12r ，G Mm ′R 2＝m ′v 22R ，故v 1v 2＝Rr；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a 1＝ω2r ，a 2＝ω2R ，故a 1a 2＝rR ，故选A 、D.例6 有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，卫星a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b 在地面附近近地轨道上正常运行，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，重力加速度为g ，则有( )A ．a 的向心加速度大小等于重力加速度大小gB ．b 在相同时间内转过的弧长最长C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π6D ．d 的运行周期有可能是20 h 答案 B解析 赤道上随地球自转的卫星所需的向心力大小等于万有引力的一个分力，万有引力大小近似等于重力大小，则a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；由G Mmr 2＝m v 2r ，解得v ＝GMr，卫星的轨道半径r 越大，速度v 越小，所以在b 、c 、d 中b 的速度最大，又由v ＝ωr 知a 的速度小于c 的速度，故在相同时间内b 转过的弧长最长，故B 正确；c 是地球同步卫星，周期是24 h ，则c 在4 h 内转过的圆心角是4 h 24 h ×2π＝π3，故C 错误；由开普勒第三定律可知，卫星的半径r 越大，周期T 越大，所以d 的运动周期大于c 的运动周期，即大于24 h ，则不可能是20 h ，故D 错误．同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较如图所示，a 为近地卫星，轨道半径为r 1；b 为地球同步卫星，轨道半径为r 2；c 为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r 3.比较项目近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力来源万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r2>r1＝r3角速度ω1>ω2＝ω3线速度v1>v2>v3向心加速度a1>a2>a3考点二宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度第二宇宙速度(逃逸速度)v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度1．地球的第一宇宙速度的大小与地球质量有关．(√)2．月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s.(×)3．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．(√)4．若物体的发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体绕太阳运行．(√)1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G m 地m R 2＝m v 2R ，得v ＝Gm 地R＝ 6.67×10－11×5.98×10246.4×106m/s ≈7.9×103 m/s.方法二：由mg ＝m v 2R得v ＝gR ＝9.8×6.4×106 m/s ≈7.9×103 m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πRg＝2π 6.4×1069.8s ≈5 075 s ≈85 min.正是近地卫星的周期．2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动． (2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s ≤v 发＜16.7 km/s ，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．例7 (2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是( )A ．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/sB ．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s ，小于11.2 km/sC ．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶ 5D ．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 答案 C解析 卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由G MmR 2＝m v 2R ，可得v ＝GMR，故v 火∶v 地＝1∶5，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v 火＝7.95km/s ，故A 错误，C 正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s ，故B 错误；g 地＝G M 地R 地2，g 火＝G M 火R 火2，联立可得g 地>g 火，故D错误．例8 宇航员在一行星上以速度v 0竖直上抛一质量为m 的物体，不计空气阻力，经2t 后落回手中，已知该星球半径为R .求： (1)该星球的第一宇宙速度的大小；(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r 时的引力势能E p ＝－G mMr .(G 为引力常量)答案 (1)v 0Rt(2)2v 0Rt解析 (1)由题意可知星球表面重力加速度为g ＝v 0t ，由万有引力定律知mg ＝m v 12R解得v 1＝gR ＝v 0Rt. (2)由星球表面万有引力等于物体重力知GMm R 2＝mg ，又E p ＝－G mMR ，解得E p ＝－m v 0R t ，由机械能守恒定律有12m v 22－m v 0R t＝0，解得v 2＝2v 0Rt. 考点三 天体的“追及”问题例9 如图所示，A 、B 为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A 为地球同步卫星，A 、B 两卫星的轨道半径的比值为k ，地球自转周期为T 0.某时刻A 、B 两卫星距离达到最近，从该时刻起到A 、B 间距离最远所经历的最短时间为( )A.T 02(k 3＋1) B.T 0k 3－1 C.T 02(k 3－1) D.T 0k 3＋1答案 C解析 由开普勒第三定律得r A 3T A 2＝r B 3T B 2，设两卫星至少经过时间t 距离最远，即B 比A 多转半圈，t T B －t T A ＝n B －n A ＝12，又由A 是地球同步卫星知T A ＝T 0，联立解得t ＝T 02(k 3－1)，故选C.天体“追及”问题的处理方法1．相距最近：两同心转动的卫星(r A <r B )同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近．从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA －ωB )t ＝2π或t T A －tT B ＝1.2．相距最远：两同心转动的卫星(r A <r B )同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远．从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA －ωB )t ′＝π或t ′T A －t ′T B ＝12. 例10 (多选)如图，在万有引力作用下，a 、b 两卫星在同一平面内绕某一行星c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有( )A ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶8B ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶4C ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次 答案 AD解析 根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a 、b 运动的周期之比为1∶8，A 正确，B 错误；设题图所示位置ac 连线与bc 连线的夹角为θ<π2，b 转动一周(圆心角为2π)的时间为T b ，则a 、b 相距最远时有2πT a T b －2πT b T b >(π－θ)＋n ·2π(n ＝0,1,2,3，…)，可知n ＝0,1,2，…，6，n 可取7个值；a 、b 相距最近时有2πT a T b －2πT b T b >(2π－θ)＋m ·2π(m ＝0,1,2,3，…)，可知m ＝0,1,2，…，6，m 可取7个值，故在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次，C 错误，D 正确．课时精练1.(2023·江苏海安市高三检测)神舟十三号飞船首次采用径向端口对接；飞船从空间站下方的停泊点进行俯仰调姿和滚动调姿后与天宫空间站完成对接，飞船在完成对接后与在停泊点时相比( )A ．线速度增大B ．绕行周期增大C ．所受万有引力增大D ．向心加速度增大答案 B解析 飞船绕地球稳定运行时，万有引力提供向心力，有GMm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r ＝F 万＝ma ，解得v ＝GMr，T ＝4π2r 3GM ，a ＝GMr2，依题意，飞船从停泊点到完成对接属于从低轨到高轨，即轨道半径增大，可知线速度减小，周期增大，所受万有引力减小，向心加速度减小，故A 、C 、D 错误，B 正确．2．(多选)(2023·福建南平市质检)2021年7月5日，风云三号E 星(“黎明星”)在酒泉卫星发射中心成功发射，作为我国第二代极地轨道气象卫星，“黎明星”是全球首颗民用晨昏轨道气象卫星，将带动我国气象卫星应用进入成熟发展阶段．“黎明星”绕地球做匀速圆周运动的周期为1.7 h ，离地高度约800 km ，如图所示．某时刻“黎明星”正好经过赤道上某城市正上方，则( )A ．“黎明星”的发射速度大于第一宇宙速度B ．再经过3.4 h ，“黎明星”正好经过该城市正上方C ．“黎明星”的绕行速度小于赤道上物体随地球自转的线速度D ．“黎明星”的向心加速度大于赤道上物体随地球自转的向心加速度 答案 AD解析 第一宇宙速度为最小发射速度，则“黎明星”的发射速度大于第一宇宙速度，A 正确；该时刻后“黎明星”经过3.4 h 正好运行两个周期，因为地球的自转，该城市转过的角度为θ1＝ωt 1＝2π24×3.4＝17π60，“黎明星”没有正好经过该城市正上方，B 错误；由题知“黎明星”绕地球做匀速圆周运动的周期为1.7 h ，而赤道上物体随地球自转的周期为24 h ，则v 黎＝2πT 黎()R ＋h ，v赤＝2πT 赤R ，T 赤≈14T 黎，且R <R ＋h ，则可看出v 黎 > v 赤，C 错误；由题知“黎明星”绕地球做匀速圆周运动的周期为1.7 h ，而赤道上物体随地球自转的周期为24 h ，则a 黎＝4π2T 黎2(R ＋h )，a 赤＝4π2T 赤2R ，T 赤≈14T 黎，R <R ＋h ，则可看出a 黎 > a 赤，D 正确． 3.(2022·山东卷·6)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A 点正上方，恰好绕地球运行n 圈．已知地球半径为R ，自转周期为T ，地球表面重力加速度为g ，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )A ．1223222gR T R n ⎛⎫ ⎪π⎝⎭－ B ．122322()2gR T n π C ．1223224gR T R n ⎛⎫ ⎪π⎝⎭－ D ．122322()4gR T n π答案 C解析 地球表面的重力加速度为g ，根据牛顿第二定律有GMmR 2＝mg ，可得GM ＝gR 2，根据题意可知，卫星的运行周期为T ′＝Tn，根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，则有GMm ′(R ＋h )2＝m ′4π2T ′2(R ＋h )，联立以上式子解得h ＝3gR 2T 24n 2π2－R ，故选C. 4．(2022·河北卷·2)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b,2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等．则望舒与地球公转速度大小的比值为( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和公转都是由万有引力提供向心力，有G Mmr 2＝m v 2r，解得公转的线速度大小为v ＝GMr，其中中心天体的质量之比为2∶1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为2，故选C.5．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的16.不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为( )A.gr 3B.gr 6C.gr3D.gr 答案 A解析 该星球的第一宇宙速度满足G Mmr 2＝m v 12r ，在该星球表面处万有引力等于重力，则有G Mm r 2＝m g6，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v 1＝gr 6，则该星球的第二宇宙速度v 2＝2×gr6＝gr3，故A 正确． 6．如图所示，a 为地球赤道上的物体，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球同步卫星．关于a 、b 、c 做匀速圆周运动的说法中正确的是( )A ．角速度关系为ωa ＝ωb >ωcB ．向心加速度的大小关系为a a >a b >a cC ．线速度的大小关系为v b >v c >v aD ．周期关系为T a ＝T b >T c 答案 C解析 卫星c 为地球同步卫星，所以T a ＝T c ，则ωa ＝ωc ；对于b 和c ，由万有引力提供向心力，有G Mmr2＝mω2r ，得ω＝GMr 3，因为r b <r c ，可知ωc <ωb ，即ωb >ωc ＝ωa ，A 错误．因a 、c 有相同的角速度，由a ＝ω2r 得a a <a c ；对b 和c ，由万有引力提供向心力，有G Mmr2＝ma ，得a ＝GMr 2，因为r b <r c ，可知a b >a c ，即a b >a c >a a ，B 错误．因a 、c 有相同的角速度，由v ＝ωr 可知v a <v c ；对b 和c ，由万有引力提供向心力，有G Mmr 2＝m v 2r，得v ＝GMr，因为r b <r c ，可知v b >v c ，即v b >v c >v a ，C 正确．对b 和c ，由万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝2πr 3GM，因为r b <r c ，可知T c >T b ，即T a ＝T c >T b ，D 错误． 7．(2023·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功地发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步．已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T ，地球表面的重力加速度为g ，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为( ) A.gT 2π B.5gT10πC.5gT5πD.25gT 5π答案 B解析 由G MmR 2＝m v 2R，得到星球的第一宇宙速度v ＝GMR，设地球的第一宇宙速度为v 1，由g ＝ωv 1＝2πT v 1，得v 1＝gT2π，设火星的第一宇宙速度为v 2，则v 2v 1＝M 2M 1·R 1R 2，代入数据解得v 2＝55v 1＝5gT 10π，B 项正确．8.(多选)地月系统是双星模型，为了寻找航天器相对地球和月球不动的位置，科学家们做出了不懈努力．如图所示，欧拉推导出L 1、L 2、L 3三个位置，拉格朗日又推导出L 4、L 5两个位置．现在科学家把L 1、L 2、L 3、L 4、L 5统称地月系中的拉格朗日点．中国“嫦娥四号”探测器成功登陆月球背面，并通过处于拉格朗日区的“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”把信息返回地球，引起众多师生对拉格朗日点的热议．下列说法正确的是( )A ．在拉格朗日点航天器的受力不再遵循万有引力定律B ．在不同的拉格朗日点航天器随地月系统运动的周期均相同C ．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L 1点开展工程任务实验D ．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L 2点开展工程任务实验 答案 BD解析 在拉格朗日点的航天器仍然受万有引力，仍遵循万有引力定律，A 错误；因在拉格朗日点的航天器相对地球和月球的位置不变，说明它们的角速度一样，因此周期也一样，B 正确；“嫦娥四号”探测器登陆的是月球的背面，“鹊桥”要把探测器在月球背面采集的信息传回地球，L 2在月球的背面，因此应选在L 2点开展工程任务实验，C 错误，D 正确． 9．(2023·福建省福州第三中学质检)在X 星球表面，宇航员做了一个实验如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动．小球运动到最高点时，受到的弹力大小为N ，速度大小为v ，其N －v 2图像如图乙所示．已知X 星球的半径为R 0，引力常量为G ，不考虑星球自转．则下列说法正确的是( )A ．X 星球的第一宇宙速度v 1＝bB ．X 星球的密度ρ＝3b4πGR 0C ．X 星球的质量M ＝aRbD ．环绕X 星球运行的离星球表面高度为R 0的卫星的周期T ＝4π2RR 0b答案 D解析 设X 星球表面的重力加速度大小为g ，小球质量为m ，由题图乙可知，当v 2＝b 时，根据牛顿第二定律有m v 2R ＝m b R ＝mg ，解得g ＝bR .X 星球的第一宇宙速度是卫星在该星球表面附近绕其做匀速圆周运动的线速度，此时卫星所受万有引力近似等于重力，根据牛顿第二定律有m 1g ＝m 1v 12R 0，解得v 1＝bR 0R，故A 错误；在X 星球表面重力等于万有引力，即m 1g ＝G Mm 1R 02，解得M ＝bR 02RG ，X 星球的体积为V ＝43πR 03，X 星球的密度为ρ＝M V ＝3b 4πRGR 0，故B 、C 错误；设离星球表面高度为R 0的卫星质量为m 2，根据牛顿第二定律有GMm 2(2R 0)2＝m 24π2T 2·2R 0，解得T＝4π2RR0，故D正确．b10．(2023·湖北省荆州中学模拟)设想在赤道上建造如图甲所示的“太空电梯”，站在太空舱里的宇航员可通过竖直的电梯缓慢直通太空站．图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系．关于相对地面静止且在不同高度的宇航员，下列说法正确的有()A．随着r增大，宇航员的角速度增大B．图中r0为地球同步卫星的轨道半径C．宇航员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度D．随着r增大，宇航员对太空舱的压力增大答案 B解析宇航员站在“太空电梯”上，相对地面静止，故角速度与地球自转角速度相同，在不同高度角速度不变，故A错误；当r＝r0时，引力加速度正好等于宇航员做圆周运动的向心加速度，即万有引力提供做圆周运动的向心力，若宇航员相当于卫星，此时宇航员的角速度跟地球的自转角速度一致，可以看作是地球的同步卫星，即r0为地球同步卫星的轨道半径，故B正确；宇航员在r＝R处时在地面上，除了受到万有引力还受到地面的支持力，线速度－远小于第一宇宙速度，故C错误；宇航员乘坐太空舱在“太空电梯”的某位置时，有GMmr2N＝mω2r，其中N为太空舱对宇航员的支持力，大小等于宇航员对太空舱的压力，则F压＝N －mω2r＝ma引－ma向＝m(a引－a向)，其中a引为地球引力对宇航员产生的加速度大＝GMmr2小，a向为地球自转而产生的向心加速度大小，由题图可知，在R≤r≤r0时，(a引－a向)随着r增大而减小，宇航员对太空舱的压力随r的增大而减小，故D错误．11．(多选)(2022·辽宁卷·9)如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动．在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm则()A ．水星的公转周期比金星的大B ．水星的公转向心加速度比金星的大C ．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm ∶sin βmD ．水星与金星的公转线速度之比为sin αm ∶sin βm 答案 BC解析 根据万有引力提供向心力，有G Mm R 2＝m 4π2T2R ＝ma ，可得T ＝2πR 3GM ，a ＝GMR2，由题图可知，水星的公转半径比金星的小，故水星的公转周期比金星的小，水星的公转向心加速度比金星的大，故A 错误，B 正确；设水星的公转半径为R 水、地球的公转半径为R 地，当α角最大时有sin αm ＝R 水R 地，同理可知有sin βm ＝R 金R 地，所以水星与金星的公转半径之比为R 水∶R 金＝sin αm ∶sin βm ，故C 正确；根据G MmR 2＝m v 2R，可得v ＝GMR，结合前面的分析可得v 水∶v 金＝sin βm ∶sin αm ，故D 错误．12．(2023·黑龙江大庆市模拟)2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，至此北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成．北斗导航卫星工作在三种不同的圆形轨道当中，包括地球静止轨道(GEO)、倾斜地球同步轨道(IGSO)以及中圆地球轨道(MEO)，如图所示．以下关于北斗导航卫星的说法中，正确的是( )A ．地球静止轨道卫星与倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大小相等B ．中圆轨道卫星的加速度小于地球静止轨道卫星的加速度C ．倾斜地球同步轨道卫星总是位于地球地面某地的正上方D ．三种不同轨道的卫星的运行速度均大于第一宇宙速度 答案 A解析 卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力．设地球质量为M ，卫星质量为m ，卫星的轨道半径为r ，卫星运行的速度大小为v ，引力常量为G ；根据万有引力定律及物体做圆周运动的规律有G Mmr 2＝m v 2r，得v ＝GMr，由于地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道半径相等，故两卫星的运行速度大小相等，A 正确；根据万有引力定律及牛顿第二定律，有G Mm r 2＝ma ，得a ＝G Mr 2，中圆轨道卫星的运行轨道半径小于地球静止轨道卫星的运行轨道半径，故中圆轨道卫星的加速度大于地球静止轨道卫星的加速度，B 错误；倾斜地球同步轨道卫星的旋转方向与地球旋转方向不一致，C 错误；近地卫星的运行速度为第一宇宙速度，题中三种卫星运行轨道半径均大于近地卫星，由v ＝GMr可知，三种卫星的运行速度均小于第一宇宙速度，D 错误．13.(多选)A 、B 两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr 随时间变化的关系如图所示．已知地球的半径为0.8r ，引力常量为G ，卫星A 的线速度大于卫星B 的线速度，不考虑A 、B 之间的万有引力，则下列说法正确的是( )A ．卫星A 的加速度大于卫星B 的加速度 B ．卫星A 的发射速度可能大于第二宇宙速度C ．地球的质量为256π2r 349GT 2D ．地球的第一宇宙速度为85πr7T答案 ACD解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设轨道半径为r ，则有G Mm r 2＝m v 2r ，解得v ＝GMr，故半径越小，线速度越大，因为卫星A 的线速度大于卫星B 的线速度，故r A <r B ；由G Mm r 2＝ma ，解得a ＝G Mr 2，因为r A <r B ，所以a A >a B ，A 正确．第二宇宙速度是卫星摆脱地球引力束缚所必须具有的速度，故卫星发射速度大于第二宇宙速度时，卫星不能绕地。

一、卫星运行参量的分析【例1】火星探测任务“天问一号〞的标识如下图。

假设火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，那么火星与地球绕太阳运动的()A．轨道周长之比为2∶3B．线速度大小之比为3∶2C．角速度大小之比为22∶33D．向心加速度大小之比为9∶4【例2】(多项选择)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道外表上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如下图，那么()A．a的向心加速度等于重力加速度g，c的向心加速度大于d的向心加速度B．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等C．c在4小时内转过的圆心角是π3，a在2小时内转过的圆心角是π6D．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定小于24小时1．关于我国发射的“亚洲一号〞地球同步通信卫星的说法，正确的选项是()A．假设其质量加倍，那么轨道半径也要加倍B．它在北京上空运行，故可用于我国的电视播送C．它以第一宇宙速度运行D．它运行的角速度与地球自转角速度相同2．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。

目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的倍。

假设地球的自转周期变小，假设仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，那么地球自转周期的最小值约为()A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h二、宇宙速度的理解和计算【例3】我国首个火星探测器为“天问一号〞已经到达火星。

火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，以下说法正确的选项是()A ．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B ．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C ．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D ．火星外表的重力加速度大于地球外表的重力加速度第一宇宙速度的推导方法一：由G Mm R 2＝m v 12R ，得v 1＝GMR ＝ 6.67×10－11×5.98×10246.4×106 m/s≈7.9×103 m/s 。

专题4.6 卫星与航天1.掌握万有引力定律的内容、公式及应用.2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解第二和第三宇宙速度．一、近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动的比较1．轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同>r 近＝r 物。

2．运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。

由T ＝2πr 3GM可知，近地卫星的周期要小于同步卫星的周期，即T 近<T 同＝T 物。

3．向心加速度：由G Mm r2＝ma 知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度。

由a ＝rω2＝r ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2知，同步卫星的加速度大于赤道上物体的加速度，即a 近>a 同>a 物。

4．动力学规律(1)近地卫星和同步卫星满足GMm r 2＝m v 2r＝mω2r ＝ma 。

(2)赤道上的物体不满足万有引力充当向心力即GMm r 2≠m v 2r。

二、卫星的变轨问题 1．卫星变轨的原因 (1)由于对接引起的变轨 (2)由于空气阻力引起的变轨 2．卫星变轨的实质(1)当卫星的速度突然增加时，G Mm r 2<m v 2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GMr可知其运行速率比原轨道时减小。

(2)当卫星的速率突然减小时，G Mm r 2>m v 2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GM r可知其运行速率比原轨道时增大。

卫星的发射和回收就是利用这一原理。

三、天体运动中的能量问题1．卫星(或航天器)在同一圆形轨道上运动时，机械能不变。

2．航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足G Mm r 2＝m v 2r，致使卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星由于速率减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小。

重难点05 天体运动与人造航天器【知识梳理】考点一 天体质量和密度的计算1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2R MmG mg =（g 表示天体表面的重力加速度）．（2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2R Mm Gmg =，所以2R MG g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得2)(h R MG g +=' 2．天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于2R Mm G mg =，故天体质量GgR M 2=天体密度：GRgV M πρ43==（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即r T m rMm G 22)2(π=，得出中心天体质量2324GT r M π=；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度3233RGT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度23GTV M πρ==.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1.黄金代换公式（1）在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式． 2. 估算天体问题应注意三点（1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等． （2）注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用． （3）注意密度公式23GTπρ=的理解和应用． 考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律r GM v =；3r GM =ω；GMr T 32π=；2r GM a = （1）卫星的a 、v 、ω、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定．（2）卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．3．极地卫星和近地卫星（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 【重点归纳】1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路 （1）一个模型天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式卫星运动的向心力来源于万有引力：ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即：2R MmGmg = （g 为星体表面处的重2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫====减小增大减小减小增大时当半径a T v r r GM a GM r T r GM r GM v ωπω2332 考点三 宇宙速度 卫星变轨问题的分析1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的两种求法：（1）r mv r Mm G 212=，所以r GMv =1 （2）rmv mg 21=，所以gR v =1.3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．4.当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：（1）当卫星的速度突然增加时，r mv rMm G 22<，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时减小．（2）当卫星的速度突然减小时，r mv rMm G 22>，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时增大．卫星的发射和回收就是利用这一原理．1.处理卫星变轨问题的思路和方法（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大．2.卫星变轨问题的判断：（1）卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大．（2）卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．（3）圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.3.特别提醒:“三个不同”（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。

专题14 天体运动与人造卫星(限时：45min)一、选择题（共22小题）1．(多选)(2017·江苏高考)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。

与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km 的圆轨道上飞行，则其( ) A ．角速度小于地球自转角速度 B ．线速度小于第一宇宙速度 C ．周期小于地球自转周期 D ．向心加速度小于地面的重力加速度 【答案】BCD【解析】“天舟一号”在距地面约380 km 的圆轨道上飞行时，由G Mm r2＝mω2r 可知，半径越小，角速度越大，则其角速度大于同步卫星的角速度，即大于地球自转的角速度，A 项错误；由于第一宇宙速度是最大环绕速度，因此“天舟一号”在圆轨道上运行的线速度小于第一宇宙速度，B 项正确；由T ＝2πω可知，“天舟一号”的周期小于地球自转周期，C 项正确；由G Mm R 2＝mg ，G Mm R ＋h2＝ma 可知，向心加速度a 小于地球表面的重力加速度g ，D 项正确。

2．(多选)我国天宫一号飞行器已完成了所有任务，于2018年4月2日8时15分坠入大气层后烧毁。

如图所示，设天宫一号原来在圆轨道Ⅰ上飞行，到达P 点时转移到较低的椭圆轨道Ⅱ上(未进入大气层)，则天宫一号( )A ．在P 点减速进入轨道Ⅱ B．在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期 C ．在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅱ上的加速度 D ．在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能 【答案】ABD【解析】天宫一号在P 点减速，提供的向心力大于需要的向心力，天宫一号做向心运动进入轨道Ⅱ，故A正确；根据开普勒行星运动第三定律：R 13T 12＝R 23T 22，可知轨道Ⅰ半径大于轨道Ⅱ的半长轴，所以在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期，故B 正确；根据万有引力提供向心力：G Mm r 2＝ma ，解得：a ＝G M r2，可知在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅱ上的加速度，其在P 点时加速度大小相等，故C 错误；由于在P 点需减速进入轨道Ⅱ，故天宫一号在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能，故D 正确。

高中物理卫星运动问题教案
目标：通过学习本节课的内容，学生能够掌握卫星运动的相关知识，了解卫星的轨道、速度和运行方式，并能够解决与卫星运动相关的问题。

一、导入（5分钟）
教师引入卫星运动的概念，并让学生讨论卫星在太空中是如何运动的，引起学生对课题的兴趣。

二、概念讲解（15分钟）
1.卫星的轨道类型及其特点：圆形轨道、椭圆轨道、地心轨道等；
2.卫星的速度公式和计算方法；
3.卫星在不同轨道上的运行方式和特点。

三、示例分析（20分钟）
教师给出一些卫星运动的实际问题，要求学生根据所学知识计算出相应的结果，并讨论解题方法和答案。

例如：某颗地球卫星的轨道半径为8000km，求其速度是多少？
四、练习与讨论（15分钟）
学生分组进行练习，解决几道卫星运动问题，并相互讨论解题过程和答案。

教师及时给予指导和反馈，并鼓励学生积极思考和提问。

五、拓展延伸（10分钟）
教师提出一些拓展问题，让学生自由思考和探索，激发学生进一步探索和思考的兴趣。

六、小结（5分钟）
教师对本节课的重点知识进行总结，并鼓励学生加强练习和巩固，提高对卫星运动问题的解决能力。

七、作业布置
让学生继续做一些卫星运动问题的练习，加深对知识的理解和掌握。

（备注：本教案可根据实际情况进行调整和完善，以适应不同学生群体的需求。

）。

卫星的变轨问题、天体追及相遇问题一、卫星的变轨、对接问题1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如右图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道 Ⅰ上。

(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅰ。

(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅰ。

2．卫星的对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.二、变轨前、后各物理量的比较1．航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v ＝GM r判断。

(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

2．卫星变轨的实质 两类变轨离心运动 近心运动 变轨起因卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G Mm r 2<m v 2rG Mm r 2>m v 2r 变轨结果变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 3.变轨过程各物理量分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅰ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅰ上过A 点和B 点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅰ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.三、卫星的追及与相遇问题1．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。

第2讲天体运动与人造卫星基础对点练题组一天体运行参量的分析1.(2022广东卷)祝融号火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。

假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。

火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。

下列关于火星、地球公转的说法正确的是()A.火星公转的线速度比地球的大B.火星公转的角速度比地球的大C.火星公转的半径比地球的小D.火星公转的加速度比地球的小2.利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。

目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。

假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为()A.1 hB.4 hC.8 hD.16 h3.如图所示,若A、B两颗卫星均沿图示方向绕地球做匀速圆周运动,角速度大小分别为ωA、ωB。

下列判断正确的是()A.A、B的轨道半径之比r Ar B =√ωA2ωB23B.A、B的线速度大小之比v Av B =√ωBωA3C.A、B的向心加速度大小之比a Aa B =√ωA4ωB43D.A、B受到地球的万有引力大小之比F AF B =√ωB4ωA43题组二宇宙速度4.(2022天津卷)2022年3月,中国空间站“天宫课堂”再次开讲,授课期间利用了我国的中继卫星系统进行信号传输,天地通信始终高效稳定。

已知空间站在距离地面400 km左右的轨道上运行,其运动视为匀速圆周运动,中继卫星系统中某卫星是距离地面36 000 km左右的地球静止轨道卫星,则该卫星()A.授课期间经过天津正上空B.加速度大于空间站的加速度C.运行周期大于空间站的运行周期D.运行速度大于地球的第一宇宙速度5.(2023北京卷)2022年10月9日,我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射,实现了对太阳探测的跨越式突破。

“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动,距地面高度约为720 km,运行一圈所用时间约为100 min。

第4讲 万有引力与天体运动➢ 教材知识梳理一、开普勒三定律1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个________上．2．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的________相等．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的________的三次方跟________的二次方的比值都相等．二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的大小与物体的质量的乘积成________，与它们之间距离的二次方成________．2．公式：________(其中引力常量G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2)． 3．适用条件：公式适用于质点之间以及均匀球体之间的相互作用，对均匀球体来说，r 是两球心间的距离．三、天体运动问题的分析1．运动学分析：将天体或卫星的运动看成________运动．2．动力学分析：(1)万有引力提供________，即F 向＝G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 2πT2r .(2)在星球表面附近的物体所受的万有引力近似等于________，即G Mm r 2＝mg (g 为星球表面的重力加速度)．四、三个宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)：v 1＝7.9 km/s ，是人造地球卫星的________，也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的________．2．第二宇宙速度(逃逸速度)：v 2＝11.2 km/s ，是卫星挣脱地球引力束缚的________．3．第三宇宙速度：v 3＝16.7 km/s ，是卫星挣脱太阳引力束缚的________．答案：一、1.焦点 2.面积 3.半长轴 公转周期二、1.正比 反比 2.F ＝G m 1m 2r 2 三、1.匀速圆周 2.(1)向心力 (2)物体的重力四、1.最小发射速度 最大运行速度2．最小发射速度 3.最小发射速度【思维辨析】(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．( )(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( )(3)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小．( )(4)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．( )(5)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．( )(6)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( )(7)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.( )答案：(1)(×) (2)(×) (3)(√) (4)(×) (5)(×)(6)(×) (7)(√)【思维拓展】为了验证地面上的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，遵守同样的规律，牛顿做了著名的“月－地”实验．请阐述“月－地”实验思路．答案：由于月球绕地球运行的周期T ＝27.3 d ≈2.36×106 s ，月球的轨道半径r ＝60R 地＝3.84×108 m ，故从运动学角度可计算出月球的向心加速度为a n1＝4π2T 2r ＝2.72×10－3 m/s 2① 牛顿设想，把一个物体放到月球轨道上，让它绕地球运行，地球对它的引力减小到F ，它的向心加速度减小到a n2，既然物体在地面上受到的重力G 和在月球轨道上运行时受到的引力F 都是来自地球引力，那么在引力与轨道半径的二次方成反比的关系成立的情况下，物体在月球轨道上的向心加速度a n2和在地面上的重力加速度g 的关系应为a n2g 地＝F G ＝R 2地r 2＝1602＝13600， 进而从动力学角度可计算出月球轨道上的向心加速度为a n2＝13600g 地＝2.72×10－3 m/s 2②①式与②式的计算结果完全一致，从而证明了物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力、遵循同样规律的上述设想．需要说明的是，月球绕地球的向心加速度a n2＝13600g 地与通常所说月球表面的重力加速度g 月＝16g 地并不矛盾． 已知M 地＝81M 月，R 地＝113R 月，r ＝60R 地，由天文学黄金代换公式GM ＝gR 2可知g 月g 地＝M 月R 2地M 地R 2月＝121729≈16， 即g 月＝16g 地③ 又有a n2＝GM 地r 2＝81GM 月3600R 2地＝81g 月R 2月3600×113R 月2≈1600g 月④ 由③、④式可得a n2＝13600g 地． ➢ 考点互动探究考点一 开普勒行星运动1 [2016·全国卷Ⅲ] 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案：B[解析] 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，牛顿在开普勒研究基础上结合自己发现的牛顿运动定律，发现了万有引力定律，指出了行星按照这些规律运动的原因，选项B 正确．(多选)[2016·武汉调研] 水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”．已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是( )A ．地球的公转周期大约是水星的2倍B ．地球的公转周期大约是金星的1.6倍C ．金星的轨道半径大约是水星的3倍D ．实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据答案：BD [解析] 设水星、地球、金星的公转周期分别为T 水、T 地和T 金，水星两次凌日时间差为t 水，金星两次凌日时间差为t 金，由题意可知，2πT 水－2πT 地t 水＝2π，2πT 金－2πT 地t 金＝2π，解得T 水＝88天，T 金＝225天，所以地球公转周期大约是水星公转周期的4倍，大约是金星公转周期的1.6倍，A 错误，B 正确；由开普勒第三定律可知，R 3金T 2金＝R 3水T 2水，解得R 金R 水＝32252882≈36.5<3，C 错误；理论上发生凌日时，金星(或水星)、地球、太阳三者共线，如果金星(或水星)公转转道与地球公转轨道存在一定夹角，此时并不能产生凌日现象，所以金星(或水星)相邻两次凌日的实际时间间隔应大于理论上的时间间隔，D 正确．■ 要点总结对开普勒行星运动定律的理解：(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理，若按椭圆轨道处理，则利用其半长轴进行计算．(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．(3)开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体对应的k 值不同．考点二 万有引力及其与重力的关系1.万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反且沿两物体的连线，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同．2．万有引力的一般应用：主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题的分析中应注意：(1)万有引力公式F ＝G m 1m 2r2中的r 应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；(2)对于万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G m 1m 2r 2＝m 1a ，且a ＝ω2r ＝v 2r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r . 3．在地球或其他天体表面及某一高度处的重力加速度的计算：设天体表面重力加速度为g ，天体半径为R ，忽略天体自转，则有mg ＝G Mm R 2，得g ＝GM R 2或GM ＝gR 2；若物体距天体表面的高度为h ，则重力mg ′＝G Mm （R ＋h ）2，得g ′＝GM （R ＋h ）2＝R 2（R ＋h ）2g . ] 据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v ′在火星表面附近环绕火星飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7.设火星与地球表面的重力加速度分别为g ′和g .下列结论正确的是( )A ．g ′∶g ＝1∶4B ．g ′∶g ＝7∶10C ．v ′∶v ＝528 D ．v ′∶v ＝514答案：C[解析] 在地球表面附近，万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，解得g ＝GM R 2，在火星表面附近，万有引力等于重力，即G M ′m R ′2＝mg ′，解得g ′＝GM ′R ′2，又知M ＝ρV ＝ρ·43πR 3＝43ρπR 3，火星与地球密度之比ρ′∶ρ＝5∶7，半径之比R ′∶R ＝1∶2，联立解得g ′∶g ＝5∶14，选项A 、B 错误；探测器在火星表面附近环绕火星飞行的线速度与探测器在地球表面附近环绕地球飞行的线速度之比v ′∶v ＝g ′R ′gR ＝514·12＝528，选项C 正确，选项D 错误． 1 “神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A ．0 B.GM （R ＋h ）2 C.GMm （R ＋h ）2 D.GM h2 答案：B [解析] 由题意知，飞船处于完全失重状态，飞船所受的重力等于万有引力，即G Mm （R ＋h ）2＝mg ，约去m ，得B 正确． 2 (多选)[2016·新疆适应性检测] 月球是离地球最近的天体．已知月球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，若忽略月球的自转，则关于在月球表面所做的实验，以下叙述正确的是( ) A ．把质量为m 的物体竖直悬挂在弹簧测力计下，静止时弹簧测力计的示数为GMm R2B ．以初速度v 0竖直上抛一个物体，则物体经时间2πR GM落回原处C ．把羽毛和铁锤从同一高度同时释放，则铁锤先落地D ．用长为l 的细绳拴一质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则小球的最小动能为GMml 2R2 答案：AD [解析] 在月球表面，月球对物体的引力等于物体的重力，即mg ＝G Mm R 2，选项A 正确；在月球表面，g ＝G M R2，以初速度v 0竖直上抛的物体落回原处的时间为t ＝2v 0g ＝2v 0R 2GM，选项B 错误；月球周围没有空气阻力，羽毛和铁锤从同一高度被释放后，同时落地，选项C 错误；小球在竖直面内做圆周运动，在最高点时，若mg ＝m v 2l ，则其动能最小，为E k ＝12mv 2＝G Mml 2R2，选项D 正确． ■ 要点总结1．对万有引力和重力的关系要注意以下几点：(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零，各位置均有mg ≈GMm R2；(2)若考虑地球自转，对在赤道上的物体，有GMm R2－F N ＝F 向，其中F N 大小等于mg ，对处于南北两极的物体，则有GMm R2＝mg . 2．在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已．考点三 天体质量及密度的计算1.利用(卫)行星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力．由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得M ＝4π2r 3GT 2；ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3，R 为中心天体的半径，若为近地卫星，则R ＝r ，有ρ＝3πGT 2.由上式可知，只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出中心天体的质量M .若再知道中心天体的半径，则可算出中心天体的密度．2．利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，可得天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR . 3 [2016·济南模拟] “嫦娥五号”探测器预计2017年在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如下表中所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( ) 月球半径 R 0A.3∶2 B ．2∶3 C ．4∶1 D ．6∶1 答案：A[解析] 在星球表面附近，万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，解得星球质量M ＝gR 2G .地球和月球的质量之比M 地M 月＝g g 0·R 2R 20＝961，由密度公式ρ＝M V ，体积公式V ＝43πR 3，联立解得地球和月球的密度之比ρ地ρ月＝M 地M 月·R 30R 3＝32，选项A 正确． [2015·江苏卷] 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕. “51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( )A. 110B ．1C ．5D ．10答案：B [解析] 题中这颗行星绕其中心天体做圆周运动，其向心力是由中心天体与行星间的万有引力提供，即G M 中心m 行r 2行＝m 行ω2行r 行＝m 行4π2r 行T 2行，可得M 中心＝4π2r 3行GT 2行；同理，地球绕太阳运动，有M 太阳＝4π2r 3地GT 2地；那么，中心天体与太阳的质量之比为M 中心M 太阳＝4π2r 3行GT 2行4π2r 3地GT 2地＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 行r 地3·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 地T 行2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203·⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1，选项B 正确．■ 规律总结天体质量和密度的估算问题是高考命题热点，解答此类问题时，首先要掌握基本方法(两个等式：①万有引力提供向心力；②天体表面物体受到的重力近似等于万有引力)，其次是记住常见问题的结论，主要分两种情况：(1)利用卫星的轨道半径r 和周期T ，可得中心天体的质量为M ＝4π2r 3GT2，并据此进一步得到该天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3(R 为中心天体的半径)，尤其注意当r ＝R时，ρ＝3πGT2.(2)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，可得天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.热点四 宇宙速度 黑洞与多星系统 1.双星系统系统可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视天体构成的双星系统两颗可视星体构成的双星系统图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力彼此给对方的万有引力2.多星系统系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)四星系统图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力另外三星球对其万有引力的合力4 [2015·安徽卷改编] 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4­12­1为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，则下列说法正确的是( )图4­12­1A ．A 星体所受合力大小F A ＝2G m 2a 2B ．B 星体所受合力大小F B ＝7G m 2a2C ．C 星体的轨道半径R C ＝72aD ．三星体做圆周运动的周期T ＝2πa 3GM答案：B[解析] 由万有引力定律可知，A 星体所受B 、C 星体的引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2＝F CA ，方向如图所示，则合力大小为F A ＝23G m 2a 2；同理，B 星体所受A 、C 星体的引力大小分别为F AB ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2，F CB ＝G m C m B r 2＝G m 2a 2，方向如图所示，由F Bx ＝F AB cos 60°＋F CB ＝2G m 2a2，F By ＝F AB sin 60°＝3G m 2a 2，可得F B ＝F 2Bx ＋F 2By ＝7G m 2a2；通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，R C ＝34a 2＋12a 2，可得R C ＝74a ；三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R C ，可得T ＝πa 3Gm，只有选项B 正确． 多选)[2016·武汉武昌区调研] 太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A 每颗星体的质量均为m ，相邻两颗星体中心间的距离都为R ；某三角形三星系统B 的每颗星体的质量恰好也均为m ，且三星系统A 外侧的两颗星体与三星系统B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G ，则( )A ．三星系统A 外侧两颗星体运动的线速度大小为v ＝Gm RB ．三星系统A 外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝12R 5GmRC ．三星系统B 的运动周期为T ＝4πRR 5GmD ．三星系统B 任意两颗星体中心间的距离为L ＝3125R答案：BCD[解析] 三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，外侧两颗星体围绕中央星体在半径为R 的同一圆轨道上运行，外侧的其中一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的万有引力的合力提供向心力，有G m 2R 2＋G m 2（2R ）2＝m v 2R，解得v ＝5Gm4R，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πRv＝4πRR 5Gm ，则其角速度为ω＝2πT ＝12R5GmR，B 正确；由于两种系统周期相等，即T ＝4πRR5Gm，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，对其中一颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律，有2Gm 2L 2cos 30°＝m L 2cos 30°4π2T2，解得L＝3125R，D正确．[2016·兰州诊断考试] 北京时间2016年2月1日23∶40左右，激光干涉引力波天文台(LIGO)负责人宣布，人类首次发现了引力波．它来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程．合并前两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，关于此双星系统，下列说法正确的是( )A．两个黑洞绕行的角速度相等B．两个黑洞绕行的线速度相等C．两个黑洞绕行的向心加速度相等D．质量大的黑洞旋转半径大答案：A [解析] 对于两个黑洞互相绕转形成的双星系统，其角速度ω相等，周期相等，选项A正确；由于两个黑洞的质量不等，两个黑洞旋转的半径不等，质量较小的黑洞旋转半径较大，质量较大的黑洞旋转半径较小，选项D错误；由v＝ωr可知，两个黑洞绕行的线速度不等，质量小的黑洞线速度较大，选项B错误；两个黑洞绕行时其向心力由两个黑洞之间的万有引力提供，向心力相等，而由于两个黑洞的质量不等，由牛顿第二定律可知，两个黑洞绕行的向心加速度不等，质量较小的黑洞向心加速度较大，选项C错误．■ 方法技巧多星问题的解题技巧(1)挖掘一个隐含条件：在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等．(2)重视向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是由多个星的万有引力的合力提供．(3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力公式中两天体的距离是不同的，不能误认为一样．【教师备用习题】1．[2013·福建卷] 设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆．已知引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r3T 2B ．GM ＝4π2r2T 2 C ．GM ＝4π2r2T3 D ．GM ＝4πr3T2[解析] A 行星绕太阳公转，由万有引力提供向心力，即G Mmr2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，解得GM ＝4π2r3T2，A 正确．2．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127 min.已知引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km ，利用以上数据估算出月球的质量约为( )A ．8.1×1010kg B ．7.4×1013kg C ．5.4×1019kg D ．7.4×1022kg[解析] D 由万有引力充当向心力，有G Mm （r ＋h ）2＝m 4π2T 2(r ＋h )，可得月球质量M ＝4π2（r ＋h ）3GT2＝7.4×1022kg ，选项D 正确．3．我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星­500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的12，火星的质量是地球质量的19.已知地球表面的重力加速度为g ，地球的半径为R ，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度为h ，忽略自转的影响，引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．火星的密度为2g3πGRB ．火星表面的重力加速度是29gC ．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为23D ．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是92h[解析] A 对地球表面上质量为m 的物体，由牛顿第二定律，有G Mm R 2＝mg ，则M ＝gR 2G ，火星的密度为ρ＝19M 4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝2g3πGR ，选项A 正确；对火星表面上质量为m ′的物体，由牛顿第二定律，有GM9m ′R 22＝m ′g ′，则g ′＝49g ，选项B 错误；火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比v ′1v 1＝g ′R2gR＝23，选项C 错误；王跃跳高时，分别有h ＝v 202g 和h ′＝v 202g ′，所以在火星上能达到的最大高度为94h ，选项D 错误． 4．[2014·北京卷] 万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0.① 若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值F 1F 0的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；② 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值F 2F 0的表达式．(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r 、太阳的半径R s 和地球的半径R 三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．[答案] (1)①F 1F 0＝R 2（R ＋h ）20.98②F 2F 0＝1－4π2R 3GMT 2(2)1年[解析] (1)设小物体质量为m . ①在北极地面G MmR2＝F 0 在北极上空高出地面h 处G Mm （R ＋h ）2＝F 1 F 1F 0＝R 2（R ＋h ）2当h ＝1.0%R 时F 1F 0＝11.012≈0.98. ②在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有G Mm R 2－F 2＝m 4π2T 2R 得F 2F 0＝1－4π2R 3GMT 2. (2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为M S ，地球质量为M ，地球公转周期为T E ，有G M S M r 2＝Mr 4π2T 2E得T E ＝4π2r 3GM S ＝3πr 3G ρR 3S .其中ρ为太阳的密度．由上式可知，地球公转周期T E 仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．5．石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯舱沿着这条缆绳运行，如图所示，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h 1的同步轨道站，求轨道站内质量为m 1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R .(2)当电梯舱停在距地面高度h 2＝4R 的站点时，求舱内质量m 2＝50 kg 的人对水平地板的压力大小．地面附近重力加速度g 取10 m/s 2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s ，地球半径R ＝6.4×103km.[答案] (1)12m 1ω2(R ＋h 1)2 (2)11.5 N [解析] (1)设货物相对地心的距离为r 1，线速度为v 1，则 r 1＝R ＋h 1v 1＝r 1ω货物相对地心的动能为E k ＝12m 1v 21 联立解得E k ＝12m 1ω2(R ＋h 1)2. (2)设地球质量为M ，人相对地心的距离为r 2，向心加速度为a n ，受地球的万有引力为F ，则r 2＝R ＋h 2a n ＝ω2r 2F ＝GMm 2r 22g ＝GM R 2 设水平地板对人的支持力大小为F N ，人对水平地板的压力大小为F ′N ，则F －F N ＝m 2a nF′N＝F N联立解得N′＝11.5 N.。

高考培优讲座(四) 天体运动问题[学生用书P84][命题规律] 天体运动问题是牛顿运动定律、匀速圆周运动规律及万有引力定律的综合应用，由于天体运动贴近科技前沿，且蕴含丰富的物理知识，因此是高考命题的热点．近几年在全国卷中都有题目进行考查．预计高考可能会结合我国最新航天成果考查卫星运动中基本参量的求解和比较以及变轨等问题．常考点有：卫星的变轨、对接；天体相距最近或最远问题；随地、绕地问题；卫星运动过程中的动力学问题、能量问题，包括加速度(向心加速度、重力加速度)、线速度、周期的比较等．解决这些问题的总体思路是熟悉两个模型：随地、绕地．变轨抓住两种观点分析，即动力学观点、能量观点．注意匀速圆周运动知识的应用．【重难解读】本部分要重点理解解决天体运动的两条基本思路、天体质量和密度的计算方法、卫星运行参量的求解及比较等．其中卫星变轨问题和双星系统模型是天体运动中的难点．应用万有引力定律分析天体运动要抓住“一个模型”“两个思路”．1．一个模型无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动模型．2．两个思路(1)所有做圆周运动的天体所需向心力都来自万有引力，因此向心力等于万有引力，据此列出天体运动的基本关系式：GMm r 2＝m v 2r＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ＝ma . (2)不考虑地球或天体自转的影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即G Mm R2＝mg ，变形得GM ＝gR 2(黄金代换式)． 【典题例证】(多选)作为一种新型的多功能航天飞行器，航天飞机集火箭、卫星和飞机的技术特点于一身．假设一航天飞机在完成某次维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，如图所示，已知A 点距地面的高度为2R (R 为地球半径)，B 点为轨道Ⅱ上的近地点，地球表面重力加速度为g ，地球质量为M .又知若物体在离星球无穷远处时其引力势能为零，则当物体与星球球心距离为r 时，其引力势能E p ＝－G Mm r(式中m 为物体的质量，M 为星球的质量，G 为引力常量)，不计空气阻力．则下列说法中正确的有( )A ．该航天飞机在轨道Ⅱ上经过A 点的速度小于经过B 点的速度B ．该航天飞机在轨道Ⅰ上经过A 点时的向心加速度大于它在轨道Ⅱ上经过A 点时的向心加速度C ．在轨道Ⅱ上从A 点运动到B 点的过程中，航天飞机的加速度一直变大D ．可求出该航天飞机在轨道Ⅱ上运行时经过A 、B 两点的速度大小[解析] 在轨道Ⅱ上A 点为远地点，B 点为近地点，航天飞机经过A 点的速度小于经过B 点的速度，故A 正确；在A 点，航天飞机所受外力为万有引力，根据G Mm r 2＝ma ，知航天飞机在轨道Ⅰ上经过A 点和在轨道Ⅱ上经过A 点时的加速度相等，故B 错误；在轨道Ⅱ上运动时，由A 点运动到B 点的过程中，航天飞机距地心的距离一直减小，故航天飞机的加速度一直变大，故C 正确；航天飞机在轨道Ⅱ上运行时机械能守恒，有－GMm r A ＋12m v 2A ＝－GMm r B ＋12m v 2B ，由开普勒第二定律得r A v A ＝r B v B ，结合GMm R2＝mg ，r A ＝3R ，r B ＝R ，可求得v A 、v B ，故D 正确．[答案] ACD常见变轨问题的处理方法(1)力学的观点：如在A 点减速进入轨道Ⅱ，即为减速向心，反之加速离心，同时还要清楚减速时向运动方向喷气，加速时向运动的反方向喷气．(2)能量的观点：如在轨道Ⅰ上运行时的机械能比在轨道Ⅱ上运行时的机械能大．在轨道Ⅱ上由A 点运动到B 点的过程中航天飞机的机械能守恒、动能增加、引力势能减小等．变轨问题经常考查的知识点有：速度、加速度的比较；动能、势能、机械能的比较；周期、线速度、加速度的求法，特别是椭圆轨道上周期的求法要用到开普勒第三定律；对第一宇宙速度、第二宇宙速度的理解．【突破训练】1．(2019·高考北京卷)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星( )A ．入轨后可以位于北京正上方B ．入轨后的速度大于第一宇宙速度C ．发射速度大于第二宇宙速度D ．若发射到近地圆轨道所需能量较少解析：选D.同步卫星只能位于赤道正上方，A 错误；由GMm r 2＝m v 2r知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B 错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C 错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较小，D 正确．2．(多选)(2020·河北衡水检测)同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为200～300 km 的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道，如图所示，当卫星穿过赤道平面上的P 点时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在地球赤道上空约36 000 km 处，这条轨道叫转移轨道；当卫星到达远地点Q 时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道．关于同步卫星及其发射过程，下列说法正确的是( )A ．在P 点火箭点火和Q 点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的线速度大于在停泊轨道运行的线速度B ．在P 点火箭点火和Q 点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能C ．卫星在转移轨道上运动的速度大小范围为7.9～11.2 km/sD ．所有地球同步卫星的静止轨道都相同解析：选BD.根据卫星变轨的原理知，在P 点火箭点火和Q 点开动发动机的目的都是使卫星加速．当卫星做圆周运动时，由G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GM r，可知，卫星在静止轨道上运行的线速度小于在停泊轨道运行的线速度，故A 错误；由能量守恒知，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能，故B 正确；卫星在转移轨道上的远地点需加速才能进入同步卫星轨道，而同步卫星轨道的速度小于7.9 km/h ，故C 错误；所有地球同步卫星的静止轨道都相同，并且都在赤道平面上，高度一定，故D 正确．。

高中物理人造卫星教案及反思物理教案是物理教师根据教学大纲和学生的实际情况编写的教学设计方案，对于高中物理课堂的展开十分重要，下面小编为大家带来高中物理人造卫星教案及反思，供你参考。

人造卫星物理教案教学目标知识目标：1、通过对行星绕恒星的运动及卫星绕行星的运动的研究，使学生初步掌握研究此类问题的基本方法：万有引力作为圆周运动的向心力;2、使学生对人造卫星的发射、运行等状况有初步了解，使多数学生在头脑中建立起较正确的图景;能力目标通过学习万有引力定律在天文学上的应用，通过解世界和中国的航天事业的发展，了解世界上第一颗人造卫星、第一个宇宙飞船、第一个宇航员的知识，了解中国的神州一号、神州二号、神州三号的发射与回收，增强学生的爱国主义热情.情感目标通过学习万有引力定律在天文学上的应用，使学生真切感受到用自己所学的物理知识能解决天体问题，能解决实际问题，增强学生学习物理的热情教学建议本节的教学过程中在加强应用万有引力定律的同时，还应注重卫星的发射过程.请教师注意下列几个问题.一、天体运动和人造卫星运动模型二、地球同步卫星三、卫星运行速度与轨道卫星从发射升空到正常运行的连续过程，一般可分为几个阶段，每个阶段对应不同的轨道.例如发射轨道、转移轨道、运行轨道、同步轨道、返回轨道等.有些卫星的发射并不是直接到达运行轨道，而需要多次变轨.例如地球同步卫星就是先发射到近地的圆轨道上，再变为椭圆形转移轨道，最后在椭圆形轨道的远地点变为同步轨道.因此发射过程需多级火箭推动.教学设计方案教学重点：万有引力定律的应用教学难点：人造地球卫星的发射教学方法：讨论法教学用具：多媒体和计算机教学过程：一、人造卫星的运动问题：1、地球绕太阳作什么运动?回答：近似看成匀速圆周运动.2、谁提供了向心力?回答：地球与太阳间的万有引力.3、人造卫星绕地球作什么运动?回答：近似看成匀速圆周运动.4、谁提供了向心力?回答：卫星与地球间的万有引力.请学生思考讨论下列问题：例题1、根据观测，在土星外围有一个模糊不清的光环，试用力学方法判定土星的光环究竟是与土星相连的连续物，还是绕土星运转的小卫星群?分别请学生提出自己的方案并加以解释：1、如果是连续物则：这些物体作匀速圆周运动的线速度与半径成正比，2、如果是卫星则：这些物体作匀速圆周运动的线速度与半径的平方根成反比，这个题可以让学生充分讨论.二、人造卫星的发射问题：1、卫星是用什么发射升空的?回答：三级火箭2、卫星是怎样用火箭发射升空的?学生可以讨论并发表自己的观点.下面我们来看一道题目：例题2、1999年11月21日，我国“神州”号宇宙飞船成功发射并收回，这是我国航天史上重要的里程碑.新型“长征”运载火箭，将重达8.4t的飞船向上送至近地轨道1，飞船与火箭分离后，在轨道1上以速度7.2km/s绕地球作匀速圆周运动.试回答下列问题：(1)根据课文内容结合例题(2)(3)(4)问画出图示.(2)轨道1离地的高度约为：A、8000kmB、1600kmC、6400kmD、42000km解：由万有引力定律得：解得： =1600km故选(B)(3)飞船在轨道1上运行几周后，在点开启发动机短时间向外喷射高速气体使飞船加速，关闭发动机后飞船沿椭圆轨道2运行，到达点开启发动机再次使飞船加速，使飞船速率符合圆轨道3的要求，进入轨道3后绕地球作圆周运动，利用同样的方法使飞船离地球越来越远，飞船在轨道2上从点到点过程中，速率将如何变化?解：由万有引力定律得：解得：所以飞船在轨道2上从点到点过程中，速率将减小.(4)飞船在轨道1、2、3上正常运行时：①飞船在轨道1上的速率与轨道3上的速率哪个大?为什么?回答：轨道1上的速率大.②飞船在轨道1上经过点的加速度与飞船在轨道2上经过点的加速度哪个大?为什么?回答：一样大③飞船在轨道1上经过点的加速度与飞船在轨道3上经过点的加速度哪个大?为什么?回答：轨道1上的加速度大.探究活动收集资料。

在教学过程中，我将紧密结合教材内容，以我国航天事业的发展为背景，引导学生从现实生活中的实例出发，探究人造卫星的运动原理。通过设计一系列实践活动，使学生能够亲身感受物理学科的魅力，培养他们的观察能力、分析能力和动手能力。同时，注重人性化教学，关注学生的兴趣点，激发他们的学习热情，让高三的物理课堂变得更加生动有趣。
（四）反思与评价
反思与评价是教学过程中的重要环节，有助于学生巩固知识、提高能力。在本章节的教学中，我将引导学生进行以下反思与评价：
1.对所学知识进行总结，查漏补缺，形成系统的知识体系。
2.分析自己在解决问题过程中的优点和不足，思考如何改进。
3.评价小组成员的贡献，学会欣赏他人的优点，提高团队协作能力。
3.通过实例分析，让学生了解卫星通信、卫星导航等现代科技手段的原理。
4.结合我国航天事业的发展，介绍人造卫星在我国科技领域的地位和作用。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会给出以下讨论主题：
1.分析人造卫星的轨道类型，讨论不同轨道的特点和应用。
2.探讨卫星通信和导航的原理，以及它们在现实生活中的应用。
4.小组合作，提升团队协作能力
在教学过程中，组织学生进行小组合作，共同探讨问题、分享观点。这种教学策略有助于培养学生的团队协作能力、沟通表达能力，同时也能让学生在合作中互相学习、共同进步。
5.反思与评价，促进全面发展
本案例注重反思与评价环节，鼓励学生对所学知识进行总结、查漏补缺。同时，教师对学生的学习过程和成果给予积极的反馈，帮助学生建立自信，培养他们自我反思和自我评价的能力。此外，评价环节还关注学生的团队协作、沟通表达等方面，促进学生的全面发展。
高三物理下册《人造地球卫星》优秀教学案例
一、案例背景

课时跟踪检测（十五） 天体运动与人造卫星对点训练：宇宙速度的理解与计算1．(2018·南通质检)某星球直径为d ，宇航员在该星球表面以初速度v 0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h ，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为( )A.v 02 B ．2v 0 d h C.v 02h dD.v 02d h解析：选D 星球表面的重力加速度为：g ＝v 022h ，根据万有引力定律可知：G Mm ⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＝m v2d2，解得v ＝2GMd；又GMm ⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＝mg ，解得：v ＝v 02dh，故选D 。

2．[多选]设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，宇航员测出飞船绕行n 圈所用的时间为t 。

登月后，宇航员利用身边的弹簧秤测出质量为m 的物体重力G 1。

已知引力常量为G ，根据以上信息可得到( )A ．月球的密度B ．飞船的质量C ．月球的第一宇宙速度D ．月球的自转周期解析：选AC 设月球的半径为R ，月球的质量为M 。

宇航员测出飞船绕行n 圈所用的时间为t ，则飞船的周期为T ＝t n ，由G Mm R 2＝mR ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2得到月球的质量M ＝4π2R 3GT 2，所以月球的密度为ρ＝M 43πR 3＝4π2R 3GT 243πR 3＝3πGT 2＝3πn2Gt 2，故A 正确；根据万有引力提供向心力，列出等式中消去飞船的质量，所以无法求出飞船的质量，故B 错误；设月球的第一宇宙速度大小为v ，根据v ＝2πRT 可以求得表面附近绕月球做匀速圆周运动的速度，即可求出月球的第一宇宙速度，故C 正确；根据万有引力提供向心力，不能求月球自转的周期。

故D 错误。

3．(2018·黄冈中学模拟)已知某星球的第一宇宙速度与地球相同，其表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则该星球的平均密度与地球平均密度的比值为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．2∶1D ．4∶1解析：选B 根据mg ＝m v2R得，第一宇宙速度v ＝gR 。

高中物理天体运动教案
教学目标：
1. 了解天体运动的基本概念和规律。

2. 掌握天体运动的相关计算方法。

3. 能够运用天体运动知识分析解释天文现象。

教学重点：
1. 天体运动的基本概念和规律。

2. 天体运动的计算方法。

教学难点：
1. 天体运动中的一些复杂现象的解释和分析。

教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示一些天体运动的图片或视频，引起学生对天体运动的兴趣，然后提出问题：为什么天体会运动？为什么有时候我们可以看到月亮，有时候看不到？
二、讲授（10分钟）
1. 天体运动的基本概念：地球自转、公转等。

2. 天体运动的基本规律：开普勒三定律。

3. 天体运动的计算方法：包括行星轨道、恒星位置等的计算方法。

三、示范与练习（15分钟）
1. 示范如何计算地球自转与公转的速度和轨道。

2. 让学生通过练习题来巩固所学知识，同时引导学生思考如何应用所学知识解释一些天文现象。

四、探究与讨论（15分钟）
展示一些与天体运动相关的实验或观测数据，引导学生探讨其中的规律并进行讨论，如为什么恒星在夜间看上去移动的速度不同。

五、总结与拓展（5分钟）
让学生总结天体运动的基本规律和计算方法，同时拓展讨论天体运动对我们生活的影响和意义。

六、作业布置（5分钟）
布置相关的练习题目和阅读材料，要求学生对天体运动的更深层次知识进行思考和探讨。

七、课堂小结（5分钟）
总结本节课的重点内容，鼓励学生课后深入学习和探索。

第26课时 天体运动与人造卫星(重点突破课)[考点一 宇宙速度的理解与计算]宇宙速度的理解和计算问题是高考常考的热点。

这类题目一般难度不大，但考生不易得分，原因是对宇宙速度的理解不透彻或因为计算失误而丢分。

1．三种宇宙速度第一宇宙速度 (环绕速度) v 1＝7.9 km/s ，是人造地球卫星的最小发射速度，也是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 (脱离速度) v 2＝11.2 km/s ，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度 (逃逸速度)v 3＝16.7 km/s ，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度2.方法一：由G MmR2＝m v 12R 得v 1＝GMR≈7.9×103 m/s 。

方法二：由mg ＝m v 12R 得v 1＝gR ≈7.9×103 m/s 。

第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πR g≈ 5 075 s ≈85 min 。

3．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动(近地卫星)。

(2)7.9 km/s ＜v 发＜11.2 km/s 时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。

(3)11.2 km/s ≤v 发＜16.7 km/s 时，卫星绕太阳做椭圆运动。

(4)v 发≥16.7 km/s 时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。

[典例] (2019·东营模拟)使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝ 2v 1。

已知某星球的半径为地球半径R 的4倍，质量为地球质量M 的2倍，地球表面重力加速度为g 。

不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )A.12gR B.12gR C.gRD.18gR [解析] 设在地球表面飞行的卫星质量为m ，由万有引力提供向心力得G Mm R 2＝m v 12R ，又有G MmR 2＝mg ，解得地球的第一宇宙速度为v 1＝GMR ＝gR ；设该星球的第一宇宙速度为v 1′，根据题意，有v 1′v 1＝ 2M M ·R 4R ＝12；由地球的第一宇宙速度v 1＝gR ，再由题意知v 2′＝2v 1′，联立得该星球的第二宇宙速度为v 2′＝gR ，故A 、B 、D 错误，C 正确。