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3-2平面应力在任意斜截面上的应力分量pdf

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弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析

弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析


1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
单 向 拉 伸 时 轴 与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
弹性与塑性力学基础
哈工大（威海） 材料学院
第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
哈工大（威海） 材料学院

2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)

2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)

当面积 AB 无限减小而趋于 P 点时，平面 AB 上的 应力就是上述斜面上的应力。 现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分 量（ px ， py ），或沿法向和切向的分量（ σn ， τn），如图 2-4b所示。
用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：
cosn, x l， cosn, y m
c
0
，则有
F 0， F Mc 0
x
y
0
yx dy dy dx dx xy dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 2 2 y 2 2
力矩方程化简后得到：
xy
1 xy 1 yx dx yx dy 2 x 2 y
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连 续性和小变形假定。 5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微 分方程相同。 6.由于τxy =τyx，以后只作为一个独立未知函数 处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2） 中含有 3个应力未知函数。


由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意 斜面上的正应力 n 及切应力 n 。
3.然后，再求出主应力和应力主向
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面 称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向 称为在P点的一个应力主向。
（2）只在侧边上受有平行于板面且不沿厚度变化 的面力和体力，且不沿厚度变化，体力 f x , f y , o 和面 力 f x , f y , o ，只是x，y的函数，并构成平衡力系；

第一章 应力.ppt

第一章 应力.ppt

y , yx , yz
z , zx , zy
用矩阵表示：
z
z
x xy xz yx y yz zx zy z
应力符号的意义：
x
O
xz xy y y yx yz x zx zy z
z
zy
A
o
z
x x + dx x
xz xz + dx x x
xy +
xy x
y
dx
首先，以连接六面体前后两面中心的直线
为矩轴，列出
力矩的平衡方程
z
z z + dz z C zy zy + dz zx z + yz zx + dz dy z yz
（2）两主应力相等，设
由第一式自然满足 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。 该应力状态称为均匀受力状态，也称为静水应力状态。
y yz P
yx
dz
e
e'
dx
o A
zy
dy
zx
y y y+ dy y yx yx + dy B y
z
y
x
整理，并略去微量后，得
同样可以得出
剪应力互等定理
列出x轴方向的力的平衡方程
由其余两个平衡方程 和 可以得出与之相似的两个方
程。化简，除以dxdydz，得

工程力学第9章 应力状态与强度理论

工程力学第9章 应力状态与强度理论

27
根据广义胡克定律，有
解 （1）m-m 截面的内力为：
（2）m-m 截面上 K 点的应力为：
28
29
30
9.5 强度理论
9.5.1 强度理论的概念 在第7章中介绍了杆件在基本变形情况下的强度计 算，根据杆件横截面上的最大正应力或最大切应力及相 应的试验结果，建立了如下形式的强度条件：
31
32
33
（2）第二强度理论———最大伸长线应变理论
34
（3）第三强度理论———最大切应力理论
35
（4）第四强度理论———最大形状改变比能理论
36
37
（2）校核正应力强度
（3）校核切应力强度
38
（4）按第三强度理论校核 D 点的强度
39
思考题 9.1 某单元体上的应力情况如图9.18所示，已知 σx=σy。试求该点处垂直于纸面的任意斜截面上的正应力、 切应力及主应力，从而可得出什么结论？
6
9.2.1 方位角与应力分量的正负号约定 取平面单元体位于Oxy平面内，如图9.5（a）所示。 已知x面（外法线平行于x轴的面）上的应力σx及τxy，y 面上的应力σy及τyx。根据切应力互等定理，τxy=τyx。现 在为了确定与z轴平行的任意斜截面上的应力，需要首 先对方位角α以及各应力分量的正负号作如下约定：
10
11
9.2.3 平面应力状态下的主应力 与极值切应力由式（9.1）和式（9.2）可知，当σx， σy和τxy已知时，σα和τα将随α的不同而不同，即随斜截面 方位不同，截面上的应力也不同。因而有可能存在某种 方向面，其上之正应力为极值。设α=α0时，σα取极值。 由
12
13
14
15
16

斜截面上的应力

斜截面上的应力
第十章 应力状态 分析
● 应力状态的概念 ● 平面应力状态分析的解析法
7- 1 应力状态的概念 一、问题的提出

杆件在基本变形时横截面上应力的 分布规律
轴向拉压：


N A
圆轴扭转：

M
n

p
I
平面弯曲：

My Iz
* QS z bI z
危险点处于单向应力状态或处于纯剪应
1、空间应力状态的概念
三个主应力均不为零
2、最大正应力和最大剪应力
max 1 1 - 3 max
2
3、广义虎克定律
单向应力状态下有
由 1引 起 的 应 变 1
1
E
纵向应变 E 横 向 应 变 - - E
- 由 2引 起 的 应 变 1
-
sin 2a - xy cos 2a
a + x + y C
结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数 2、比较a 、 : a = - 结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相 等，它们的方向是共同指向或背离这个 平面的交线（剪应力互等定理）
二、主应力
力状态，相应强度条件为：
max max
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的
受力状态


薄壁圆筒承受内压


x
破坏现象
脆性材料受压 和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过 同一点各个不同方位的 截面上，应力的大小和 方向是随截面的方位不 同而按照一定的规律变 化 通过构件内某一点的各 个不同方位的截面上的 应力及其相互关系，称 为点的应力状态

平面应力状态理论分析

平面应力状态理论分析
2
称此圆为应力圆。

R x y xy 2 2
2
由于应力圆最早由德 国工程师莫尔 （otto.mohr,18351918）提出，故又称 为莫尔圆。
R
B
O
x y
2
A
O1

工程力学系
二、应力圆作法 (1)在坐标系内画出A1( x , xy) (2)在坐标系内画出B1( y , yx)
2 0 21

2
即：剪应力极值平面和主平面夹角为45°
工程力学系
第九章 应力状态分析
§9-3 平面应力状态分析的图解法
一、应力圆方程
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 斜截面应力解析表达式 x y sin 2 xy cos 2 2
y yx
zx
yz
xz
z
zy
xy
x
工程力学系
三、应力状态分类
第九章 应力状态分析
三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力 都不等于0;
二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力 都不等于0;
单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于0
y yx
zx
y yx
o
25
30
30
o
30 40
o
x y
2

x y
2
cos 60o xy sin 60o 49.7MPa
30
o
x y
2
cos 60o xy sin 60o 13.1 MPa
max

(推荐)平面应力问题

(推荐)平面应力问题

l
yx
m yx l y
yx P xy
x
y A
fx px

x
为 l2、m2，则
y
B fy py
n
tan 2

cos(90 2 ) cos 2

m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
22
应力主向的计算公式：
tan
1

x
(x

dx,
y)


x
(
x,
y)


x (x, x
y)
dx

1 2!

2 x (x,
x2
y)
(dx)2

1 n!


n x (
x
x,
n
y
)
(dx)n
10
略去二阶及二阶以上的微量后便得

x
(
x,
y)


x (x, x
y)
dx
同样 y 、 xy 、 yx 都一样处理，得到图示应力状
l x m yx l
m y l xy m
19
求解得：
m l
x yx
o
m yx
l y
y

2

(
x

y )

(
x
y

2 xy
)

0
yx y
x
P
A
xy
x B
px
n
n
py p
n
p x l x m yx

应力应变经典解析

应力应变经典解析

dy
σx τxy
τxz τzy
τzx D • τzy
σz τxy
y
σz
F o τxz τzx
σx
E
τyx
τyz
B
为
z
dx
dz
σ z , τ zx , τ zy
x
σy A
每个面上都有一个正应力和两个切应
图 3－2
力。那么，o 点的应力状态取决于九个应力分量，可以用矩阵形式表示为
⎛⎜⎜τσyxx
τ xy σy
化的规律表明，应力是张量（tensor）。矢量也可以用它的分量随坐标变换而变化的规律 来定义。事实上，矢量是一阶张量，应力是二阶张量。附录A给出了张量的简单介绍，可 以作为补充知识选读。
从式（3－9）还可得到如下关系：
σ x' + σ y' = σ x + σ y = cons tan t
（3－10）
应力 σz = 0。图 3－4a所示为这种状 态 下 的 微 单 元 ， 只 有 应 力 分 量 σx, σy ，τxy 和τyx 存在，其他应力分量为 零。四个应力分量可以写成如下的矩 z 阵形式：
x 图 3－3
σy
y
σx
dy τxy τyx
τyx
τxy
σx
σx
τxy
σy τyx
τxy σx
z
dx
(σx
−σ y 2
)2
+ τ xy2
(3－14)
将 2αS 代入式（3－9a，c）可知，最大切应力所在截面上的正应力
σ x'
= σ y'
=
σx
+σy 2

平面问题中一点的应力状态

平面问题中一点的应力状态
已知X=q， y=0， xy = -2q， 求： 1 ， 2 ，α1 1=2.562q 2=-1.562q tgα1=-0.781 α1=-37.99o=-37o59`
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为 方向的正应力n为 （b）已知 那么
，那么任一 1 2 n 为 ; a , b x y ? 1 2
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
A
N
B
N
1 1 2 l ( ) N 2 1 4 2
2
s
N
1 显然，当 1l2 0 (l ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界
（自由边） fx f也必须满足。 , y 0
坐标面
当边界面为坐标面时， 若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为
() σ f ,() f . x x a x x y y x a
b a x

( e )
fx
xy
σ
x
σ
x
fx
n
B
py
xy
2
x

xy

y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0

02《弹性力学》教案：第二章：平面问题的基本理论

02《弹性力学》教案：第二章：平面问题的基本理论

二、弹性力学平面问题
弹性力学平面问题的特点有两个： （ 1） 、从几何尺寸的角度看，物体一个方向的尺寸，较之其它两个方向的尺 寸要大得多，或小得多。 （ 2） 、从受力分析的角度看，物体所受的体力分量和面力分量，以及由此产 生的应力分量、应变分量和位移分量，都与某一个坐标轴（例如 z 轴）无关。 有 两 种 典 型 情 况 ， 分 别 是 平 面 应 力 问 题 （ pla ne s tre ss pr obl e m ） 和 平 面 应 变 问 题 （ pla ne stra i n pr obl e m ） 。分别讨论。 1、 平 面 应 力 问 题 几 何 尺 寸 ： 物 体 是 很 薄 的 等 厚 度 平 板 ， 沿 z 方 向 的 厚 度 为 t； 沿 x 方 向 和 y 方 向的尺寸，远大于厚度 t。 坐 标 系 ： 以 薄 板 的 中 面 为 xoy 面 ， z 轴 垂 直 于 xoy 面 。 受力特点：体力作用于板内，平行于板面且不沿厚度变化， （ X、Y） ，沿厚 度均匀分布。 面力作用于板边，平行于板面且不沿厚度变化， （ X 、Y ） ，沿厚 度均匀分布。
σ x = σ x ( x, y ) ， 则 在 c d 面 上 ， 由 于 长 度 增 加 了 dx ， 则 c d 面 上 的 正 应 力 分 量 应 随
之 变 化 。应 力 分 量 的 这 种 变 化 可 用 泰 勒 级 数 展 开 求 得 。实 际 上 ，在 c d 面 上 ，我 们 有
σ x ( x + dx, y ) = σ x ( x, y ) +
１１
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12第二章应力状态分析一、内容介...

12第二章应力状态分析一、内容介...

第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。

应力状态是本章讨论的首要问题。

由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。

因此，一点各个截面的应力是不同的。

确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。

首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。

应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。

本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。

本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。

二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。

应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。

体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。

9.2、弹性力学应力分析 静力学和材料力学

9.2、弹性力学应力分析 静力学和材料力学

have
ij ji
2020/4/16
8
土木工程专业：弹性力学
三、应力张量分解
1
柯西应力张量还可以表示为
ij
1 3
kk
ij
sij
The first term in the right-hand is called spherical stress tensor and the second term called
)
t3(n)t3(n)
p2
令
x
t (n)
1
x2 y2 z2 p2
y
t(n) 2
球面方程
2020/4/16
z
t(n) 3
18
土木工程专业：弹性力学
x
t(n)
1
,
y
t(n) 2
,
z
t(n) 3
❖应力球面
球面 方程 x2 y2 z2 p2
• 若以斜截面上应力矢量的分量为直角坐标轴， 则应力球面的球心位于坐标原点，半径为p
土木工程专业：弹性力学
在x1方向平衡： t1(n)dA 11dA1 21dA2 31dA3 0
t1(n)dA 11dA n1 21dA n2 31dA n3 0 消去dA，得 t1(n) 11n1 21n2 31n3 j1n j
同理；在x2、 x3方向平衡：
2020/4/16
t(n) 2
j2nj
t(n)
3
j 3n j
t (n) i
ji n j
6
土木工程专业：弹性力学
二、柯西应力张量
❖应力张量
t (n) i
ji n j
Since ti(n) and ni denote vectors, it follows from the quotient rule of Chapter 2 that the

弹性力学_第二章__应力状态分析

弹性力学_第二章__应力状态分析

第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。

应力状态是本章讨论的首要问题。

由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。

因此，一点各个截面的应力是不同的。

确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。

首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。

应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。

本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。

本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。

二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。

应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。

体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。

应力和应变变换

应力和应变变换
1． 画出应力正方形，注出 x 和 y 面上的应力值，图 5(a)以一个假想的情况为例。下列
方向的规定仅适用于画莫尔圆时：若切应力对正方形内任意点的矩为顺时针转向，
则规定为正；而逆时针方向时规定为负。所以作用在 x 和 y 面上的切应力必定符号
相反。正应力则按常规，即拉伸时为正、压缩时为负。
图 5 当σ x = +5 ，σ y = −3 ，τ xy = +4 时画出的应力正方形
情况（平面应力状态），而且是在直角坐标系内，但式（5）对二维和三维应力状态都适用。
用数学或几何方法（见习题 3 和 4）可证明，无限小应变分量可按几乎同样的关系式进
行变换：
3
⎧ ⎪ ⎨
ε x′ ε y′
⎫ ⎪ ⎬
=
⎧ A ⎪⎨
εx εy
⎫ ⎪ ⎬
(6)
⎪ ⎩
1 2
γ
x′y′
⎪ ⎭
⎪ ⎩
1 2
γ
xy
殊性。在直径线段水平时，正应力取最大值而切应力为零。这些正应力称为主应力，记作σ p1 和σ p2 ，主应力作用的平面称为主平面。如果材料易于因拉伸断裂而失效，则当σ p1 的值超
过拉伸强度极限时,将沿主平面断裂而失效。 例 3 先用莫尔圆图解法预测粉笔在扭转时将如何断裂，再用实践来检验，这将使我们
（图（a））、莫尔圆（图（b））和斜截面上的应力状态（图（c））
2． 在以σ 为横坐标（ x 轴）、τ 为纵坐标（ y 轴）的坐标系内作图，画出与应力正方 形 x 、 y 面上的应力相对应的点作为应力圆上的两个点。由于这两个面上的切应力 的符号彼此相反，其中一个点必在σ 轴上方、而另一点在σ 轴下方。此两点到σ 轴 的距离完全相等。为便于说明，把这两点分别标为 x 和 y 。

弹性力学3-应力状态、几何方程

弹性力学3-应力状态、几何方程

s x ,s y ,t xy t yx
应力张量： tsyxx
t xy sy
t t
xz yz
t zx t zy s z
s x t xy
t yx
s
y
第二章 平面问题的基本理论 2.3 平面问题中一点的应力状态
一点的应力状态可以用以下三种方法表示：
用包围该点的微元体（微正六面体）表征 过该点的任意斜截面上的应力 用一点的主应力与主方向表征
2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.4几何方程
几何方程：应变分量与位移分量之间的关系。
fx
dxdy 2
1 0
上式分别将dx、dy用ds 表达：
pxds
s xlds
t yxmds
fx
ldsmds 2
0
ds趋于零时
O
x
t yx s y
P
A
t t xy
Px
n
px ls x mt xy
(2-3a)
sx
微元体竖直静力平衡条件： Fy 0 可得：
Py s n n
B
y pyds 1 s ydx 1 t xydy 1
过P点的微小三角形，两个边分别 O
平行于坐标轴，当面积SAPB无限减小， 趋近于P点时，平面AB上的应力即成
x
t yx s y
P
A
为过P点斜面上的应力。
P点应力分量（直角坐标面上的应
力）已知：s x ,s y ,t xy t yx

第3章 平面应力与平面应变

第3章 平面应力与平面应变

Nl2 xm 2 y2lm xy （5）
N lm (yx) (l2 m 2)x（y6）
Nl21m22 l2(12)2
Nlm (21)
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y （18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
1 x y
x
PAdx PBdy
Z 方向取单位长度。
设P点应力已知：x,y,xyyx
体力：X ，Y AC面：
x xxd x2 1!2x2xx(d)xx2xd x
O
y yx
x
yx
y
P
xy
B
dy
y
D
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
d
y
y
y
dy
x
xy xxyd x2 1!2x 2 xy(d)x2xy
xy
N 1412l22(21)
O
2
1
P
dy
dx ds
N
y
B
显然，当
1l2 0(l 1)
2
2
时，τN为最大、最小值：
max 1 2
min
2
x A
N sN
由 l 1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 2
小结：
（1）斜面上的应力
XNlxmyx YNmylxy
（3） （4）
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，
求： x,y,xy x,y, xy u,v

04-9.2 平面应力状态分析

04-9.2 平面应力状态分析

材料力学大连理工大学王博平面应力状态分析一、平面应力状态的一般情形先确定特殊微元体的应力状态再确定特殊到一般的关系 σxσyxy τyx τxy二、任意斜截面上的应力基本方法——只要知道微元体六个面上的应力，任意斜截 面上的应力便可通过局部平衡求出。

x y z xσyσxy τyxτατασn x x σyσασxy τyxταταα面 —— 自x 轴正向逆时针转到α面外法线 n 时，α角定义为正。

2. 应力的正负号规定正应力 —— 拉为正压为负1. 任意斜截面的表示方法xα n 切应力 ——对研究对象（微元体或截开部分）内任一点呈顺时针力矩为正逆时针为负3. 任意斜截面上的应力 平衡对象——平衡方程 参加平衡的量—— 力 (应力乘以其作用的面积) 微元体局部 x α α n t∑=0 tF ∑=0n Fxα α nt 0=∑=0n F()αατsin cos d A xy +()αατcos sin d A yx +()αασsin sin d A y -A d ασ()αασcos cos d A x -∑=0 t F A d ατ()αασsin cos d A x -()αατcos cos d A xy -()αατsin sin d A yx +()αασcos sin d A y +0=整理后得到一点应力状态：1. 取微元体2. 任一斜截面应力 有界、周期函数ατασσσσσα2sin 2cos 22xy y x y x --++=ατασστα2cos 2sin 2xy y x +-=。

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3-2 平面应力在任意斜截面上的应力分量
说明：弹性力学符号体系与传统的材料力学符号体系中，切应力τ 的符号规定 方向相反，孙国钧，赵社戌编教材采用弹性力学符号体系，金忠谋等编教材采 用材料力学符号体系，下面分述之。
弹性力学符号体系
y y’
σy τy
σy’
τx’y’ σx
τx σx
x’
τ
α
x
σx'
= σα
在应力状态中主应力是正应力中的最大值或最小值。在平面应力状态下主 应力的方向，即σ1 和 与 x 轴的夹角αo 满足：
主应力σ1 和σ2
为
⎜⎜⎝⎛
σ σ
1 2
⎟⎟⎠⎞＝⎜⎜⎝⎛σσ
max min
⎟⎟⎠⎞
=
σx
+σ 2
y
±
⎜⎜⎝⎛
σ
x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞
+τ
2 xy
最大剪应力 所在的截面，满足：
如令 角满足上式，则
=
σx
+ σy 2
+
σx
− σy 2
cos 2α + τxy
sin 2α
τx' y' = τα =
−
σx
− 2
σy
sin
2α
+
τxy
cos 2α
σy'
= σα+90o
=
σx
+ σy 2
−
σx
− σy 2
cos 2α − τxy sin 2α
上式建立了任意斜截面以及与其垂直的截面上的应力分量σ x' ，σ y' ，τ x' y' 与坐标 面上应力分量σx, σy, τxy 之间的关系。
注意有如下关系成立： 常量，
即通过单元体中互相垂直的两个截面上的正应力之和是常量。
τx σx
σy
α1 τy
σα1 τα1 σα σx
τα τx σy τy
n α
x
求 的极值，得到：
由此可知， 与 所在的平面就是剪应力为零的面，即是主平面 (principal plane) 。主平面上的正应力称为主应力。
σmax
min
=
σx
+ σy 2
±
(σx
− σy 2
)2
+
τxy 2
应力主轴与 x 面成αo 夹角，其值由下式确定：
tan 2α0
=
2τxy σx − σy
切应力取极值的两个截面互相垂直，与应力主轴成±45o，最大（最小）切应 力为
τmax = ±
min
(σx
− 2
σy
)2
+
τ应力
σx'
=
σy'
=
σx
+ 2
σy
材料力学符号体系
剪应力 常用两个足标来表示，第一个足标表示所在截面的法线，第二个
足标表示应力所沿的方向。如 表示在以 轴为法线的截面上，沿 轴向的剪
应力。
如图(a)所
示，设有平面单元
体。左右面作用有 正应力 和剪应力
σx
，上下面作用有
正应力 和剪应力
τ yx ，由剪应力互等 定理τ yx = τ xy 。
容易验证
σx' + σy' = σx + σy = cons tan t
此式表明，单元体互相垂直的两个表面上正应力之和是一常量。 主应力和主平面
切应力为零的平面定义为主平面（principal plane）。主平面的方向称为应 力主轴（principal axis for stress）。最大正应力σmax 和最小正应力σmin 所在的平 面就是主平面，主平面上的正应力称为主应力（principal stress）。其值等于
最大、最小剪应力为：
注意 ，
有：
表示主平面的法线方向， 表示最大剪应力或最小剪应力所在截面的法线方 向，由上式可知最大剪应力所在截面和主平面成 角。
τyx σy n
α
σx
τx
σy (a)
A
τα σα
n
σx
α x
τx α
τy σy t
(b)
根据平衡分析可知，任意斜截面上的正应力 和剪应力 为：
如下图所示，对单元体如截取两个互相垂直的截面，截面法线 与 x 轴成α
角，另一截面法线 则与 x 轴成
角。则外法线为 n1 的截面上的正应
力 与剪应力 为：