横截面上的应力

第三节扭转时横截面上的应力一、应力分布规律为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。

下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。

取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。

在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点：1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变；2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度γ，原来的矩形变成平行四边形。

两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度ϕ，叫做相对扭转角，见下图。

观看动画，理解微元体的获得。

通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果：★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生；★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力；★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。

所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。

由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。

下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。

为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。

假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动dϕ，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角γ，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度γρ，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。

应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。

设H点到轴线的距离为ρ，由于构件的变形通常很小，即所以 (a)由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得(b)将式(b)代入(a)式得(1-40)上式表明，圆轴扭转时，横截面上靠近中心的点剪应变较小；离中心远的点剪应变较大；轴表面点的剪应变最大。

横截面上的应力知识点总结1. 横截面应力的定义横截面应力是指作用在材料截面上的内部力对单位面积的作用。

它是一个矢量，具有大小和方向。

在力学分析中，横截面应力通常用符号σ表示，单位是帕斯卡（Pa）。

横截面应力的大小和方向取决于截面上的受力情况，包括拉伸、压缩、弯曲和剪切等。

2. 横截面应力的计算方法计算横截面应力的方法有很多种，常用的包括静力学方法、弹性力学方法和有限元法等。

在静力学方法中，可以使用平衡方程和横截面的几何形状来计算应力。

在弹性力学方法中，可以利用材料的弹性性质和变形关系来计算应力。

有限元法是一种数值计算方法，通过离散化截面和应力场来求解应力分布。

3. 横截面应力的分布规律横截面应力的分布规律是指应力在截面上的分布情况。

在拉伸和压缩的情况下，横截面应力通常呈现线性分布，即在截面上的应力随着距离的增加而线性变化。

在弯曲和剪切的情况下，横截面应力则呈现非线性分布，即应力随着距离的增加而不断变化。

4. 横截面应力的影响因素横截面应力的大小和分布受到多种因素的影响，包括受力的形式、材料的性质和截面的几何形状。

在拉伸和压缩的情况下，应力的大小取决于受力材料的强度和刚度。

在弯曲和剪切的情况下，应力的分布受到截面几何形状和横截面惯性矩的影响。

5. 横截面应力的实际应用横截面应力的研究在工程设计和材料科学中有着广泛的应用。

比如，在结构设计中，需要通过计算横截面应力来确定构件的尺寸和材料的选择，以确保结构的安全性和稳定性。

在材料科学中，研究横截面应力可以帮助理解材料的力学性能和断裂行为。

总之，横截面应力是力学和材料科学领域中重要的研究内容，它涉及到材料的强度、稳定性和工程设计的安全性。

通过对横截面应力的研究，可以更好地理解材料的受力情况，并为工程设计和材料选择提供依据。

截面正应力计算公式
1. 基本概念。

- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。

其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。

- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。

即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。

2. 梁弯曲时的正应力。

- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。

- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。

- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。

3. 组合变形下的正应力。

- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。

- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。

第三章杆件横截面上的应力应变分析利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。

如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。

这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。

本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。

第一节应力、应变及其相互关系一、正应力、剪应力观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：（3-1）亦称为面积上的平均应力。

一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。

当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。

(3-2)式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。

p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。

通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。

称为正应力，称为切应力。

在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。

由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。

二、正应变、切应变杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。

若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。

把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。

变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。

变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。

相对变形(3-3)表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。

当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为(3-4)式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。

1拉压杆横截面上的应力6.1.1 应力的概念同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。

但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。

这说明单凭轴力F N 并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图6-1而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。

要了解受力杆件在截面m-m 上的任意一点C 处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m 处截开，在截面上围绕C 点取微小面积ΔA ，ΔA 上分布内力的合力为Δp (图6-1a)，将Δp 除以面积ΔA ，即Ap p ∆∆=m （6-1） p m 称为在面积ΔA 上的平均应力，它尚不能精确表示C 点处内力的分布状况。

当面积无限趋近于零时比值Ap ∆∆的极限，才真实地反映任意一点C 处内力的分布状况，即 lim 0dAdp A p p A =∆∆=→∆ （6-2） 上式p 定义为C 点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。

其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。

通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b ），法向分量称为正应力，用σ 表示；切向分量称为切应力，用τ表示。

将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。

因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。

应力的单位为“帕”，用Pa 表示。

1Pa=1N/m 2, 常用单位为兆帕MPa ，1MPa=106Pa=1MN/mm 2=1N/mm 2，1GPa=109Pa 。

6.1.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab 和 cd ，然后在杆两端施加一对轴向拉力F 使杆发生变形，此时直线ab 、 cd分别平移至a 'b '、 c 'd '且仍保持为直线（图6-2a ）。

纯弯曲时横截面产生的应力引言在工程力学中，纯弯曲是指杆件或构件在受到外力作用下，仅受到弯曲力而不受轴向力和剪切力的影响。

在纯弯曲的情况下，杆件或构件的横截面会产生应力分布。

本文将对纯弯曲时横截面产生的应力进行详细介绍和分析。

理论背景在纯弯曲的情况下，杆件或构件受到的外力会引起材料内部产生应力。

根据工程力学理论，横截面上任意一点处的应力可以通过以下公式计算得出：σ=M⋅y I其中，σ表示应力，M表示弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示截面惯性矩。

应力分布在纯弯曲的情况下，杆件或构件横截面上不同位置处产生不同大小和方向的应力。

根据上述公式可以得知，在距离中性轴越远的位置，产生的应力越大。

而在中性轴上，应力为零。

最大应力在纯弯曲的情况下，横截面上产生的最大应力出现在离中性轴最远的位置。

根据公式可以得知，最大应力出现在距离中性轴最远的点处，即y max。

σmax=M⋅y maxI位置和方向除了最大应力外，横截面上其他位置处的应力也需要考虑。

根据公式可以得知，距离中性轴越远的位置产生的应力越大。

此外，在横截面上不同位置处产生的应力方向也不同。

•在距离中性轴上方的点处，产生的应力为正值；•在距离中性轴下方的点处，产生的应力为负值；横截面形状对应力分布的影响横截面形状是影响纯弯曲时横截面产生应力分布的重要因素之一。

不同形状的横截面会导致不同分布规律和大小的应力。

矩形横截面对于矩形横截面，应力分布规律较为简单。

由于矩形横截面的中性轴位于几何中心，因此最大应力出现在矩形的边缘处。

圆形横截面对于圆形横截面，应力分布规律也相对简单。

由于圆形横截面的中性轴与几何中心重合，因此最大应力出现在圆的边缘处。

其他形状的横截面除了矩形和圆形横截面外，其他形状的横截面会导致更复杂的应力分布。

这是由于不同形状的横截面具有不同的中性轴位置和惯性矩大小。

应力计算实例为了更好地理解纯弯曲时横截面产生的应力，下面给出一个简单的计算实例。