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第四章曲线运动天体运动热点问题【考点预测】1.卫星的变轨问题2. 星球稳定自转的临界问题3. 双星、多星模型4. 天体的“追及”问题5.万有引力定律与几何知识的结合【方法技巧与总结】卫星的变轨和对接问题1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B 点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3. 【题型归纳目录】题型一：卫星的变轨问题题型二：星球稳定自转的临界问题题型三：双星模型题型四：天体的“追及”问题【题型一】卫星的变轨问题【典型例题】例1．（2023·安徽·校联考模拟预测）《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，我国探测飞船天问一号发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项中正确的是（）A．天问一号在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3B．天问一号在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度C．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度D．天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量【方法技巧与总结】卫星的变轨问题卫星变轨的实质卫星速度突然增大卫星速度突然减小练1．（2023·广东·广州市第二中学校联考三模）天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。
专题强化五天体运动的“四类热点”问题专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球(中心)相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现.2.学好本专题有助于学生加深万有引力定律的灵活应用，加深力和运动关系的理解.3.需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等.一、卫星的轨道1.赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种.2.极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星.3.其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道.所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心.自测1(多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道( )A.与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆B.与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的答案CD解析人造地球卫星运行时，由于地球对卫星的引力提供它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造地球卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不可能是地轴上(除地心外)的某一点，故A错误；由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B 错误；相对地球表面静止的卫星就是地球的同步卫星，它必须在赤道平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千千米，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动，不过由于它们公转的周期和地球自转周期不同，就会相对于地面运动，C、D正确.二、地球同步卫星的特点相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星.同步卫星有以下“七个一定”的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面.(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.(4)高度一定：由GMmR＋h2＝m4π2T2(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝3GMT24π2－R≈3.6×107m.(5)速率一定：v＝GMR＋h≈3.1×103m/s.(6)向心加速度一定：由GMm R ＋h2＝man 得a n ＝GMR＋h 2＝g h ＝0.23m/s 2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度.(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致.自测2(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星.关于这些卫星，以下说法正确的是()A.5颗同步卫星的轨道半径都相同B.5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内C.导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度D.导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小答案AB解析所有同步卫星的轨道都位于赤道平面，轨道半径和运行周期都相同，选项A 、B 正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，有G Mm r 2＝m v2r ，v ＝GMr，故卫星运行轨道半径越大，运行速度越小，只有在地球表面附近运行的卫星速度最大，称为第一宇宙速度，其他卫星运行速度都小于第一宇宙速度，选项C 错误；由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得T 2＝4π2r 3GM，则轨道半径r 越大，周期越大，选项D 错误.三、卫星变轨1.当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大.当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加.2.当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小.当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小. 自测3“嫦娥三号”探测器由“长征三号乙”运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察.如图1所示，假设“嫦娥三号”在环月圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力，则()图1A.若已知“嫦娥三号”环月圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以算出月球的密度B.“嫦娥三号”由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速C.“嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P 点的速度大于Q 点的速度D.“嫦娥三号”在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小答案 D解析由G Mm r 2＝m 4π2T2r ，可得月球的质量M ＝4π2r3GT2，由于月球的半径未知，无法求得月球的体积，故无法计算月球的密度，A 错误；“嫦娥三号”在环月圆轨道上P 点减速，使万有引力大于运行所需向心力，做近心运动，才能进入环月椭圆轨道，B 错误；“嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P 点向Q 点运动过程中，距离月球越来越近，月球对其引力做正功，故速度增大，即P 点的速度小于Q 点的速度，C 错误；卫星离月球表面越高其速度越小，第一宇宙速度是星球表面附近卫星的环绕速度，故“嫦娥三号”在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小，D 正确.命题点一近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题1.解决同步卫星问题的“四点”注意(1)基本关系：要抓住G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mr ω2＝m 4π2T2r . (2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析.(3)物理规律：①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期.②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径.③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上.(4)重要条件：①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球表面半径约为 6.4×103km ，表面重力加速度g 约为9.8m/s 2.②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天.③人造地球卫星的运行半径最小为r ＝6.4×103km ，运行周期最小为T ＝84.8min ，运行速度最大为v ＝7.9km/s.2.两个向心加速度卫星绕地球运行的向心加速度物体随地球自转的向心加速度产生原因由万有引力产生由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生方向指向地心垂直且指向地轴大小a ＝GMr2(地面附近a 近似等于g )a ＝r ω2，r 为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度特点随卫星到地心的距离的增大而减小从赤道到两极逐渐减小3.两种周期(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢.(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2πr3GM，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离.例1(2017·江西鹰潭模拟)有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图2所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( )图2A.a的向心加速度等于重力加速度gB.c在4h内转过的圆心角为π6C.b在相同的时间内转过的弧长最长D.d的运动周期可能是23h答案 C解析同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a和c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大，由GMmr2＝ma知，c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故a的向心加速度小于重力加速度g，选项A错误；由于c为同步卫星，所以c的周期为24h，因此4h内转过的圆心角为θ＝π3，选项B错误；由四颗卫星的运行情况可知，b运行的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C正确；d的运行周期比c要长，所以其周期应大于24h，选项D错误.例2(2016·全国卷Ⅰ·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6倍.假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A.1hB.4hC.8hD.16h答案 B解析地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律r3T2＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示.卫星的轨道半径为r ＝Rsin30°＝2R由r 31T 21＝r 32T 22得R3242＝R 3T 22.解得T 2≈4h.变式1(2016·四川理综·3)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.如图3所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km ，远地点高度约为2060km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为()图3A.a 2＞a 1＞a 3B.a 3＞a 2＞a 1C.a 3＞a 1＞a 2D.a 1＞a 2＞a 3答案 D解析由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a ＝ω2r ，r 2>r 3，则a 2>a 3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G Mmr2＝ma ，由题目中数据可以得出，r 1<r 2，则a 2<a 1；综合以上分析有，a 1>a 2>a 3，选项D 正确. 命题点二卫星变轨问题1.变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上.如图4所示.图4(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ．(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ．2.变轨过程各物理量分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同.(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒.若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3. 例3(多选)如图5是“嫦娥三号”飞行轨道示意图.假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15km，远地点为P、高度为100km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是( )图5A.“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化B.“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的圆期C.“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度D.“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率答案BC解析“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上的运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误；由于圆轨道Ⅰ的轨道半径大于椭圆轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确；根据开普勒第二定律可知“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，选项D错误. 变式2(多选)2020年左右我国将进行第一次火星探测，美国已发射了“凤凰号”着陆器降落在火星北极勘察是否有水的存在.如图6为“凤凰号”着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道上的P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ＝2QS，(已知轨道Ⅱ为圆轨道)下列说法正确的是( )图6A.着陆器在P 点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速B.着陆器在轨道Ⅱ上S 点的速度小于在轨道Ⅲ上Q 点的速度C.着陆器在轨道Ⅱ上S 点与在轨道Ⅲ上P 点的加速度大小相等D.着陆器在轨道Ⅱ上由P 点运动到S 点的时间是着陆器在轨道Ⅲ上由P 点运动到Q 点的时间的2倍答案BC解析着陆器在P 点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火减速，A 项错误；着陆器在轨道Ⅲ上Q 点的速度大于着陆器在过Q 点的圆轨道上运行的速度，而在过Q 点的圆轨道上运行的速度大于在轨道Ⅱ上做圆周运动的速度，B 项正确；着陆器在轨道Ⅱ上S 点与在轨道Ⅲ上P 点离火星中心的距离相等，因此在这两点受到的火星的引力相等，由牛顿第二定律可知，在这两点的加速度大小相等，C 项正确；设着陆器在轨道Ⅱ上运行的周期为T 1，在轨道Ⅲ上运行的周期为T 2，由开普勒第三定律有T 21T 22＝3QS 232QS 23＝278，则T 1T 2＝364，D 项错误.命题点三双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图7所示.图7(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω22r 2②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1m2＝r2r1.⑤双星的运动周期T＝2πL3G m1＋m2⑥双星的总质量m1＋m2＝4π2L3 T2G2.多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同.(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图8甲所示).②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示).图8(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示).②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示).例4(2017·河北冀州2月模拟)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波.双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的)，则( )A.b星的周期为l－Δrl＋ΔrT B.a星的线速度大小为πl＋ΔrTC.a、b两颗星的半径之比为ll－ΔrD.a、b两颗星的质量之比为l＋Δrl－Δr答案 B解析由双星系统的运动规律可知，两星的周期相等，均为T ，则A 错.由r a ＋r b ＝l ，r a －r b ＝Δr ，得r a ＝12(l ＋Δr )，r b ＝12(l －Δr )，则a 星的线速度大小v a ＝2πr a T＝πl ＋Δr T，则B 正确.r a r b ＝l ＋Δr l －Δr ，则C 错.双星运动中满足m am b＝r b r a ＝l －Δrl ＋Δr，则D 错.变式3(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图9所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则()图9A.每颗星做圆周运动的线速度为GmRB.每颗星做圆周运动的角速度为3GmR3C.每颗星做圆周运动的周期为2πR 33GmD.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关答案ABC解析由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r ＝R2cos30°＝33R .由牛顿第二定律得Gm 2R 2·2cos30°＝m v 2r＝m ω2r ＝m4π2T2r ＝ma，解得v ＝GmR，ω＝3GmR3，T＝2πR 33Gm ，a ＝3GmR2，故A 、B 、C 均正确，D 错误. 变式4(多选)(2017·河北衡水模拟)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为L 的正方形的四个顶点上，其中L 远大于R .已知万有引力常量为G ，忽略星体的自转，则关于四星系统，下列说法正确的是()A.四颗星做圆周运动的轨道半径为L2B.四颗星做圆周运动的线速度均为Gm L 2＋24C.四颗星做圆周运动的周期均为2π2L 3＋2GmD.四颗星表面的重力加速度均为G m R2答案CD解析如图所示，四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径r ＝22L .取任一顶点上的星体为研究对象，它受到其他三个星体的万有引力的合力为F 合＝2G m 2L2＋G m22L2.由F 合＝F 向＝m v 2r ＝m 4π2rT2，解得v ＝Gm L 1＋24，T ＝2π2L 3＋2Gm，故A 、B 项错误，C 项正确；对于在星体表面质量为m 0的物体，受到的重力等于万有引力，则有m 0g ＝G mm 0R 2，故g ＝G mR2，D 项正确.命题点四天体的追及相遇问题1.相距最近：两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1，2，3，…).2.相距最远：当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1，2，3…).例5(多选)如图10，三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M (M 远大于m 1及m 2)，在万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有()图10A.a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶８B.a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶４C.从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D.从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次答案AD解析根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则a 、b 运动的周期之比为1∶8，A 对；设图示位置夹角为θ<π2，b 转动一周(圆心角为2π)的时间为t ＝T b ，则a 、b 相距最远时：2πT a T b －2πTb T b ＝(π－θ)＋n·２π(n＝0，1，2，3，…)，可知n<6.75，n可取7个值；a、b相距最近时：2πT aT b－2πT bT b＝(2π－θ)＋m·２π(m＝0，1，2，3，…)，可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，D对.变式5如图11所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，旋转方向相同.A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)( )图11A.两卫星经过时间t＝T1＋T2再次相距最近B.两颗卫星的轨道半径之比为231T∶232TC.若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度D.若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度答案 B解析两卫星相距最近时，两卫星应该在同一半径方向上，A多转动一圈时，第二次追上，转动的角度相差2π，即2πT1t－2πT2t＝2π，得出t＝T1T2T2－T1，故A错误；根据万有引力提供向心力得GMmr2＝m4π2T2r，A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，所以两颗卫星的轨道半径之比为231T∶232T，故B正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求得两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力得GMmr2＝m4π2T2r，可求出地球的质量，但不知道地球的半径，所以不可求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D错误.1.如图1所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为 1 h，则下列说法正确的是( )图1A.该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶４B.该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶２C.该卫星的运行速度一定大于7.9km/sD.该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能答案 A解析由题意知卫星运行的轨迹所对圆心角为120°，即运行了三分之一周期，用时1h ，因此卫星的周期T ＝3h ，由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可得T ∝r 3，又同步卫星的周期T 同＝24h ，则极地轨道卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4，A正确；由G Mm r 2＝m v2r，可得v ∝1r，故极地轨道卫星与同步卫星的运行速度之比为2∶1，B 错误；第一宇宙速度v＝7.9km/s ，是近地卫星的运行速度，所以该卫星的运行速度要小于7.9 km/s ，故C 错误；因卫星的质量未知，则机械能无法比较，D 错误.2.(多选)地球同步卫星离地心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，地球的第一宇宙速度为v 2，半径为R，则下列比例关系中正确的是()A.a 1a 2＝rR B.a 1a 2＝(r R )2C.v 1v 2＝r RD.v 1v 2＝R r答案AD解析设地球的质量为M，同步卫星的质量为m 1，地球赤道上的物体的质量为m 2，近地卫星的质量为m 2′，根据向心加速度和角速度的关系有a 1＝ω21r ，a 2＝ω22R ，又ω1＝ω2，故a 1a 2＝rR，选项A 正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm 1r 2＝m 1v 21r ，G Mm 2′R 2＝m 2′v 22R ，解得v 1v 2＝Rr，选项D 正确. 3.(2014·天津理综·3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时.假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A.距地面的高度变大B.向心加速度变大C.线速度变大D.角速度变大答案A解析地球自转的周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大.由GMmR ＋h 2＝m 4π2T2(R ＋h )，得h ＝3GMT24π2－R ，T变大，h 变大，A 正确.由GMm r 2＝ma ，得a ＝GMr 2，r 增大，a 减小，B 错误. 由GMm r 2＝mv 2r，得v ＝GMr，r 增大，v 减小，C 错误.由ω＝2πT可知，角速度减小，D 错误.4.(多选)(2017·广东华南三校联考)石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它的发现使“太空电梯”的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空.设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星A 的高度延伸到太空深处，这种所谓的太空电梯可用于降低成本发射绕地人造卫星.如图2所示，假设某物体B 乘坐太空电梯到达了图示的位置并停在此处，与同高度运行的卫星C 相比较()图2A.B 的线速度大于C 的线速度B.B 的线速度小于C 的线速度C.若B 突然脱离电梯，B 将做离心运动D.若B 突然脱离电梯，B 将做近心运动答案BD解析A 和C 两卫星相比，ωC >ωA ，而ωB ＝ωA ，则ωC >ωB ，又根据v ＝ωr ，r C ＝r B ，得v C >v B ，故B 项正确，A 项错误.对卫星C 有G Mm C r C 2＝m C ωC 2r C ，又ωC >ωB ，对物体B 有G Mm B rB 2>m B ωB 2r B ，若B 突然脱离电梯，B 将做近心运动，D 项正确，C 项错误.5.(多选)如图3所示，A 表示地球同步卫星，B 为运行轨道比A 低的一颗卫星，C 为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C 的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是()图3A.v B >v A >v CB.ωA >ωB >ωCC.F A >F B >F CD.T A ＝T C >T B答案AD解析A 为地球同步卫星，故ωA ＝ωC ，根据v ＝ωr 可知，v A >v C ，再根据G Mm r 2＝m v2r得到v ＝GMr，可见v B >v A ，所以三者的线速度关系为v B >v A >v C ，故选项A 正确；由同步卫星的含义可知T A ＝T C ，再由G Mmr2＝m 2πT 2r ，可知T A >T B ，因此它们的周期关系为T A ＝T C >T B ，由ω＝2πT可知它们的角速度关系为ωB >ωA ＝ωC ，所以选项D 正确，B 错误；由F ＝G Mmr2可知F A <F B <F C ，所以选项C 错误.6.(多选)“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日顺利发射升空，已知“嫦娥三号”探月卫星绕月球表面做匀速圆周运动，飞行N 圈用时为t ；地球的质量为M ，半径为R ，表面重力加速度为g ；月球半径为r ，地球和月球间的距离为L ，则()A.“嫦娥三号”绕月球表面匀速飞行的速率为2πNrtB.月球的平均密度为3πMN2gr 2t2C.“嫦娥三号”的质量为4π2r 3N2gR 2t2D.月球受地球的引力为4π2Mr 3N2L 2t2答案AD解析由题知“嫦娥三号”绕月球表面运行的周期为T ＝t N ，由v ＝2πr T 得v ＝2πNr t ，A 对；由G mm ′r2＝m ′2πT 2r ，m ＝ρ·43πr 3，GM ＝gR 2得月球的平均密度为3πMN2gR 2t2，B 错；卫星运行中只能估算中心天体的质量，无法估算卫星的质量，C 错；由万有引力公式F ＝G Mm L 2，G mm ′r2＝m ′2πT 2r 得月球受到地球的引力为4π2Mr 3N2L 2t2，D 对.7.(多选)在发射一颗质量为m 的地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高度为h 的预定圆轨道Ⅲ上.已知它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度为g ，地球半径为R ，图4中PQ 长约为8R ，卫星在变轨过程中质量不变，则()图4A.卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为h R ＋h 2g B.卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v ＝gR2R ＋hC.卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率D.卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能。
素养提升课(四) 天体运动的热点问题题型一 卫星运行规律及特点1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。
(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心。
2．地球同步卫星的特点3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律4．解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在中心天体表面或附近做圆周运动而又不考虑中心天体自转影响时，万有引力等于重力，即G MmR2＝mg ，整理得GM ＝gR 2，称为黄金代换。
(g 表示天体表面的重力加速度)(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2r T2＝ma n 。
(2021·1月浙江选考)嫦娥五号探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。
为等待月面采集的样品，轨道器与返回器的组合体环月做圆周运动。
已知引力常量G ＝6.67×1011N·m 2/kg 2，地球质量m 1＝6.0×1024kg ，月球质量m 2＝7.3×1022kg ，月地距离r 1＝3.8×105km ，月球半径r 2＝1.7×103km 。
当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200 km 处做环月匀速圆周运动时，其环绕速度约为( )A ．16 m/sB ．1.1×102m/s C ．1.6×103m/s D ．1.4×104m/s[答案] C(2020·7月浙江选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。
若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )A ．轨道周长之比为2∶3B ．线速度大小之比为3∶ 2C ．角速度大小之比为22∶3 3D ．向心加速度大小之比为9∶4[解析] 火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A 错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ，解得a ＝GM r 2，v ＝GMr，ω＝GMr 3，所以火星与地球线速度大小之比为2∶3，B 错误；角速度大小之比为22∶33，C 正确；向心加速度大小之比为4∶9，D 错误。
2024年新人教版高考物理一轮复习课件 DISIZHANG 第四章抛体运动与圆周运动探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系目标要求1.会用控制变量法探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系.2.会用作图法处理数据，掌握化曲为直的思想.实验六内容索引实验技能储备考点一 教材原型实验考点二 探索创新实验课时精练一实验技能储备1.实验思路本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了____ ，如图所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动，此时小球向外挤压挡板，挡板对小球有一个向内(指向圆周运动的圆心)的弹力作为小球做匀速圆周运动的向心力，可以通过 上露出的红白相间等分标记，粗略计算出两球所需向心力的比值.控制变量法标尺在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形：(1)在 一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系.(2)在 一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系.(3)在 一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系.质量、半径质量、角速度半径、角速度2.实验器材向心力演示器、小球.3.实验过程(1)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同，即圆周运动半径相同.将皮带放置在适当位置使两转盘转动，记录不同角速度下的向心力大小(格数).(2)分别将两个质量 的小球放在实验仪器的长槽和短槽两个小槽中，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度 ，小球到转轴(即圆心)距离不同，即圆周运动半径不等，记录不同半径的向心力大小(格数).相等相等(3)分别将两个质量不相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同，即圆周运动半径相等，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等，记录不同质量下的向心力大小(格数).4.数据处理F n－ω2分别作出 、F n－r、F n－m的图像，分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系，并得出结论.5.注意事项摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数.达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数.考点一教材原型实验例1 (2023·湖南邵阳市第二中学模拟)用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动.横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值.实验用球分为钢球和铝球，请回答相关问题：(1)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相等，将皮带处于左、右塔轮的半径不等的层上.转动手柄，观察左右标尺的刻度，此时可研究向心力的大B小与____的关系.A.质量mB.角速度ωC.半径r把两个质量相等的钢球放在A、C位置时，则控制质量相等、半径相等，研究的目的是向心力的大小与角速度的关系，故选B.(2)在(1)的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为______；其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左、右两标尺的示数将______，两标尺示数的比值______(均选填“变大”“变小”或“不变”).1∶2变大不变由题意可知左、右两球做圆周运动所需的向心力之比为F左∶F右＝4∶1，则由F＝mrω2，可得 ＝2，由v＝Rω可知，皮带连接的左、右塔轮半径之比为R左∶R右＝ω右∶ω左＝1∶2, 其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则角速度均增大，由F＝mrω2，可知左、右两标尺的示数将变大，但半径之比不变，例2 用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式.匀速转动手柄，可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动.使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺.(1)为了探究向心力大小与物体质量的关系，可以采用____________(选填“等效替代法”“控制变量法”或“理想模型法”).控制变量法根据F ＝mω2r ，为了探究向心力大小与物体质量的关系，应控制半径r 相等，角速度ω大小相等，即采用控制变量法.(2)根据标尺上露出的等分标记，可以粗略计算出两个球做圆周运动所需的向心力大小之比；为研究向心力大小跟转速的关系，应比较表中的第1组和第________组数据.组数小球的质量m /g 转动半径r /cm 转速n /(r·s －1)114.015.001228.015.001314.015.002414.030.0013组数小球的质量m /g 转动半径r /cm 转速n /(r·s －1)114.015.001228.015.001314.015.002414.030.001为研究向心力大小跟转速的关系，必须要保证质量和转动半径均相等，则应比较表中的第1组和第3组数据._____________________.(写出一条即可)答案 见解析本实验中产生误差的原因有：质量的测量引起的误差；弹簧测力套筒的读数引起的误差等.考点二探索创新实验考向1 实验方案的创新例3 如图所示是“DIS向心力实验器”，当质量为m的砝码随旋转臂一起在水平面内做半径为r的圆周运动时，所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋转臂另一端的挡光杆(挡光杆的挡光宽度为Δs，旋转半径为R)每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力大小F和角速度ω的数据.(1)某次旋转过程中挡光杆经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω＝_____.例4 (2023·河北省石家庄二中实验学校月考)某同学用如图(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系.其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力F T的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt.(1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心.(2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出_____________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v ＝_____.(用题中所给字母和测出的物理量符号表示)小球的直径d(3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力F T 中的________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”).最大值(4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力F T的数据，作出F T－v2图像如图(b)所示.已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，0.051则由图像可知，小球的质量为_____ kg，光电门到悬点的距离为_____ m.考向2 实验目的的创新例5 如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置.已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随转盘缓慢加速.在电脑上记录如图乙所示图像.换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系.回答下列问题：(1)物块没有看作质点对实验是否有影响？______(选填“是”或“否”)否物块的形状和大小相同，做圆周运动的半径相同，所以物块没有看作质点对实验没有影响.2∶2∶1 (2)物块a、b、c的密度之比为_________.当物块随转盘缓慢加速过程中，物块所需的向心力先由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力后由绳子的拉力和最大静摩擦力提供，即F向＝F＋μmg＝mrω2，所以有F＝mrω2－μmg，题图乙中图线的斜率为mr，与纵轴的截距为－μmg，根据题图乙知a 的斜率k a＝m a r＝1 kg·m，b的斜率k b＝m b r＝1 kg·m，c的斜率k c＝m c r ＝ kg·m，所以a、b、c的质量之比为2∶2∶1，因为体积相同，所以物块a、b、c 的密度之比为2∶2∶1.1∶2∶2(3)物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为_________.由题图乙知a的纵轴截距－μa m a g＝－1 N，b的纵轴截距－μb m b g＝－2 N，c的纵轴截距－μc m c g＝－1 N，结合质量之比得到物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1∶2∶2.四课时精练1.如图所示为向心力演示装置，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动.使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板(即挡板A、B、C)对小球的压力提供.球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8.根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球做圆周运动所需的向心力的比值.利用此装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关.已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1.(1)要探究向心力与轨道半径的关系时，把皮带套在左、右两个塔轮的半径相同的位置，把两个质量______(选填“相同”或“不同”)的小球放置在挡板____和挡板_____________位置(选填“A ”“B ”或“C ”).相同探究向心力与轨道半径的关系时，根据F n＝mω2r ，采用控制变量法，应使两个相同质量的小球放在不同半径挡板处，以相同角速度运动，因此将质量相同的小球分别放在B 和C 处.答案 C B (或者B C )(2)把两个质量不同的小球分别放在挡板A和C位置，皮带套在左、右两个塔轮的半径之比为1∶2，则放在挡板A处的小球与C处的小球角速度大2∶1小之比为________.皮带套在左、右两个塔轮的半径之比为1∶2，两个塔轮边缘处的线速度大小相等，根据v＝ωr可知，角速度与半径成反比，所以放在挡板A处的小球与C处的小球角速度大小之比为2∶1.(3)把两个质量相同的小球分别放在挡板B和C位置，皮带套在左、右两边塔轮的半径之比为3∶1，则转动时左、右标尺上露出的红白相间的等2∶9分格数之比为________.把两个质量相同的小球分别放在挡板B和C位置，则两小球的转动半径关系为r1∶r2＝2∶1，皮带套在左、右两边塔轮的半径之比为3∶1，两个塔轮边缘处的线速度大小相等，根据v＝ωr可知，角速度与半径成反比，所以放在挡板B处的小球与C处的小球角速度大小之比为1∶3，即ω1∶ω2＝1∶3，根据F n＝mω2r可知，两小球做圆周运动所需的向心力之比为F1∶F2＝2∶9，则转动时左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为2∶9.2.(2023·山东泰安市模拟)为探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，小明按图甲装置进行实验，物块放在平台卡槽内，平台绕轴转动，物块做匀速圆周运动，平台转速可以控制，光电计时器可以记录转动快慢.(1)为了探究向心力与角速度的关系，需要控制____________保持不变，小明由计时器测转动的周期T ，计算ω2的表达式是_________.质量和半径(2)小明按上述实验将测算得的结果用作图法来处理数据，如图乙所示，纵轴F为力传感器读数，横轴为ω2，图线不过坐标原点的原因是______ ______________，用电子天平测得物块质量为1.50 kg，直尺测得半径为50.00 cm，图线斜率为______ kg·m(结果保留两位有效数字).摩擦力的影响0.75存在实际表达式为F＋F f＝mω2r，图线不过坐标原点的原因是存在摩擦力的影响.斜率为k＝mr＝0.75 kg·m.3.(2023·山东烟台市模拟)某同学为了测量当地的重力加速度，设计了一套如图甲所示的实验装置.拉力传感器竖直固定，一根不可伸长的细线上端固定在传感器的固定挂钩上，下端系一小钢球，钢球底部固定有遮光片，在拉力传感器的正下方安装有光电门，钢球通过最低点时遮光片恰能通过光电门.小明同学进行了下列实验步骤：12.35 (1)用游标卡尺测量遮光片的宽度d，如图乙所示，则d＝_______ mm；遮光片的宽度为d＝12 mm＋7×0.05 mm＝12.35 mm.(2)用游标卡尺测量小钢球的直径为D，用刻度尺测量小钢球到悬点的摆线长为l；(3)拉起小钢球，使细线与竖直方向成不同角度，小钢球由静止释放后均在竖直平面内运动，记录遮光片每次通过光电门的遮光时间Δt和对应的拉力传感器示数F；。
天体运动与人造卫星1. （2019年蚌埠模拟）北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信 系统（CNSS ），建成后的北斗卫星导航系统包括 5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星•对于其中的5颗同步卫星，下列说法中正确的是 （）A.它们运行的线速度一定不小于 7.9 km/sB. 地球对它们的吸引力一定相同C. 一定位于赤道上空同一轨道上D. 它们运行的加速度一定相同 解析：同步卫星运行的线速度一定小于 7.9 km/s , A 错误；地球对5颗同步卫星吸引力的方向一定不同，B 错误；5颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上，它们运行的加速度 大小一定相等，方向不同，C 正确，D 错误.答案：C2. （2019年丽水模拟）（多选）设地球的半径为 R ，质量为m 的卫星在距地面 2R ）高处做 匀速圆周运动，地面的重力加速度为g ,则下列说法正确的是（ ）答案：CD3.（多选）“神舟九号”飞船与“天宫一号”目标飞行器在离地面 343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接. 对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气.下列说法正确的是（ ）A. 为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B.如不加干预，在运行一段时间后， “天宫一号”的动能可能会增加C. 如不加干预，“天宫一号”的轨道高度将缓慢降低D. 航天员在“天宫一号”中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 解析：可认为目标飞行器是在圆形轨道上做匀速圆周运动， 由v =：'GM 知轨道半径越大时运行速度越小.第一宇宙速度为当r 等于地球半径时的运行速度，即最大的运行速度，故目标飞行器的运行速度应小于第一宇宙速度，A 错误；如不加干预，稀薄大气对“天宫一号”的阻力做负功， 使其机械能减小，引起高度的下降， 从而地球引力又对其做正功，当地球引力所做正功大于空气阻力所做负功时，“天宫一号”的动能就会增加，故 B 、C 皆正确；解析：卫星在距地面 2R ＞高处做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得2mm v 2 G? = m = rrto 「2 = 「2 「22-=ma 在地球表面处有mm —,= mg 其中 r i = R>, ；2m ，a=9,C D 正确.A. 卫星的线速度为B. 卫星的角速度为C. 卫星的加速度为D.卫星的周期为4 n 2r r 2 = 3R ,解以上各式得T = 2 nA B 错误,航天员处于完全失重状态的原因是地球对航天员的万有引力全部用来提供使航天员随“天宫一号”绕地球运行的向心力了，而非航天员不受地球引力作用，故D错误.答案：BC4. （多选）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3,轨道1和2相切于Q点，轨道2和3相切于P点，设卫星在轨道1和轨道3正常运行的速度和加速度分别为V i、V3和a i、a3,在轨道2经过P点时的速度和加速度为V2和a2,且当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时周期分别为T i、T2、T3，以下说法正确的是（）图4—5- 15A. V i> V2>V3B. V i> V3>V2C. a i>a2>a3D. T i<T?<T3解析：卫星在轨道i运行速度大于卫星在轨道3运行速度，在轨道2经过P点时的速度V2小于V3,选项A错误，B正确.卫星在轨道i和轨道3正常运行加速度a i>a3,在轨道2 经过P点时的加速度a2= a3,选项C错误.根据开普勒第三定律，卫星在轨道i、2、3上正常运行时周期T i<T2<T3，选项D正确.答案：BD5. （20i8年高考•课标全国卷I ）（多选）20i7年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约i00 s时，它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动i2圈.将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（）A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析：两颗中子星运动到某位置的示意图如图4—5—i6所示每秒转动i2圈,图4—5—i6角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gnm 2产=r i①Gnm2r 2②~p~2~l = r 1+「2 ③质量之和可以估算.由线速度与角速度的关系 v = wr 得V i = wr i V 2= w r 2⑤由③④⑤式得V i + V 2= w (r i + r 2) = wl ,速率之和可以估算. 质量之积和各自自转的角 速度无法求解.答案：BC洁哺吋冋30H活动对最，住少学一气嶽阿以(暉:Lf 乍番由①②③式得3 2l ，所以 m i + m =G (m +m )会员升级服务第一拨・清北季神马‘有清华北大学■方法论谦；还有清华学霸向所有的父母亲述自己求学之路:蔚水名校试卷悄悄的上线了；扫qq领取官网不首发课程，很峯人我没告诉他窮！会员qq专享等祢来撩……。
第26课时 天体运动与人造卫星(重点突破课)[考点一 宇宙速度的理解与计算]宇宙速度的理解和计算问题是高考常考的热点。
这类题目一般难度不大，但考生不易得分，原因是对宇宙速度的理解不透彻或因为计算失误而丢分。
1．三种宇宙速度第一宇宙速度 (环绕速度) v 1＝7.9 km/s ，是人造地球卫星的最小发射速度，也是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 (脱离速度) v 2＝11.2 km/s ，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度 (逃逸速度)v 3＝16.7 km/s ，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度2.方法一：由G MmR2＝m v 12R 得v 1＝GMR≈7.9×103 m/s 。
方法二：由mg ＝m v 12R 得v 1＝gR ≈7.9×103 m/s 。
第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πR g≈ 5 075 s ≈85 min 。
3．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动(近地卫星)。
(2)7.9 km/s ＜v 发＜11.2 km/s 时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s ≤v 发＜16.7 km/s 时，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v 发≥16.7 km/s 时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
[典例] (2019·东营模拟)使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝ 2v 1。
已知某星球的半径为地球半径R 的4倍，质量为地球质量M 的2倍，地球表面重力加速度为g 。
不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )A.12gR B.12gR C.gRD.18gR [解析] 设在地球表面飞行的卫星质量为m ，由万有引力提供向心力得G Mm R 2＝m v 12R ，又有G MmR 2＝mg ，解得地球的第一宇宙速度为v 1＝GMR ＝gR ；设该星球的第一宇宙速度为v 1′，根据题意，有v 1′v 1＝ 2M M ·R 4R ＝12；由地球的第一宇宙速度v 1＝gR ，再由题意知v 2′＝2v 1′，联立得该星球的第二宇宙速度为v 2′＝gR ，故A 、B 、D 错误，C 正确。
天体运动问题是牛顿运动定律、匀速圆周运动规律及万有引力定律的综合应用，由于天体运动贴近科技前沿，且蕴含丰富的物理知识，因此是高考命题的热点．近几年在全国卷中都有题目进行考查．预计高考可能会结合我国最新航天成果考查卫星运动中基本参量的求解和比较以及变轨等问题．常考点有：卫星的变轨、对接；天体相距最近或最远问题；随地、绕地问题；卫星运动过程中的动力学问题、能量问题，包括加速度(向心加速度、重力加速度)、线速度、周期的比较等．解决这些问题的总体思路是熟悉两个模型：随地、绕地．变轨抓住两种观点分析，即动力学观点、能量观点．注意匀速圆周运动知识的应用．【重难解读】本部分要重点理解解决天体运动的两条基本思路、天体质量和密度的计算方法、卫星运行参量的求解及比较等．其中卫星变轨问题和双星系统模型是天体运动中的难点．应用万有引力定律分析天体运动要抓住“一个模型”“两个思路”1．一个模型：无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动模型．2．两个思路(1)所有做圆周运动的天体所需向心力都来自万有引力，因此向心力等于万有引力，据此列出天体运动的基本关系式：GMm r 2＝mv 2r ＝mω2r ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ＝ma. (2)不考虑地球或天体自转的影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即G Mm R 2＝mg ，变形得GM ＝gR 2(黄金代换式)． 【典题例证】(多选)作为一种新型的多功能航天飞行器，航天飞机集火箭、卫星和飞机的技术特点于一身．假设一航天飞机在完成某次维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，如图所示，已知A 点距地面的高度为2R(R 为地球半径)，B 点为轨道Ⅱ上的近地点，地球表面重力加速度为g ，地球质量为M.又知若物体在离星球无穷远处时其引力势能为零，则当物体与星球球心距离为r 时，其引力势能E p ＝－G Mm r(式中m 为物体的质量，M 为星球的质量，G 为引力常量)，不计空气阻力．则下列说法中正确的有( )A ．该航天飞机在轨道Ⅱ上经过A 点的速度小于经过B 点的速度B ．该航天飞机在轨道Ⅰ上经过A 点时的向心加速度大于它在轨道Ⅱ上经过A 点时的向心加速度C ．在轨道Ⅱ上从A 点运动到B 点的过程中，航天飞机的加速度一直变大D ．可求出该航天飞机在轨道Ⅱ上运行时经过A 、B 两点的速度大小[解析] 在轨道Ⅱ上A 点为远地点，B 点为近地点，航天飞机经过A 点的速度小于经过B 点的速度，故A 正确；在A 点，航天飞机所受外力为万有引力，根据G Mm r 2＝ma ，知航天飞机在轨道Ⅰ上经过A 点和在轨道Ⅱ上经过A 点时的加速度相等，故B 错误；在轨道Ⅱ上运动时，由A 点运动到B 点的过程中，航天飞机距地心的距离一直减小，故航天飞机的加速度一直变大，故C 正确；航天飞机在轨道Ⅱ上运行时机械能守恒，有－GMm r A ＋12mv 2A ＝－GMm r B ＋12mv 2B ，由开普勒第二定律得r A v A ＝r B v B ，结合GMm R 2＝mg ，r A ＝3R ，r B ＝R ，可求得v A 、v B ，故D 正确．[答案] ACD常见变轨问题的处理方法(1)力学的观点：如在A 点减速进入轨道Ⅱ，即为减速向心，反之加速离心，同时还要清楚减速时向运动方向喷气，加速时向运动的反方向喷气．(2)能量的观点：如在轨道Ⅰ上运行时的机械能比在轨道Ⅱ上运行时的机械能大．在轨道Ⅱ上由A 点运动到B 点的过程中航天飞机的机械能守恒、动能增加、引力势能减小等．变轨问题经常考查的知识点有：速度、加速度的比较；动能、势能、机械能的比较；周期、线速度、加速度的求法，特别是椭圆轨道上周期的求法要用到开普勒第三定律；第一宇宙速度、第二宇宙速度的理解．【突破训练】1．(多选)(2019·湖南、江西十四校联考)脉冲星的本质是中子星，具有在地面实验室无法实现的极端物理性质，是理想的天体物理实验室，对其进行研究，有希望得到许多重大物理学问题的答案，譬如：脉冲星的自转周期极其稳定，准确的时钟信号为引力波探测、航天器导航等重大科学技术应用提供了理想工具.2017年8月我国FAST 天文望远镜首次发现了两颗太空脉冲星，其中一颗星的自转周期为T(实际测量为1.83 s)，该星距离地球1.6万光年，假设该星球恰好能维持自转不瓦解．地球可视为球体，其自转周期为T 0，用弹簧测力计测得同一物体在地球赤道上的重力为两极处的k 倍，已知引力常量为G ，则下列关于该脉冲星的平均密度ρ及其与地球的平均密度ρ0之比正确的是( )A ．ρ＝3πGT 2B ．ρ＝3πGTC ．ρρ0＝（1－k ）T 20T 2D ．ρρ0＝T 20（1－k ）T 2 解析：选AC.星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力恰好能提供其表面物体做圆周运动所需的向心力，设该星球的质量为M ，半径为R ，表面一物体质量为m ，有G Mm R 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，又M ＝ρ·43πR 3，式中ρ为该星球密度，联立解得ρ＝3πGT 2，选项A 正确，B 错误；设地球质量为M 0，半径为R 0，地球表面一物体质量为m′，重力为P ，该物体位于地球两极时，有P ＝G M 0m ′R 20，在赤道上，地球对物体的万有引力和弹簧测力计对物体的拉力的合力提供该物体做圆周运动所需的向心力，则有G M 0m ′R 20－kP ＝m ′R 04π2T 20，联立解得M 0＝4π2R 30G （1－k ）T 20，地球平均密度ρ0＝M 0V ＝4π2R 30G （1－k ）T 204πR 303＝3πG （1－k ）T 20，故ρρ0＝（1－k ）T 20T 2，选项C 正确，D 错误．2.如图所示是“天宫二号”空间实验室在近地点(Q 点)200千米、远地点(P 点)394千米运行的椭圆轨道，已知地球半径取6 400 km ，M 、N 为短轴与椭圆轨道的交点，对于“天宫二号”空间实验室在椭圆轨道上的运行，下列说法正确的是( )A ．“天宫二号”空间实验室在P 点时的加速度一定比Q 点小，速度可能比Q 点大B ．“天宫二号”空间实验室从N 点经P 点运动到M 点的时间可能小于“天宫二号”空间实验室从M 点经Q 点运动到N 点的时间C ．“天宫二号”空间实验室在远地点(P 点)所受地球的万有引力大约是在近地点(Q 点)的14D ．“天宫二号”空间实验室从P 点经M 点运动到Q 点的过程中万有引力做正功，从Q 点经N 点运动到P 点的过程中要克服万有引力做功解析：选D.由于远地点(P 点)距离地心较远，所受万有引力较小，加速度较小，根据机械能守恒定律，“天宫二号”空间实验室的引力势能和动能之和保持不变，在远地点(P 点)引力势能较大，动能较小，速度较小，所以“天宫二号”空间实验室在P 点时的速度和加速度一定都比Q 点小，选项A 错误；由于“天宫二号”空间实验室在椭圆轨道的NPM 段的平均速率小于在椭圆轨道的MQN 段的平均速率，两段的路程相同，所以“天宫二号”空间实验室从N 点经P 点运动到M 点的时间大于“天宫二号”空间实验室从M 点经Q 点运动到N 点的时间，选项B 错误；根据万有引力定律，“天宫二号”空间实验室在远地点(P 点)所受地球的万有引力F P ＝G Mm R 2P ，在近地点(Q 点)所受地球的万有引力F Q ＝G Mm R 2Q ，二者之比F P F Q ＝（6 400＋200）2（6 400＋394）2，选项C 错误；“天宫二号”空间实验室从P 点经M 点运动到Q 点的过程中，万有引力方向与位移(速度)方向夹角小于90度，万有引力做正功，从Q 点经N 点运动到P 点的过程中，万有引力方向与位移(速度)方向夹角大于90度，克服万有引力做功，选项D 正确．。
