2020届高三物理一轮复习课时作业：第四章 第5讲 天体运动与人造卫星

第5讲 天 体 运 动 问 题天体运动问题是牛顿运动定律、匀速圆周运动规律及万有引力定律的综合应用，由于天体运动贴近科技前沿，且蕴含丰富的物理知识，因此是高考命题的热点．近几年在全国卷中都有题目进行考查．预计高考可能会结合我国最新航天成果考查卫星运动中基本参量的求解和比较以及变轨等问题．常考点有：卫星的变轨、对接；天体相距最近或最远问题；随地、绕地问题；卫星运动过程中的动力学问题、能量问题，包括加速度(向心加速度、重力加速度)、线速度、周期的比较等．解决这些问题的总体思路是熟悉两个模型：随地、绕地．变轨抓住两种观点分析，即动力学观点、能量观点．注意匀速圆周运动知识的应用．【重难解读】本部分要重点理解解决天体运动的两条基本思路，天体质量和密度的计算方法，卫星运行参量的求解及比较等．其中卫星变轨问题和双星系统模型是天体运动中的难点．在应用万有引力定律分析天体运动要抓住“一个模型”“两个思路”1．一个模型：无论是自然天体(如行星、月球等)，还是人造天体(如人造卫星等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动模型．2．两个思路(1)所有做圆周运动的天体所需向心力都来自万有引力，因此向心力等于万有引力，据此列出天体运动的基本关系式：GMm r 2＝mv 2r ＝mω2r ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ＝ma .(2)不考虑地球或天体自转的影响时，物体在地球或天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即G MmR2＝mg ，变形得GM ＝gR 2(黄金代换式)．【典题例证】(多选)作为一种新型的多功能航天飞行器，航天飞机集火箭、卫星和飞机的技术特点于一身．假设一航天飞机在完成某次维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，如图所示，已知A 点距地面的高度为2R (R 为地球半径)，B 点为轨道Ⅱ上的近地点，地球表面重力加速度为g ，地球质量为M .又知若物体在离星球无穷远处时其引力势能为零，则当物体与星球球心距离为r 时，其引力势能E p ＝－G Mm r(式中m 为物体的质量，M 为星球的质量，G 为引力常量)，不计空气阻力．则下列说法中正确的有( )A ．该航天飞机在轨道Ⅱ上经过A 点的速度小于经过B 点的速度B ．该航天飞机在轨道Ⅰ上经过A 点时的向心加速度大于它在轨道Ⅱ上经过A 点时的向心加速度C ．在轨道Ⅱ上从A 点运动到B 点的过程中，航天飞机的加速度一直变大D ．可求出该航天飞机在轨道Ⅱ上运行时经过A 、B 两点的速度大小[解析] 在轨道Ⅱ上A 点为远地点，B 点为近地点，航天飞机经过A 点的速度小于经过B 点的速度，故A 正确．在A 点，航天飞机所受外力为万有引力，根据G Mm r2＝ma ，知航天飞机在轨道Ⅰ上经过A 点和在轨道Ⅱ上经过A 点时的加速度相等，故B 错误．在轨道Ⅱ上运动时，由A 点运动到B 点的过程中，航天飞机距地心的距离一直减小，故航天飞机的加速度一直变大，故C 正确．航天飞机在轨道Ⅱ上运行时机械能守恒，有－GMm r A ＋12mv 2A ＝－GMm r B ＋12mv 2B ，由开普勒第二定律得r A v A ＝r B v B ，结合GMmR2＝mg ，r A ＝3R ，r B ＝R ，可求得v A 、v B ，故D 正确． [答案] ACD常见变轨问题的处理方法(1)力学的观点：如在A 点减速进入轨道Ⅱ，即为减速向心，反之加速离心，同时还要清楚减速时向运动方向喷气，加速时向运动的反方向喷气．(2)能量的观点：如在轨道Ⅰ上运行时的机械能比在轨道Ⅱ上运行时的机械能大．在轨道Ⅱ上由A 点运动到B 点的过程中航天飞机的机械能守恒、动能增加、引力势能减小等．变轨问题经常考查的知识点有：速度、加速度的比较；动能、势能、机械能的比较；周期、线速度、加速度的求法，特别是椭圆轨道上周期的求法要用到开普勒第三定律；第一宇宙速度、第二宇宙速度的理解．【突破训练】1．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－g g 0B ．3πGT 2g 0g 0－gC.3πGT2D ．3πGT 2g 0g解析：选 B.物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，则ρ＝M 43πR3＝3πg 0GT 2（g 0－g ）.故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．2.(多选)(2016·高考江苏卷)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )A ．T A >TB B ．E k A >E k BC ．S A ＝S BD ．R 3A T 2A ＝R 3B T 2B解析：选AD.卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G Mm R 2＝m v 2R ＝mR ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，得v ＝GMR，T ＝2π R 3GM，由R A >R B ，可知，T A >T B ，v A <v B ，由于两卫星的质量相等，因此E k A <E k B ，A 项正确，B 项错误；由开普勒第三定律可知，R 3A T 2A ＝R 3BT 2B ，D 项正确；卫星与地心的连线在t 时间内扫过的面积S ＝t T πR 2＝t GMR 2，可见轨道半径大的卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积大，C 项错误．3．我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息．若该月球车在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2.已知地球半径为R 1，月球半径为R 2，地球表面处的重力加速度为g ，则( )A ．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为 G 1G 2B ．地球的质量与月球的质量之比为 G 1R 22G 2R 21C ．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为 G 2G 1D ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2解析：选D.质量与引力无关，故“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为1∶1，A 错误；重力加速度g ＝G 重m ，故地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为G 1∶G 2，C 错误；根据g ＝GM R2，有M ＝gR 2G ，故地球的质量与月球的质量之比为M 地M 月＝G 1R 21G 2R 22，B 错误；因第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，且v ＝gR ，故地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为v 1v 2＝G 1R 1G 2R 2，D 正确． 4．在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L ，质量分别为M 1和M 2，试计算： (1)双星的轨道半径； (2)双星的运行周期； (3)双星的线速度的大小． 解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，如图所示，所以具有周期、频率和角速度均相同，而轨道半径、线速度不同的特点．(1)由于两星受到的向心力相等， 则M 1ω2R 1＝M 2ω2R 2，L ＝R 1＋R 2. 由此得：R 1＝M 2M 1＋M 2L ，R 2＝M 1M 1＋M 2L . (2)由万有引力提供向心力得 G M 1M 2L 2＝M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R 1＝M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R 2.所以，周期为T ＝2πL L G （M 1＋M 2）. (3)线速度v 1＝2πR 1T ＝M 2GL （M 1＋M 2），v 2＝2πR 2T＝M 1G L （M 1＋M 2）.答案：(1)R 1＝M 2M 1＋M 2L R 2＝M 1M 1＋M 2L (2)2πL LG （M 1＋M 2）(3)v 1＝M 2GL （M 1＋M 2） v 2＝M 1GL （M 1＋M 2）。

重难点05 天体运动与人造航天器【知识梳理】考点一 天体质量和密度的计算1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2R MmG mg =（g 表示天体表面的重力加速度）．（2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2R Mm Gmg =，所以2R MG g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得2)(h R MG g +=' 2．天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于2R Mm G mg =，故天体质量GgR M 2=天体密度：GRgV M πρ43==（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即r T m rMm G 22)2(π=，得出中心天体质量2324GT r M π=；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度3233RGT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度23GTV M πρ==.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1.黄金代换公式（1）在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式． 2. 估算天体问题应注意三点（1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等． （2）注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用． （3）注意密度公式23GTπρ=的理解和应用． 考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律r GM v =；3r GM =ω；GMr T 32π=；2r GM a = （1）卫星的a 、v 、ω、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定．（2）卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．3．极地卫星和近地卫星（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 【重点归纳】1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路 （1）一个模型天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式卫星运动的向心力来源于万有引力：ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即：2R MmGmg = （g 为星体表面处的重2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫====减小增大减小减小增大时当半径a T v r r GM a GM r T r GM r GM v ωπω2332 考点三 宇宙速度 卫星变轨问题的分析1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的两种求法：（1）r mv r Mm G 212=，所以r GMv =1 （2）rmv mg 21=，所以gR v =1.3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．4.当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：（1）当卫星的速度突然增加时，r mv rMm G 22<，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时减小．（2）当卫星的速度突然减小时，r mv rMm G 22>，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时增大．卫星的发射和回收就是利用这一原理．1.处理卫星变轨问题的思路和方法（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大．2.卫星变轨问题的判断：（1）卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大．（2）卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．（3）圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.3.特别提醒:“三个不同”（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。

第五节 人造卫星 宇宙速度[对应学生用书第63页] 1．三种宇宙速度(1)轨道平面一定：轨道平面和__赤道__平面重合。

(2)周期一定：与地球__自转__周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s 。

(3)角速度一定：与地球自转的角速度__相同__。

(4)高度一定：据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r ＝3GMT 24π2≈4.24×104 km ，卫星离地面高度h ＝r－R ≈3.6×104 km(为恒量)。

(5)速率一定：运行速度v ＝2πrT ≈3.08 km/s(为恒量)。

(6)绕行方向一定：与地球自转的方向__一致__。

3．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的__半径__，其运行线速度约为7.9 km/s 。

[自我诊断]判断下列说法的正误。

(1)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小。

(×)(2)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。

(√) (3)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空。

(×)(4)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合。

(×) (5)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s 。

(√)(6)不同的同步卫星的质量不同，但离地面的高度是相同的。

(√) (7)地球同步卫星的运行速度一定小于地球的第一宇宙速度。

(√)(8)若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行。

(√)[对应学生用书第63页]考点一 宇宙速度的理解与计算1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G Mm R 2＝m v 21R 得v 1＝GM R＝ 6.67×10－11×5.98×10246.4×106m/s ＝7．9×103 m/s 。

[课时作业] 单独成册方便使用[基础题组]一、单项选择题1．牛顿时代的科学家们围绕引力的研究，经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践．在万有引力定律的发现历程中，下列叙述不符合史实的是( )A ．开普勒研究了第谷的行星观测记录，得出了开普勒行星运动定律B ．牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律C ．卡文迪许首次在实验室中比较准确地得出了引力常量G 的数值D ．根据天王星的观测资料，哈雷利用万有引力定律计算出了海王星的轨道解析：开普勒研究了第谷的行星观测记录，得出了开普勒行星运动定律，选项A 正确；牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律，选项B 正确；卡文迪许首次在实验室中比较准确地得出了引力常量G 的数值，选项C 正确；英国人亚当斯和法国人勒维耶根据万有引力推测出“新”行星的轨道和位置，柏林天文台年轻的天文学家伽勒和他的助手根据勒维耶计算出来的“新”行星的位置，发现了海王星，故D 错误． 答案：D2．若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p 倍，半径为地球的q 倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( ) A.pq 倍 B.q p倍 C.pq倍 D.pq 3倍解析：对于中心天体的卫星，G Mm R 2＝m v2R ，v ＝GMR，设该行星卫星的环绕速度为v′，地球卫星的环绕速度为v ，则v′v ＝M′M ·R R′＝pq，C 正确． 答案：C3.如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( ) A.v 1v 2＝r 2r 1B.v 1v 2＝r 1r 2C.v 1v 2＝(r 2r 1)2D.v 1v 2＝(r 1r 2)2 解析：万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，有G Mm r 2＝m v2r ，所以v ＝GM r ，v 1v 2＝r 2r 1，A 项正确． 答案：A4．(2018·山西五校四联)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．若某双星的质量分别为M 、m ，间距为L ，双星各自围绕其连线上的某点O 做匀速圆周运动，其角速度分别为ω1、ω2，质量为M 的恒星轨道半径为R ，已知引力常量为G ，则描述该双星运动的上述物理量满足( ) A ．ω1＜ω2 B ．ω1＞ω2 C ．GM ＝ω 22(L －R)L 2D ．Gm ＝ω 21R 3解析：双星系统中两颗星的角速度相同，ω1＝ω2，则A 、B 项错误．由GMm L2＝m ω 22(L －R)，得GM ＝ω 22(L －R)L 2，C 项正确．由GMm L 2＝M ω 21R ，得Gm ＝ω 21RL 2，D 项错误．答案：C5．(2018·河北石家庄模拟)2016年10月19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号对接成功．两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为T ，已知地球半径为R ，对接体距地面的高度为kR ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G.下列说法正确的是( )A ．对接后，飞船的线速度大小为2πkR TB ．对接后，飞船的加速度大小为g1＋k2C ．地球的密度为3π 1＋k2GT2D ．对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天宫二号实现对接解析：对接前，飞船通过自身加速使轨道半径变大靠近天宫二号实现对接，D 错误．对接后，飞船的轨道半径为kR ＋R ，线速度大小v ＝2π k＋1 R T ，A 错误．由GMm k＋1 2R 2＝ma 及GM ＝gR 2得a ＝g 1＋k2，B正确．由GMm k＋1 2R 2＝m(2πT )2(k ＋1)R 及M ＝ρ×43πR 3得ρ＝3π 1＋k3GT2，C 错误．答案：B 二、多项选择题6．(2017·高考江苏卷)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空．与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km 的圆轨道上飞行，则其( ) A ．角速度小于地球自转角速度 B ．线速度小于第一宇宙速度 C ．周期小于地球自转周期D ．向心加速度小于地面的重力加速度解析：由GMm R＋h 2＝m(R ＋h)4π2T 2知，周期T 与轨道半径的关系为 R＋h 3T 2＝k(恒量)，同步卫星的周期与地球的自转周期相同，但同步卫星的轨道半径大于“天舟一号”的轨道半径，则“天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，也就小于地球的自转周期，C 对．由ω＝2πT 知，“天舟一号”的角速度大于地球自转的角速度，A 错．由GMm R＋h 2＝mv2R ＋h知，线速度v ＝GMR ＋h ，而第一宇宙速度v′＝GM R，则v ＜v′，B 对．设“天舟一号”的向心加速度为a ，则ma ＝GMm R＋h 2，而mg ＝GMmR 2，可知a ＜g ，D 对．答案：BCD7.(2018·江西赣州模拟)如图所示，运行轨道在同一平面内的两颗人造卫星A 、B ，同方向绕地心做匀速圆周运动，此时刻A 、B 与地心恰在同一直线上且相距最近，已知A 的周期为T ，B 的周期为2T3.下列说法正确的是( )A ．A 的线速度小于B 的线速度 B ．A 的角速度小于B 的角速度C ．A 的重力小于B 的重力D ．从此时刻到下一次A 、B 相距最近的时间为2T解析：根据万有引力提供向心力得G Mm r 2＝m v 2r＝m ω2r ，解得v ＝GMr ，ω＝GMr3，可知轨道半径越大，线速度、角速度都越小，故A 的线速度和角速度都较小，故A 、B 正确．由于不知道A 、B 两颗卫星的质量关系，所以无法判断两颗卫星的重力大小关系，故C 错误．从此时刻到下一次A 、B 相距最近，转过的角度差为2π，即(2π2T 3－2πT )t ＝2π，解得t ＝2T ，故从此时刻到下一次A 、B 相距最近的时间为2T ，故D 正确． 答案：ABD8.(2018·郑州质量预测)中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统．预计2020年左右，北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力．如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，则( )A ．卫星a 的角速度小于c 的角速度B ．卫星a 的加速度等于b 的加速度C ．卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度D ．卫星b 的周期大于24 h解析：a 的轨道半径大于c 的轨道半径，则卫星a 的角速度小于c 的角速度，选项A 正确；a 的轨道半径与b 的轨道半径相等，则卫星a 的加速度等于b 的加速度，选项B 正确；a 的轨道半径大于地球半径，则卫星a 的运行速度小于第一宇宙速度，选项C 错误；a 的轨道半径与b 的轨道半径相等，卫星b 的周期等于a 的周期，为24 h ，选项D 错误． 答案：AB[能力题组]一、选择题9．(2018·河北冀州模拟)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波．双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr(a 星的轨道半径大于b 星的)，则( ) A ．b 星的周期为l －Δr l ＋ΔrTB ．a 星的线速度大小为π l＋ΔrTC ．a 、b 两颗星的半径之比为ll －ΔrD ．a 、b 两颗星的质量之比为l ＋Δrl －Δr解析：由双星系统的运动规律可知，两星周期相等，均为T ，则A 错．由r a ＋r b ＝l ，r a －r b ＝Δr ，得r a ＝12(l ＋Δr)，r b ＝12(l －Δr)，则a 星的线速度大小v a ＝2πr a T ＝π l＋Δr T ，则B 正确.r a r b ＝l ＋Δr l －Δr ，则C 错．双星运动中满足m a m b ＝r b r a ＝l －Δr l ＋Δr ，则D 错．答案：B10.已知，某卫星在赤道上空轨道半径为r 1的圆形轨道上绕地运行的周期为T ，卫星运动方向与地球自转方向相同，赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方，假设某时刻，该卫星在A 点变轨进入椭圆轨道(如图)，近地点B 到地心距离为r 2.设卫星由A 到B 运动的时间为t ，地球自转周期为T 0，不计空气阻力，则( ) A ．T ＝38T 0B ．t ＝r 1＋r 2 T2r 1r 1＋r 22r 1C ．卫星在图中椭圆轨道由A 到B 时，机械能增大D ．卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中，机械能不变解析：根据题意有2πT ·3T 0－2πT 0·3T 0＝5·2π，得T ＝38T 0，所以A 正确；由开普勒第三定律有[12 r 1＋r 2 ]3 2t 2＝r 31T 2，得t ＝ r 1＋r 2 T 4r 1r 1＋r 22r 1，所以B 错误；卫星在椭圆轨道中运行时，机械能是守恒的，所以C 错误；卫星从圆轨道进入椭圆轨道过程中在A 点需点火减速，卫星的机械能减小，所以D 错误． 答案：A11．(多选)已知月球围绕地球运动的周期大约为27天，某颗近地卫星绕地球运动的周期大约为1.4 h ，地球同步卫星的轨道半径为r 2，地球半径为R.下列说法中正确的是( )A ．地球同步卫星距离地球中心的距离r 2与月球中心到地球中心的距离r 3之比为1∶9B ．近地卫星距离地球中心的距离r 1与月球中心到地球中心的距离r 3之比为3∶48C ．地球同步卫星绕地球运动的加速度a 2与赤道上物体随地球自转的加速度a 0之比为r 2∶RD ．地球同步卫星绕地球运动的加速度a 2与月球绕地球运动的加速度a 3之比为9∶1解析：根据开普勒第三定律有r 3T 2＝k ，可得r ＝3kT 2，代入已知条件得选项A 正确，B 错误．地球同步卫星绕地球运动的角速度和地球自转角速度相等，由a ＝ω2r 可知，a 2∶a 0＝r 2∶R ，选项C 正确．根据万有引力提供向心力有G Mm r 2＝ma ，得a 2∶a 3＝r 23∶r 22＝(9r 2)2∶r 22＝81∶1，选项D 错误．答案：AC 二、非选择题12.(2017·高考天津卷)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体．假设组合体在距地面高为h 的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球的半径为R ，地球表面处重力加速度为g ，且不考虑地球自转的影响．则组合体运动的线速度大小为________，向心加速度大小为________．解析：设组合体的质量为m 、运动线速度为v ，地球质量为M ，则 G Mm R＋h 2＝ma 向＝m v 2R ＋h ，又有G MmR 2＝mg 联立上述两式得a 向＝R 2R＋h2g ，v ＝Rg R ＋h.答案：Rg R ＋h R 2R＋h2g 13.(2018·湖北武汉调研)如图所示，一宇航员站在质量分布均匀的某星球表面的一斜坡上的A 点，沿水平方向以速度v 0抛出一个小球，测得经过时间t 小球落到斜坡上的另一点B ，斜坡的倾角为θ，已知该星球的半径为R ，求：(1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的第一宇宙速度．解析：(1)设该星球表面的重力加速度为g ，由平抛运动规律，则 x ＝v 0t y ＝12gt 2yx ＝tan θ 解得g ＝2v 0tan θt(2)一质量为m 的卫星在该星球表面附近环绕星球运行时，重力提供向心力，则 mg ＝m v 2R解得v ＝gR ＝2v 0Rtan θt，此即该星球的第一宇宙速度． 答案：(1)2v 0tan θt (2)2v 0Rtan θt。

2020届高考物理人教版一轮复习限时规范练天体运动与人造卫星一、选择题1、“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在距离月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行。

然后卫星在P点又经过两次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动，如图所示。

下列说法正确的是( )A．卫星在三个轨道上运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠB．不考虑卫星质量的变化，卫星在三个轨道上的机械能EⅢ>EⅡ>EⅠC．卫星在不同轨道运动到P点(尚未制动)时的加速度都相等D．不同轨道的半长轴(或者半径)的二次方与周期的三次方的比值都相等【答案】C【解析】轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ三个轨道的半长轴关系为RⅠ>RⅡ>RⅢ，根据开普勒第三定律，卫星在三个轨道上运动的周期关系为：TⅠ>TⅡ>TⅢ，选项A错误；不考虑卫星质量的变化，卫星在三个轨道上的机械能关系为：EⅠ>EⅡ>EⅢ，选项B错误；不同轨道上的P点，到地心的距离相同，所受万有引力相同，根据牛顿第二定律，卫星在不同轨道运动到P点(尚未制动)时的加速度都相等，选项C正确；根据开普勒第三定律，卫星在不同轨道的半长轴(或者半径)的三次方与周期的二次方的比值都相等，选项D 错误。

2．(多选)我国天宫一号飞行器已完成了所有任务，于2018年4月2日8时15分坠入大气层后烧毁。

如图所示，设天宫一号原来在圆轨道Ⅰ上飞行，到达P 点时转移到较低的椭圆轨道Ⅱ上(未进入大气层)，则天宫一号( )A ．在P 点减速进入轨道ⅡB ．在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期C ．在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅱ上的加速度D ．在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能 【答案】ABD【解析】天宫一号在P 点减速，提供的向心力大于需要的向心力，天宫一号做向心运动进入轨道Ⅱ，故A 正确；根据开普勒行星运动第三定律：R 13T 12＝R 23T 22，可知轨道Ⅰ半径大于轨道Ⅱ的半长轴，所以在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期，故B 正确；根据万有引力提供向心力：G Mm r 2＝ma ，解得：a ＝G Mr2，可知在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅱ上的加速度，其在P 点时加速度大小相等，故C 错误；由于在P 点需减速进入轨道Ⅱ，故天宫一号在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能，故D 正确。

2020届一轮复习人教版 万有引力定律天体运动 课时作业A 组1．(多选)中国志愿者王跃参与人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的一次实验“火星－500”活动，王跃走出登陆舱，成功踏上模拟火星表面，在火星上首次留下中国人的足迹．假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则下列说法中正确的是(AC)A ．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P 点速度大于在Q 点的速度B ．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于轨道Ⅱ上运动的机械能C ．飞船在轨道Ⅰ上运动到P 点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P 点时的加速度D ．飞船绕火星在轨道Ⅰ上的运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期相同【解析】根据开普勒第二定律可知，飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P 点速度大于在Q 点的速度．故A 正确．飞船在轨道Ⅰ上经过P 点时，要点火加速，使其速度增大做离心运动，从而转移到轨道Ⅱ上运动．所以飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能小于轨道Ⅱ上运动的机械能．故B 错误．飞船在轨道Ⅰ上运动到P 点时与飞船在轨道Ⅱ上运动到P 点时受到的万有引力大小相等，根据牛顿第二定律可知加速度必定相等．故C 正确．根据周期公式T ＝4π2r3GM，虽然r 相等，但是由于地球和火星的质量不等，所以周期T 不相等．故D 错误．2．某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R ，地面重力加速度为g ，下列说法错误的是(D)A ．人造卫星的最小周期为2πR gB ．卫星在距地面高度R 处的绕行速度为Rg 2C ．卫星在距地面高度为R 处的重力加速度为g4D ．地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较少【解析】人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m 、轨道半径为r 、地球质量为M ，有F ＝F 向其中F ＝G Mmr2F 向＝m v 2r ＝m ω2r ＝m(2πT )2r ＝ma解得v ＝GMr① T ＝2πr v ＝2πr3GM② a ＝GMr2 ③地球表面重力加速度公式 g ＝GMR2 ④根据②④式，卫星的公转周期为 T ＝2πr 3gR2 当r ＝R 时，T 最小，为2πRg，故A 正确； 由①④式得到 v ＝Rg r当卫星距地面高度为R 时，即r ＝2R 时，v ＝Rg2，故B 正确； 由③④式得到 a ＝gR 2r2当卫星距地面高度为R 时，a ＝g4，故C 正确；地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，但要将卫星发射到较高的轨道，需要克服引力做较多的功，故D 错误；本题选错误的，故选D.3．如图所示，一颗行星和一颗彗星绕同一恒星的运行轨道分别为A 和B ，A 是半径为r 的圆轨道，B 为椭圆轨道，椭圆长轴QQ ′为2r.P 点为两轨道的交点，以下说法正确的是(B)A ．彗星和行星经过P 点时受到的万有引力相等B ．彗星和行星在P 处的加速度相同C ．彗星和行星经过P 点时的速度相同D ．彗星在Q ′处加速度为行星加速度的14【解析】根据万有引力F ＝GMmr 2，由于行星和彗星质量未知，不能比较在P 点处所受万有引力的大小，故A 错误；根据牛顿第二定律，万有引力提供加速度，GMm r 2＝ma ，则a ＝GMr 2，在P 点由于距离中心天体都一样，因此加速度相等，故B 正确；彗星和行星经过P 点时的速度大小和方向均不同，故C 错误；彗星在Q ′点处与恒星球心的距离小于2r ，加速度大于行星加速度的14，故D 错误．4．“黑洞”是近代引力理论所预言的宇宙中的一种特殊天体，在“黑洞”引力范围内，任何物体都不能脱离它的束缚，甚至连光也不能射出.2001年，欧洲航天局由卫星观察发现银河系中心存在一个超大型黑洞．假设银河系中心仅存此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，则根据下列哪组数据可以估算出该黑洞的质量(引力常量为已知)(D)A ．太阳系的质量和太阳系绕该黑洞公转的周期B ．太阳系的质量和太阳系到该黑洞的距离C ．太阳系的运行速度和该黑洞的半径D ．太阳系绕该黑洞公转的周期和公转的半径【解析】太阳系绕银河系中心“黑洞”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳系的质量为m 、轨道半径为r 、“黑洞”质量为M ，根据万有引力提供向心力得：GMm r 2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r＝m ω2r ， 从上式可以看出，要计算“黑洞”质量，要知道周期T 与轨道半径r ，或者线速度v 与轨道半径r ，或者轨道半径r 与角速度ω，由于太阳系质量m 在等式左右可以约去，故太阳系质量对求银河系中心“黑洞”的质量无用处；故A 、B 、C 错误，D 正确．5．2018年4月22日，我国第一艘货运飞船“天舟一号”与“天宫二号”空间实验室顺利完成自动交会对接，若“天舟一号”与“天宫二号”绕地球做半径为r 、逆时针方向的匀速圆周运动，它们与地心连线的夹角为θ，如图所示，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，不计“天舟一号”与“天宫二号”间的相互作用力，下列说法正确的是(D)A ．“天舟一号”与“天宫二号”的向心加速度大小均为gr2R2B ．“天舟一号”从图示位置运动到“天宫二号”所在位置所需时间为θrR g rC ．“天舟一号”要想追上“天宫二号”，必须先向后喷气D ．“天舟一号”追上“天宫二号”，该过程中万有引力对“天舟一号”先做正功后做负功 【解析】由万有引力提供向心力：G Mm r 2＝ma ，可得a ＝Gm r 2，又GM ＝gR 2，则a ＝R 2r 2g ，则A 错误；“天舟一号”从图示位置运动到“天宫二号”所在位置所需时间为t ＝θω，又ω＝GM r3＝gR 2r 3，可得t ＝θr Rrg，则B 错误；“天舟一号”向后喷气，速度变大会做离心运动脱离原轨道，不可能追上“天宫二号”，C 错误；使“天舟一号”追上“天宫二号”要先降低轨道再加速运动升高轨道，则万有引力对“天舟一号”先做正功后做负功，则D 正确．6．卫星电话在抢险救灾中发挥着重要作用，第一代、第二代海事卫星只使用静止轨道卫星，不能覆盖地球上的高纬度地区．第三代海事卫星采用同步卫星和中轨道卫星结合的方案，它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成．中轨道卫星高度为10 354 km ，分布在几个轨道平面上(与赤道平面有一定的夹角)．在这个高度上，卫星沿轨道运动一周的时间为四分之一天，下列说法正确的是(C)A ．中轨道卫星的线速度小于同步卫星的线速度B ．4颗同步卫星的轨道可能不在同一个平面，但轨道半径一定相同C ．在中轨道卫星经过地面某点的正上方的一天后，该卫星还在地面该点的正上方D ．如果某一时刻，中轨道卫星、同步卫星与地球的球心在同一直线上，那么经过6小时，它们仍在同一直线上【解析】因G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m(2πT )2r ＝ma解得：v ＝GMr① T ＝2πrv ＝2πr3GM② ω＝GMr3 ③a ＝GMr2 ④由②可得中轨道卫星的轨道半径小于同步卫星．半径小的速度大，周期小，加速度大． 中轨道卫星的轨道半径小，其线速度大，故A 错误；同步卫星都在赤道平面内，所以4颗同步卫星的轨道在同一个平面，轨道半径一定相同，故B 错误； 一天后地球完成1周，中轨道卫星完成4周，则卫星仍在地面该点的正上方，故C 正确； 经过6小时，中轨道卫星完成一周，而同步卫星为14周．故不可能在一直线上，故D 错误．7．已知一颗人造卫星在半径为R 的某行星上空绕该行星做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星运动的弧长为s ，卫星与行星的中心连线扫过的角度是θ弧度．(已知万有引力常量为G)求：(1)该行星的质量M ； (2)该行星的第一宇宙速度v 1. 【解析】(1)卫星的线速度为：v ＝st卫星的角速度为：ω＝θt则卫星做圆周运动的轨道半径为：r ＝v ω＝sθ根据牛顿第二定律，有：G Mm r 2＝m v2r解得：M ＝s3θGt2(2)行星的第一宇宙速度是近地轨道卫星的环绕速度，根据万有引力提供向心力：G Mm R 2＝m v 21R解得：v 1＝sts θRB 组8．一宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其在竖直面内绕O 点做圆周运动，测得绳的拉力F 的大小随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1＝7F 2，设R 、m 、引力常量G 以及F 1为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是(C)A ．该星球表面的重力加速度为7F 17mB ．卫星绕该星球的第一宇宙速度为Gm RC ．星球的密度为3F 128πGmRD ．小球过最高点的最小速度为0【解析】设小球在最低点时细线的拉力为F 1，速度为v 1， 则F 1－mg ＝m v 21r①设小球在最高点细线的拉力为F 2，速度为v 2， 则F 2＋mg ＝m v 22r②由机械能守恒定律得mg2r ＋12mv 22＝12mv 21 ③由①②③解得g ＝F 1－F 26m④F 1＝7F 2，所以该星球表面的重力加速度为F 17m ，故A 错误．根据万有引力提供向心力得：GMm R 2＝m v2R 卫星绕该星球的第一宇宙速度为v ＝GM R ，故B 错误．在星球表面，万有引力近似等于重力GMm ′R2＝m ′g ⑤ 由④、⑤解得M ＝F 1R 27Gm ，星球的密度：ρ＝M 43πR 3＝3F 128πGmR ，选项C 正确；小球在最高点受重力和绳子拉力，根据牛顿运动定律得：F 2＋mg ＝m v 22R ≥mg所以小球在最高点的最小速度v 2≥gR.故D 错误．9．我国首颗量子科学实验卫星于2018年8月16日1点40分成功发射．量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系．假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示．已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是地球赤道上一点，由此可知(D)A ．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n3m 3B ．同步卫星与P 点的速率之比为1nC ．量子卫星与同步卫星的速率之比为nmD ．量子卫星与P 点的速率之比为n 3m【解析】根据GMm ′r 2＝m ′4π2T 2r ，得T ＝4π2r3GM，由题意知r 量子＝mR ，r 同步＝nR ，所以T 同T 量＝r 3同r 3量＝()nR 3()mR 3＝n3m3，故A 错误；P 为地球赤道上一点，P 点角速度等于同步卫星的角速度，根据v ＝ωr，所以有v 同v P ＝r 同r P ＝nR R ＝n 1，故B 错误；根据GMm ′r 2＝m ′v2r，得v ＝GM r ，所以v 量v 同＝r 同r 量＝nR mR＝n m ，故C 错误；综合BC ，有v 同＝nv P ，v 量v 同＝n m ，得v 量v P＝n3m，故D 正确；故选D. 10．假设站在赤道某地的人，日落后4 h 时，发现一颗从“天边”飞来的卫星正好处于自己头顶的上空，且此卫星即将消失在夜幕之中．若该卫星在赤道所在平面上绕地球做匀速圆周运动，其转动方向与地球自转方向相同，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.0倍．据此可知，此人造地球卫星绕地球运行的周期约为(B)A ．3.6 hB ．4.6 hC ．5.6 hD ．6.6 h【解析】日落时，过赤道上P 点的最后一缕阳光如图所示，设地球半径为R ，图中O 点为地心，所以OP ＝R ；由于4 h 远小于地球公转周期，故可以认为在日落后4 h 内地心相对于太阳的位置未发生变化，OP 的连线在4 h 内转过的角度θ＝16×2π＝π3.卫星即将消失在夜幕时，其所在位置位于图中的Q 点，则卫星的轨道半径r ＝R cos θ＝2R 由开普勒三定律得T 卫T 同＝r3（6R ）3＝127，卫星绕地球运行的周期约4.6 h ，正确答案为B.11．(多选)如图，赤道上空有2颗人造卫星A 、B 绕地球做同方向的匀速圆周运动，地球半径为R ，卫星A 、B 的轨道半径分别为54R 、53R ，卫星B 的运动周期为T ，某时刻2颗卫星与地心在同一直线上，两颗卫星之间保持用光信号直接通信．则(BC)A ．卫星A 的加速度小于B 的加速度 B ．卫星A 、B 的周期之比为338C ．再经时间t ＝3()83＋9T148，两颗卫星之间的通信将中断D ．为了使赤道上任一点任一时刻均能接收到卫星A 所在轨道的卫星的信号，该轨道上至少需要3颗卫星【解析】根据G Mm r 2＝ma ，解得：a ＝G M r 2，可知A 的加速度大于B 的加速度，故A 错误；根据G Mm r 2＝m 4π2T2r ，解得：T ＝4π2r 3GM ，可得：T A T B ＝338，故B 正确；由题意可知当卫星A 与B 的连线与地球相切时信号将中断，由几何关系可知此时A 、B 卫星的距离为25R 12，角度关系为⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT A －2πT B t ＝θ，(θ为卫星A 、B 与地心连线的夹角)，依勾股定理，得θ＝π2，解得t ＝3()83＋9T 148，故C 正确；对于同步卫星来讲，由于赤道对应的圆心角为360度，而一颗卫星能覆盖120度，故要有3颗，才能全部覆盖地球表面，同步卫星距地心的距离大约7R ，而卫星A 的轨道半径为5R4，覆盖的范围比同步卫星还要小，因此至少需要3颗以上才可以，故D 错误．12．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m ，四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G ，试求：(1)星体做匀速圆周运动的周期；(2)若假设能在其中某一个星上做这么一个实验：站在h 高处以v 速度将一个物体水平抛出，测得落地点离抛出点水平位移为s ，则该星半径R 为多少？【解析】(1)由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r ＝22a 由万有引力定律和向心力公式得： G m2（2a ）2＋2G m 2a 2cos 45°＝m 22a 4π2T 2 解得：T ＝2πa2a（22＋1）Gm(2)由万有引力定律可知：G mm ′R 2＝m ′g ′则星体表面的重力加速度：g ′＝G mR 2由平抛规律： s ＝vt h ＝12g ′t 2 得：g ′＝2h t 2＝2hv 2s 2＝G m R 2解得： R ＝s v Gm 2h。

天体运动与人造卫星[基础题组]一、单项选择题1．人造地球卫星在绕地球做圆周运动的过程中，下列说法中正确的是( ) A ．卫星离地球越远，角速度越大B ．同一圆轨道上运行的两颗卫星，线速度大小一定相同C ．一切卫星运行的瞬时速度都大于7.9 km/sD ．地球同步卫星可以在以地心为圆心、离地高度为固定值的一切圆轨道上运动解析：卫星所受的万有引力提供向心力，则G Mm r 2＝m v 2r＝m ω2r ，可知r 越大，角速度越小，r 一定，线速度大小一定，A 错误，B 正确；7.9 km/s 是地球卫星的最大环绕速度，C 错误；因为地球会自转，同步卫星只能在赤道上方的圆轨道上运动，D 错误．答案：B2．(2019·河北石家庄模拟)如图所示，人造卫星A 、B 在同一平面内绕地心O 做匀速圆周运动，已知AB 连线与AO 连线间的夹角最大为θ，则卫星A 、B 的线速度之比为( )A ．sin θ B.1sin θC.sin θD.1sin θ解析：由题图可知，当AB 连线与B 所在的圆周相切时，AB 连线与AO 连线的夹角θ最大，由几何关系可知，sin θ＝r B r A ；根据G Mm r 2＝m v 2r可知，v ＝GM r ，故v Av B ＝r Br A＝sin θ，选项C 正确．答案：C3.(2019·天津模拟)中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统．预计2020年左右，北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力．如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，则( )A ．卫星a 的角速度小于c 的角速度B ．卫星a 的加速度大于b 的加速度C ．卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度D ．卫星b 的周期大于24 h解析：a 的轨道半径大于c 的轨道半径，因此卫星a 的角速度小于c 的角速度，选项A 正确；a 的轨道半径与b 的轨道半径相等，因此卫星a 的加速度等于b 的加速度，选项B 错误；a 的轨道半径大于地球半径，因此卫星a 的运行速度小于第一宇宙速度，选项C 错误；a 的轨道半径与b 的轨道半径相等，卫星b 的周期等于a 的周期，为24 h ，选项D 错误．答案：A4．(2019·江苏淮安质检)科学家预测银河系中所有行星的数量大概在2～3万亿之间．目前在银河系发现一颗类地行星，半径是地球半径的两倍，质量是地球质量的三倍．卫星a 、b 分别绕地球、类地行星做匀速圆周运动，它们距中心天体表面的高度均等于地球的半径．则卫星a 、b 的( )A ．线速度之比为1∶ 3B ．角速度之比为3∶2 2C ．周期之比为22∶ 3D ．加速度之比为4∶3解析：设地球的半径为R ，质量为M ，则类地行星的半径为2R ，质量为3M ，卫星a 的运动半径为R a ＝2R ，卫星b 的运动半径为R b ＝3R ，万有引力充当向心力，根据公式G Mm r 2＝m v 2r，可得v a ＝GM2R ，v b ＝GM R ，故线速度之比为1∶2，A 错误；根据公式G Mm r2＝m ω2r ，可得ωa ＝GM R3，ωb ＝3GMR3，故角速度之比为3∶22，根据T ＝2πω，可得周期之比为22∶3，B 正确，C 错误；根据公式G Mm r 2＝ma ，可得a a ＝GM R2，a b ＝3GMR2，故加速度之比为3∶4，D 错误．答案：B5．我国发射的“天宫二号”空间实验室与之后发射“神舟十一号”成功完成对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接解析：飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．答案：C二、多项选择题6．(2019·广东广州华南师大附中模拟)关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是( )A．在同一轨道上运行的两颗质量相同的卫星，它们的动量相同B．在赤道上空运行的两颗同步卫星，它们的机械能可能不同C．若卫星运动的周期与地球自转周期相同，它就是同步卫星D．沿椭圆轨道运行的卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率解析：在同一轨道上运行的两颗质量相同的卫星，它们的速度大小相同，但是方向不同，则动量大小相同，方向不同，即动量不同，选项A错误；在赤道上空运行的两颗同步卫星，它们的高度和速率都相同，但是质量可能不同，机械能可能不同，选项B正确；若卫星运动的周期与地球自转周期相同，但它的轨道必须与赤道在同一平面内它才是同步卫星，选项C 错误；沿椭圆轨道运行的卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率，例如在与长轴对称的两点上，选项D正确．答案：BD7．(2019·河北沧州一中高三月考)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动；b是近地轨道地球卫星；c是地球的同步卫星；d是高空探测卫星．它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则( )A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．b 在相同时间内转过的弧长最长C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π3D ．d 的运动周期可能是20 h解析：近地卫星b 的加速度满足G Mm R2＝ma ＝mg ，即a ＝g ，而地球赤道上静止的物体随地球自转受到的向心力由万有引力和地面支持力提供，故a 的向心加速度小于重力加速度g ，选项A 错误；c 是地球同步卫星，c 的角速度与a 的角速度相同，由v ＝ωr 可知c 的线速度大于a 的线速度，在b 、c 、d 中，根据G Mm r 2＝m v 2r ，则v ＝GMr，可知b 的线速度最大，则在a 、b 、c 、d 中b 的线速度也最大，b 在相同时间内转过的弧长最长，选项B 正确；c 是地球的同步卫星，则转动的周期为24 h ，则c 在4 h 内转过的圆心角是2π6＝π3，选项C 正确；d 是高空探测卫星，则其周期要大于同步卫星c 的周期，即T >24 h ，故选项D 错误．答案：BC8．(2019·河北衡水检测)同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为200～300 km 的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道，如图所示，当卫星穿过赤道平面上的P 点时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在地球赤道上空约36 000 km 处，这条轨道叫转移轨道；当卫星到达远地点Q 时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道．关于同步卫星及其发射过程，下列说法正确的是( )A ．在P 点火箭点火和Q 点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的线速度大于在停泊轨道运行的线速度B ．在P 点火箭点火和Q 点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能C ．卫星在转移轨道上运动的速度大小范围为7.9～11.2 km/sD ．所有地球同步卫星的静止轨道都相同解析：根据卫星变轨的原理知，在P 点火箭点火和Q 点开动发动机的目的都是使卫星加速．当卫星做圆周运动时，由G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GMr，可知，卫星在静止轨道上运行的线速度小于在停泊轨道运行的线速度，故A 错误；在P 点火箭点火和Q 点开动发动机的目的都是使卫星加速，由能量守恒知，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能，故B 正确；卫星在转移轨道上的远地点需加速才能进入同步卫星轨道，而同步卫星轨道的速度小于7.9 km/h ，故C 错误；所有地球同步卫星的静止轨道都相同，并且都在赤道平面上，高度一定，故D 正确．答案：BD[能力题组]一、选择题9．使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球的半径为地球半径R 的4倍，质量为地球质量M 的2倍，地球表面重力加速度为g .不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )A.12gR B.12gR C.gR D.18gR 解析：设在地球表面飞行的卫星质量为m ，由万有引力提供向心力得G Mm R 2＝mv 2R ，又有G MmR2＝mg ，解得地球的第一宇宙速度为v 1＝GMR＝gR ；设该星球的第一宇宙速度为v 1′，根据题意，有v 1′v 1＝2MM·R 4R ＝12；由地球的第一宇宙速度v 1＝gR ，再由题意知v 2＝2v 1，联立得该星球的第二宇宙速度为v 2′＝gR ，故A 、B 、D 错误，C 正确．答案：C10．2016年8月16日凌晨，被命名为“墨子号”的中国首颗量子科学实验卫星开启星际之旅，这是我国在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系．如图所示，“墨子号”卫星的工作高度约为500 km ，在轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于其运动周期)，运动的弧长为s ，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，引力常量为G ，则下列关于“墨子号”的说法正确的是( )A ．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度B ．周期为2πtβC ．质量为s 3Gt 2βD ．线速度大于第一宇宙速度解析：由G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GMr，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“墨子号”在轨道上运行的线速度小于地球的第一宇宙速度，D 错误；环绕周期为T ＝2πβt＝2πtβ，B 正确；“墨子号”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝mr ω2，ω＝βt ，v ＝s t ，r ＝v ω，联立解得地球的质量为M ＝s 3Gt 2β，不能求出“墨子号”的质量，C 错误；由G Mm r 2＝ma 得加速度a ＝GM r2，则知“墨子号”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，A 错误．答案：B11．(2019·四川南充高级中学高三考前模拟考试)太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Glicsc581”运行的行星“Gl－581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间，质量是地球的6倍，直径是地球的1.5倍．公转周期为13个地球日．“Glicsc581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则( )A ．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同B ．如果人到了该行星，其体重是地球上的223倍C ．该行星与“Glicsc581”的距离是日地距离的 13365倍 D ．恒星“Glicsc581”的密度是地球的169倍 解析：由v ＝GMR得该行星与地球的第一宇宙速度之比为v 行∶v 地＝M 行M 地 R 地R 行＝2∶1，故A 错误；由万有引力近似等于重力，得G Mm R2＝mg ，得行星表面的重力加速度为g ＝GM R2，则得该行星表面与地球表面重力加速度之比为g 行∶g 地＝M 行M 地R 地 2R 行 2＝8∶3，所以如果人到了该行星，其体重是地球上的83＝223倍，故B 正确；行星绕恒星运转时，根据万有引力提供向心力，列出等式G Mm r 2＝m 4π2rT 2，得行星与恒星的距离r ＝3GMT 24π2，行星“Gl－58lc”公转周期为13个地球日，将已知条件代入解得：行星“Gl－58lc”的轨道半径与地球轨道半径r 行G ∶r 日地＝30.31×1322，故C 错误；由于恒星“Glicsc581”的半径未知，不能确定其密度与地球密度的关系，故D 错误．答案：B 二、非选择题12.(2019·湖北武汉调研)如图所示，一宇航员站在质量分布均匀的某星球表面的一斜坡上的A 点，沿水平方向以速度v 0抛出一个小球，测得经过时间t 小球落到斜坡上的另一点B ，斜坡的倾角为θ，已知该星球的半径为R ，求：(1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的第一宇宙速度．解析：(1)设该星球表面的重力加速度为g ，由平抛运动规律，则x ＝v 0t y ＝12gt 2 yx＝tan θ 解得g ＝2v 0tan θt(2)一质量为m 的卫星在该星球表面附近环绕星球运行时，重力提供向心力，则mg ＝m v 2R解得v ＝gR ＝2v 0R tan θt，此即该星球的第一宇宙速度． 答案：(1)2v 0tan θt (2)2v 0R tan θt13．如图所示，探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P 处通过变速再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”绕月飞行(视为圆周运动)，对月球进行探测．“工作轨道”周期为T 、距月球表面的高度为h ，月球半径为R ，引力常量为G ，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响．(1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应增大速度还是减小速度？ (2)求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小； (3)求月球的第一宇宙速度．解析：(1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应减小速度使卫星做近心运动．(2)根据线速度与轨道半径和周期的关系可知探月卫星线速度的大小v ＝2πR ＋hT. (3)设月球的质量为M ，探月卫星的质量为m ，月球对探月卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，所以有GMm R ＋h2＝m4π2T 2(R ＋h )月球的第一宇宙速度v 1等于“近月卫星”的环绕速度，设“近月卫星”的质量为m ′，则有G Mm ′R 2＝m ′v 12R解得v 1＝2πR ＋h T R ＋hR. 答案：(1)减小 (2)2πR ＋h T(3)2πR ＋h TR ＋hR。

第5节 天体运动的三类热点问题 学案突破一 卫星的发射与变轨问题1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。

(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2．各物理量的比较(1)两个不同轨道的“切点”处线速度不相等。

图中v ⅢB >v ⅡB ，v ⅡA >v ⅠA 。

(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等。

从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，卫星的动能增大(引力势能减小)。

图中v ⅡA >v ⅡB ，E k ⅡA >E k ⅡB ，E p ⅡA <E p ⅡB 。

(3)两个不同圆轨道上线速度大小不相等。

轨道半径越大，线速度越小，图中v Ⅰ>v Ⅲ。

(4)卫星在不同轨道上的机械能E 不相等，“高轨高能，低轨低能”。

卫星变轨过程中机械能不守恒。

图中E Ⅰ<E Ⅱ<E Ⅲ。

(5)卫星运行的加速度与卫星和中心天体间的距离有关，与轨道形状无关，图中a ⅢB ＝a ⅡB ，a ⅡA ＝a ⅠA 。

[典例1] (2021·四川省遂宁市高三下学期5月三诊)2021年1月，“天通一号”03星发射成功。

发射过程简化为如图所示：火箭先把卫星送上轨道1(椭圆轨道，P 、Q 是远地点和近地点)后火箭脱离；卫星再变轨，到轨道2(圆轨道)；卫星最后变轨到轨道3(同步圆轨道)。

轨道1、2相切于P 点，轨道2、3相交于M 、N 两点。

忽略卫星质量变化( )A ．卫星在三个轨道上的周期T 3>T 2>T 1B ．由轨道1变至轨道2，卫星在P 点向前喷气C ．卫星在三个轨道上机械能E 3＝E 2>E 1D ．轨道1在Q 点的线速度小于轨道3的线速度[典例2] (多选)若“嫦娥五号”从距月面高度为100 km 的环月圆形轨道Ⅰ上的P 点实施变轨，进入近月点为15 km 的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q 落月，如图所示。